2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1.1集合的含義課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(一)集合的含義(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是()A．擁有手機(jī)的人 B．2024年高考數(shù)學(xué)難題C．全部有理數(shù) D．小于π的正整數(shù)B[B選項(xiàng)中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，所以選B.]2．集合M是由大于－2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系式正確的是()A.eq\r(5)∈M B．0?MC．1∈M D．－eq\f(π,2)∈MD[eq\r(5)>1，故A錯(cuò)；－2<0<1，故B錯(cuò)；1不小于1，故C錯(cuò)；－2<－eq\f(π,2)<1，故D正確．]3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是()A．3.14 B．－5C.eq\f(3,7) D．eq\r(7)D[由題意知a應(yīng)為無(wú)理數(shù)，故a可以為eq\r(7).]4．已知集合Ω中的三個(gè)元素l，m，n分別是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC肯定不是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形D[因?yàn)榧现械脑厥腔ギ惖?，所以l，m，n互不相等，即△ABC不行能是等腰三角形，故選D.]5．下列各組中集合P與Q，表示同一個(gè)集合的是()A．P是由元素1，eq\r(3)，π構(gòu)成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|構(gòu)成的集合B．P是由π構(gòu)成的集合，Q是由3.14159構(gòu)成的集合C．P是由2,3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(duì)(2,3)構(gòu)成的集合D．P是滿意不等式－1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x2＝1的解集A[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P與Q表示同一個(gè)集合，而B(niǎo)，C，D中P，Q的元素不相同，所以P與Q不能表示同一個(gè)集合．故選A.]二、填空題6．若1∈A，且集合A與集合B相等，則1________B(填“∈”或“?”)．∈[由集合相等的定義可知，1∈B.]7．設(shè)集合A是由1，k2為元素構(gòu)成的集合，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．{k|k≠±1}[∵1∈A，k2∈A，結(jié)合集合中元素的互異性可知k2≠1，解得k≠±1.]8．用符號(hào)“∈”或“?”填空：(1)設(shè)集合B是小于eq\r(11)的全部實(shí)數(shù)的集合，則2eq\r(3)________B,1＋eq\r(2)________B；(2)設(shè)集合C是滿意方程x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合，則3________C,5________C；(3)設(shè)集合D是滿意方程y＝x2的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)組成的集合，則－1________D，(－1,1)________D.(1)?∈(2)?∈(3)?∈[(1)∵2eq\r(3)＝eq\r(12)>eq\r(11)，∴2eq\r(3)?B；∵(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2)<3＋2×4＝11，∴1＋eq\r(2)<eq\r(11)，∴1＋eq\r(2)∈B.(2)∵n是正整數(shù)，∴n2＋1≠3，∴3?C；當(dāng)n＝2時(shí)，n2＋1＝5，∴5∈C.(3)∵集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，－1是數(shù)，∴－1?D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.]三、解答題9．設(shè)A是由滿意不等式x<6的自然數(shù)構(gòu)成的集合，若a∈A且3a∈A，求a[解]∵a∈A且3a∈A∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<6，,3a<6，))解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1.10．已知集合A中含有兩個(gè)元素x，y，集合B中含有兩個(gè)元素0，x2，若A＝B，求實(shí)數(shù)x，y的值．[解]因?yàn)榧螦，B相等，則x＝0或y＝0.(1)當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，則不滿意集合中元素的互異性，故舍去．(2)當(dāng)y＝0時(shí)，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0應(yīng)舍去．綜上知：x＝1，y＝0.11．(多選題)集合A中含有三個(gè)元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a為()A．2 B．－2C．4 D．0AC[若a＝2，則6－2＝4∈A；若a＝4，則6－4＝2∈A；若a＝6，則6－6＝0?A，故選AC.]12．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解組成的集合，若2∈M，則下列推斷正確的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈MC[由2∈M知2為方程x2－x＋m＝0的一個(gè)解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程為x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根為－1.選C.]13．已知集合P中元素x滿意：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三個(gè)元素，則整數(shù)a＝________.6[∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三個(gè)元素，∴結(jié)合數(shù)軸(圖略)知a＝6.]14．(一題兩空)若a，b∈R，且a≠0，b≠0，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所組成的集合中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______，全部元素的和為_(kāi)_______．30[當(dāng)a，b同正時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝1＋1＝2.當(dāng)a，b同負(fù)時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2.當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.∴eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所組成的集合中元素共有3個(gè)．且3個(gè)元素的和為2＋(－2)＋0＝0.]15．設(shè)集合A中的元素均為實(shí)數(shù)，且滿意條件：若a∈A，則eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)．求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個(gè)元素；(2)集合A不行能是單元素集．[證明](1)若a∈A，則eq\f(1,1－a)∈A.又因?yàn)?∈A，所以eq\f(1,1－2)＝－1∈A.因?yàn)椋?∈A，所以eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈A.因?yàn)閑q\f(1,