2024-2025學年上海市黃浦區(qū)高三上10月月考數(shù)學檢測試題（含答案）

2024-2025學年上海市黃浦區(qū)高三上10月月考數(shù)學檢測試題一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={4,5},則A=2．函數(shù)的定義域為．3．橢圓的焦距為．4.已知負實數(shù)a、b滿足ab=2,則a+b的最大值為.5．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側面積為．6.二項式x2?2x67．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則此三角形的最大內角的度數(shù)等于．8.設向量a、b滿足a=1，2，b=3，4，則9．若曲線y＝e﹣x上點P處的切線平行于直線2x+y+1＝0，則點P的坐標是．10．設a為實常數(shù)，y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為．11.設y=gx，x∈R是以1為周期的函數(shù)，fx=2x?gx則函數(shù)y=fx，x∈0,5的值域為12．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n﹣1，記bm為{an}在區(qū)間[m，2m）（m∈N，m＞0）內項的個數(shù)，則使得不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值為．二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13.“x>1”是1x<1”的().A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件14．已知m，n為實數(shù)，2+i（i為虛數(shù)單位）是關于x的方程x2﹣mx+n＝0的一個根，則m+n＝（）A．9B．7 C．5 D．415．已知函數(shù)f(x)=3sin2x+cos2x．若存在t1，t2∈?π,2π，使得A．π2B．πC．3π216．在平面直角坐標系中，定義dA,B=maxx1?又設點P與直線l上任意一點Q，稱d(P,Q)的最小值為點P與直線l間的“切比雪夫距離”，記作dP,l給定下列兩個命題：①已知點P3,1，直線l:2x?y?1=0，則d(P,l)=43；②定點F動點Px,y滿足dP,F1?dP,F2=2aA．命題①成立，命題②不成立B．命題①不成立，命題②成立C．命題①②都成立D．命題①②都不成立三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，PD＝DC＝1，直線PB與平面ABCD所成的角為．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）求異面直線AM與PC所成的角的大?。?8.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)已知函數(shù)f求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調減區(qū)間；(2)若x∈0，19．為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某學校開展了航天知識競賽活動，共有100人參加了這次競賽，已知所有參賽學生的成績均位于區(qū)間[50，100]，將他們的成績分成五組，依次為[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．求出a的值，并用各區(qū)間的中間值估計這100人的競賽成績的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競賽成績在[80，100]（即第四、五組內）的學生中抽取了12人作為航天知識宣講使者．現(xiàn)從這12名使者中隨機抽取1人作為組長，求這名組長的競賽成績在[90，100]內的概率．20．已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1與橢圓Γ交于不同的兩點A、B，△AF1B的周長為12.(1)求橢圓Γ的方程；(2)求△A與坐標軸都不垂直的直線l與橢圓交于M、N兩點，在x軸上是否存在一定點P，使PF2恰為21．對于函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y'＝f'（x），若在其定義域內存在實數(shù)x0和t，使得f（x0+t）＝（t+1）?f'（x0）成立，則稱y＝f（x）是“躍點”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y＝f（x）的“t躍點”．（1）若函數(shù)y＝sinx﹣m（x∈R）是“躍點”函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)y＝x2﹣ax+1是定義在（﹣1，3）上的“1躍點”函數(shù)，且在定義域內存在兩個不同的“1躍點”，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝ex+bx（x∈R）是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內恰存在一個“1躍點”，求實數(shù)b的取值范圍．2024-2025學年上海市黃浦區(qū)高三上10月月考數(shù)學檢測試題一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={4,5},則A=1，2，32．函數(shù)的定義域為（﹣3，2）．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得到關于x的不等式，解不等式即可求出函數(shù)的定義域．【詳解】由題意得：＞0，解得：﹣3＜x＜2，故函數(shù)的定義域是（﹣3，2），故（﹣3，2）．【點晴】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查對數(shù)函數(shù)的性質，是基礎題．3．橢圓的焦距為．【分析】根據(jù)橢圓的基本性質計算可得．【詳解】因為橢圓方程可化為，所以a2＝11，b2＝3，則c2＝a2﹣b2＝8，所以，則焦距為．故．【點晴】本題考查橢圓的幾何性質，屬基礎題．4.已知負實數(shù)a、b滿足ab=2,則a+b的最大值為-22.5．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側面積為2π．【分析】利用圓錐的結構特征和側面積公式直接求解．【詳解】∵圓錐的底面半徑為1，母線長為2，∴該圓錐的側面積為S＝πrl＝π×1×2＝2π．故2π．【點晴】本題考查圓錐的結構特征和側面積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6.二項式x2?2x【詳解】二項式x2?2x6的通項公式為Tr+1則展開式中常數(shù)項為C67．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則此三角形的最大內角的度數(shù)等于．【分析】直接利用正弦定理，轉化角為邊的關系，利用大邊對大角，余弦定理可求cosC的值，結合C的范圍即可得解．【詳解】∵sinA：sinB：sinC＝3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c＝3：5：7，∴C為最大角，a＝，b＝，∴由余弦定理可得：cosC＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．故．【點晴】本題考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了三角形的解法，考查計算能力，屬于基礎題．8.設向量a、b滿足a=1，2，b=3，4，則a在b方向上的投影向量是9．若曲線y＝e﹣x上點P處的切線平行于直線2x+y+1＝0，則點P的坐標是（﹣ln2，2）．【分析】先設P（x，y），由求導公式求出函數(shù)的導數(shù)，由在點P處的切線與直線2x+y+1＝0平行，求出x并代入解析式求出y．【詳解】設P（x，y），由題意得y＝e﹣x，∵y′＝﹣e﹣x在點P處的切線與直線2x+y+1＝0平行，∴﹣e﹣x＝﹣2，解得x＝﹣ln2，∴y＝e﹣x＝2，故P（﹣ln2，2）．故（﹣ln2，2）．【點晴】本題考查了導數(shù)的幾何意義，即點P處的切線的斜率是該點出的導數(shù)值，以及切點在曲線上和切線上的應用．10．設a為實常數(shù)，y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為．【分析】先利用y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)求出x≥0時函數(shù)的解析式，將f（x）≥a+1對一切x≥0成立轉化為函數(shù)的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范圍．【詳解】因為y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以當x＝0時，f（x）＝0；當x＞0時，則﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣9x﹣+7，因為y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（x）＝9x+﹣7；因為f（x）≥a+1對一切x≥0成立，所以當x＝0時，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；當x＞0時，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因為9x+﹣7≥2＝6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故．【點晴】本題考查函數(shù)解析式的求法；考查解決不等式恒成立轉化成求函數(shù)的最值；利用基本不等式求函數(shù)的最值．11.設y=gx，x∈R是以1為周期的函數(shù)，fx=2x?gx則函數(shù)y=fx，x∈0，11．14,16.【分析】設x∈1,2，則x+1∈2,3，推導出fx+1同理可求得函數(shù)fx在0,1、3,4、4,5上的值域，綜合可得函數(shù)fx在【詳解】設x∈1,2，則x+1∈2,3，所以，fx∈12,2，故函數(shù)fx在1,2上的值域為12,2，同理，fx為2,8，fx在4,5上的值域為4,16.因此，函數(shù)y=fx，x∈0,5的值域為112．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n﹣1，記bm為{an}在區(qū)間[m，2m）（m∈N，m＞0）內項的個數(shù)，則使得不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值為13．【分析】（1）根據(jù)m≤2n﹣1＜2m，得，代入即可得解；（2）根據(jù)m≤2n﹣1＜2m，得，對m分奇偶討論即可得解．【詳解】令m≤2n﹣1＜2m，得，當m為奇數(shù)時，，當m為偶數(shù)時，，當m為奇數(shù)時，，即2m﹣1＞2063，因為211＜2063＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，因為m為奇數(shù)，所以m的最小值為13；當m為偶數(shù)時，，因為211＜2062＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，因為m為偶數(shù)，所以m的最小值為14．綜上所述，m的最小值為13．故13．【點晴】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學生的運算能力，屬于中檔題．二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13.“x>1”是1x<1”的((A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)既非充分也非必要條件14．已知m，n為實數(shù)，2+i（i為虛數(shù)單位）是關于x的方程x2﹣mx+n＝0的一個根，則m+n＝（）A．9 B．7 C．5 D．4【分析】根據(jù)實系數(shù)方程虛根必共軛，求出另外一個根，利用韋達定理進行求解即可．【詳解】∵2+i（i為虛數(shù)單位）是關于x的方程x2﹣mx+n＝0的一個根，∴2﹣i（i為虛數(shù)單位）也是關于x的方程x2﹣mx+n＝0的一個根，則m＝2+i+2﹣i＝4，n＝（2+i）（2﹣i）＝4+1＝5，則m+n＝4+5＝9，故選：A．【點晴】本題主要考查復數(shù)的基本運算，利用實系數(shù)一元二次方程的根任然滿足韋達定理進行判斷是解決本題的關鍵，是基礎題．15．已知函數(shù)f(x)=3sin2x+cos2x．若存在t1，t2∈?π,2π，使得A．π2B．πC．3π215．D【分析】由題意可知ft1=2，ft2=2或者ft1=?2，ft2=?2，即可求解.【詳解】由f(x)=32x+π6=2kπ?π2，分別得到x=kπ+π6，x=k得t1?t16．在平面直角坐標系中，定義dA,B=maxx1?又設點P與直線l上任意一點Q，稱d(P,Q)的最小值為點P與直線l間的“切比雪夫距離”，記作dP,l給定下列兩個命題：①已知點P3,1，直線l:2x?y?1=0，則d(P,l)=43；②定點F動點Px,y滿足dP,F1?dP,F2=2aA．命題①成立，命題②不成立B．命題①不成立，命題②成立C．命題①②都成立D．命題①②都不成立16．C【分析】對于①，設點Q是直線l:2x?y?1=0上一點，且Qx,2x?1，可得d討論x?3與2x?2的大小，可得距離d，再由函數(shù)的性質，可得最小值；對于②，根據(jù)定義得maxx+c【詳解】對于①，設點Q是直線l:2x?y?1=0上一點，且Qx,2x?1，可得d由x?3≥2x?2，解得?1≤x≤53，即有d(P,Q)=x?3，當x=5解得x>53或x<?1，即有d(P,Q)=2x?2，d(P,Q)綜上可得，P，Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為43.故①正確；對于②，定點F1(?c,0)、F滿足dP,F1曲線關于原點對稱，故不妨設x≥0，y≥0；當x+c≥yx?c≥y時，有x+c?x?c=2a，得：x=a0≤y≤a?c；當有x+c?y=2a，a<x；則點P的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.結合圖像可知，點P的軌跡與直線y=k（k為常數(shù)）有且僅有2個公共點，因此②正確，故選：C.“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解，對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好基礎知識，以不變應萬變才是制勝法寶.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，PD＝DC＝1，直線PB與平面ABCD所成的角為．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）求異面直線AM與PC所成的角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)線面角的定義，錐體的體積公式即可求解；（2）將兩異面直線平移成相交直線，再結合解三角形知識即可求解．【詳解】（1）∵PD⊥底面ABCD，∴直線PB與平面ABCD所成的角為∠PBD＝，又PD＝1，∴DB＝，又底面ABCD是矩形，且DC＝1，∴BC＝，∴四棱錐P﹣ABCD的體積為；（2）取AD的中點N，連接NC，NP，又M為BC中點，∴AN＝DN＝MC＝，且AN∥MC，∴四邊形AMCN為平行四邊形，∴AM∥NC，∴直線AM與PC所成的角即為NC與PC所成的角，即直線AM與PC所成的角為∠PCN＝θ或其補角，又NP＝NC＝，又PC＝，∴cosθ＝，∴θ＝arccos，∴異面直線AM與PC所成的角的大小為arccos．【點晴】本題考查線面角的定義，錐體的體積公式，兩異面直線所成角，屬基礎題．18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)已知函數(shù)f求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調減區(qū)間；(2)若x∈0，【詳解】（1）=sin2x+3cos2x=2sin由π2+2kπ≤2x+π（2）因為x∈0，π2，19．為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某學校開展了航天知識競賽活動，共有100人參加了這次競賽，已知所有參賽學生的成績均位于區(qū)間[50，100]，將他們的成績分成五組，依次為[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．求出a的值，并用各區(qū)間的中間值估計這100人的競賽成績的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競賽成績在[80，100]（即第四、五組內）的學生中抽取了12人作為航天知識宣講使者．現(xiàn)從這12名使者中隨機抽取1人作為組長，求這名組長的競賽成績在[90，100]內的概率．【分析】（1）由頻率之和為解a，由頻率分布直方圖中平均數(shù)的估計方法求解平均數(shù)，即可得出答案；（2）先由分層抽樣的方法確定每層的人數(shù)，然后由古典概率公式計算概率，即可得出答案．【詳解】（1）由題意得（0.015+a+0.035+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.02，這100人的競賽成績的平均數(shù)估計為55×0.15+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.05＝73.5；（2）成績在[80，90]的頻率為0.25，成績在[90，100]的頻率為0.05，則競賽成績在[80，90]，[90，100]兩個組的人數(shù)之比為5：1，采用分層抽樣的方法從中抽取12人，則成績在[80，90]抽得的人數(shù)為人，成績在[90，100]抽得的人數(shù)為人．現(xiàn)從這12名使者中隨機抽取1人作為組長，則這名組長的競賽成績在[90，100]內的概率為．【點晴】本題考查頻數(shù)分布直方圖，考查轉化思想，考查運算能力，屬于基礎題．20．已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1與橢圓Γ交于不同的兩點A、B，△AF1B的周長為12.(1)求橢圓Γ的方程；(2)求△A與坐標軸都不垂直的直線l與橢圓交于M、N兩點，在x軸上是否存在一定點P，使PF2恰為20．(1)x29+y28=1；(2)48217；(3)存在.【分析】（1）由題意可得4a=12，可得a=3，由離心率可求c=1，結合a2=可得S△ABF1（3）設Mx1,y1,Nx2,y2，設l:y=k又橢圓Γ的離心率為13，即ca=13，所以c=1,c2=1，又（2）由（1）得F1?1,0,F21,0，則直線l的方程為由x29+y2所以y1因為S△ABF1=S△AF（3）設Mx1,y1,Nx所以x1+x2=18k所以y1x1即2x1x2?即在x軸上存在一定點P9,0，使PF2注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．對于函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y'＝f'（x），若在其定義域內存在實數(shù)x0和t，使得f（x0+t）＝（t+1）?f'（x0）成立，則稱y＝f（x）是“躍點”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y＝f（x）的“t躍點”．（1）若函數(shù)y＝sinx﹣m（x∈R）是“躍點”函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)y＝x2﹣ax+1是定義在（﹣1，3）上的“1躍點”函數(shù)，且在定義域內存在兩個不同的“1躍點”，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝ex+bx（x∈R）是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內恰存在一個“1躍點”，求實數(shù)b的取值范圍．【分析】（1）求出給定函數(shù)的導數(shù)，再由“躍點”函數(shù)的定義結合三角函數(shù)的性質求得實數(shù)m的范圍即可；（2）根據(jù)“1躍點”函數(shù)的定義，列出方程，求出該方程在（﹣1，3）上有兩個不同的解的實數(shù)a的范圍即可；（3）將問題轉化為方程ex+1+b（x+1）＝2（ex+b），即﹣b＝有一個實數(shù)解，再構造函數(shù)，借助導數(shù)求解作答．【詳解】（1