中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點練習(xí)考向34 最值問題（“將軍飲馬”和“費馬點”）（含答案詳解）

試卷第=page44頁，共=sectionpages55頁考向34最值問題（“將軍飲馬”和“費馬點”）【考點梳理】“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．【抽象模型】如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最?。俊灸Ｐ徒馕觥孔鼽cA關(guān)于直線的對稱點A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點共線的時候，PA’+PB=A’B，此時為最小值（兩點之間線段最短）一：兩定一動模型模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點A、B在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點P，使PA＋PB最小．連接AB交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得PA＋PB最?。鼽cB關(guān)于直線l的對稱點B'，連接AB'交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB'當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得最大．連接AB并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．的最大值為AB當(dāng)兩定點A、B在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點P，使得最大．作點B關(guān)于直線I的對稱點B'，連接AB'并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．的最大值為AB'當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得最小．連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點P，點P即為所求作的點．的最小值為0二：一定兩動模型模型作法結(jié)論點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得△PCD周長最?。謩e作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．△PCD周長的最小值為P′P″點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得PD＋CD最?。鼽cP關(guān)于OB的對稱點P′，過P′作P′C⊥OA交OB于D，點C、點D即為所求．PD＋CD的最小值為P′C二：“費馬點”指的是位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距高之和最短的點。主要分為兩種情況：（1）當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點之間線段最短解決問題。（2）當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于120°時，費馬點就是此內(nèi)角的頂點.費馬點問題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上利用兩點之間線段最短求解問題模型展示：如圖，在△ABC內(nèi)部找到一點P，使得PA＋PB＋PC的值最小.當(dāng)點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120o，則PA＋PB＋PC的值最小，P點稱為三角形的費馬點.特別地，△ABC中，最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）費馬點的性質(zhì)：1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。最值解法：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值。證明過程：將△APC邊以A為頂點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當(dāng)B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE【題型探究】題型一：將軍飲馬1．如圖1，正方形中，點是的中點，點是對角線上的一個動點，設(shè)，，當(dāng)點從向點運動時，與的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點是函數(shù)圖象的最低點，則點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．如圖，如圖，的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為，點是上的任意一點，，，與x軸分別交于A，B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．3題型二：費馬點4．如圖，在中，，P是內(nèi)一點，求的最小值為______．5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=________．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點B的坐標(biāo)為(0，2)，點在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點的拋物線與軸相交于、兩點（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點M、N在線段AE上，求AE及的長；（3）點為△內(nèi)的一個動點，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長.【必刷好題】一、單選題7．如圖，中，，點P為AC邊上的動點，過點P作于點D，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．8．如圖，為正方形邊上一點，，，為對角線上一個動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．109．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．510．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A． B． C． D．11．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為

邊上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°二、填空題12．如圖，菱形草地中，沿對角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點，在線段BD上有一個流動飲水點，若要使的距離最短，則最短距離是_____米．13．如圖，在等邊中，于，．點分別為上的兩個定點且，點為線段上一動點，連接，則的最小值為______．14．如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．15．如圖，在中，，，點在直線上，，點為上一動點，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r，的度數(shù)為__________度．16．如圖，在中，，，，垂直平分，點P為直線上任意一點，則的最小值是______．三、解答題17．如圖，正方形的邊長為4，點是正方形內(nèi)部一點，求的最小值．18．如圖，在中，，斜邊，經(jīng)過原點O，點C在y軸的正半軸上，交x軸于點D，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)點P為直線上一動點，求的最小值．19．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求最小值20．在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補充完整（無需寫畫法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．21．在中，，為延長線上一點，點為線段，的垂直平分線的交點，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時，則______°；(2)當(dāng)時，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點，滿足．為直線上一動點．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．22．在棋盤中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中處各有一顆棋子．(1)如圖1，依次連接A，B，C，A，得到一個等腰三角形（BC為底邊），請在圖中畫出該圖形的對稱軸．(2)如圖2，現(xiàn)x軸上有兩顆棋子P，Q，且（P在Q的左邊），依次連接A，P，Q，B，使得的長度最短，請在圖2中標(biāo)出棋子P，Q的位置，并寫出P，Q的坐標(biāo)．參考答案：1．A【分析】根據(jù)圖像，當(dāng)P與C重合時，PB+PE=9即CB+CE=9，從而確定正方形的邊長為6，根據(jù)將軍飲馬河原理，連接DE交AC于點G，當(dāng)點P與點G重合時，PE+PB最小，且為DE的長即點M的縱坐標(biāo)，利用相似三角形，計算AG的長即為橫坐標(biāo)．【詳解】如圖，根據(jù)圖像，當(dāng)P與C重合時，PB+PE=9即CB+CE=9，∵點E是BC的中點，∴BC=6，連接DE交AC于點G，當(dāng)點P與點G重合時，PE+PB最小，且為DE的長即點M的縱坐標(biāo)，∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴CE∥AD，AC=，DE=，∴△CGE∽△AGD，∴，∴，∴AG=，故點M的坐標(biāo)為（，），故A正確．故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖像信息的獲取，將軍飲馬河原理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運用三角形相似，構(gòu)造將軍飲馬河模型求解是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】由中知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當(dāng)點位于位置時，取得最小值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接，，，，，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當(dāng)點位于位置時，取得最小值，過點作軸于點，則、，，又，，，故選：D．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時點的位置．3．A【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當(dāng)直線l⊥AC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．【分析】將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時當(dāng)B、P、F、D四點共線時，的值最小，最小值為BD的長；根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=∴，∴當(dāng)B、P、F、D四點共線時，的值最小，最小值為BD的長；∵，∠CAD=，∴∠EAD=，∴，∴，∴，∴，∴的值最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線段的長轉(zhuǎn)化到一條直線上．5．【分析】如圖1，將△BQC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，當(dāng)點A，點Q，點N，點M共線時，QA+QB+QC值最小，此時，如圖2，連接MC，證明AM垂直平分BC，證明AD=BD，此時P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論．【詳解】解：如圖1，將△BQC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等邊三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴當(dāng)點A，點Q，點N，點M共線時，QA+QB+QC值最小，此時，如圖2，連接MC∵將△BQC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此時P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運用等邊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．6．(1)

(2)；或

（3）可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時，線段的長為【分析】（1）已知點B的坐標(biāo)，可求出OB的長；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通過解直角三角形即可求得OD的長，也就得到了點D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點，根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可得到E點的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，由此確定拋物線的解析式；（2）過E作EG⊥x軸于G，根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長；過O作AE的垂線，設(shè)垂足為K，易證得△AOK∽△AEG，通過相似三角形所得比例線段即可求得OK的長；在Rt△OMK中，通過解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長；（3）由于點P到△ABO三頂點的距離和最短，那么點P是△ABO的費馬點，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易證得△OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE的長；求AP的長時，可作△OBE的外接圓（設(shè)此圓為⊙Q），那么⊙Q與AE的交點即為m取最小值時P點的位置；設(shè)⊙Q與x軸的另一交點（O點除外）為H，易求得點Q的坐標(biāo)，即可得到點H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長，相對于⊙Q來說，AE、AH都是⊙Q的割線，根據(jù)割線定理（或用三角形的相似）即可求得AP的長．【詳解】（1）過E作EG⊥OD于G∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，∵點B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD＝2；∵E為BD中點，∴=∴EG=1，GD＝∴OG＝∴點E的坐標(biāo)為(，1)∵拋物線經(jīng)過、兩點，∴.可得.∴拋物線的解析式為.（2）∵拋物線與軸相交于、，在的左側(cè)，∴點的坐標(biāo)為.過E作EG⊥x軸于G∴,∴在△AGE中，,.過點作⊥于，可得△∽△．∴．∴．∴∴.∵△是等邊三角形,∴．∴．∴,或

（3）如圖；以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；連接OO′、BB′、AE，它們的交點即為m最小時，P點的位置（即費馬點）；∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO=∠AEO；∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∴∠POP'=60°，∴△POP′為等邊三角形，∴OP=PP′，∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；即m最小=AE=如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，根據(jù)費馬點的性質(zhì)知∠BPO=120°，則∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；即B、P、O、E四點共圓；易求得Q（，1），則H（，0）；∴AH=；由割線定理得：AP?AE=OA?AH，即：AP=OA?AH÷AE=×÷=故：可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時，線段的長為【點睛】此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及費馬點位置的確定和性質(zhì)，能力要求極高，難度很大．7．B【分析】作點B關(guān)于的對稱點，過點作于點D，交于點P，點P即為所求作的點，此時有最小值，連接，根據(jù)對稱性的性質(zhì)，可知：，，根據(jù)，即可求出的最小值．【詳解】解：如下圖，作點B關(guān)于的對稱點，過點作于點D，交于點P，連接，點P即為所求作的點，此時有最小值，根據(jù)對稱性的性質(zhì)，可知：，在中，，，根據(jù)對稱性的性質(zhì)，可知：，，即，，，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．8．A【分析】連接交于P點，根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長，求出的長即可.【詳解】連接，交于P點∵四邊形為正方形∴A點和C點關(guān)于對稱根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長.∵，∴的最小值為5故選：A

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，這是一個將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性質(zhì)并且能夠識別出將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.9．D【分析】由正方形的對稱性可知點B與D關(guān)于直線AC對稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關(guān)于直線AC對稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當(dāng)B、N、M共線時，DN+MN有最小值，則BM的長即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出D關(guān)于直線AC的對稱點，由軸對稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對稱點是點B是解答此題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”，當(dāng)G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長．【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點之間線段最短”，∴當(dāng)G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．D【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時點P的位置．12．50【分析】作關(guān)于的對稱點，連接，交于，連接，當(dāng)點與重合時，的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出長，即可得出答案．【詳解】解：作關(guān)于的對稱點，連接，交于，連接，當(dāng)點與重合時，的值最小，四邊形是菱形，，，即在上，，，為中點，為中點，為中點，四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，設(shè)與的交點為點，四邊形是菱形，，米，米，米，的最小值是50米．故答案為：50．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出的位置．13．【分析】如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，且點在上，則，當(dāng)在同一條直線上時，有最小值，證明四邊形是平行四邊形，，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，∵是等邊三角形，，∴，∴點在上，∴，則，當(dāng)在同一條直線上時，有最小值，∵點關(guān)于的對稱點，，∴，，∴，∴是等邊三角形，即，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查動點與等邊三角形，對稱—最短路徑，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，理解并掌握等邊三角形得性質(zhì)，對稱—最短路徑的計算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．【分析】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，如圖，則△BCM≌△BEN，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到CM=NE，進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點共線時取最小值A(chǔ)E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BH⊥AE，AH=EH，根據(jù)30°直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點共線時取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．難度比較大．作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．15．【分析】如圖，作B關(guān)于的對稱點D，連接，的值最小，則交于P，由軸對稱易證，結(jié)合證得是等邊三角形，可得，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出，即可解決問題．【詳解】如圖，作B關(guān)于的對稱點D，連接，的值最小，則交于P，由軸對稱可知：，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運用，會利用最短路徑解決最值問題是解答的關(guān)鍵．16．4【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，可得當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，有最小值，最小值為的長．【詳解】解：連接．∵是的垂直平分線，∴，∴，∴當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，有最小值，最小值為．故答案為：4．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，明確線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．17．【分析】延長到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．先證明，可得，再證明，可得：，從而得到，計算出的長度即可．【詳解】解：延長到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．，，，，，，，，，，，，，的值最小，最小值為．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費馬點問題，利用相似構(gòu)造與，根據(jù)系數(shù)將圖形擴大或縮小構(gòu)建圖形是解決問題的關(guān)鍵．18．(1)(2)【分析】（1）過點A作軸于點E，根據(jù)題意可得A、B關(guān)于原點對稱，再由直角三角形的性質(zhì)可得，再由平行線分線段成比例可得，然后根據(jù)勾股定理求出，可得到點A的坐標(biāo)，即可求解；（2）延長至點F，使得，連接交直線于點P，連接，可得垂直平分，從而得到，再由“兩點間線段最短”可得的最小值為線段的長，然后根據(jù)A、B關(guān)于原點對稱，可得，可求出點F的坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】（1）解：如圖①，過點A作軸于點E，∵經(jīng)過原點O，∴A、B關(guān)于原點對稱，∴O為的中點，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點A的坐標(biāo)為，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：如圖②，延長至點F，使得，連接交直線于點P，連接，∵，，∴垂直平分，∴，∴，由“兩點間線段最短”可得的最小值為線段的長，由（1）得A、B關(guān)于原點對稱，∴，∵C為線段的中點，∴，，即，，解得，，∴點F的坐標(biāo)為，∴，即的最小值為．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，平行線分線段成比例，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．19．【分析】將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴大倍，得到△，當(dāng)點B、P、、在同一直線上時，=最短，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴大，相似比為倍，得到△，則，，，過點P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，當(dāng)點B、P、、在同一直線上時，=最短，此時=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．∴=B=【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費馬點問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點共線的知識求解，有時根據(jù)系數(shù)將圖形擴大或縮小構(gòu)建圖形．20．（1）①補圖見解析；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；②首先證明∠ECF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解決問題；（2）如圖2中，將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．根據(jù)兩點之間線段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長；【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠A