2024-2025學年新教材高中數(shù)學第4章對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)4指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長的比較學案含解析北師大版必修第一冊

PAGE4-§4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較學習目標核心素養(yǎng)1.了解三種函數(shù)的增長特征．(重點)2．初步相識“直線上升”、“指數(shù)爆炸”和“對數(shù)增長”．(重點)3．嘗試函數(shù)模型的簡潔應用．(重點、難點)通過三種函數(shù)的增長特征的實際應用，培育數(shù)學建模素養(yǎng)．三種函數(shù)的增長趨勢y＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α>0))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))上的增減性增函數(shù)圖象的變化趨勢隨x增大，近似與y軸平行．隨x增大，近似與x軸平行．α值較小(α<1)，增長較慢；α值較大(α>1)時，增長較快．增長速度①隨x增大，y＝ax增長速度越來越快，并且當a越大時，y＝ax增長的速度越快．②隨x增大，y＝logax增長速度越來越慢，并且當a越大時，y＝logax增長速度越慢．③當x足夠大時，肯定有ax>xα>logax.思索：舉例說明“指數(shù)爆炸”增長的含義？提示：如1個細胞分裂x次后的數(shù)量為y＝2x，此為“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從圖象上看出，存在x0，當x>x0時，數(shù)量增加特殊快，足以體現(xiàn)“爆炸”的效果．1．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()ABCDD[設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的圖象大致為D中圖象．]2．下列函數(shù)中，增長速度最慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6xB[對數(shù)函數(shù)增長的速度越來越慢，故選B.]3．當x>4時，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小關(guān)系是________．b<c<a[三個已知函數(shù)按增長速度由慢到快排列為y＝log4x，y＝x4，y＝4x，當x＝4時，b＝log44＝1，a＝c＝44，所以a，b，c的大小關(guān)系是b<c<a.]4．已知甲、乙兩個工廠在今年的1月份的利潤都是6萬元，且甲廠在2月份的利潤是14萬元，乙廠在2月份的利潤是8萬元．若甲、乙兩個工廠的利潤(萬元)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式分別符合下列函數(shù)模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).(1)求甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤；(2)在同始終角坐標系下畫出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖，并依據(jù)草圖比較今年甲、乙兩個工廠的利潤的大小狀況．[解](1)依題意：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝6，,f（2）＝14，))有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋b1＝0，,4a1＋2b1＝8.))解得a1＝4，b1＝－4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）＝6，,g（2）＝8，))有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a2＋b2＝6，,9a2＋b2＝8.))解得a2＝eq\f(1,3)，b2＝5，∴g(x)＝eq\f(1,3)×3x＋5＝3x－1＋5，所以甲在今年5月份的利潤為f(5)＝86萬元，乙在今年5月份的利潤為g(5)＝86萬元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤相等．(2)作函數(shù)圖象如圖所示：從圖中，可以看出今年甲、乙兩個工廠的利潤：當x＝1或x＝5時，有f(x)＝g(x)；當1<x<5時，有f(x)>g(x)；當5<x≤12時，有f(x)<g(x).函數(shù)模型的增長差異【例1】(1)當x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應當是()A．y＝10000x B．y＝log2xC．y＝x1000 D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))eq\s\up8(x)(2)四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x改變的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)改變的變量是________．(1)D(2)y2[(1)由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，則當x越來越大時，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))eq\s\up8(x)增長速度最快．(2)從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2起先改變，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)改變．]常見函數(shù)模型及增長特點⑴線性函數(shù)模型y＝kx＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k>0))的增長特點是直線上升，其增長速度不變．⑵指數(shù)函數(shù)模型y＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))隨x增大，y增長速度越來越快，并且當a越大時，y＝ax的函數(shù)值增長的越快．⑶對數(shù)函數(shù)模型y＝logax隨x增大，y增長速度越來越慢，并且當a越大時，y＝logax的函數(shù)值增長的越慢．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．下面對函數(shù)f(x)＝logeq\s\do2(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)與h(x)＝xeq\s\up6(－eq\f(1,2))在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減狀況說法正確的是()A．f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越慢B．f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越快C．f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越慢D．f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越快C[函數(shù)f(x)＝logeq\s\do2(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)與h(x)＝xeq\s\up6(－eq\f(1,2))在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象如圖所示．視察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(0，1)上遞減較快，但遞減速度漸漸變慢；在區(qū)間(1，＋∞)上，遞減較慢，且越來越慢．同樣，函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上，遞減較慢，且遞減速度越來越慢．函數(shù)h(x)的圖象在區(qū)間(0，1)上遞減較快，但遞減速度變慢；在區(qū)間(1，＋∞)上，遞減較慢，且越來越慢，故選C.]函數(shù)模型的選擇問題【例2】某地西紅柿從2月1日起起先上市，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本y(單位：元/102kg)與上市時間時間x50110250種植成本y150108150(1)依據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本y與上市時間x的改變關(guān)系：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝a·bx，y＝alogax.(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低的上市天數(shù)及最低種植成本．[解](1)由表格中數(shù)據(jù)可知，種植成本不是常函數(shù)，∴a≠0，而此時y＝ax＋b，y＝a·bx，y＝alogax均為單調(diào)函數(shù)，與表中數(shù)據(jù)不符，因此y＝ax2＋bx＋c，將三組數(shù)據(jù)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2500a＋50b＋c＝150，,12100a＋110b＋c＝108，,62500a＋250b＋c＝150，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,200)，,b＝－\f(3,2)，,c＝\f(425,2)．))∴描述西紅柿種植成本y與上市時間x的改變關(guān)系為y＝eq\f(1,200)x2－eq\f(3,2)x＋eq\f(425,2).(2)當x＝150時，ymin＝100(元/102kg即西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是150天，最低種植成本是100元/102(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的改變規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的改變規(guī)律；(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的改變規(guī)律．因此，需抓住題中蘊含的數(shù)學信息，恰當、精確地建立相應改變規(guī)律的函數(shù)模型來解決實際問題．eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．某汽車制造商在2024年初公告：公司安排2024年生產(chǎn)目標定為43萬輛．已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示：年份202420242024產(chǎn)量8(萬)18(萬)30(萬)假如我們分別將2024，2024，2024，2024定義為第一、二、三、四年．現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？[解]建立年產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)必過點(1，8)，(2，18)，(3，30).(1)構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點坐標代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18.,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與安排誤差為1.(2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，將點坐標代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得a＝eq\f(125,3)，b＝eq\f(6,5)，c＝－42.則g(x)＝eq\f(125,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up8(x)－42，故g(4)＝eq\f(125,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up8(4)－42＝44.4，與安排誤差為1.4.由(1)(2)可得，二次函數(shù)模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的比較【例3】函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數(shù)．(2)結(jié)合函數(shù)圖象，推斷f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大?。甗解](1)C1對應的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2011>x2.從圖象上可以看出，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6).當x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2020)>g(2020).又因為g(2020)>g(6)，所以f(2020)>g(2020)>g(6)>f(6).1．若將“函數(shù)f(x)＝2x”改為“f(x)＝3x”，又如何求解(1)呢？[解]由圖象的改變趨勢以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度可知：C1對應的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應的函數(shù)為f(x)＝3x.2．本例條件不變，(2)中條件若改為：試結(jié)合圖象，推斷f(8)，g(8)，f(2019)，g(2019)的大小．[解]因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<8<x2，2015>x2.從圖象上可以看出，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(8)<g(8).當x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2019)>g(2019).又因為g(2019)>g(8)，所以f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8).推斷函數(shù)的增長速度，一個方面是從x增加相同量時，函數(shù)值的增長量的改變；另一方面，也可從函數(shù)圖象的改變推斷，圖象越陡，增長越快．1．三種函數(shù)模型的增長特點(1)指數(shù)函數(shù)模型：表達式為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0)，當b>1時，增長特點是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”；當0<b<1時，函數(shù)值由快到慢地削減．(2)對數(shù)函數(shù)模型：表達式為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m>0)，當a>1時，增長的特點是起先階段增長得較快，但隨著x的漸漸增大，其函數(shù)值改變得越來越慢；當0<a<1時，相應函數(shù)值漸漸削減，改變得越來越慢．(3)冪函數(shù)模型：表達式為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α>0，α≠1)，其增長狀況由a和α的取值確定．2．三種函數(shù)模型的選取(1)當增長速度改變很快時，經(jīng)常選用指數(shù)函數(shù)模型．(2)當要求不斷增長，但又不會增長過快，經(jīng)常選用對數(shù)函數(shù)模型．(3)冪函數(shù)模型y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α>0))，則可以描述增長幅度不同的改變：α值較小(α<1)時，增長較慢；α值較大(α>1)時，增長較快．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)當x>1時，y＝x2比y＝2x增長得更快． ()(2)存在x0，使得當a>1，n>0，x>x0時，logax<xn<ax成立． ()(3)函數(shù)y＝logeq\