2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：二次根式

第04講二次根式

目錄

技巧五拆項(xiàng)法

一、考情分析

技巧六整體代入法

二、知識(shí)建構(gòu)

考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念技巧七因式分解法

題型01二次根式有意義的條件

技巧八配方法

題型02判斷最簡(jiǎn)二次根式

技巧九輔元法

題型03判斷同類二次根式

技巧十先判斷后化解

考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算

題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)

題型01二次根式的乘除運(yùn)算

題型02常見二次根式化簡(jiǎn)的10種

題型02二次根式的加減運(yùn)算

技巧

題型03二次根式的混合運(yùn)算

技巧一數(shù)形結(jié)合法

題型04二次根式的化簡(jiǎn)求值

技巧二估值法

題型05二次根式的應(yīng)用

技巧三公式法

技巧四換元法

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

二次根式的相關(guān)概中考中，對(duì)二次根式的考察主

了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念

念要集中在對(duì)其取值范圍、化簡(jiǎn)計(jì)算

等方面，其中取值范圍類考點(diǎn)多出

二次根式的性質(zhì)與

掌握二次根式的性質(zhì)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)

選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化

化簡(jiǎn)

簡(jiǎn)計(jì)算則多以解答題形式考察.止匕

外，二次根式還常和銳角三角函

了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）力口、減、乘、除數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出

二次根式的運(yùn)算

運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算

題，難度不大，但是也多屬于中考

必考題.

二次根式）

考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念

f夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

二次根式的概念：一般地，我們把形如而（a>0）的式子叫做二次根式，“廠”稱為二次根號(hào)，二次根號(hào)下

的數(shù)叫做被開方數(shù).

最簡(jiǎn)二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最

簡(jiǎn)二次根式.

同類二次根式的概念：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次

根式.

易混易錯(cuò)

1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡(jiǎn)后的結(jié)果，如：〃

-V9都是二次根式.

2.二次根式有意義的條件：當(dāng)?shù)?時(shí)，即被開方數(shù)大于或等于0,二次根式6有意義.

3.在關(guān)于代數(shù)式有意義的問(wèn)題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于01分式（分母不等于0）等

有意義的綜合運(yùn)用.

4.最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

■提升.必例型歸幽

題型01二次根式有意義的條件

【例1】（2023?黑龍江綏化?中考真題）若式子平有意義，則X的取值范圍是_____.

【答案】%>一5且x*0/%豐0且

【提示】根據(jù)分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列出不等式計(jì)算即可.

【詳解】?「式子守有意義,

.'.X+5>0且％。0,

>—5且xH0,

故答案為：%>一5且久豐0.

【點(diǎn)撥】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件

是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（（2023?江西?中考真題）若石行有意義，貝心的值可以是（）

A.-1B.0C.2D._

【答案】D

【提示】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解.

【詳解】解：:析有意義，

--Ct-420,

解得：a24,貝必的值可以是6

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）二次根式VI。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)

軸上表示為（）

II―I_I1I

<二

^1-

1O12O12

A11B11

1

CD-O12

-

【答案】C

【提示】根據(jù)被開方數(shù)大于等于。列不等式計(jì)算即可得到X的取值范圍，然后在數(shù)軸上表示即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，1-x20,

解得x<1,

在數(shù)軸上表示如下：

1I1----1_>

-1012

故選：c.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，理解二次

根式有意義的條件是解題關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)y=高+當(dāng)中，自變量x的取值范圍是_____.

【答案】x>1且x*2

【提示】根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出％-1>0,久-2A0,即可求解.

【詳解】解：依題意，x-l>0,x—2H0

>1且％W2,

故答案為：X>1且x豐2.

【點(diǎn)撥】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解

題的關(guān)鍵.

方法技巧

解決二次根式有無(wú)意義的關(guān)鍵：

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須

是非負(fù)數(shù).

題型02判斷最簡(jiǎn)二次根式

[例2]（2023?上海青浦?二模）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V0?2B.V8C.V6D.

【答案】C

【提示】對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行化簡(jiǎn)，判斷是否為最簡(jiǎn)二次根式即可得出答案.

【詳解】A.<2=/,不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.V8=2V2,不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.&是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

D.1=孝，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2022.河南南陽(yáng).二模）寫出一個(gè)實(shí)數(shù)x，使S=是最簡(jiǎn)二次根式，則x可以是_____.

【答案】5（答案不唯一）

【提示】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義.

【詳解】解：尤=5時(shí)，V%-3=V5-3=V2,魚是最簡(jiǎn)二次根式，

.,?尤的值可以是5.

故答案為：5.（答案不唯一）

【點(diǎn)撥】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件，最簡(jiǎn)二次根

式的條件是（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

題型03判斷同類二次根式

[例3]（2023?山東煙臺(tái)?中考真題）下列二次根式中，與魚是同類二次根式的是（）

A.V4B.V6C.V8D.V12

【答案】C

【提示】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.6=2,與應(yīng)不是同類二次根式，不符合題意；

B.泥與魚不是同類二次根式，不符合題意；

C.V8=2V2,與企是同類二次根式，符合題意；

D.V12=2V3,與魚不是同類二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡(jiǎn)二

次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡(jiǎn)二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）

被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

【變式3-1]（202卜江蘇泰州?中考真題）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后是同類二次根式的是（）

A.癰與WB.&與gC.而與聞D.后與何

【答案】D

【提示】把每個(gè)選項(xiàng)中的不是最簡(jiǎn)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式即可作出判斷.

【詳解】A.V8=2V2,2夜與避不是同類二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.V12=2V3,應(yīng)與2舊不是同類二次根式,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.花與底不是同類二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.V75=5V3,V27=3V3,5遮與3次是同類二次根式，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，同類二次根式的識(shí)別等知識(shí)，注意二次根式必須化成最簡(jiǎn)二次根式.

【變式3-2]下列各式中，能與迎合并的是（）

A.V4B.V24C.V12D.V8

【答案】D

【提示】先化成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可.

【詳解】A.〃化簡(jiǎn)后不能與&合并，不合題意；

B.V24=2痣化簡(jiǎn)后不能與迎合并，不合題意；

C.V12=2舊化簡(jiǎn)后不能與金合并，不合題意；

D.V8=2/化簡(jiǎn)后能與迎合并，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)和同類二次根式，能熟記同類二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］若最簡(jiǎn)根式2nl+9與，5zn-5是同類二次根式,則m.

【答案】2

【提示】根據(jù)同類根式及最簡(jiǎn)二次根式的定義列方程求解.

【詳解】解：1,最簡(jiǎn)二次根式產(chǎn)亦由與廝。是同類二次根式，

/.—2m+9=5m—5,

解得巾=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)撥】此題考查的是同類二次根式與最簡(jiǎn)二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵.

方法技巧

判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來(lái)加

I”出山“匚曲:士。目來(lái)一乂7+日才匚士曰片E一工―

有點(diǎn)一一次根式;時(shí)'任所與化間

.夯基-必備基礎(chǔ)凝儂

雙重非黃性①檢開方數(shù)足整負(fù)數(shù).即aNO:

②二次根式的例是等負(fù)攻，即42。.

性質(zhì)

gzo)

a(a>0)

其它性質(zhì)②=同=<0(o=0)

-a(a<0)

即任。?個(gè)教的乎方的算術(shù)?力根等于它本身的絕對(duì)值

霞證?4(aN0bN0)

④W(aN0.b>0)

二次根式的化簡(jiǎn)方法:

1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).疝=后仍（a>0,b>0）,

與（a>G,b>G）

化簡(jiǎn)二次根式的步驟：

1）把被開方數(shù)分解因式；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方

根的積；

3）化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

易混易錯(cuò)

1.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí)，依前無(wú)，論化簡(jiǎn)出來(lái)就不可能是一個(gè)負(fù)數(shù).

2.利用二次根式性質(zhì)時(shí)，如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)根式進(jìn)

行化簡(jiǎn)，如果題目中沒(méi)有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所

限定的取值范圍顯現(xiàn)出來(lái)，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn).

.提升-必考題型歸納

題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)

[例1]（2023.江蘇泰州.中考真題）計(jì)算斤可等于（）

A.±2B.2C.4D.V2

【答案】B

【提示】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.

【詳解】解：J（-2/=V5=2.

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

【變式1-1]（2022?廣西桂林?中考真題）化簡(jiǎn)g的結(jié)果是（）

A.2A/3B.3C.2V2D.2

【答案】A

【提示】將被開方數(shù)12寫成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開出來(lái)為2,易知化簡(jiǎn)結(jié)果為2V3.

【詳解】解：=Wx3=V22X3=2V3,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵在于被開方數(shù)要寫成平方數(shù)乘積的形式再進(jìn)行化簡(jiǎn).

【變式1-2]（2023.湖北黃岡.中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)機(jī)的值使得廝是整數(shù)；m=.

【答案】8

【提示】要使師是整數(shù)，貝U8爪要是完全平方數(shù)，據(jù)此求解即可

【詳解】解：：河是整數(shù)，

要是完全平方數(shù)，

，正整數(shù)m的值可以為8,即8nl=64,即兩^=V64=8,

故答案為：8（答案不唯一）.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，正確理解題意得到8nl要是完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2022?四川南充.中考真題）若我"為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是____________.

【答案】4或7或8

【提示】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)大于等于0和x為正整數(shù),可得x可以取1.2.3.4.5.6.7.8,再根據(jù)我不為整數(shù)即可

得x的值.

【詳解】解:〔INO

.,.X<8

..次為正整數(shù)

二河以為1.2.3.4.5.6.7.8

?々8-x為整數(shù)

??.X為4或7或8

故答案為：4或7或8.

【點(diǎn)撥】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解答

本題的關(guān)鍵.

題型02常見二次根式化簡(jiǎn)的10種技巧

技巧一數(shù)形結(jié)合法

方法簡(jiǎn)介：利用數(shù)軸和數(shù)學(xué)表達(dá)式相結(jié)合，達(dá)到快速化簡(jiǎn)的目標(biāo).

[例2]（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則后+1+|a-1|的化簡(jiǎn)結(jié)果是

（）

-1012

A.1B.2C.2aD.1-2a

【答案】B

【提示】根據(jù)數(shù)軸得：0<*1,得到a>0,a-l<0,利用二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】解「.根據(jù)數(shù)軸得：0<。<1,

.t.a>0,。-1<0,

「?原式二|〃|+1+1-〃

=a+l+l-a

=2.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握后=⑷是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1】實(shí)數(shù)爪在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：J（時(shí)2尸=.

??，7??

-1012

【答案】2—m/—m+2

【提示】利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由數(shù)軸位置可知1<m<2,

J（m—2）2—\m—2\—2—m.

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式化簡(jiǎn)運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)后=㈤是關(guān)鍵.

【變式2-2]（2022遂寧中考真題）實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+1|-“6-1尸+

-1)2=.

i1ab

-4-3-2-101234

【答案】2

【提示】利用數(shù)軸可得出-1<a<0,1<b<2,進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：-l<a<0,l<h<2z

則a+1>0,b—1>0,a-bVO

+11—1(JD—I)?+J(Q—b)2

—\d+1|—|6-1|+|ci-6|

=a+1—(b—1)—(a—/))

—CL+1—b+1—a+b

=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出a,6的取值范圍是解題關(guān)鍵.

技巧二估值法

方法簡(jiǎn)介：先運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再將最后的化簡(jiǎn)結(jié)果化成根式再確定取值范圍.

[例3](2023?重慶?中考真題)估計(jì)企(遮+VIO)的值應(yīng)在()

A.7和8之間B.8和9之間

C.9和10之間D.10和11之間

【答案】B

【提示】先計(jì)算二次根式的混合運(yùn)算，再估算結(jié)果的大小即可判斷.

【詳解】解：V2(V8+V10)

=V16+V20

-4+2V5

'.-2<V5<2.5,

.'.4<2V5<5,

.,.8<4+2V5<9,

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，正確掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

【變式3-1］（2023?山東臨沂?中考真題）設(shè)^1=5卜尾,則實(shí)數(shù)切所在的范圍是（）

A.V—5B.—5<<—4C.—4<TTI<-3D.TTI>—3

【答案】B

【提示】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，然后估算即可求解.

【詳解】解:m=5』—回=J^-V45=V5-3V5=-2V5,

-/2V5=V20,V16<V20<V25

.1.-5<—2"\/5<—4,

即—5<m<—4,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］若將三個(gè)數(shù)-舊，V7,4T表示在數(shù)軸上，其中一個(gè)數(shù)被墨跡覆蓋（如圖所示），則這個(gè)被覆

蓋的數(shù)是_____.

-?-104

【答案】V7

【提示】根據(jù)被覆蓋的數(shù)的范圍求出被開方數(shù)的范圍，然后即可得解.

【詳解】設(shè)被覆蓋的數(shù)是a,根據(jù)圖形可得

1<a<3,

.,.1<a2V9,

，三個(gè)數(shù)-機(jī)，V7,VTT中符合范圍的是貨.

故答案為：V7.

【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，根據(jù)數(shù)軸確定出被覆蓋的數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

技巧三公式法

方法簡(jiǎn)介：根據(jù)題目已知條件，通過(guò)變形、湊元等方法，湊成可用乘法公式，快速求解.

[例4]（2022?天津紅橋.三模）計(jì)算（2魂+3）（273-3）的結(jié)果等于.

【答案】3

【提示】利用平方差公式解答.

2

【詳解】解：（2V3+3）（273-3）=（2A/3）一3?=12—9=3

故答案為：3.

【點(diǎn)撥】本題考查利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023?河北保定??？家荒＃┮阎海?+BY=5+2直，則口=.

【答案】6

【提示】根據(jù)完全平方公式算出（魚+V3）2=5+2V6,再結(jié)合已知條件求出結(jié)果.

【詳解】（V2+V3）=（V2）+2xV2xW+（V3）=5+2顯,（y/2+V3）=5+2vH,

5+2V6=5+2y[a,

???a=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算和完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-2]計(jì)算：（百+1）（V3-1）-V16+（3V2-.

【答案】17-6V2

【詳解】

2

解：（g+1）（V3-1）-V16+（3V2-1）

=3-1-4+18-672+1

=17-6V2.

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是二次根式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

【變式4-3]計(jì)算：（5+旄）X（5V2-2V3）.

【答案】19V2

【詳解】解：(5+憫x(5V2-2V3)

=(5+V6)xV2x(5-V6)

=25V2-10V3+10V3-6A/2

=19V2

r杳才a4】_______________________

6101(V2+V3-V5)(2+V6+V10)--------------------------

【答案】25

【提示】利用平方差公式把原式變形為，廠、2],即可求解.

問(wèn)(調(diào)+V5)-(Vs)]

【詳解】解"______10075______

卜汗用午」用午?(V2+V3-V5)(2+V6+V10)

_100V3

~(V2+V3-Vs)-V2(V2+V3+V5)

_100V3

~V2x2V6

一100

-V2x2V2

=25；

故答案為：25

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算法則，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵.

技巧四換元法

方法簡(jiǎn)介：根據(jù)已知條件，利用未知變量替換有規(guī)律表達(dá)式，尋找規(guī)律，快速求解.

【例5】已知戶我+1,求詈窖+啜罌的值.

n+2-Vn2-4n+2+vn2-4

【答案】V2+1

【詳解】

設(shè)?=?+2+Vn2—4,I=幾+2-，九2一4,

「.4+6=2(〃+2),ab=(〃+2)2-(廬4)=4(〃+2),

.原式_a+匕_a2+b2_(a+b)2-2ab

baabab

f+療-2=ME)?_2

ab4(n+2)

=n.

當(dāng)”=衣+1時(shí)，原式=V2+1.

技巧五拆項(xiàng)法

方法簡(jiǎn)介：分子為多項(xiàng)式的和，分母為多項(xiàng)式的積，將分子拆出與分母相同或相似的項(xiàng).

【例6］計(jì)算：需蠕耗、甘是示：V6+4V3+3V2=(V6+V3)+3(V3+V2)］

(V6+V3乂3V+V2J

【答案】V6-V2

【提示】根據(jù)題中提示進(jìn)行拆分，在進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解,序式二顯+4顯+36二史+小)史

Ll干用?！褂门?際”(V6+V3)(V3+V2)(V6+V3)(V3+V2)

V6+y/3

=(V5+何(V5+何+

11

二-----1-------

V3+V2V6+V3

=V3-V2+V6-V3

=A/6—V2.

技巧六整體代入法

方法簡(jiǎn)介：由已知條件，通過(guò)加減乘除運(yùn)算，得到與求解表達(dá)式相關(guān)的表達(dá)數(shù)值，整體代入.

［例7］已知x=,y=,則/+*一孫=.

【答案】17

【提示】先對(duì)x和y進(jìn)行分母有理化，將所給的多項(xiàng)式化為(x+y)2-3xy,再計(jì)算x+y和孫的值后，代入

計(jì)算即可.

【詳解】解：“=金=二苗&-2)=m-2,

1V5+2廠

'=右=(痛—2)(有+2)=近+2

原式二(%+y)2-2xy-xy

'.'x+y=2A/5，盯=5—4=1,

2

:原式=(2V5)-3=17z

故答案為：*.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，分母有理化，要熟練掌握平方差公式和完全平方公式.

【變式7-1］已知％=高，y=高，求X+5的值?

【答案】23

【提示】利用分母有理化化簡(jiǎn)可得x=V5+2,y=V5-2,再代入土+'+5=立"+5求值即可；

yxxy

【詳解】解：,?'%==V5+2,

V5—2(V5—2J(V5+2J

V--J_______Vs_2

y_V5+2_(遮+2)(時(shí)-2)_VbN，

=5+4V5+4+5-4V5+4+5

=23.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及二次根式的化簡(jiǎn)求值，解決問(wèn)題關(guān)鍵是掌握分母有理化.

【變式7-2］已知：乂=六，”心?求值：

(1)

(2)x2y+xy2

【答案】(1)

(2)2710

【提示】(1)分母有理化，化簡(jiǎn)X、y，據(jù)此求解即可；

(2)提取公因式得到/y+xy2=xy(x+y),再整體代入求解即可.

【詳解】()解：〔,久=(~；(；

v1'V10+—3=(V1—10+3)(V工i0-3)=V10—3,，y/-V-71=0-—3=(V1—10-3)(V10+3)=V10+3,

.x+y—V10-3+VlO+3=2VT0；

(2)解：由(1)知x=VIU—3,y=VIU+3,x+y=2V10,

：.xy=(710-3)(V10+3)=1,

■'-x2y+xy2=xy［x+y)

=x+y—2-/10.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3】已知。=舞，人=需，求，+?.

V5—V3V5+V3ab

【答案】62

【提示】利用分母有理化化簡(jiǎn)a、b，求出a+b和ab，再將所求式子利用分式加法法則變形，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：a=笆=，霽臂「、==4+同，6=笆=4—住，

V5-V3(V5+V3)(V5-V3)5-3V5+V3

：.a+6=4+V15+4-V15=8,ab=(4+V15)(4-V15)=1,

則海

a2+b2

ab

(a+b)2—2ab

ab

=62.

【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則、完全平方公式是解題

的關(guān)鍵.

技巧七因式分解法

方法簡(jiǎn)介：與分式的化簡(jiǎn)相同，代數(shù)式的化簡(jiǎn)也要“變肥為瘦”.此題分母較為復(fù)雜，結(jié)合分子可將分母進(jìn)行

因式分解，約去公因式從而達(dá)到“瘦身”的效果.

【例8】計(jì)算：*為.

【答案］匹券

【詳解】提示：把分母2+乃+同+同變形為：V2rV2+V3；+V5rV2+V3),然后提出(V2+V3)即可求

解.

角R.V2+V3_V2+V3V2+V3

牛,2+V6+V10+V15--V26V2+V3；+V56V2+V3)

6V2+V5；fV2+V3)

1

-V2+V5

_V5—V2

(V5+V2)(V5—\/2)

_V5—V2

—31

技巧八配方法

【例9】若a,b為實(shí)數(shù)，且6=用^+逐不點(diǎn)+15,試求.+￡+2—的值.

【答案】I

【詳解】試提示：利用二次根式的定義求出?與6的值，再把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，把。，6的值代入化簡(jiǎn)結(jié)果進(jìn)

行計(jì)算即可得到結(jié)果.

解：由二次根式的定義，得｛:A；：；，

3

「.3-5a=0，.二a=-15,.,.a+/?>0,a-b<0.

'5''

ba,2a+b/~~丁b—a1~~j-

----7abyjab

abab----------ab

,a+匕、~~j-2/~~丁

=%-不b—a）耐1=凈

當(dāng)a=|,b=15時(shí)，

原式二卷X_2

【變式/1】可以用配方法化簡(jiǎn)二重根式，

例如：74-2V3=J（V3-1）2=遮一1,

請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：A/5-2V6+yjl-4V3+,焉=

4—2V2

【答案】2

【提示】先把5-2旄，7-4舊分別化為（百-四丁與（2-V3）2,再化簡(jiǎn)，結(jié)合分母有理化，最后計(jì)算加

減運(yùn)算即可.

【詳解】解：Vs—2V6+y/7—4A/3+

4—272

卮鬲+

llr-2（V2-1）（2+V2）

-V3-V2+2-V3+——冶——w

（2-V2）（2+V2）

=2-V2+（V2-l）（2+V2）

=2-V2+2V2+2-2-V2

二2；

故答案為：2

【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，掌握二次根式的化簡(jiǎn)的方法

與技巧是解本題的關(guān)鍵.

技巧九輔元法

方法簡(jiǎn)介：所謂輔元法，就是引入一個(gè)新的未知數(shù)把其他未知數(shù)表示出新的未知數(shù)的代數(shù)式，然后再代入

求值.

【例10】已知X:y:z=1:2:3(x>0,y>0,z>0),求反黑方的值.

【答案】V15-2V3

【詳解】

設(shè)x=%(%>0),貝?。輞=2左，z=3%,

:原式==7^7?=V15-2V3.

v4k+V5fc2+V5

【變式10-1】《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊AAc求

面積的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕,余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四

約之,為實(shí).一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=,卜力_(四.現(xiàn)

有周長(zhǎng)為18的三角形的三邊滿足a：6:c=4:3:2,則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為.

【答案】3V15

【提示】根據(jù)周長(zhǎng)為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2,求得a=8,b=6,c=4,代入公式即可求解.

【詳解】解:..?周長(zhǎng)為18的三角形的三邊滿足a:6:c=4:3:2,設(shè)a=4k,b=3k,c=2k

..4fc+3k+2k=18

解得

???a=8,b=6,c=4

???s=2-(十注

仲”中1

fl

=-(1024-484)

=V135

=3V15

故答案為：

【點(diǎn)撥】本題考查了化簡(jiǎn)二次根式，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

技巧十先判斷后化解

【例11］已知a+b=-6,ab=5,求6+aJ的值.

【答案】一警

【分析】首先對(duì)每一項(xiàng)根式進(jìn)行分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后通分，進(jìn)行分式的加法運(yùn)算，再用對(duì)分母提取

公因式后，運(yùn)用配方法對(duì)提取公因式后的分母進(jìn)行整理，最后再入求值即可.

【詳解】解：'：a+b=-6,46=5,

.,.a<0,Z?<0.

.j=_^._-aVaK+-byfab_VoF(a2+^2)_((a+b)2—2ab

八baabIab

_26V5

—5,

【變式11-1】先化簡(jiǎn)再求值

(1)已知：y>V3x-2+V2-3x+2,求打jy+4+5—3%的值.

2-y

(2)已知a=熹,求方-等票的值.

2+V3a-3a￡—2a

【答案】⑴2

(2)7

【分析】(1)根據(jù)二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性，可得工的值，從而得y的范圍，從而可將要求的式子化簡(jiǎn)求

解；

(2)先對(duì)已知條件利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)，再對(duì)要求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將a的值代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)-2>0,V2-3%>0,3%-2>0,2-3%>0

■■X=|,V3x-2=V2—3%=0

'.y>、3x—2+A/2—3x+2

■■y>2

Vy2~4y+4+5-3x

2-y

=ZZ￡+5_3X￡

2-y3

=-1+5—2

=2

，空方+5—3x的值為2.

1

(2)=

_2-V3

-(2+V3)(2-V3)

=2-V3<1

.a2-9Va2-4a+4

CL—3a2—2a

_(a+3)(a-3)(a—2)2

ci—3a(a—2)

=(a+3)-

'Ja(a-2)

=a+3H—

a

=2-V3+3+2+V3

=7

2Va2-4^+4

.a-9的值為7.

?a-3a2-2a

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值和分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握因式分解及分母有理化的方法，是

解題的關(guān)鍵.

方法技巧

1.二次根式化簡(jiǎn)的結(jié)果一定是被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中的每一個(gè)因式或因數(shù)都開不盡.

2.如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))，先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式或分?jǐn)?shù)的形式，

然后利用分母有理化化簡(jiǎn).

3.如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先將它分解因式或分解因數(shù)，然后把開方開得盡的因式或因數(shù)開方，從

_—6als

.夯基-必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：4ab=6?迎(a>G,b>Q).

除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：%=^(a>0,b>0).

加減法法則：先把各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.

【口訣】一化、二找、三合并.

分母有理化：通過(guò)分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程.

【分母有理化方法】

1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：+=晟=也

2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.

□n.1_逅+VF_迎+VK.

?y/a-Vb（Va-V&）（y/a+y/b'）a-b1

混合運(yùn)算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去掉括號(hào)）.

易混易錯(cuò)

1.在使用=Va*VF時(shí)一定要注意a>0,/?>0的條件限制.

2.在使用半="（aNO,b>0）時(shí)一定要注意a>0,b>0的條件限制.

7b7b

3.合并被開方數(shù)相同的二次根式與合并同類項(xiàng)類似，將被開方數(shù)相同的二次根式的"系數(shù)"相加減，被

開方數(shù)和根指數(shù)不變.

4.二次根式加減混合運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是合并被開方數(shù)相同的二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式不能合

并.

5二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，根號(hào)外的系數(shù)因式必須為假分?jǐn)?shù)形式.

?盤而花著題麗納

題型01二次根式的乘除運(yùn)算

[例1]（2023?湖南?中考真題）對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算,一般地，有迎?VF=而.該運(yùn)算法則成立的

條件是（）

A.a>0,/?>0B.a<0,b<0C.a<0,b<0D.

【答案】D

【提示】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結(jié)果.

a>0

【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得b20,

ab>0

a>0,b>0,

故選：D.

【點(diǎn)撥】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是本題

的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2023?青海西寧?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.J（-5）2=-5

C.（3-V2）2=11-6V2D.64--1xV3=3

【答案】C

【提示】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則運(yùn)算判斷.

【詳解】解：A.皿+,，不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不合題意；

B.行引=5,原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不合題意；

C.（3-V2）2=11-6V2,計(jì)算正確，本選項(xiàng)符合題意；

D.6-^xV3=6x^xV3=9,注意運(yùn)算順序，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不合題意；

故選：C

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的運(yùn)算，乘法公式；注意掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023?河北?中考真題）若口=&,6=?,則席=（）

A.2B.4C.V7D.V2

【答案】A

【提示】把a(bǔ)=/，b=近代入計(jì)算即可求解.

【詳解】解：=V2,b=47,

-叵=14x（時(shí)=叵=啟=2

7bz-j（⑺zr7-",

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【變式1-31（2022?廣東廣州?廣東番禺中學(xué)?？既＃┯?jì)算：監(jiān)+鬧?H等于（）

7b7ab

A.■~--VctbB.—7abC.—NabD.b7ab

\a\b￡abb

【答案】A

【提示】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算和二次根式的性質(zhì)，?乃=20,620）,返+迎=

^（a>0,b>0）,熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式1-4]（2023益陽(yáng)市中考）計(jì)算：V20XV5=.

【答案】10

【提示】根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可.

【詳解】V20XV5=V20X5=V100=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的乘法.二次根式的乘法法則前?也=而.

方技巧

二次根式乘除混合運(yùn)算的方法與整式乘除混合運(yùn)算的方法相同，整式乘除法的一些法則、公式在

二次根式乘除法中仍然適用.在運(yùn)算時(shí)要明確運(yùn)算符號(hào)和運(yùn)算順序.若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù),則要先將其化

【答案】1

【提示】先化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算減法.

【詳解】解：眄-機(jī)=3-2=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì).

【變式2-1]（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）計(jì)算百+3]的結(jié)果是

【答案】2V3

【提示】先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可.

【詳解】解：百+3

=V3+V3

=2A/3,

故答案為：2V3.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的加減，把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023.廣西玉林?一模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.V2+V5=V7B.5V2+y=5+y

C.V5-V3=V2D.2V3-V3=V3

【答案】D

【提示】利用二次根式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后作出判斷.

【詳解】解：A.魚與行不是同類二次根式，不能合并計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.5V2+f=等，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.?與百不是同類二次根式，不能合并計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.2V3-V3=V3,正確，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【變式2-3]（2023淄博市一模）已知實(shí)數(shù)很、〃滿足-3+|n-12|=0,則標(biāo)+Vn=.

【答案】3V3

【提示】根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性求出%和y的值，然后代入化簡(jiǎn)求值即可.

【詳解】+|n-12|=0,

rm—3=0

*tn-12=0'

解得｛:M,

.yfrn.+yfn=V3+V12=V3+2v5=3v5,

故答案為：38.

【點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值和二次根式的非負(fù)性，二次根式的化簡(jiǎn)和加減運(yùn)算，根據(jù)題意求出%和y的值是

解題的關(guān)鍵.

【變式2-4]（2020?河北?中考真題）已知：聞—&=aa—&=6V^,貝！Jab=.

【答案】6

【提示】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】'.VTs-V2=3V2-V2=2V2

.,.a=3,b=2

.".ab=6

故答案為：6.

【點(diǎn)撥】此題主要考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則.

方法技巧

二次根式的加減與整式的加減相比，可將被開方數(shù)相同的二次根式看作整式加減中的同類項(xiàng)進(jìn)行合

并.另外有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，都適用于二次根式的運(yùn)算.

題里U3一伏悵隊(duì)削遍三友舁

[例3]（2023?山東聊城?中考真題）計(jì)算：^V48-3+百=.

【答案】3

【提示】先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算括號(hào)內(nèi)的減法，然后計(jì)算二次根式的除法即可.

【詳解】解：（，?！?夠）+V3

=卜百—3x千百

=（4V3一店）一百

=3V3V3

=3

故答案為：3.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2022.湖北荊州.中考真題）若3-魚的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b,則代數(shù)式（2+&a）?6的

值是_____.

【答案】2

【提示】先由1<注<2得到1<3-a<2,進(jìn)而得出a和b,代入（2+V2a）-b求解即可.

【詳解】解：1<夜<2,

.-.1<3-V2<2,

3-夜的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b,

.".a=1,b=3—V2—1=2—V2.

,■,（2+V2a）-b=（2+V2）x（2-V2）=4-2=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查無(wú)理數(shù)及代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握無(wú)理數(shù)估算方法和無(wú)理數(shù)

整數(shù)和小數(shù)部分的求解方法.

【變式3-2]（2023.湖北荊州?中考真題）已知k=V2（V5+V3）.（V5-V3）,則與k最接近的整數(shù)為（）