2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章概率章末復(fù)習(xí)提升課學(xué)案新人教B版選修2-3

PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)提升課[學(xué)生用書P39])[學(xué)生用書P40])1．條件概率的性質(zhì)(1)非負(fù)性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：假如是兩個(gè)互斥事務(wù)，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互獨(dú)立事務(wù)的性質(zhì)(1)推廣：一般地，假如事務(wù)A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(2)對(duì)于事務(wù)A與B及它們的和事務(wù)與積事務(wù)有下面的關(guān)系：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．3．二項(xiàng)分布滿意的條件(1)每次試驗(yàn)中，事務(wù)發(fā)生的概率是相同的．(2)各次試驗(yàn)中的事務(wù)是相互獨(dú)立的．(3)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事務(wù)要么發(fā)生，要么不發(fā)生．(4)隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事務(wù)發(fā)生的次數(shù)．4．均值與方差的性質(zhì)(1)若η＝aξ＋b(a，b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．(3)D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2.5．正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683.(2)P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954.(3)P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997.1．求分布列時(shí)要檢驗(yàn)概率的和是否為1，假如不是，要重新檢查修正．2．要留意識(shí)別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布．3．在記憶D(aX＋b)＝a2D(X)時(shí)要留意D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．4．易忽視推斷隨機(jī)變量是否聽從二項(xiàng)分布，盲目運(yùn)用二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算致誤．常見概率類型及求法[學(xué)生用書P40]常見概率類型有以下幾種：等可能事務(wù)的概率(古典概型、幾何概型)，互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生的概率，獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)A恰好發(fā)生k次的概率及條件概率．(1)互斥事務(wù)與相互獨(dú)立事務(wù)的概率是高考的熱點(diǎn)，這兩種概率一般綜合在一起進(jìn)行考查，解題時(shí)先要留意推斷事務(wù)的性質(zhì)，是互斥、相互獨(dú)立，還是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后選擇相應(yīng)的公式解題．①當(dāng)事務(wù)A、B互斥時(shí)，則事務(wù)A＋B(A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率等于事務(wù)A、B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②當(dāng)事務(wù)A、B獨(dú)立時(shí)，則AB(A、B同時(shí)發(fā)生)的概率等于事務(wù)A、B分別發(fā)生的概率之積，即P(AB)＝P(A)P(B)．③當(dāng)題中含有“恰好”、“恰有”等字樣時(shí)，應(yīng)選擇獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．即在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.(2)條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事務(wù)的前提和基礎(chǔ)，作為教材的新增內(nèi)容，在學(xué)習(xí)學(xué)問上起到了完備性的作用．在計(jì)算條件概率時(shí)，必需清晰是在哪一個(gè)事務(wù)發(fā)生的條件下的概率，從而選擇合適的條件概率公式，分別求出相應(yīng)事務(wù)的概率進(jìn)行計(jì)算．當(dāng)基本領(lǐng)件較簡(jiǎn)潔時(shí)，也可用縮小基本領(lǐng)件空間的方法來求解．有甲、乙、丙3批罐頭，每批100個(gè)，其中各有1個(gè)是不合格的．從三批罐頭中各抽出1個(gè)，計(jì)算：3個(gè)中恰有1個(gè)不合格的概率．【解】法一：設(shè)從甲、乙、丙3批罐頭中各抽出1個(gè)，得到合格品的事務(wù)分別為A，B，C.“3個(gè)罐頭中恰有1個(gè)不合格”包括下列3種搭配：eq\o(A,\s\up6(－))BC，Aeq\o(B,\s\up6(－))C，ABeq\o(C,\s\up6(－)).這三種搭配是互斥的，且從甲、乙、丙3批罐頭中各抽出1個(gè)罐頭相互之間沒有影響，因此，其中恰有1個(gè)罐頭不合格的概率為P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝3×(0.01×0.992)≈0.03.法二：甲、乙、丙3批罐頭各抽出一個(gè)恰為不合格品的概率都為0.01，且3批罐頭抽取時(shí)相互獨(dú)立，因此可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．其概率：P＝Ceq\o\al(1,3)×0.01×(1－0.01)2＝3×0.01×(0.99)2≈0.03.【點(diǎn)評(píng)】本題法一運(yùn)用了分類探討思想，將所求概領(lǐng)先轉(zhuǎn)化為互斥事務(wù)概率的和，再運(yùn)用相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式求解．法二將問題轉(zhuǎn)換視角，歸結(jié)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，簡(jiǎn)捷明快．離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差[學(xué)生用書P41](1)離散型隨機(jī)變量的分布列在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用極為廣泛，在高考中對(duì)該學(xué)問點(diǎn)的考查相對(duì)敏捷，常與均值、方差融合在一起．(2)對(duì)于分布列的求法，難點(diǎn)在于求隨機(jī)變量每個(gè)取值時(shí)的概率，計(jì)算時(shí)可能會(huì)用到等可能事務(wù)、互斥事務(wù)、相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式．(3)均值與方差都是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征，方差是建立在均值這一概念之上的，它表明白隨機(jī)變量的取值相對(duì)于均值的離散程度，二者關(guān)系親密，在現(xiàn)實(shí)生活中特殊是風(fēng)險(xiǎn)決策中有著重要的意義，因此在當(dāng)前高考中這屬于一個(gè)必考的內(nèi)容，屬高考的熱點(diǎn)問題．(4)高考對(duì)這部分內(nèi)容的考查常融合在一個(gè)題中，其模式為：先求概率，再求分布列，最終求均值或方差．2024年9月3日，抗戰(zhàn)成功70周年紀(jì)念活動(dòng)在北京隆重實(shí)行，受到全國(guó)人民的矚目．紀(jì)念活動(dòng)包括實(shí)行紀(jì)念大會(huì)、閱兵式、款待會(huì)和文藝晚會(huì)等，據(jù)統(tǒng)計(jì)，抗戰(zhàn)老兵由于身體緣由，參與紀(jì)念大會(huì)、閱兵式、款待會(huì)這三個(gè)環(huán)節(jié)(可參與多個(gè)，也可都不參與)的狀況及其概率如下表所示：參與紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)0123概率eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)(1)若從抗戰(zhàn)老兵中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求這2人參與紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率；(2)某醫(yī)療部門確定從這些抗戰(zhàn)老兵中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行體檢(其中參與紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為3的抗戰(zhàn)老兵數(shù)大于等于3)，設(shè)隨機(jī)抽取的這3名抗戰(zhàn)老兵中參與三個(gè)環(huán)節(jié)的有ξ名，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解】(1)設(shè)“這2名抗戰(zhàn)老兵參與紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事務(wù)M，則“這2名抗戰(zhàn)老兵參與紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事務(wù)eq\o(M,\s\up6(－))，依據(jù)題意可知P(eq\o(M,\s\up6(－)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,18)，由對(duì)立事務(wù)的概率計(jì)算公式可得P(M)＝1－P(eq\o(M,\s\up6(－)))＝eq\f(13,18)，故這2名抗戰(zhàn)老兵參與紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率為eq\f(13,18).(2)依據(jù)題意可知隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))eq\s\up12(3)＝eq\f(125,216)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))eq\s\up12(2)·eq\f(1,6)＝eq\f(25,72)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,72)，P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,216).則隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123Peq\f(125,216)eq\f(25,72)eq\f(5,72)eq\f(1,216)則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(125,216)＋1×eq\f(25,72)＋2×eq\f(5,72)＋3×eq\f(1,216)＝eq\f(1,2).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事務(wù)、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念及相關(guān)計(jì)算，考查運(yùn)用所學(xué)學(xué)問與方法解決實(shí)際問題的實(shí)力．幾種重要分布[學(xué)生用書P42]超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)中三種重要的分布，其中超幾何分布、二項(xiàng)分布屬于離散型隨機(jī)變量的分布列．由于這些重要分布在生活中的應(yīng)用廣泛，故成為高考的?？純?nèi)容．對(duì)超幾何分布和二項(xiàng)分布的考查側(cè)重于概率的求法，可避開一些重復(fù)的計(jì)算，而對(duì)正態(tài)分布的考查側(cè)重于利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，某市高二學(xué)生中男生的身高X(單位：cm)聽從正態(tài)分布N(174，9)．若該市共有高二男生3000人，試估計(jì)該市高二男生身高在(174，180)范圍內(nèi)的人數(shù)．【解】因?yàn)樯砀遆～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3，所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168，180)范圍內(nèi)的概率為0.954.又因?yàn)棣蹋?74.所以身高在(168，174)和(174，180)范圍內(nèi)的概率相等，均為0.477，故該市高二男生身高在(174，180)范圍內(nèi)的人數(shù)是3000×0.477＝1431(人)．【點(diǎn)評(píng)】正態(tài)分布問題是生活中常見的問題，駕馭其性質(zhì)，其相關(guān)問題就會(huì)迎刃而解．1．若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，則p1等于()ξ－124Peq\f(1,5)eq\f(2,3)p1A.0 B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,15) D．1解析：選B.由eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋p1＝1，得p1＝eq\f(2,15).2．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，則參數(shù)n，p的值為()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1解析：選B.E(ξ)＝np＝2.4，D(ξ)＝np(1－p)＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.3．已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ＜－2)＋P(ξ＞6)＝0.1998，則P(－4＜ξ＜4)＝________．解析：正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x＝1，如圖．由圖可知：P(－4＜ξ＜－2)＝P(4＜ξ＜6)所以P(－4＜ξ＜4)＝P(－2＜ξ＜6)＝1－P(ξ＜－2)－P(ξ＞6)＝1－0.1998＝0.8002.答案：0.80024．某隊(duì)3人參與全運(yùn)學(xué)問競(jìng)賽，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分，假設(shè)每人答對(duì)的概率均為eq\f(2,3)，且各人回答正確與否沒有影響，用ξ表示該隊(duì)的總得分，求ξ的分布列．解：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×(1－eq\f(2,3))3＝