中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)點(diǎn)練習(xí)07圖形的變化（解析版）

易錯(cuò)點(diǎn)07圖形的變化圖形的平移平移的性質(zhì)（1）平移的條件平移的方向、平移的距離（2）平移的性質(zhì)①把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．1．（2022春?新城區(qū)校級(jí)期中）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（1，0），（0，3），將線段AB平移，平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（2，﹣2），那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，1）【分析】利用平移變換的性質(zhì)，畫出圖形可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，觀察圖像可知，B′（1，1）．故選：A．2．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)A第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)A1（﹣1，1），緊接著第2次向右跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)A2（1，1），第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位，第4次向左跳動(dòng)3個(gè)單位，第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位，第6次向右跳動(dòng)4個(gè)單位，…依此規(guī)律跳動(dòng)下去，點(diǎn)A第2022次跳動(dòng)至點(diǎn)A2022的坐標(biāo)是（）A．（505，1009） B．（﹣506，1010） C．（﹣506，1011） D．（506，1011）【分析】設(shè)第n次跳動(dòng)至點(diǎn)An，根據(jù)部分點(diǎn)An坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n為自然數(shù)）”，依此規(guī)律結(jié)合2022＝505×4+2即可得出點(diǎn)A2022的坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)第n次跳動(dòng)至點(diǎn)An，觀察，發(fā)現(xiàn)：A（﹣1，0），A1（﹣1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（﹣2，2），A5（﹣2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（﹣3，4），A9（﹣3，5），…，∴A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n為自然數(shù)）．∵2022＝505×4+2，∴A2022（506，1011）．故選：D．3．（2022?南京模擬）如圖，從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B有多條路徑，其中第一條路徑為線段AB，其長度為a，第二條路徑為折線ACB，其長度為b，第三條路徑為折線ADEFGHIJKLB，其長度為c，第四條路徑為半圓弧ACB，其長度為d，則這四條路徑的長度關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c＜d B．a(chǎn)＜c＜d＜b C．a(chǎn)＜b＝c＜d D．a(chǎn)＜b＜c＝d【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知a最小，根據(jù)平移的性質(zhì)可知b＝AC+BC＝c，根據(jù)圓的定義，可得c＜d．據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知a最小，根據(jù)平移的性質(zhì)可知b＝AC+BC＝AD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LB＝c，由圓的定義可知c＜d，∴a＜b＝c＜d，故選：C．4．（2022秋?拱墅區(qū)期末）以A（﹣1，7），B（﹣1，﹣2）為端點(diǎn)的線段上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為：（﹣1，y）（﹣2≤y≤7）．現(xiàn)將這條線段水平向右平移5個(gè)單位，所得圖形上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（4，y）（﹣2≤y≤7）．【分析】根據(jù)平移時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律“左減右加”進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：現(xiàn)將這條線段水平向右平移5個(gè)單位，所得圖形上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（4，y）（﹣2≤y≤7），故答案為：（4，y）（﹣2≤y≤7）．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在圖中畫出△ABC向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位的△A1B1C1；（2）寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)：A1（3，3），B1（3，﹣2），C1（0，1）；（3）設(shè)點(diǎn)P在x軸上，且△BCP與△ABC的面積相等，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．（2）由圖可得出答案．（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），利用三角形的面積公式可得，求出x的值，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）由圖可得，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（3，3），B1的坐標(biāo)為（3，﹣2），C1的坐標(biāo)為（0，1）．故答案為：（3，3）；（3，﹣2）；（0，1）．（3）△ABC的面積為＝，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），∴△BCP的面積為＝，∴，解得x＝4或﹣6．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（﹣6，0）．02軸對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．1．（2022秋?福州月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝55°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B'，則∠CAB'的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠B＝55°，∠ABC＝90°，∴∠C＝90°﹣55°＝35°，∵AD⊥BC，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴∠AB′D＝∠B＝55°，∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝55°﹣35°＝20°，故選：B．2．（2022春?天橋區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．則EF的最小值為（）A．2.4 B．4.8 C．5.2 D．6【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PEAF是矩形；連接PA，則PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得PA的值．【詳解】解：如圖，連接PA．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°．又∵PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形PEAF是矩形．∴AP＝EF．∴當(dāng)PA最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)AP⊥CB時(shí)，PA最小，∵AB?AC＝BC?AP，即AP＝＝，∴線段EF的最小值為．故選：A．3．（2022?上虞區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝，點(diǎn)P是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，將△BCP以直線CP為對(duì)稱軸進(jìn)行軸對(duì)稱變換，B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B'，連結(jié)AB'，則在P點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，線段AB'長度的最小值為（）A．1 B． C．﹣1 D．3﹣【分析】解直角三角形求出AC，再根據(jù)AB′≥AC﹣CB′，可得結(jié)論．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，∠CAB＝30°，∴AC＝BC＝3，∵AB′≥AC﹣CB′＝3﹣，∴AB′的最小值為3﹣，故選D．4．（2021秋?訥河市期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD交OA、OB分別于點(diǎn)E，F(xiàn)；若△PEF的周長的為10，則線段OP＝（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】首先根據(jù)對(duì)稱性得出△DOC是等邊三角形，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：連接OD，OC，∵∠AOB＝30°；點(diǎn)D、C分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠DOC＝60°，DO＝OP＝OC，PF＝DF，PE＝CE，∴△DOC是等邊三角形，∵△PEF的周長的為10，∴OP＝10．故選：C．5．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，連接EG、BG，則S△BEG＝（）A． B． C．16 D．32【分析】如圖，取BC中點(diǎn)H，連接AH，連接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延長線于M．構(gòu)建S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG計(jì)算即可；【詳解】解：如圖，取BC中點(diǎn)H，連接AH，連接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延長線于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等邊三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG＝×8×4+×2×2﹣S平行四邊形ABCD＝16+2﹣4＝14故選：B．6．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC邊的垂直平分線交BC于E，交AC于D，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接EF，點(diǎn)C關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)C'恰好落在ED的延長線上，則C'D的長為．【分析】利用勾股定理求出AC，設(shè)AE＝EC＝x，再利用勾股定理構(gòu)建方程求出EC，再利用勾股定理求出DE，可得結(jié)論．【詳解】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵DE垂直平分線段AC，∴EA＝EC，AD＝DC＝5，設(shè)AE＝EC＝x，則有x2＝62+（8﹣x）2，∴x＝，∴EC＝AE＝，∴DE＝＝＝，∵EC＝EC′＝，∴C′D＝C′E﹣DE＝﹣＝．故答案為：．7．（2022秋?東麗區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，點(diǎn)D在BC邊上，△ABD、△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∠FAC的角平分線交BC邊于點(diǎn)G，連接FG．∠BAD＝θ，當(dāng)θ的值等于10°，25°或40°時(shí)，△DFG為等腰三角形．【分析】首先由軸對(duì)稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三種情況討論解答即可，當(dāng)GD＝GF時(shí)，就可以得出∠GDF＝80°，根據(jù)∠ADG＝40°+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ＝180°就可以求出結(jié)論；當(dāng)DF＝GF時(shí)，就可以得出∠GDF＝50°，就有40°+50°+40°+2θ＝180°，當(dāng)DF＝DG時(shí)，∠GDF＝20°，就有40°+20°+40°+2θ＝180°，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°．∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴△ADB≌△ADF，∴∠B＝∠AFD＝36°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ，∴AF＝AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG＝∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG＝∠C．∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，∴∠DFG＝∠B+∠C＝36°+36°＝72°．①當(dāng)GD＝GF時(shí)，∴∠GDF＝∠GFD＝72°．∵∠ADG＝36°+θ，∴36°+72°+36°+θ+θ＝180°，∴θ＝18°．②當(dāng)DF＝GF時(shí)，∴∠FDG＝∠FGD．∵∠DFG＝72°，∴∠FDG＝∠FGD＝54°．∴36°+54°+36°+2θ＝180°，∴θ＝27°．③當(dāng)DF＝DG時(shí)，∴∠DFG＝∠DGF＝72°，∴∠GDF＝36°，∴36°+36°+36°+2θ＝180°，∴θ＝36°．∴當(dāng)θ＝18°，27°或36°時(shí)，△DFG為等腰三角形．故答案為：18°，27°或36°．03軸對(duì)稱與坐標(biāo)變化坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱（1）關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．（2）關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．（3）關(guān)于直線對(duì)稱①關(guān)于直線x=m對(duì)稱，P（a，b）?P（2m-a，b）②關(guān)于直線y=n對(duì)稱，P（a，b）?P（a，2n-b）1．（2022?清城區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（x2+2x，1）與點(diǎn)B（﹣3，1）關(guān)于y軸對(duì)稱，則x的值為（）A．1 B．3或1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，構(gòu)建方程求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A（x2+2x，1）與點(diǎn)B（﹣3，1）關(guān)于y軸對(duì)稱，∴x2+2x﹣3＝0，∴x＝﹣3或1，故選：C．2．（2021秋?花都區(qū)期末）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2m，﹣n），其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)（3﹣n，﹣m+1），則（m﹣n）2022的值為（）A．32022 B．﹣1 C．1 D．0【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)構(gòu)建方程組，求出m，n，可得結(jié)論．【詳解】解：∵E（2m，﹣n），F(xiàn)（3﹣n，﹣m+1）關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，解得，，∴（m﹣n）2022＝（﹣4+5）2022＝1，故選：C．3．（2022?金水區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣2，0），B（0，4），點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線AB對(duì)稱．將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)線段AB掃過的面積為20時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【分析】如圖，連接OC交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)K作KJ⊥OB于點(diǎn)J．首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用平移變換的性質(zhì)求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，連接OC交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)K作KJ⊥OB于點(diǎn)J．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，AB＝＝2，∵O，C關(guān)于AB對(duì)稱，∴OC⊥AB，CK＝OK，∴OK＝＝，∵BK＝＝＝，∵KJ⊥OB，∴KJ＝＝＝，∴BJ＝＝∴OJ＝OB﹣BJ＝4﹣＝，∴K（﹣，），∴OK＝CK，∴C（﹣，），∵線段AB掃過的面積為20，∴線段AB向右平移了5個(gè)單位，∴C′（，）．故選：B．4．（2022秋?渠縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△MBC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，），則經(jīng)過第2022次變換后所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣，）．【分析】觀察圖形可知每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)A所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A第一次關(guān)于x軸對(duì)稱后在第四象限，點(diǎn)A第二次關(guān)于y軸對(duì)稱后在第三象限，點(diǎn)A第三次關(guān)于x軸對(duì)稱后在第二象限，點(diǎn)A第四次關(guān)于y軸對(duì)稱后在第一象限，即點(diǎn)A回到原始位置，∴每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2022÷4＝505…2，∴經(jīng)過第2022次變換后所得的A點(diǎn)與第一次變換的位置相同，在第三象限，坐標(biāo)為（﹣，）．故答案為：（﹣，）．5．（2022秋?謝家集區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3）．①若△ABC是關(guān)于直線y＝1的軸對(duì)稱圖形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣1）；②若△ABC是關(guān)于直線y＝a的軸對(duì)稱圖形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2a﹣3）．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，即可得到兩點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等．利用此性質(zhì)可在坐標(biāo)系中得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)A和點(diǎn)B是關(guān)于直線y＝1對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴它們到y(tǒng)＝1的距離相等，是2個(gè)單位長度，AB⊥x軸，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，﹣1）．若△ABC是關(guān)于直線y＝a的軸對(duì)稱圖形，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為a﹣（3﹣a）＝2a﹣3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2a﹣3），故答案為：（4，﹣1），（4，2a﹣3）．6．（2022秋?溫江區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)M（0，m）且平行于x軸的直線可以記作直線y＝m，平行于y軸的直線可以記作直線x＝m，我們給出如下的定義：點(diǎn)P（x，y）先關(guān)于x軸對(duì)稱得到點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1關(guān)于直線y＝m對(duì)稱得點(diǎn)P′，則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點(diǎn)．已知點(diǎn)P（2，3），Q（2，2）關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點(diǎn)分別為P1，Q1，點(diǎn)M（2，3）關(guān)于直線x＝m對(duì)稱的點(diǎn)為M1，則當(dāng)三角形P1Q1M1的面積為1時(shí)，則m＝1或3．【分析】根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)由已知點(diǎn)坐標(biāo)求得P1，Q1，M1的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積列出方程求得m的值便可．【詳解】解：根據(jù)題意得，P1（2，2m+3），Q1（2，2m+2），M1（2m﹣2，3），∴P1Q1＝|2m+3﹣2m﹣2|＝1，PM1＝|2m﹣2﹣2|＝|2m﹣4|，∵△P1Q1M1的面積為1，∴，解得m＝1或3，故答案為：1或3．04圖形的翻折1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．1．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，連結(jié)BF，然后沿著BF將矩形對(duì)折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的E處．若AE：ED＝4：1，則tan∠EBF的值為（）A．4 B．3 C． D．【分析】由矩形的性質(zhì)得D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC，由折疊得∠AEF＝∠C＝90°，BE＝BC，則∠DFE＝∠AEB＝90°﹣∠DEF，AD＝BE，即可證明△DFE∽△AEB，由AE：ED＝4：1，得ED＝AD，AE＝AD，可求得BA＝＝AD，則tan∠EBF＝＝＝，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC，由折疊得∠AEF＝∠C＝90°，BE＝BC，∴∠DFE＝∠AEB＝90°﹣∠DEF，AD＝BE，∴△DFE∽△AEB，∴＝，∵AE：ED＝4：1，∴ED＝AD，AE＝AD，∴BA＝＝＝AD，∴tan∠EBF＝＝＝＝，∴tan∠EBF的值為，故選：C．2．（2022秋?南岸區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BF，將△ABF沿BF翻折得到△GBF，連接GE．當(dāng)GE的長最小時(shí)，DF的長為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得BE的長，再由翻折知BG＝BA＝4，得點(diǎn)G在以B為圓心，4為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)點(diǎn)G、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，GE最小，此時(shí)利用勾股定理列方程即可得到DF的長．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為4，∴∠C＝∠A＝90°，BC＝CD＝4，∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE＝2，∴BE＝＝＝2，∵將△ABF沿BF翻折得到△FBG，∴BG＝BA＝4，∴點(diǎn)G在以B為圓心，4為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，∴如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，GE最小，∴GE的最小值＝BE﹣BG＝﹣4．設(shè)DF＝x，則AF＝GF＝4﹣x，∵∠D＝∠FGE＝90°，∴DE2+DF2＝EF2＝FG2+EG2，即22+x2＝（4﹣x）2+（）2，解得x＝，∴DF的長為，故選：D．3．（2022秋?運(yùn)城期末）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，沿EF折疊菱形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)G處，且EG⊥BD于點(diǎn)M，若AB＝a（?。?.4，＝1.7），則BE等于（）A． B． C． D．【分析】連接AC，在Rt△ABO中，求出AO的長度，進(jìn)而求出AC的長度，然后根據(jù)EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】解：如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，∵∠BAD＝60°，∴∠BAO＝30°，∴AO＝AB＝a，∴AC＝2AO＝a，∵沿EF折疊菱形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)G處，∴EG＝AE，∵EG⊥BD，AC⊥BD，∴EG∥AC，∴＝，∵EG＝AE，∴＝，解得AE＝a≈a，∴BE＝AB﹣AE＝a．故選：A．4．（2023?市南區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一點(diǎn)E，連接AE、ED，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B落在B'處，線段EB'交AD于點(diǎn)F，將△ECD沿DE翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在線段EB'上，若點(diǎn)C'恰好為EB'的中點(diǎn)，則線段EF的長為（）A． B． C． D．【分析】由折疊的性質(zhì)可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中點(diǎn)性質(zhì)可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的長，由“AAS”可證△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折疊的性質(zhì)可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵點(diǎn)C'恰好為EB'的中點(diǎn)，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故選：D．5．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中．沿著過點(diǎn)C的直線折疊這個(gè)三角形，使頂點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為CD，并聯(lián)結(jié)DE．如果BC＝9cm，且滿足＝，邊AC＝cm．【分析】由折疊得EC＝AC，∠BCD＝∠ACD，則點(diǎn)D到CB、CA的距離相等，設(shè)點(diǎn)D到CB、CA的距離都是h，由S△DBE＝S△ABC，可列方程（9﹣AC）h＝（AC?h+×9h），解方程求出AC的值即可．【詳解】解：由折疊得EC＝AC，∠BCD＝∠ACD，∴點(diǎn)D到CB、CA的距離相等，設(shè)點(diǎn)D到CB、CA的距離都是hcm，∵＝，BC＝9cm，∴S△DBE＝S△ABC，∵S△DBE＝（BC﹣EC）h＝（BC﹣AC）h，S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝AC?h+BC?h，∴（9﹣AC）h＝（AC?h+×9h），解得AC＝，故答案為：cm．6．（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將正方形ABCD沿直線AE翻折后，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D'，聯(lián)結(jié)CD'交正方形ABCD的邊AB于點(diǎn)F，如果AF＝CE，那么AF的長是．【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)得AE⊥DD′，DE＝D′E，可得∠EDD′＝∠ED′D，證明四邊形AECF是平行四邊形，則AF＝CE，AE∥CF，可得CF⊥DD′，根據(jù)等角的余角相等可得∠ED′C＝∠D′CE，則D′E＝CE＝DE，即可求解．【詳解】解：如圖：連接DD′，由翻折得AE⊥DD′，DE＝D′E，∴∠EDD′＝∠ED′D，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF＝CE，AE∥CF，∴CF⊥DD′，∴∠EDD′+∠D′CE＝∠ED′D+ED′C＝90°，∴∠ED′C＝∠D′CE，∴D′E＝CE＝DE，∵正方形ABCD的邊長為5，∴CE＝CD＝AB＝，∴AF＝，故答案為：．05中心對(duì)稱中心對(duì)稱（1）中心對(duì)稱的定義把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)．．（2）中心對(duì)稱的性質(zhì)①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分．1．（2022春?嘉魚縣期末）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的兩對(duì)角線交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，作直線EF，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線EF平分矩形ABCD的周長 B．直線EF必平分矩形ABCD的面積 C．直線EF必過點(diǎn)O D．直線EF不能將矩形ABCD分成兩個(gè)正方形【分析】根據(jù)AE＝FC，DF＝BE可知：直線EF平分矩形ABCD的周長正確；證明△DMF≌△BME（ASA），直線EF必平分矩形ABCD的面積正確，直線EF必過點(diǎn)O正確；直線EF不能將矩形ABCD分成兩個(gè)正方形，可判斷D錯(cuò)誤．【詳解】解：連接BD交EF于M，由題意得：AE＝CF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∴DF＝BE，∠DBE＝∠BDF，∠DFE＝∠BEF，即直線EF平分矩形ABCD的周長，故A正確；∴△DMF≌△BME（ASA），故B正確；∴FM＝EM，DM＝BM，∴M與O重合，即直線EF必過點(diǎn)O，故C正確；當(dāng)AB＝2AD，EF垂直AB時(shí)，直線EF將矩形ABCD分成兩個(gè)正方形，所以原說法錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤；故選：D．2．（2022秋?萊西市期末）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)B停止，延長EO交CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形 B．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形 C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形 D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形【分析】通過作圖觀察即可得出答案．【詳解】解：畫圖如下，，由圖可知最后會(huì)與原有矩形重合，∴四邊形AECF形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形，故選：A．3．（2021秋?中牟縣期末）如圖是兩個(gè)完全重合的矩形，將其中一個(gè)始終保持不動(dòng)，另一個(gè)矩形繞其對(duì)稱中心按逆時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第二次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，…，則第2022次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①～④中相同的（）A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④【分析】由于每經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后兩矩形重合，而2022＝4×505+2，所以第2022次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖②相同．【詳解】解：由于每經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后兩矩形重合，2022＝4×505+2，∴第2022次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖②相同．故選：B．4．（2022?仙居縣二模）如圖，把正方形ABCD繞著它的對(duì)稱中心O沿著逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到正方形A′B′C′D′，A′B′和B'C′分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，∠EOF的大小（）A．隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而增大 B．隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而減小 C．不變，都是60° D．不變，都是45°【分析】連接AO，BO，A'O，AB'，依據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得到AE＝B'E，進(jìn)而得出△AOE≌△B'OE（SSS），根據(jù)全等三角形的的性質(zhì)，可得∠AOE＝∠B'OE．同理可得，∠BOF＝∠B'OF，根據(jù)∠EOF＝∠B'OE+∠B'OF＝∠AOB，可知在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，∠EOF的大小不變，是45°．【詳解】解：如圖所示，連接AO，BO，A'O，AB'，∵正方形ABCD繞著它的對(duì)稱中心O沿著逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到正方形A′B′C′D′，∴AO＝B'O，∴∠OAB'＝∠OB'A，又∵∠OAE＝∠OB'E＝45°，∴∠EAB'＝∠EB'A，∴AE＝B'E，又∵EO＝EO，∴△AOE≌△B'OE（SSS），∴∠AOE＝∠B'OE．同理可得，∠BOF＝∠B'OF，∴∠EOF＝∠B'OE+∠B'OF＝∠AOB＝90°＝45°．∴在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，∠EOF的大小不變，是45°．故選：D．5．（2022春?連城縣校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），若直線經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），且將平行四邊形OABC分割成面積相等的兩部分，則直線DE的表達(dá)式（）A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C． D．y＝3x﹣6【分析】過平行四邊形的對(duì)稱中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，先求出平行四邊形對(duì)稱中心的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），∴平行四邊形的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（4，2），設(shè)直線DE的函數(shù)解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線DE的解析式為y＝x﹣2．故選：A．06軸對(duì)稱與最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．1．（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在銳角△ABC中，∠C＝40°；點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．80°【分析】分別作P關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，D，連接DE，交AC于M，交BC于N，此時(shí)△MNP的周長最小，由條件求出∠DPE的度數(shù)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，從而求出∠MPN的度數(shù)．【詳解】解：分別作P關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，D，連接DE，交AC于M，交BC于N，此時(shí)△MNP的周長最小，∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，∵PM＝DM，NP＝NE，∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．故選：B．2．（2022秋?南沙區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PE，若AB＝6，S△ABC＝15，則PC+PE的最小值是（）A． B．6 C． D．10【分析】在BA上截取BF＝BC，連接CF，PF，PE，CF交BD于點(diǎn)G，得到△BCF是等邊三角形，利用等邊三角形三線合一，得到PF＝PC，進(jìn)而得到PC+PE＝PF+PE≥EF，找到當(dāng)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PE最小，連接CP并延長交AB于H，利用等邊三角形的三條高線相等，以及，求出FE的長度，即為PC+PE的最小值．【詳解】解：在BA上截取BF＝BC，連接CF，PF，PE，CF交BD于點(diǎn)G，∵BF＝BC，∠ABC＝60°，∴△BCF是等邊三角形，∵BD平分∠ABC，∴BG⊥CF，CG＝FG，∴PF＝PC，∴PC+PE＝PF+PE≥EF，∴當(dāng)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PE最小，∵△BCF是等邊三角形，E是BC的中點(diǎn)，∴FE⊥BC，連接CP并延長交AB于H，∵等邊三角形三條高交于一點(diǎn)，且三條高相等，∴CH⊥BF，F(xiàn)E＝CH，∵AB＝6，，∴，∴CH＝＝5，∴FE＝CH＝5，∴PC+PE最小值為5．故選：C．3．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分別是BC，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，∠B＝58°，當(dāng)△DMN的周長最小時(shí)，∠MDN的度數(shù)是（）A．122° B．64° C．62° D．58°【分析】延長DA到E使DA＝AE，延長DC到F，使CF＝DC，連接EF交AB于N，交BC于M，此時(shí)，△DMN的周長最小，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，設(shè)∠MDN＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長DA到E使DA＝AE，延長DC到F，使CF＝DC，連接EF交AB于N，交BC于M，此時(shí)，△DMN的周長最小，∵∠A＝∠C＝90°，∴DM＝FM，DN＝EN，∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，∵∠B＝58°，∴∠ADC＝122°，設(shè)∠MDN＝α，∴∠ADN+∠CDM＝122°﹣α，∴∠DNM+∠DMN＝2（122°﹣α），∴a+2（122°﹣α）＝180°，解得：α＝64°，故選：B．4．（2022秋?長安區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+PF的值最小時(shí)，BF＝7，則AC為（）A．10 B．12 C．13 D．14【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝BC，∠B＝60°，作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時(shí)，EP+PF的值最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時(shí)，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∴CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故選：A．5．（2022秋?黃陂區(qū)校級(jí)期末）如圖，等腰三角形ABC的底邊AB長為8，面積為24，腰BC的垂直平分線EF交邊AB于點(diǎn)E，若D為AB邊的中點(diǎn)，P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則三角形DPB的周長的最小值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，三角形DPB的周長的最小，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵EF是BC的中垂線，∴點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，三角形DPB的周長的最小，連接PB，理由：∵EF是BC的中垂線，∴PB＝PC，則三角形DPB的周長＝PB+PD+BD＝PC+PD+BD＝CD+BD為最小，∵ABC面積＝AB×CD＝8×CD＝24，解得：CD＝6，∵△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，則BD＝AB＝4，則三角形DPB的周長的最小值＝CD+BD＝6+4＝10，故選：D．6．（2022秋?番禺區(qū)校級(jí)期末）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若三角形CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（）A．78 B．39 C．42 D．30【分析】連接AD、AM，先根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明AD⊥BC，再由△ABC的面積為16，且BC＝4求得AD＝8，由點(diǎn)M在AC的垂直平分線EF上得CM＝AM，則CM+DM+CD＝AM+DM+2，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得AM+DM≥AD，求得AD，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AD、AM，∵等腰三角形ABC的底邊為BC，∴AB＝AC，∵D為BC邊的中點(diǎn)，且BC＝6，∴CD＝BD＝BC＝×6＝3，AD⊥BC，∵EF垂直平分AC，點(diǎn)M在EF上，∴CM＝AM，∴CM+DM+CD＝AM+DM+3，∵AM+DM≥AD，∴AM+DM+3≥13，∴AM+DM的最小值為10，∴AD＝10，∴等腰三角形ABC的面積為6×10＝30，故選：D．07旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．1．（2022秋?武昌區(qū)校級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形A'B'C'D'．若邊A'B交線段CD于H，且BH＝DH，則DH的值是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)DH＝BH＝x，那么CH＝8﹣x，在Rt△BCH中根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的方程，解方程就可以求出DH．【詳解】解：設(shè)DH＝BH＝x，∵AB＝8，AD＝6，四邊形ABCD是矩形，∴CH＝8﹣x，BC＝AD＝6，在Rt△BCH中，CH2+BC2＝BH2，∴x2＝（8﹣x）2+36，∴x＝，即DH＝．故選：C．2．（2022秋?泰山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，O為BC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEF，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在邊AC和CA的延長線上，連接CF，若AD＝3，則△OFC的面積是（）A． B． C． D．【分析】連接OA，OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOC＝90°，∠OAC＝BAC＝60°，∠B＝∠ACB＝30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA＝OD，OC＝OF，求得△AOD是等邊三角形，OD⊥EF，得到AO＝OD＝AD＝3，∠DOF＝90°，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OA，OD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，O為BC的中點(diǎn)，∴∠AOC＝90°，∠OAC＝BAC＝60°，∠B＝∠ACB＝30°，∵將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEF，∴OA＝OD，OC＝OF，∴△AOD是等邊三角形，OD⊥EF，∴AO＝OD＝AD＝3，∠DOF＝90°，∴AC＝2AO＝6，∴CD＝3，∴OD＝CD，∴∠DOC＝∠DCO＝30°，∴∠COF＝60°，∴△COF是等邊三角形，∴∠OFC＝60°，OF＝CF，∴DF垂直平分OC，∴∠DFO＝30°，∴DH＝OD＝，DF＝2OD＝6，∴FH＝，∴OC＝＝3，∴△OFC的面積＝OC?FH＝×3×＝，故選：D．3．（2022秋?泰山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，且AP2＝BP2+CP2，現(xiàn)將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADB的位置，對(duì)于下列結(jié)論：①△ADP是等邊三角形；②△ABP≌△CBP；③∠DBP＝90°；④∠BDA+∠BPA＝210°．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①利用等邊三角形的性質(zhì)求出∠BAC＝60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAP＝∠BAC＝60°，AD＝AP，即可解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BC，又因?yàn)锽P是公共邊，所以只要判斷出AP與CP的關(guān)系即可判斷；③利用①的結(jié)論可得AP＝DP，DB＝PC，再根據(jù)已知AP2＝BP2+CP2，可以證明△DBP是直角三角形，即可判斷；④因?yàn)椤螪AP＝60°，∠DBP＝90°，再利用四邊形內(nèi)角和即可求出∠ADB+APB＝210°，從而進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝BC，由旋轉(zhuǎn)得：∠DAP＝∠BAC＝60°，AD＝AP，DB＝PC，∴△ADP是等邊三角形，故①正確；∵AB＝BC，BP＝BP，AP≠CP，∴△ABP與△CBP不能全等，故②錯(cuò)誤；∵△ADP是等邊三角形，∴AP＝DP，∵AP2＝BP2+CP2，∴DP2＝BP2+DB2，∴△DBP是直角三角形，∴∠DBP＝90°，故③正確；∵∠DBP＝90°，∠DAP＝60°，∴∠ADB+∠APB＝360°﹣∠DBP﹣∠DAP＝210°，故④正確；∴①③④正確，故選：C．4．（2022秋?遵義期末）如圖，已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝3，矩形GBEF是由矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點(diǎn)H為CD邊上一點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形ABHD沿BH折疊得到四邊形A'BHD'，當(dāng)點(diǎn)A'恰好落在EF上時(shí)，DH的長是（）A． B． C． D．【分析】連接A′G，根據(jù)折疊性質(zhì)求得A′B，再由勾股定理求得A′E，進(jìn)而依次求得A′F，A′G，D′G，設(shè)DH＝x，在Rt△CHG中，由勾股定理列出方程求得結(jié)果便可．【詳解】解：由折疊知，AB＝A′B＝5，∴A′E＝，∴A′F＝EF﹣A′E＝5﹣4＝1，連接A′G，∴A′G＝，∴D′G＝，設(shè)DH＝x，則GH＝x﹣1，CH＝5﹣x，在Rt△CHG中，CG＝BG﹣BC＝5﹣3＝2，由勾股定理得（x﹣1）2﹣（5﹣x）2＝22，解得x＝3.5．∴DH為3.5，故選B．5．（2022秋?荔灣區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形ABCD中，AB＝5cm，以B為圓心，1cm為半徑畫圓，點(diǎn)P是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP′，連接BP′，在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，BP′長度的取值范圍是（5﹣1）cm≤BP′≤（5+1）cm．【分析】通過畫圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)路線為以D為圓心，以1cm為半徑的圓，可知：當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，BP′最??；當(dāng)P′在對(duì)角線BD的延長線上時(shí)，BP′最大．先證明△PAB≌△P′AD，則P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求對(duì)角線BD的長，則得出BP′的長度的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，BP′最?。划?dāng)P′在對(duì)角線BD的延長線上時(shí)，BP′最大．連接BP，①當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，由旋轉(zhuǎn)得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，∴∠PAB+∠BAP′＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠PAB＝∠DAP′，∴△PAB≌△P′AD，∴P′D＝PB＝1cm，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝5cm，由勾股定理得：BD＝5cm，∴BP′＝BD﹣P′D＝5﹣1，即BP′長度的最小值為（5﹣1）cm．②當(dāng)P′在對(duì)角線BD的延長線上時(shí)，同理可得BD＝5cm，∴BP′＝BD+P′D＝（5+1）cm，即BP′長度的最大值為（5+1）cm．∴BP'長度的取值范圍是（5﹣1）cm≤BP′≤（5+1）cm故答案為：（5﹣1）cm≤BP′≤（5+1）cm．6．（2022秋?達(dá)川區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)M為x軸上方一動(dòng)點(diǎn)，且MA＝3，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)構(gòu)造等腰直角三角形BMP，當(dāng)線段AP取最大值時(shí)，AP＝6+3，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2﹣，）或（﹣2﹣）．【分析】如圖，以M為直角頂點(diǎn)，MA為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形AMN，連接BN，然后證明根△NMB≌△AMP（SAS），接著得到當(dāng)N，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，BN最大，即AP最大，最好利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，以M為直角頂點(diǎn)，MA為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形AMN，連接BN，由題意AM＝NM，BM＝BP，∠BMP＝∠AMN＝90°，∴∠PMA＝∠NMB，∴△NMB≌△AMP（SAS），∴AP＝BN，當(dāng)N，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，BN最大，即AP最大，此時(shí)∠MAB＝135°，如圖2，過M作MT⊥x軸，垂足為T，∵M(jìn)A＝3，∴AN＝3，∴MT＝AT＝AN＝，∴AP的最大值＝AN+BA＝6+3，∴M（﹣2﹣，），當(dāng)M在x軸下方時(shí)，同上，此時(shí)M'（﹣2﹣，﹣），故答案為：AP的長度最大值為：6+3，M的坐標(biāo)為（﹣2﹣，）或（﹣2﹣，﹣），08旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變換坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）?P（-x，-y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．1．（2022秋?南宮市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在x軸正半軸上，且AC＝4．將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（2，2） D．（4，2）【分析】利用旋轉(zhuǎn)變換的規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：由題意C（2，0），AC＝4，∴將△ABC先繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（2，4），故選：A．2．（2022秋?金華期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，AO＝AB，∠OAB＝120°，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣，3） B．（，0） C．（，3） D．（﹣2，0）【分析】求出B1～B5的坐標(biāo)，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作BH⊥y軸于H，在Rt△ABH當(dāng)中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝1，OH＝OA+AH＝3，由勾股定理得BH＝＝，∵AB＝OA＝2，∠OAB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2BH＝2，∴B（，3），B1（﹣，3），B2（﹣2，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），....，6次一個(gè)循環(huán)，∴2022÷6＝337，∴第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，3），故選：C．3．（2022秋?汕尾期中）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△AOB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），每一次將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△A2OB2，…，依次類推，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為（）A．（﹣22020，﹣×22020） B．（22021，﹣×22021） C．（22020，﹣×22020） D．（﹣22011，﹣×22021）【分析】每旋轉(zhuǎn)6次，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)又回到x軸正半軸，故A2021在第四象限，且OA2021＝22021，畫出示意圖，即可得到答案．【詳解】解：由已知可得：第一次旋轉(zhuǎn)后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋轉(zhuǎn)后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋轉(zhuǎn)后，A3在x軸負(fù)半軸，OA3＝23，第四次旋轉(zhuǎn)后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋轉(zhuǎn)后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋轉(zhuǎn)后，A6在x軸正半軸，OA6＝26，.....．如此循環(huán)，每旋轉(zhuǎn)6次，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)又回到x軸正半軸，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意圖如下：OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，∴A2021（22020，﹣×22020），故選：C．09幾何變換綜合問題1．（2022秋?商河縣期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．點(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DE，連接AD、BE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是BE＝AD；直線BE與AD相交所成的銳角的度數(shù)是60°．（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，①（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)BE∥AC，AB＝8，AD＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出△DCE的面積．【分析】（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），可得BE＝AD，延長AD、BE相交于點(diǎn)F，利用等量代換求出∠F＝60°；（2）①設(shè)直線BE交AD于點(diǎn)N，AD交EC于點(diǎn)M，證明△ACD∽△BCE，可得，利用等量代換求出∠N＝45°；②分兩種情況：當(dāng)D點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥BC交于點(diǎn)H，由①可知，＝2，由BE∥AC，可得△BEH是等腰直角三角形，求出BH＝EH＝，從而得到HC＝5，在Rt△EHC中，用勾股定理得EC＝2，再求△CDE的面積即可；當(dāng)點(diǎn)D在△ABC的外部時(shí)，過點(diǎn)E作EK⊥BC交延長線于點(diǎn)K，同理可求．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵CD＝DE，∠CDE＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAD＝∠CBE，延長AD、BE相交于點(diǎn)F，∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°，∴∠BAD+∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠F＝180°﹣60°﹣60°＝60°；故答案為：BE＝AD，60°；（2）①不成立，理由如下：設(shè)直線BE交AD于點(diǎn)N，AD交EC于點(diǎn)M，當(dāng)α＝90°時(shí)，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴，同理可得，，∴，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA，∴△ACD∽△BCE，∴，∴，∵∠CDA＝∠CEB，∴∠EDN+∠CEN＝90°，∵∠DEC＝45°，∴∠N＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴直線BE與直線AD相交所成的銳角的度數(shù)是45°，∴，直線BE與AD相交所成的銳角的度數(shù)是45°；②當(dāng)D點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥BC交于點(diǎn)H，由①可知，，∵，∴BE＝2，∵BE∥AC，∠ACB＝45°，∴∠EBH＝45°，∴BH＝EH＝，∵AB＝8，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝8，∴HC＝7，在Rt△EHC中，EC＝＝10，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE＝5，∴S△CDE＝5×5＝25；當(dāng)點(diǎn)D在△ABC的外部時(shí)，過點(diǎn)E作EK⊥BC交延長線于點(diǎn)K，同理可得BK＝EK＝，∴CK＝9，在Rt△ECK中，EC＝2，∴CD＝ED＝2，∴S△CDE＝2×2＝42；綜上所述：△DCE的面積是42或25．2．（2022秋?中原區(qū)期末）已知，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們公共的直角頂點(diǎn)，如圖1，D，E分別在BC，AC邊上，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接CF．（1）求證：△ACD≌△BCE．（2）請(qǐng)猜想AD與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，將△ABC固定不動(dòng)，△DEC由圖1位置繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角∠BCD＝α，（0°＜a＜90°），旋轉(zhuǎn)過程中，其他條件不變．試判斷，AD與CF的關(guān)系是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)說明理由；若改變，請(qǐng)求出相關(guān)正確結(jié)論．【分析】（1）利用等腰直角三角形得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，即可得出結(jié)論；（2）由△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，再判斷出CF＝BE，得出AD＝2CF，判斷出∠CAD＝∠BCF，進(jìn)而得出∠ACF+∠CAD＝90°，即可得出結(jié)論；（3）延長CF至G使FG＝CF，連接BG，EG，則CF＝CG，再判斷出四邊形BCEG是平行四邊形，得出AG＝CE，∠CEG＝∠GBC，EG∥CB，進(jìn)而判斷出∠ACD＝∠CEG，得出△ACD≌△CBG（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：AD＝2CF，CF⊥AD；理由：由（1）知，△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，在Rt△BCE中，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，∴CF＝BE，∴CF＝AD，即AD＝2CF；在Rt△BCE中，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，∴∠CAD＝∠BCF，∵∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠ACF+∠CAD＝90°，∴CF⊥AD；（3）解：AD與CF的關(guān)系不變，仍然為AD＝2CF，AD⊥CF，理由：如圖2，延長CF至G使FG＝CF，連接BG，EG，則CF＝CG，∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，∴BF＝EF，∴四邊形BCEG是平行四邊形，∴BG＝CE，∠CEG＝∠GBC，EG∥CB，∵AC⊥BC，∴EG⊥AC，∴∠ACE+∠CEG＝90°，∴∠CEG＝90°﹣∠ACE＝90°﹣α，由旋轉(zhuǎn)知，∠BCD＝∠ACE＝α，∴∠ACD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∴∠ACD＝∠CEG，∵CD＝CE，CE＝AG，∴CD＝AG，∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBG（SAS），∴∠CAD＝∠BCG．AD＝CG，∴AD＝2CF，延長AD交CG于H，∵∠BCG+∠ACG＝90°，∴∠CAD+∠ACG＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AD⊥CF．3．（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，在∠BAC內(nèi)作射線AP（∠BAP＜30°），點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，作射線CD交AP于點(diǎn)E，連接BE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）設(shè)∠BAP＝α，求∠BCE的大小（用含α的代數(shù)式表示）；（3）用等式表示EA，EB，EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）先得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再得出∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，進(jìn)而得出∠CAD＝60°﹣2α，AD＝AC，得出∠ACD＝60°+α，即可得出結(jié)論；（3）如圖2，在EA上取一點(diǎn)F，使EF＝EB，先判斷出△BEF是等邊三角形，得出BF＝BE，∠EBF＝60°，再判斷出△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，∴∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠DAP＝60°﹣2α，AD＝AC，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACB＝α；（3）EA＝EB+EC，證明：如圖2，在EA上取一點(diǎn)F，使EF＝EB，由（2）知，∠ACD＝60°+∠BAP，∵∠CAE＝60°﹣∠BAP，∴∠ACD+∠CAE＝120°，∴∠AEC＝60°，由折疊知，∠AEB＝∠AEC＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BF＝BE，∠EBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠ABF＝∠CBE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝CB，由（2）知，∠BAP＝∠BCE，∴△ABF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE，∴EA＝EF+AF＝EB+CE．4．（2023?臨川區(qū)校級(jí)一模）旋轉(zhuǎn)變換在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用．特別是在解（證）有關(guān)等腰三角形、正三角形、正方形等問題時(shí)，更是經(jīng)常用到的思維方法，請(qǐng)你用旋轉(zhuǎn)交換等知識(shí)，解決下面的問題．如圖1，△ABC與△DCE均為等腰直角三角形，DC與AB交于點(diǎn)M，CE與AB交于點(diǎn)N．（1）以點(diǎn)C為中心，將△ACM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′CM′（2）在（1）的基礎(chǔ)上，證明AM2+BN2＝MN2．（3）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD＝3，則對(duì)角線AC的長度為多少？（直接寫出結(jié)果即可，但在圖中保留解決問題的過程中所作輔助線、標(biāo)記的有關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)等）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形即可；（2）連接M'N，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（3）將△ADC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AC'D'，連接C'C，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：（1）旋轉(zhuǎn)后的△A'CM'如圖1所示：（2）連接M'N，∵△ABC與△DCE為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∠ACM+∠BCN＝45°，∵△BCM'是由△ACM旋轉(zhuǎn)得到的，∴∠BCM'＝∠ACM，CM＝CM'，AM＝BM'，∠CBM'＝∠A＝45°，∴∠M'CN＝∠MCN＝45°，∠NBM'＝90°，∵CN＝CN，在△MCN與△M'CN中，，∴△MCN≌△M'CN（SAS），∴MN＝M'N，在Rt△BM'N中，根據(jù)勾股定理得：M'N2＝BN2+BM'2，∴MN2＝AM2+BN2；（3）如圖2，將△ADC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AC'D'，連接C'C，則△AC'C是等腰直角三角形，C'D＝3，∵∠C'＝∠ACB＝45°，∴C'，D'，B，C均在同一直線上，在△DAB與△D'AB中，，∴△DAB≌△D'AB（SAS），∴DB＝D'B，在Rt△BCD'中，∵BC＝4，CD＝3，∴DB＝5，∴CC'＝12，∴AC＝6．5．（2022?興慶區(qū)校級(jí)一模）已知：如圖，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)．速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．過點(diǎn)Q作QM∥BE，交AD于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN∥BC，交CD于點(diǎn)N．分別連接PQ，PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列各題：（1）當(dāng)PQ⊥BD時(shí)，求t的值；（2）設(shè)五邊形PMDNQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）證明△BPQ∽△BDA，則＝，即＝，求出t的值即可；（2）過點(diǎn)P作PO⊥QM交QM于點(diǎn)O，證明△DQM∽△DBE，可得＝，即＝，求出，再證明△NDQ∽△CDB，可得＝＝，即＝＝，求出DN＝t，QN＝t，再由S五邊形PMDNQ＝S四邊形DQPM+S△DNQ＝AD?QM+QN?ND＝t2+t，即可求S與t的函數(shù)關(guān)系式是S＝t2+t．【詳解】解：（1）由題意可得，BP＝t，DQ＝t，在矩形AB