高中數(shù)學同步講義（人教B版2019必修四）第17講 11.1.1空間幾何體與斜二測畫法

.1.1空間幾何體與斜二測畫法TOC\o"1-3"\h\u題型1平面圖形的直觀圖 2◆類型1斜二測畫法辨析 3◆類型2平面圖形的直觀圖的畫法 5◆類型3已知直觀圖畫原圖 9題型2空間幾何體的直觀圖 11題型3直觀圖和原圖的周長和面積 14知識點一.空間幾何體在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.我們?nèi)粘＝佑|到的足球、籃球等，如果只考慮它們的形狀和大小，它們都是球體.還有其他幾何體如長方體，正方體等.知識點二.直觀圖立體幾何中，用來表示空間圖形的平面圖形，習慣上稱為空間圖形的直觀圖，為了使直觀圖具有立體感，經(jīng)常使用斜二測畫法來作直觀圖.知識點三.斜二測畫法1.空間土行動額直觀圖的畫法：斜二測畫法2.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的主要步驟如下：①在已知圖形中取水平平面，作相互垂直的軸Ox，Oy，使∠xOy＝90°；②畫直觀圖時，把軸Ox，Oy畫成對應的軸O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所確定的平面表示水平平面；③已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸．并使它們和所畫坐標軸的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同．④已知圖形中，平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄莓媹D完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了水平放置的平面圖形的直觀圖．3.用斜二測畫法作立體圖形直觀圖的步驟：（1）在立體圖形中取水平平面，在其中取互相垂直的x軸與y軸，作出水平平面上圖形的直觀圖（保留x’軸與y’軸）。（2）在立體圖形中，過x軸與y軸的交點取z軸，并使z軸垂直于x軸與y軸。過x軸與y’軸的交點作z軸對應的z’軸，且z’軸垂直于x’軸。圖形中與z軸平行（或重合）的線段畫成與z軸平行（或重合）的線段，且長度不變。（3）連接有關線段，擦去有關輔助線，并把被面遮擋住的線段改成虛線（或擦除）。注意：水平放置的圓，其直觀圖一般用"正等測畫法"畫成橢圓.題型1平面圖形的直觀圖【方法總結(jié)】（1）在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當?shù)淖鴺讼凳顷P鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點.（2）畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段（平行性不變），與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段.◆類型1斜二測畫法辨析【方法總結(jié)】斜二測畫法中“三變”：坐標軸的夾角改變；與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；圖形改變?！叭蛔儭保浩叫行圆桓淖儯慌cx軸、z軸平行的線段的長度不改變；對位置不改變。【例題1-1】關于“斜二測畫法”,下列說法不正確的是()A．原圖形中平行于x軸的線段,其對應線段平行于軸,長度不變B．原圖形中平行于y軸的線段,其對應線段平行于軸,長度變?yōu)樵瓉淼腃．在畫與直角坐標系對應的坐標系時,必須是45°D．在畫直觀圖時,由于選軸的不同,所得的直觀圖可能不同【答案】C【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則,平行于x軸或在x軸上的線段其長度在直觀圖中不變,平行于y軸或在y軸上的線段其長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?并且或135°,故選：C.【變式1-1】1.利用斜二測畫法畫直觀圖時，下列說法中正確的是（）①兩條相交直線的直觀圖是平行直線；②兩條垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線；③正方形的直觀圖是平行四邊形；④梯形的直觀圖是梯形.A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得兩條相交直線的直觀圖仍然是相交直線，所以①錯；兩條垂直直線的直觀圖是兩條相交但不垂直的直線，所以②錯；根據(jù)直觀圖的畫法中，平行性保持不變，可得③，④正確.故選：B.【變式1-1】2.下列說法正確的是（）A．互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然是互相垂直的兩條直線B．梯形的直觀圖可能是平行四邊形C．矩形的直觀圖可能是梯形D．正方形的直觀圖可能是平行四邊形【答案】D【解析】A項，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定相互垂直,故A項錯誤。B項，原圖形中平行的兩條線段仍然平行，不平行的兩條線段也不會平行，所以梯形的直觀圖不可能為平行四邊形，故B項錯誤。C項，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定仍然相互垂直，但是原圖形相互平行的兩條線段在直觀圖中仍然互相平行，所以矩形的直觀圖中對邊仍然平行，所以矩形的直觀圖可能為平行四邊形而不能為梯形。故C項錯誤。D項，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定仍然相互垂直，但是原圖形相互平行的兩條線段在直觀圖中仍然互相平行，所以正方形中垂直的兩邊不一定仍然垂直，但是對邊仍然平行，所以正方形的直觀圖可能是平行四邊形。故D項正確。選D【變式1-1】3.下列命題中正確的是()A．利用斜二測畫法得到的正方形的直觀圖是正方形B．利用斜二測畫法得到的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺【答案】B【解析】利用斜二測畫法得到的正方形的直觀圖是平行四邊形；利用斜二測畫法得到的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱；用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺；因此B正確，選B.【變式1-1】4.（2023·全國·高一專題練習）（多選）下列說法中正確的有（

）A．畫直觀圖時與x軸、y軸對應的x′軸、y′軸之間的夾角應為45°B．長方體直觀圖的長、寬、高與原長方體的長、寬、高的比例相同C．水平放置的矩形的直觀圖是平行四邊形D．水平放置的圓的直觀圖是橢圓【答案】ACD【分析】利用斜二測畫法規(guī)則，分析判斷選項A，B，C，再判斷選項D作答.【詳解】由斜二測畫法規(guī)則知，選項A，C正確；長方體直觀圖的長、高與原長方體的長、高的比例相同，但在直觀圖中的寬只是原來的一半，B錯誤；水平放置的圓的直觀圖是橢圓，D正確.故選：ACD◆類型2平面圖形的直觀圖的畫法【例題1-2】（2022·高一課時練習）用斜二測畫法畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)斜二測畫法的要求和步驟，寫出畫法并作圖，可得答案.【詳解】（1）如圖1，在正五邊形ABCDE中，以AD所在的直線為x軸，過點E作AD的垂線，以垂線所在的直線為y軸，兩軸交于點O，y軸交BC于點F．如圖2，畫相應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′（2）在圖2中，以O′為A′D′的中點，在x′軸上取A′D以F′為B′C′的中點，作（3）連接A′B′，C′D′，D′便獲得水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′【變式1-2】1.（2023·高一課時練習）直角梯形ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，CD=2cm，AB【答案】等腰三角形【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則，“橫不變，縱減半”畫出平面圖形，即可得出結(jié)果.【詳解】在直角坐標系中，如圖1所示，以A為坐標原點O，作出直角梯形ABCD，如圖2所示，再作出坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，以A′為坐標原點O′，在x軸上作則ABCD水平放置的直觀圖中△ACD故答案為：等腰三角形.【變式1-2】2.畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖.【答案】圖見解析.【解析】由斜二測畫法：縱向減半，橫向不變；即可知A、C在對應點，而B、D對應點位置不變，如下圖示：【變式1-2】3.如圖建立坐標系，得到的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()【答案】C【解析】在A、B、D中，三角形ABC的直觀圖的底面邊長和高均相等，它們是全等的，只有C不全等．【變式1-2】4.（2023·高一課時練習）如圖，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC【答案】圖見解析.【分析】在等腰梯形ABCD中建立平面直角坐標系，再利用“斜二測”畫法確定另兩個頂點位置即可畫出其直觀圖.【詳解】在等腰梯形ABCD中，過D作DO⊥其中OD=1cm,在平面內(nèi)取點O′，過O′作直線O′在直線O′y′上取點D′，使O′D′在直線O′x′上取點C連接C′D′,A◆類型3已知直觀圖畫原圖【例題1-3】（2023·高一單元測試）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形是一個邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)律，平行于y軸的線段長度是原長的一半即可判斷.【詳解】在直觀圖中，其一條對角線在y軸上且長度為2，所以在原圖形中其中一條對角線必在y軸上，且長度為22故選：A．【變式1-3】1.（2023·高一課時練習）如圖，△A′BA．鈍角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】根據(jù)題意，將△A′B′C′還原成原圖，分析OC【詳解】將其還原成原圖，設A′C′AC=A′C′即AB⊥BC，故故選：C.【變式1-3】2.如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形【答案】D【解析】由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后原圖AC∥y軸，BC∥x軸．直觀圖還原為平面圖形是直角三角形．故選D.題型2空間幾何體的直觀圖【方法總結(jié)】（1）畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關的點，最后連點成圖便可.（2）直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關系不變.”3.直觀圖的還原和計算問題【例題2】（2022·高一課時練習）用斜二測畫法畫出長方體ABCD?A1B1C1【答案】答案見解析【分析】根據(jù)斜二測畫法的要求和步驟，作圖即可.【詳解】（1）畫軸.如圖，畫x,y,z軸，三軸相交于O(A)，使得∠xOy（2）畫底面.在x軸正半軸上取線段AB，使AB=3cm,在y軸正半軸上取線段AD,使AD=2cm,過點B作y軸的平行線，過點D作x軸的平行線，設它們的交點為C,則?ABCD（3）畫側(cè)棱.在z軸正半軸上取線段AA1,使AA（4）成圖.順次連接A1【變式2-1】1.用斜二測畫法畫出底面邊長為2cm，側(cè)樓長為3cm的正三棱柱的直觀圖.【解析】正三棱柱直觀圖如圖：【變式2-1】2.畫底面半徑為1cm，母線長為3cm的圓柱的直觀圖?！窘馕觥繄A柱直觀圖如圖：【變式2-1】3.（2022·高一課時練習）用斜二測畫法畫出正五棱柱的直觀圖．【答案】見解析【分析】利用斜二測畫法畫出即可.【詳解】（1）畫軸．畫x′軸、y′軸和z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如圖①所示．（2）畫底面．按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.（3）畫側(cè)棱．過點A，B，C，D，E分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．（4）成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示．【變式2-1】4.用斜二測畫法畫一個上底面邊長為1cm，下底面邊長為2cm，高（兩底面之間的距離，即兩底面中心連線的長度）為2cm的正四棱臺.【解析】（1）畫軸.如圖（1）所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使.（2）畫下底面.以點O為中點，在x軸上截取線段，在y軸上截取線段，分別過點作y軸的平行線，過點作x軸的平行線，設它們的交點分別為，四邊形就是正四棱臺的下底面.（3）畫高.在上截取，過分別作平行于的直線.（4）畫上底面.在平面上用畫正四棱臺下底面的方法畫出邊長為1cm的正四棱臺的上底面的直觀圖.（4）成圖.順次連接，整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線）得到正四棱臺的直觀圖，如圖（2）所示.題型3直觀圖和原圖的周長和面積【方法總結(jié)】斜二側(cè)畫法的面積是原來圖形面積的24原來的高變成了45°的線段，且長度是原高的一半，因此新圖形的高是這個一半線段的22倍，故新高是原來高的24，而橫向長度不變，所以面積變?yōu)樵娣e的【例題3】若一個三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原三角形面積的（）A．12倍B．2倍C．倍D．22倍【答案】C【解析】以三角形的一邊為軸，高所在的直線為軸，由斜二測畫法知，三角形的底長度不變，高所在的直線為軸，則長度減半，則直觀圖三角形的高為原來的=，故其直觀圖的面積是原三角形面積的倍，故選C.【變式3-1】1.（2023·高一課時練習）如圖，若斜邊長為22的等腰直角△A′B′C′（B【答案】4【分析】還原原圖，計算面積即可.【詳解】在斜二測直觀圖中，由△AA′B′=22還原原圖形如圖：則AB=4則S△故答案為：42【變式3-1】2.（2023春·全國·高一專題練習）如圖，正方形A1B1【答案】18【分析】根據(jù)斜二測畫法的特點即可得出結(jié)論.【詳解】由斜二測畫法的規(guī)則知與x1軸平行或重合的線段與x軸平行或重合，其長度不變，所以AB與y1軸平行或重合的線段與y正方形的對角線在y1軸上，可求得其長度為3如圖所示：平面圖中，AC在y軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，即AC=6則平面圖形ABCD的面積S=3×6故答案為：18【變式3-1】3.（2023秋·上海浦東新·高三上海市川沙中學校考期末）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.∠ABC【答案】2+【分析】利用直觀圖中的信息，求出BC的長度，從而得到原平面圖形中的長度，利用梯形的面積公式求解即可.【詳解】過A作AE⊥B