2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)與面積問題復(fù)習(xí)講義

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)與面積問題復(fù)習(xí)講義

解題策略

割補(bǔ)法是代數(shù)、幾何綜合中最常用的求面積方法，所有圖形的面積都可以采用割補(bǔ)法進(jìn)行求解，可以說它是求

面積的通法.本節(jié)重點(diǎn)講解用割補(bǔ)法求面積，通過恰當(dāng)?shù)母钛a(bǔ)圖形，可以使面積的計(jì)算變得更容易.

而"寬高公式”的應(yīng)用，是求面積最好用的方法之一，其模型及原理前面的章節(jié)已講過.

對(duì)于求面積最大值問題，可以通過設(shè)定動(dòng)點(diǎn)參數(shù)坐標(biāo)，通過割補(bǔ)法等把面積用含參數(shù)的函數(shù)表示出來，然后利

用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

三角形有一條邊在坐標(biāo)軸三角形的三邊都不在坐標(biāo)軸四邊形有兩邊在坐標(biāo)軸

背景上：以在坐標(biāo)軸上的邊為底邊，上：過其中一個(gè)頂點(diǎn)作平行于坐上：過不在坐標(biāo)軸上的頂點(diǎn)作

坐標(biāo)軸的垂線.

S四邊形COBP=S四邊

形BOBP+S&CEP

模型一割補(bǔ)法1

如圖，已知二次函數(shù)y=*_2比-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在左側(cè)，點(diǎn)B在右側(cè)）,與y軸交于

點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.求.△BCD的面積.

思路分析：通過計(jì)算可知△BCD是直角三角形，可以直接求出兩條直角邊的長用三角形面積公式求解即可，

此處主要講述割補(bǔ)法求面積的方法，如圖，我們可以把ABCD補(bǔ)成梯形OBDK,則△BCD的面積等于梯形OBDK

的面積減去兩個(gè)灰色三角形的面積.

模型二割補(bǔ)法2

已知二次函數(shù)y=X2-2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在左側(cè)，B在右側(cè))，與y軸交于C點(diǎn),如圖若

E(1,O),F(2,O),G(O,-1),P是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形EFPG面積最大值，及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路分析：四邊形EFPG的四個(gè)頂點(diǎn)中有三個(gè)頂點(diǎn)是定點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，該點(diǎn)可以通過設(shè)未知數(shù)表

示出來，然后用代數(shù)式表示出四邊形的面積.由于四邊形EFPG不規(guī)則且形狀不固定，可通過割補(bǔ)法把四邊形EFP

G的面積轉(zhuǎn)化成幾個(gè)三角形面積的和差進(jìn)行計(jì)算，如圖，=

四立形EFPG

已知二次函數(shù)y=X2-2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在左側(cè)，B在右側(cè)),與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為

D.如圖，P為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若△BCP的面積為6,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為多少？

思路分析：此題應(yīng)用割補(bǔ)法也可求解，此處只講解采用寬高公式求解的方法，在此部分的第一章“必備的應(yīng)用

模型和法則”中講解了寬高公式，此處直接應(yīng)用即可，應(yīng)用寬高公式關(guān)鍵是確定水平寬和鉛錘高.如圖，點(diǎn)C在y

軸上，在△BCP的水平寬為0B，點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，設(shè)對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)Q,則PQ就為△BCP的鉛垂高，

則.ABCP的面積就等于匏BXPQ從而可求出P點(diǎn)坐標(biāo).應(yīng)用寬高公式時(shí)，一定要找好水平寬和鉛垂高，鉛垂高

中的兩個(gè)點(diǎn)一個(gè)為水平寬外的第三點(diǎn)，以及過第三點(diǎn)作x垂線與三角形另外兩點(diǎn)確定的邊(或其延長線)的交點(diǎn).

模型四寬高公式——復(fù)雜應(yīng)用

已知二次函數(shù)y=比2_2》-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在左側(cè)，B在右側(cè))，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)

為D.如圖，P為拋物線上一點(diǎn)，若SB.P=^SBO,求出滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

思路分析：此題我們依然采用寬高公式進(jìn)行解答，由于題目中兩定點(diǎn)B、C相同，故兩三角形的"水平寬"相

等，都等于0B的長，因此只要使3CP的"鉛垂高"為ABCD的"鉛垂高"的一半即可.問題就轉(zhuǎn)化為確定3CP

的鉛垂高.如圖ABCD的鉛垂高為2,所以3CP的鉛垂高PQ等于1,注意點(diǎn)Q的位置.

精選例題

例1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)

過點(diǎn)A,B.

(1)求a,b滿足的關(guān)系式及c的值；.

⑵當(dāng)x<0時(shí)，若y=a久2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大,求a的取值范圍；

⑶如圖，當(dāng)a=-l時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使WAB的面積為1?若存在，請(qǐng)求出符//\\

合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.盧~Rp

解析/I\

(1)求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，即可求解；

⑵當(dāng)x<0時(shí)若y=a-+bx+通<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大，則函數(shù)對(duì)稱軸x=-￡>。，而b=2a+l,

即-竽20,即可求解；

⑶解法一:應(yīng)用"寬高公式"，WAB的“水平寬”為A0,求“鉛垂高"即可；

解法二:過點(diǎn)P作直線IIIAB,作PQlly軸交BA于點(diǎn)Q,作PH±AB于點(diǎn)H,|x/IFxPH=|x2

V2xPQxy=1,則\yP-yQ\=1,即可求解.

解(l)y=x+2,令x=0廁y=2,令y=0廁x=-2.

故點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,2),則c=2.

則函數(shù)解析式為y=ax2+bx+2.

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式并整理，得b=2a+l;

⑵當(dāng)x<0時(shí)若y=aX^+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨X的增大而增大,

則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸尤=-520,而b=2a+l,

2a

即-2：+i>0.解得a>

2a2

故a的取值范圍為-

⑶當(dāng)a=-l時(shí)，二次函數(shù)解析式為y=-X2_久+2.

解法一如答圖L過點(diǎn)P作PQlly軸交BA于點(diǎn)Q

易求得直線AB的解析式為y=x+2.

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為((m，-》-巾+2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,m+2).

PQ=|-m2-m+2-m-2|=|m2+2m|,OA=2.

22

SPAB=|xOXxPQ=|x2x|m+2m\=\m+2m\—1.

當(dāng)m2+2m-1時(shí)，解得m=—1±V2;

當(dāng)m2+2m=-1時(shí)，解得m=-l.

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-L2)或((-1+夜，1)或(-1一魚，-魚).

解法二:如答圖2,過點(diǎn)P作直線IIIAB,作PQlly軸交BA于點(diǎn)Q,作PH±AB于點(diǎn)H.

；OA=OB,..NBAO=NPQH=45°.

SPAB=|xXBxPH=1x2V2xPQx曰=1.

貝Uyp-y(2=L

在直線AB下方作直線m，使直線m和I與直線AB等距離，

則直線m與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分別與點(diǎn)AB組成的三角形的面積也為1,

故\yP-yQ\=L

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為((%，--_乂+2)則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,x+2).

即—X2—x+2-X—2=±1.

解得x=-l或％=-1±V2,答圖2

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-L2)或((-1+91)或-V2).

例2.如圖，已知拋物線y=儲(chǔ)+|久+4的對(duì)稱軸是直線x=3,且與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)),

與y軸交于C點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式和A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P是拋物線上B,C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，則是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最

大.若存在，請(qǐng)求出APBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

(3)若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N,當(dāng).MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐

標(biāo).

圖1圖2

解析

(1)利用對(duì)稱軸公式即可求出a;

(2)初中與函數(shù)相結(jié)合的求面積最大值的方法有4種，各有特點(diǎn)，詳細(xì)方法見解答過程;

⑶設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為+|爪+4),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(7?1，-如+4),則MN=|--^m2+|m+4-

-|m+4^)|=4,求解即可.

解⑴.?拋物線y=ax2+lx+4的對(duì)稱軸是直線x=3,

3

—~T-=3,解得a=一；.

2a4

,拋物線的解析式為y=-；x2+|x+4.

當(dāng)y=0時(shí)，—1/+|刀+4=0,

解得M=—2,七=8,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為((-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0);

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=—2*2+|x+4=4.

:點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).

設(shè)直線BC的解析式為.y=kx+b(k^0).

將B(8,0)((0,4)代入.y=kx+b,得

產(chǎn)解得仁：

，直線BC的解析式為y=—3久+4.

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(卜，—滓+)+4).

解法一：利用寬高公式.

如答圖L過點(diǎn)P作PDlly軸,交直線BC于點(diǎn)D.

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為卜,-1+4).

/。=一步+齊+4-(一齊+4)=-泮+2萬

Srnc=—PD-OB=-x8,(——+2x)=一久2+8%=—(%—4/+16.

二當(dāng)x=4時(shí),SBC的面積最大，最大面積是16.

?.0<x<8,

二存在點(diǎn)P,使APBC的面積最大，最大面積是16.

解法二:割補(bǔ)法.

如答圖2,過P點(diǎn)作PEJL與x軸與x軸交于點(diǎn)E(x,0).

Spmc-$可逆eanrc^anc~+S/mp—^aac~￡(°。+PE)XOE+2

后面同解法一類似，求出函數(shù)解析式，再利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可，過程略.

解法三：三角函數(shù)轉(zhuǎn)化法.

如答圖3,過P點(diǎn)作PE1久軸與x軸交于點(diǎn)E(x,O),交BC于點(diǎn)F(x,-1+4)作PG1BC于點(diǎn)G.

易證得NP=4B。為定角.

求△PBC的面積就是求PG的最大值，即轉(zhuǎn)化為求PF最大時(shí)點(diǎn)P的位置./"J

PF=-[/+Tx+4—(一號(hào)"+4).答圖3

再利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可，過程略.

解法四：平行線法.卡」p

求WBC的面積最大就是求BC邊上的高最大，設(shè)過點(diǎn)P與BC平行的直線的解析式為y

=—?+6,然后與y=—#+|x+4聯(lián)立得—#+|x+4=—3+6,令判別式等于0,求出/

b的值，也就是此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)就是為APBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置，'\'

過程略.答圖4

(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為771,-"2+|w+4),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，-)+4).

MN=|—^m2+jm+4—jm+4)|=|一^m2+2m|.

又?.MN=3,

/.|--m2+2m\=3.

當(dāng)0<m<8時(shí)，有—工血2+2m—3=0.

4

解得=2,m2=6.

.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6)或(6,4).

當(dāng)m<0或m>8時(shí)，有—工zu?+2m+3=0.

4

解得m3=4-2幣,％=4+2V7.

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4-2"夕-1)或(4+2V7--V7-1).

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為((4-2"b-1)或(2,6)或(6,4)或((4+2V7--V7-1).

例3如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4),與坐標(biāo)軸交于B,C,D三點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-L0).

⑴求二次函數(shù)的解析式；

(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M,N作x軸的垂線交

x軸于點(diǎn)G,H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；

(3)當(dāng)矩形MNHG的周長最大時(shí)，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點(diǎn)P,使△PNC的面積是矩形MNHG面積

的白?若存在，求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

16

(1)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-1/+4,代入點(diǎn)B坐標(biāo)求出a即可；

(2)四邊形MNHG為矩形，設(shè)直線NM為.y=以，然后分別用n表示出矩形的各邊長，相加得到周長的函數(shù)

解析式，然后利用函數(shù)的知識(shí)解答即可；

⑶由(2)可求出矩形MNHG的面積，進(jìn)一步得到△PNC的面積，此時(shí)已知APNC的"水平寬"CH,然后利

用"寬高公式"轉(zhuǎn)化為求"鉛垂高"，從而問題得解.

解Q)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1尸+4.

把8(—1，0)代入解析式，得4a+4=0.解得a=-l.

y=—(%—1)2+4=—x2+2x+3;

⑵?.四邊形MNHG為矩形，

.-.MN||x軸，設(shè)MG=NH=n,0<n<4,

把y=n代入y——x2+2x+3,即n=—x2+2.x+3.

x2—2x+n—3=0.

由根與系數(shù)關(guān)系，得=2,XM，=九—3.

22

???-xN)=(xM+xN)-4XM?xNf

???—%N)2=4—4(n-3)=16—4n.

...MN=J(%,一二汽尸—2A/4—n.

設(shè)矩形MNHG周長為C,

貝[JC=2(MN+MG)=2(2V4^n+n)=4V4^n+2n

令V4—n=貝!]n=4—t2,0<t<2.

**.C=-212+4t+8=—2(t—1)?+10.

-t=l時(shí)，周長有最大值，最大值為10;

(3)在(2)的條件下，當(dāng)矩形周長最大時(shí)t=l,

??.V4—n=l,n=3,MN=2V4—n=2.

??點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3)〃?.此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合.

SMNHG=2X3=6*

927

SpNC==J.

2

又丫當(dāng)y=0又0=-x+2x+3,解得Xi=-l,x2=3,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).

?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3),直線CD的解析式為y=-x+3,

，過點(diǎn)P做y軸的平行線,交直線CD于點(diǎn)Q.

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為((m，-m2+26+3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為((m，-m+3).

PQ—|m2+2m+3)—(―m+3)|.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方時(shí)，PQ=-m2+3m.

127o9

SPNC=-,PQ，0C=—m+3m=

解得m=|.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的下方時(shí)，PQ=m2-3m,BPm2-3m=

4

解得_3-3V2_3+3V2(舍去).

一2一2

，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為I或上尹.

精選練習(xí)

22

1.如圖，兩條拋物線為=-%+4,y2=-lx+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，且為拋物線y2

的最高點(diǎn).丫2

(1)求拋物線y2的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)C是拋物線力上A,B之間的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交yz于點(diǎn)D,當(dāng)線段CD取得最為yz大值

2.如圖1(注：與圖2完全相同)所示，拋物線y=-之/+.+°經(jīng)過B,D兩點(diǎn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,與

y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,求四邊形ABMC的面積(請(qǐng)?jiān)趫D1中探索)；

(3)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上.要使以點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足

條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(請(qǐng)?jiān)趫D2中探索).

3如圖,拋物線y=a/+比過點(diǎn)B(l，-3),對(duì)稱軸是直線.x=2,,且拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)A.

(1)求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)yW0時(shí)，自變量x的取值范圖；

(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P,當(dāng).PA1時(shí)，求△P4B的面積.

精選練習(xí)

1.解:⑴當(dāng)y=o時(shí)代入V1=-X2+4得，0=-%2+4,解得x=±2.

丁點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸,

.\A(-2,0).

2

,點(diǎn)A是拋物線y2=-1%+bx+c的最高點(diǎn)，

?,-,2=一2+=-1%2

VB是兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)，

%=-%2+4,

聯(lián)立

72=_1%244

——5X——5

“:藍(lán)或%=3,

解得

y=-5.

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,-5).

???拋物線y2的解析式為％=-學(xué)-卜-徜B的坐標(biāo)是(3,-5);

⑵如圖，設(shè)點(diǎn)。(01，一/+4)廁點(diǎn)

:點(diǎn)C是拋物線yi±A,B之間的一點(diǎn)，

2<m<3.

.?.CD=—m2+4—(--m2--m—

I5557

42?4,24

——m+-

55

4

當(dāng)爪=一*=胡寸,CD有最大值,

2

,41,24廣

即CO=-|x+-X-+—=5.

I.525

過點(diǎn)B作BELCD,垂足為點(diǎn)E.

???點(diǎn)c的橫坐標(biāo)為1點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3,

???BE=3-

.：SRXD=^CD-BE=1x5x1=^.

2.解:⑴把B(3,0)和。(一2,一習(xí)代入拋物線的解析式，得

9

-----F3b+c=0,(b=1,

2解得c=m.

—2—2b+c=--

2

..?拋物線的解析式為y=-|x2+x+|；

⑵令x=0,得y=-|x2+x+|=|.

..?點(diǎn)C的坐標(biāo)為((0,|).

3

令y=0,得y=--1X2+I%+,-=0,解得