四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

三臺(tái)中學(xué)2023級(jí)高二上期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷共4頁(yè)；答題卡共4頁(yè)．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫(xiě)清楚，同時(shí)用2B鉛筆將考號(hào)準(zhǔn)確填涂在“考號(hào)”欄目?jī)?nèi)．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．3．考試結(jié)束后將答題卡收回．一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分）1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:C.2.已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則等于（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得.【詳解】由題意，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，故.故選：D.3.我市某所高中每天至少用一個(gè)小時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三年級(jí)的人數(shù)比為，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）A.52 B.48 C.36 D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.故選：C4.若直線l過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線過(guò)第一和第三象限的漸近線互相垂直，則直線l的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線方程寫(xiě)出其漸近線方程，根據(jù)兩直線垂直求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式即得的方程.【詳解】如圖，由可知雙曲線過(guò)第一和第三象限的漸近線方程為：，直線l與之垂直，則直線l的斜率為，又直線l過(guò)點(diǎn)，故直線l的方程為，即.故選：B.5.安排甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生，每個(gè)教室恰好安排一位志愿者，則甲恰好不安排到號(hào)教室的概率為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列出基本事件個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為的三個(gè)教室，每個(gè)教室恰好安排一位志愿者，則有（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），共種，其中甲恰好不安排到號(hào)教室：（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），共種，所以甲恰好不安排到號(hào)教室的概率為.故選：A6.已知直線過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離求解點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)距離最小值即可.

【詳解】由得，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，依題意可知的最小值就是點(diǎn)M到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．故選:B.7.已知，圓，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，分兩圓相內(nèi)切與外切兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算可得.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，若動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，則圓在圓內(nèi)，所以，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且、，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，若動(dòng)圓與圓相外切，所以，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且、，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，綜上可得動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.故選：C8.已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的下頂點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用橢圓的定義及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通過(guò)余弦定理得到與的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】由題意得，，令，則∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故選：A.二、多選題：（本題共3小題，每題6分，共18分）9.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有這9個(gè)數(shù)字（每張卡片上標(biāo)1個(gè)數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過(guò)6”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件．則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件與事件是互斥事件 B.事件與事件是對(duì)立事件C.事件與事件相互獨(dú)立 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率的計(jì)算公式，分別算出事件的概率，然后再根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件及概率的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出答案.【詳解】樣本空間為．因?yàn)?，所以事件與事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；因?yàn)椋允录c事件為對(duì)立事件，故正確；因?yàn)?，所以，即事件與事件相互獨(dú)立，故正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.拋物線的方程為C.直線的方程為 D.【答案】ACD【解析】【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯(cuò)誤；利用斜率坐標(biāo)計(jì)算公式幾何中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤則，．又是的中點(diǎn)，則，所以，即，所以直線方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．11.如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點(diǎn)O是與的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.平面平面【答案】ABD【解析】【分析】A由空間向量加法結(jié)合圖形可判斷選項(xiàng)正誤；B由A結(jié)合空間向量模長(zhǎng)公式可判斷選項(xiàng)正誤；C驗(yàn)證是否為0可判斷選項(xiàng)正誤；D取BC中點(diǎn)為D，連接AD，判斷是否為0，結(jié)合線面垂直的判定定理即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，由圖，，故A正確；對(duì)于B，由A，，故B正確；對(duì)于C，，則與BC不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取BC中點(diǎn)為D，連接AD，則，又由圖可得，注意到,則，又，平面，則平面，又平面，則平面平面，故D正確.故選：ABD三、填空題：（本愿共3小題，每題5分，共15分）12.兩平行直線，的距離為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由兩直線平行求出實(shí)數(shù)的值，再利用平行線間的距離公式可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由于直線與平行，則，整理得，解得.所以，直線的方程為，直線的方程為，即，因此，兩直線間的距離為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩平行直線間距離的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線平行求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知，，，，這個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，，，這個(gè)數(shù)的方差為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由平均數(shù)和方差的計(jì)算求解即可；【詳解】由題意可得，即，所以，，，這個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，所以，即，所以，，，這個(gè)數(shù)的方差為，故答案為：.14.已知圓，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與圓交于點(diǎn)，，若，則________.【答案】6【解析】【分析】利用求出，然后將轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】設(shè)，由于，而，則，所以，．故答案為：6四、解答題：（第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分）15.已知圓C與軸相切，其圓心在軸的正半軸上，且圓被直線截得的弦長(zhǎng)為．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)圓的方程為，再由圓被直線截得的弦長(zhǎng)為求解；（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【小問(wèn)1詳解】由題意設(shè)圓的方程為：，圓心到直線的距離為，則圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，解得，所以圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意得：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以直線方程為，綜上：直線的方程為或.16.在2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬了乒乓球項(xiàng)目全部5枚金牌，國(guó)球運(yùn)動(dòng)再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨(dú)立的.（1）求比賽只需打三局的概率；（2）已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）“比賽只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都獲勝”與“乙前三局都獲勝”的和事件，可按相互獨(dú)立事件積事件的概率與互斥事件和事件的概率求解即可；（2）“甲最終獲勝”是互斥事件“第三局甲勝”、“第三局甲輸?shù)谒木旨讋佟迸c“第三局第四局甲均輸?shù)谖寰旨讋佟钡暮褪录聪嗷オ?dú)立事件積事件的概率與互斥事件和事件的概率求解即可；【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件=“甲前三局都獲勝”，事件=“乙前三局都獲勝”，則，，比賽只需打三局的概率為：.【小問(wèn)2詳解】甲需要打三局概率為：，甲需要打四局的概率為：，甲需要打五局的概率為：，則甲最終獲勝的概率為：.17.高二某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)慷冀橛诿氲矫胫g，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組[13，14），第二組[14，15）,…,第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）若成績(jī)大于等于14秒且小于16秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù)；（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；（3）設(shè)，表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)，已知，∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|﹣|＞2”的概率．【答案】（1）28人；（2）眾數(shù)是，中位數(shù)是15.74；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖能求出成績(jī)?cè)赱14，16）內(nèi)的人數(shù)，由此得到該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù)；（2）由頻率分布直方圖能得出眾數(shù)落在第二組[15，16）內(nèi)，由此能求出眾數(shù)；數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率是0.22＜0.5，數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率是0.6＞0.5，所以中位數(shù)一定落在第三組中，假設(shè)中位數(shù)是，則0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，由此能求出中位數(shù)；（3）成績(jī)?cè)赱13，14）的人數(shù)有2人，成績(jī)?cè)赱17，18）的人數(shù)有3人，事件“|﹣|＞2”等價(jià)于其中一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)?，另一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)，記百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱13，14）內(nèi)的兩個(gè)人為，百米測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)的三個(gè)人為，利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖知成績(jī)?cè)赱14，16）內(nèi)的人數(shù)為：50×0.18+50×0.38＝28人．∴該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù)為28人；（2）由頻率分布直方圖知眾數(shù)落在第三組[15，16）內(nèi)，眾數(shù)是．∵數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，∴中位數(shù)一定落在第三組中，假設(shè)中位數(shù)，則0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，解得＝，∴中位數(shù)是15.74；（3）成績(jī)?cè)赱13，14）的人數(shù)有50×0.04＝2人，成績(jī)?cè)赱17，18）的人數(shù)有50×0.06＝3人，因?yàn)椋硎驹摪鄡蓚€(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)，且，∈[13，14）∪[17，18]，∴事件“|﹣|＞2”等價(jià)于其中一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)冢硪粋€(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)，記百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱13，14）內(nèi)的兩個(gè)人為，百米測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)的三個(gè)人為，則從這個(gè)學(xué)生中任取兩個(gè)，有，，共種情況，其中一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)?，另一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)的有種情況，所以事件“|﹣|＞2”概率為.18.如圖所示，直角梯形中，，四邊形為矩形，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在；2【解析】【分析】（1）根據(jù)條件先判定垂直關(guān)系再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判定線面關(guān)系即可；（2）利用空間向量結(jié)合（1）的結(jié)論計(jì)算面面夾角即可；（3）利用空間向量研究線面夾角計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，平面平面，平面平面，所以，則平面，根據(jù)題意可以以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，易知，，設(shè)平面的法向量，不妨令，則，又，，又平面平面．【小問(wèn)2詳解】由上可知，設(shè)平面的法向量，，令，則，，平面與平面夾角的余弦值為．【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，又平面的法向量，由直線與平面所成角的余弦值為，，，或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，．19.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，過(guò)的左焦點(diǎn)作直線交的左支于A、B兩點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程；（2）若，求的余弦值；（3）若，試問(wèn)：是否存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則雙曲線方程可知；（2）根據(jù)雙曲線的定義求解出，在中利用余弦定理求解出；（3）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直接分析即可，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)出的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，得到橫坐標(biāo)的韋達(dá)