2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義-尺規(guī)作圖與定義、命題、定理

第29講尺規(guī)作圖與定義.命題、定理

目錄

題型07尺規(guī)作圖-找圓心

一、考情分析

題型08尺規(guī)作圖-過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)

二、知識(shí)建構(gòu)

考點(diǎn)一尺規(guī)作圖題型09尺規(guī)作圖-作外接圓

題型10尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓

題型01尺規(guī)作圖-作線(xiàn)段

題型11尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形

題型02尺規(guī)作圖-作角度

類(lèi)型一作一個(gè)角等于已知角題型12尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖

考點(diǎn)二定義、命題、定理

類(lèi)型二尺規(guī)作角的和、差

類(lèi)型三過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條線(xiàn)的平行題型01判斷是否命題

類(lèi)型四作角平分線(xiàn)題型02判斷命題真假

題型03舉反例說(shuō)明命題為假命題

題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）

題型04寫(xiě)出命題的逆命題

題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線(xiàn)與高

題型反證法證明中的假設(shè)

題型05尺規(guī)作圖-作垂直平分線(xiàn)05

題型06用反證法證明命題

題型06尺規(guī)作圖-畫(huà)圓

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

＞能用尺規(guī)作圖：本考點(diǎn)內(nèi)容以考查尺規(guī)作

①作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線(xiàn).圖和真假命題為主，年年考查，

尺規(guī)作圖

②作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn).是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為

③過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的平行線(xiàn).6分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中

④已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)

邊上的高線(xiàn)作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形.點(diǎn).中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查

⑤過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)涉及多種形式，不再是單一的

接正方形和內(nèi)接正六邊形.對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而

⑥過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn).是把作圖與計(jì)算、證明、分析、

>通過(guò)具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義.判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融

>結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)

概念.會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用

定義、命

>知道證明的意義和證明的必要性，知道數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯，知道可數(shù)學(xué)思考解決問(wèn)題的能力，為

題、定理

以用不同的形式表述證明的過(guò)程，會(huì)用綜合法的證明格式.避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.

>了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的.

>通過(guò)實(shí)例體會(huì)反證法的含義.

題型01尺規(guī)作圖-作線(xiàn)段

題型02尺規(guī)作圖-作角度

類(lèi)型一作一個(gè)角等于已知角

類(lèi)型二尺規(guī)作角的和、差

先分析題目，讀懂題意,類(lèi)型三過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條線(xiàn)的平行

類(lèi)型四作角平分線(xiàn)

尺判斷題目要求作什么

尺題型尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）

規(guī)03

規(guī)讀懂題意后，再運(yùn)用幾種題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線(xiàn)與高

作

題型尺規(guī)作圖-作垂直平分線(xiàn)

作基本作圖方法解決問(wèn)題05

圖

題型06尺規(guī)作圖-畫(huà)圓

圖

切記作圖中一定要保留作題型07尺規(guī)作圖-找圓心

與圖痕跡題型08尺規(guī)作圖-過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)

定題型09尺規(guī)作圖-作外接圓

題型10尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓

義

題型11尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形

題型12尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖

'

命

題

定

義題型01判斷是否命題

,

命題型02判斷命題真假

定題型03舉反例說(shuō)明命題為假命題

瓢

題型04寫(xiě)出命題的逆命題

定

題型05反證法證明中的假設(shè)

理

題型06用反證法證明命題

考點(diǎn)一尺規(guī)作圖

.夯基-必備基礎(chǔ)能謝迪

尺規(guī)作圖的定義：在幾何里，把限定用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖稱(chēng)為尺規(guī)作圖.

五種基本作圖:

類(lèi)型圖示作圖依據(jù)

?a

作一條線(xiàn)段等

圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.

于已知線(xiàn)段

1___________Pp

01

作一個(gè)角等于

1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；

已知角

2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

B3）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).

作一個(gè)角的平

分線(xiàn)

作一條線(xiàn)段的

1）到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)

垂直平分線(xiàn)

段的垂直平分線(xiàn)上；

2）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).

M

過(guò)一點(diǎn)作已知

1）等腰三角形“三線(xiàn)合一”;

直線(xiàn)的垂線(xiàn)

X

D//A

LB2）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).

N>

根據(jù)基本作圖作三角形

類(lèi)型圖示

已知三角形的三邊，求作三角形二M

a

已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形

b

已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形

2tA2A

m/a

Bm1C

已知直角三角形一直角邊和斜邊求作直角

三角形

根據(jù)基本作圖作圓

類(lèi)型圖示

過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓

（即三角形的外接圓）

A

作三角形的內(nèi)切圓

尺規(guī)作圖的關(guān)犍：

1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；

2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問(wèn)題；

3）切記作圖中一定要保留作圖痕跡.

提升-必考題型歸納

題型01尺規(guī)作圖-作線(xiàn)段

[例1](2021上?遼寧撫順?九年級(jí)校聯(lián)考周測(cè))如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,根據(jù)下列要求畫(huà)圖.

A

.5

D

⑴畫(huà)直線(xiàn)42；

(2)作射線(xiàn)BC；

(3)畫(huà)線(xiàn)段4。；

⑷連接CD,并延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E,使。；(保留作圖痕跡)

(5)在四邊形ABCD內(nèi)找一點(diǎn)。，使它到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的和OA+OB+OC+OD最小.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

(4)見(jiàn)解析

(5)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)直線(xiàn)的概念作圖即可；

(2)根據(jù)射線(xiàn)的概念作圖即可；

(3)根據(jù)線(xiàn)段的概念作圖即可；

(4)以點(diǎn)。為圓心、DC為半徑，畫(huà)弧交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E；

(5)根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短,連接AC2。,交點(diǎn)即為所求點(diǎn)O.

【詳解】(1)如圖所示，直線(xiàn)A8即為所求；

(2)如圖所示，射線(xiàn)BC即為所求；

(3)如圖所示，線(xiàn)段A。即為所??；

(4)如圖所示，線(xiàn)段DE即為所求；

(5)如圖所示，點(diǎn)。即為所求.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了直線(xiàn)，射線(xiàn)和線(xiàn)段的定義和作圖.熟練地掌握直線(xiàn)，射線(xiàn)和線(xiàn)段的定義，并正確

的根據(jù)定義作圖是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1J(2023上?廣西河池?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在同一平面上有A,B,C三個(gè)點(diǎn)，按要求作圖：

C

AB

⑴作直線(xiàn)AC,射線(xiàn)8C,連接AB；

⑵延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使得BD=AB；

(3)直接寫(xiě)出N4BC+乙CBD=°.

【答案】(1)圖見(jiàn)解析；

(2)圖見(jiàn)解析；

(3)180°

【分析】(1)按照題意用直尺作出圖形；

(2)按照題意作出圖形即可；

(3)由題意可知，N&BC+MBD=180°.

【詳解】(1)解：如圖所示，直線(xiàn)AC,射線(xiàn)8c,線(xiàn)段A8即為所求；

(2)解：如圖所示線(xiàn)段BD即為所求；

(3)解：/.ABC+乙CBD=180°,理由是：

.?延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使得8。=AB

■.^ABD是平角

【點(diǎn)撥】本題考查了直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)的作圖，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作圖.

【變式1-2](2023?山西太原?山西大附中?？寄M預(yù)測(cè))已知線(xiàn)段a、b、c.

，a，

b

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線(xiàn)段AB，使它等于a+c-6.(保留作圖痕跡，檢查無(wú)誤后用水筆描黑，包括痕

跡)

(2)若a=6,6=4,c=7,點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求2C的長(zhǎng).

【答案】⑴作圖見(jiàn)解析

(2)

【分析】(1)作射線(xiàn)力M,在射線(xiàn)AM上順次截取4E=a,EF=c,在線(xiàn)段F4上截取FB=b,則線(xiàn)段4B即為

所求；

(2)由(1)中結(jié)論及已知條件，求得48的長(zhǎng)，再利用線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得AC的長(zhǎng).

【詳解】(1)解：如圖,線(xiàn)段力B即為所求：

AB\]EIFM

（2）如圖，

ACB\~tM

a=6,b=4,c=7,

???AB=a+c—b=6+7—4=9

,?,點(diǎn)C是線(xiàn)段48的中點(diǎn)，

11

???AC=-AB=-x9=4.5

22

即4c的長(zhǎng)4.5.

【點(diǎn)撥】本題考查基本作圖、線(xiàn)段的和差、線(xiàn)段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【變式1-3]（2022上?廣西梧州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線(xiàn)段a,b,用直尺和圓規(guī)作圖,分別作

下列兩條線(xiàn)段.

①ZB=a+b；

②CD=2a—b.

'a''b,

（2）已知：如圖，^AOB=乙COD=90。，乙BOD=25°.求NZOC的度數(shù).

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）155°

【分析】（1）①先作線(xiàn)段AC=a,再以點(diǎn)C為一端點(diǎn)，往AC延長(zhǎng)線(xiàn)方向作線(xiàn)段CB=b即可；

②先作線(xiàn)段CE=2a,再以點(diǎn)E為一端點(diǎn)，往EC延長(zhǎng)線(xiàn)方向作線(xiàn)段ED=b即可；

（2）先根據(jù)已知條件求出NA。。的度數(shù)，再由N40C=4COD+NA。。計(jì)算即可.

【詳解】（1）解:

ab

AacbB

①AB=a+b；

CD

1

?--------------------1-------------1-------------------------------------F

aba

②CD=2a-b

（2）解：???乙AOB=90°,

???乙COD=90°

??.AAOC=乙COD+AAOD=90°+65°=155°.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-線(xiàn)段的和差及計(jì)算角的和差，熟練掌握作圖技巧及知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型02尺規(guī)作圖-作角度

類(lèi)型一作一個(gè)角等于已知角

[例2]（2022?吉林長(zhǎng)春統(tǒng)考一模）如圖,在42BC中，乙4cB=90°,AC^BC.用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在

AB邊上找一點(diǎn)D，使NBCD=乙4,則符合要求的作圖是（）

CC

「上些

A.A心、____JRB.4DR

「CAC

A

A」古

C.DBdZ—

、.B

【答案】c

【分析】過(guò)點(diǎn)。作A8的垂線(xiàn)，利用同角的余角相等證明即可.

【詳解】根據(jù)題意，A作圖是構(gòu)造等腰三角形，

不符合題意；

B是作的角的平分線(xiàn)，

故不符合題意;

。是過(guò)點(diǎn)。作A3的垂線(xiàn),

/.ZA=9O°-ZB,ZBC￡）=90°-ZB,

.'.7-BCD=Z-A,

故c符合題意；

D作的是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，

故不符合題意，

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂線(xiàn)的基本作圖，余角的性質(zhì)，熟練掌握作圖，靈活運(yùn)用互余性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023?山東青島??？家荒＃┤鐖D，BD平分NABC，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn).

⑴尺規(guī)作圖：以E為頂點(diǎn)，作NAEF=ZABC，交BD于點(diǎn)F（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

⑵在（1）的條件下，若NDFE=150°,求NBEF的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）120°

【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法即可作乙4所=NABC，交BD于點(diǎn)F.

（2）根據(jù)150°，可得到NEFB的度數(shù)，再根據(jù)平行線(xiàn)的判定及性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義即可得到NBEF

的度數(shù).

【詳解】（1）解：如圖，4所即為所求；

A

/.ZEFB=180°-150°=30°r

,：Z.AEF=Z-ABC,

.".EFIIBC.

"FBC=/EFB=30。,NEBC+NBEF=180°.

：BD平分NA5C,

/.ZEBC=2ZFBC=6O°,

/.ZBEF=180°-60°=120°.

【點(diǎn)撥】本題考查了基本作圖，角平分線(xiàn)的定義，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì),掌握作一個(gè)角等于已知角，熟練

運(yùn)用平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2021下上海閔行?上海上師初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知乙4。8=70。，Na=53。，在圖中

用尺規(guī)作乙40c=Na,并計(jì)算ABOC的值.（保留作圖痕跡，不得使用量角器）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】分兩種情況：0C在乙40B內(nèi)和。C在乙40B外進(jìn)行作圖解題即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)。C在乙4OB內(nèi)時(shí),

乙BOC=4A0B-^AOC=70°-53°=17°,

A

如圖，當(dāng)。C在NAOB夕卜時(shí),

Z.BOC=/.AOB+AAOC=70°+53°=123°,

綜上所述，乙BOC=17?；騈80C=123°.

【點(diǎn)撥】本題考查限定工具作圖一尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，角的和差，掌握分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

類(lèi)型二尺規(guī)作角的和、差

［例3］（2023上?內(nèi)蒙古呼和浩特??？茧A段練習(xí)）如圖，已知乙4BC.

⑴請(qǐng)以射線(xiàn)DG為邊作一個(gè)角，使它等于乙4BC的補(bǔ)角；（尺規(guī)作圖，不必寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

DG

（2）若N4BC的補(bǔ)角是N4BC的5倍，貝［UABC=_.

【答案】⑴詳見(jiàn)解析

（2）30°

【分析】（1）作一個(gè)角等于已知角，反向延長(zhǎng)所作角的一邊，得其鄰補(bǔ)角即為所求.

（2）根據(jù)補(bǔ)角的定義知互為補(bǔ)角的兩個(gè)角和為180。,構(gòu)建方程求解.

【詳解】（1）解：作NMDF=^ABC,反向延長(zhǎng)射線(xiàn)DM，得射線(xiàn)DG,NGDF即為所求；

（2）解:由題意，得乙4BC+5UBC=180°,

解彳導(dǎo)：AABC=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作一個(gè)角等于已知角，補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方

法和步驟，以及相加等于180。的兩個(gè)角互補(bǔ).

【變式3-1］（2023上?陜西榆林??？茧A段練習(xí)）已知如圖〃、邛，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖作"OB，使乙4OB=

-Na.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法先作乙4。。=邛,再以。C為角的一邊作NBOC=za,貝!］乙4OB即為所求.

【詳解】解:如圖，乙4。1即為所求.

【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖，角的計(jì)算，熟練掌握尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?陜西商洛統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△4BC中，4B=AC,乙4BC的平分線(xiàn)交4c于點(diǎn)E,請(qǐng)

用尺規(guī)作圖法，在射線(xiàn)8E上求作一點(diǎn)。，使得乙4DE=jzC.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】如圖所示，作"4。="交射線(xiàn)BE于。，點(diǎn)D即為所求.

【詳解】解：如圖所示，作“4。=NC交射線(xiàn)BE于D,點(diǎn)D即為所求；

:^CAD=Z.C,

'.'AD||BC,

.'.Z.ADE=Z.CBE,

?248。的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E,

：./.CBE=-/.ABC,

2，

：AB=AC,

.'.Z-C=乙ABC,

【點(diǎn)撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作與已知角相等的角，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，角平分線(xiàn)的定義，等邊

對(duì)等角等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

類(lèi)型三過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條線(xiàn)的平行

[例4]（2022?廣東佛山?西南中學(xué)?？既＃┤鐖D，在^ABC中，尸為4C邊上任意一點(diǎn)，按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交力P、4B于點(diǎn)M,N；②以點(diǎn)P為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作

弧，交PC于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在4ABC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)F；④作射線(xiàn)PF交

BC于點(diǎn)Q.若乙4=60°,ZC=40°,則NPQC=()

c

A.100°B.80°C.60°D.40°

【答案】B

【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到NB=80°,再根據(jù)作圖方法可知NCPQ=乙4,則PQ||AB,由此即可

彳導(dǎo)至[kPQC=NB=80°.

【詳解】解：,?,〃=60°,ZC=40°,

"B=180°-42—“=80°,

由作圖方法可知NCPQ=乙4,

■■PQIIAB,

：/PQC=ZB=80°,

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，尺規(guī)作圖一作與已知角相等的角，證

明PQIMB是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023下河南焦作統(tǒng)考期中）如圖，已知NBOP與射線(xiàn)OP上的點(diǎn)A，小亮用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)4作OB的

平行線(xiàn)，步驟如下.

①取射線(xiàn)。P上的點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心，。。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。B于點(diǎn)。；

②以點(diǎn)A為圓心，0C長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。力于點(diǎn)M；

③以點(diǎn)M為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交第②步中所畫(huà)的弧于點(diǎn)E,直線(xiàn)瓦4即為所求.

小亮作圖的依據(jù)是（）

A.同位角相等，兩直線(xiàn)平行

B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行

C.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行

D.以上結(jié)論都不正確

【答案】B

【分析】由作法可知：NON04E,結(jié)合平行線(xiàn)的判定定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由作法可知：4。=4。4萬(wàn),

根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，可得

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線(xiàn)的判定，尺規(guī)作圖，根據(jù)圖形的作法得到N0=N04E是關(guān)鍵.

【變式4-2］（2024上?陜西商洛統(tǒng)考期末）如圖，在△48C中，延長(zhǎng)8c至點(diǎn)D，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法求作射線(xiàn)CE,

使得CE||AB,且點(diǎn)E在BD上方.（保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法）

【分析】本題考查了角的基本作圖，利用同位角相等，兩直線(xiàn)平行，畫(huà)一個(gè)角等于NB,且是一對(duì)同位角即

可.

則CE即為所求.

【變式4-3](2023上?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考期末)圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖

圖①圖②圖③

⑴在圖①中△ABC的邊BC上確定一點(diǎn)E,連結(jié)DE，使DE||AC.

(2)在圖②中△ABC的邊4C上確定一點(diǎn)F,連結(jié)DF，使乙4FD=乙C.

⑶在圖③中A/IBC的邊4C上確定一點(diǎn)G,連結(jié)DG，使乙4GD=4B.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題考查網(wǎng)格作圖，中位線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)；

(1)利用網(wǎng)格特征作出BC的中點(diǎn)E,連接DE即可；

(2)利用網(wǎng)格特征作出線(xiàn)段4c的中點(diǎn)F,連接DF即可；

(3)利用網(wǎng)格特征作出乙4DE=ZC,交2C于點(diǎn)G,即可.

解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解：如圖1中，點(diǎn)E即為所求；

(2)如圖2中，點(diǎn)F即為所求；

(3)如圖3中，利用網(wǎng)格特征作出乙4DE=NC,交4C于點(diǎn)G,

由三角形的內(nèi)角和可知：/-AGD-/.B,

圖③

類(lèi)型四作角平分線(xiàn)

[例5](2024上內(nèi)蒙古包頭統(tǒng)考期末)如圖，在44BC中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為

半徑作弧，分別交48,BC于點(diǎn)。和E；②分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)尸；

③作射線(xiàn)BF交2C于點(diǎn)G；④過(guò)點(diǎn)G作GHIIBC交4B于點(diǎn)H,若乙BHG=110°,貝UNHGB=()

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】C

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握角平分線(xiàn)的基本作圖思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.也考查了平行

線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和.由題意可知8G是乙4BC的平分線(xiàn)，得到乙48G=ZCBG,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得

至LUHGB=ACBG,等量代換得到NHGB=乙4BG,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由題意可知8G是乙4BC的平分線(xiàn)，

?e.Z-ABG=Z-CBGI

???HG||BC,

???乙HGB=乙CBG,

??.Z.HGB=/-ABG,

???乙BHG=110°z

???乙AGB=乙HBG=jx(180°-110°)=35。，

故選：c.

【變式5-1](2023上?廣東廣州?廣州市第七十五中學(xué)?？计谥?如圖，已知△力BC.

⑴尺規(guī)作圖：作乙4cB的角平分線(xiàn)，與4B交于點(diǎn)D；(保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法)

(2)若=50°,乙B=70°,求NCZM的大小.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)zCDX=100°

【分析】(1)根據(jù)角平分線(xiàn)的作圖方法作圖即可；

(2)利用三角形內(nèi)角和及角平分線(xiàn)定義乙4CD=乙BCD=30°,由三角形內(nèi)角和定理求出NCZM大小即可.

【詳解】(1)解：如圖，即為所求；

(2)解：?；乙4=50°,ZB=70°,

：.^ACB=180°一4力-NB=60°,

平分NACB,

..AACD=乙BCD=-^ACB=30°,

2

:./-CDA=180°一"CD—/A=180°—30°-50°=100°.

【點(diǎn)撥】此題考查了基本作圖一角平分線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)的定義求角度，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握

各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023上河南駐馬店?統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖,已知△48C,過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)/IIBC.

⑴請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出NB的平分線(xiàn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

⑵若（1）中所作的角平分線(xiàn)與直線(xiàn)I交于點(diǎn)D.求證：△ABD是等腰三角形.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）利用角平分線(xiàn)的作圖步驟作圖即可；

（2）由平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義，得出乙4BD=UDB,即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，BE即為NB的平分線(xiàn)；

???Z.ADB=Z-DBC

???BD平分NABC,

???Z-ABD=Z.CBD,

???乙ABD=乙ADB,

AB=AD,

??.△ZBD是等腰三角形.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖——角平分線(xiàn)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的判定，熟練掌握

等腰三角形判定條件是解題關(guān)鍵.

題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）

[例6]（2024上山西呂梁?統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC.

實(shí)踐操作：

（1）作^ABD，使△ABD-AABC.（要求：尺規(guī)作圖，點(diǎn)D在直線(xiàn)的下方，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

推理與探究：

（2）點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE||BD.探究：線(xiàn)段CE+4E與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）CE+AE=DB,見(jiàn)解析

【分析】本題考查了作三角形以及全等三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)：

（1）以點(diǎn)A為圓心，力C為半徑在4B下方畫(huà)弧，同時(shí)以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑，在下方畫(huà)弧，兩弧相交

一點(diǎn)，即為點(diǎn)D,因?yàn)?C=AD,AB=AB,BC=BD,所以△ABDSAABC,即可作答.

（2）先由全等三角形的，性質(zhì)，得NCBA=乙DBA,CB=DB,結(jié)合平彳亍線(xiàn)的性質(zhì)，得NCBA=乙EAB,以及

等角對(duì)等邊，即可作答.

【詳解】解：（1）如圖△4BD即為所求；

(2)CE+AE=DB.理由：

??△ABD=△ABC

???^CBA=^DBA,CB=DB

???AE||BD

???乙EAB=Z-ABD

??.Z.CBA=乙EAB

??.EA=EB

???CB=CE+EB

DB=CE+AE.

【變式6-1］（2023上?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考期末）（1）尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法.如圖，為了

得到NMBN=4PAQ,在用直尺和圓規(guī)作圖的過(guò)程中，得到△ACD^△BEF的依據(jù)是（）

（2）如圖，直線(xiàn)“是一條公路，M,N是公路a同側(cè)的兩個(gè)居民區(qū)，現(xiàn)計(jì)劃在公路”上修建一個(gè)公交候車(chē)

亭O,及修建兩居民區(qū)M,N之間的道路，為了使OM+ON+MN最短，請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)。的位置（尺規(guī)作

圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

?N

M

【答案】（1）B；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）本題考查了全等三角形的判定定理，三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，以及作一個(gè)角等于已

知角，根據(jù)用尺規(guī)畫(huà)一個(gè)角等于已知角的步驟，據(jù)此即可求解.

（2）本題考查將軍飲馬模型，作M關(guān)于直線(xiàn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接N"與直線(xiàn)。交于點(diǎn)。，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和

兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，即可得到。M+ON+MN最短.

【詳解】（1）解：根據(jù)做法可知：AC=BE,4。=BF,CD=EF,

/.AACDBABEF（SSS）,

故選：B.

(2)解：點(diǎn)。的位置如圖所示：

,?N

M/

Mr

【變式6-2](2024上?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考期末)我們定義：頂角等于36。的等腰三角形為黃金三角形.

如圖，△中，AB=ZC且乙4=36。，貝^4ZBC為黃金三角形.

1C⑴利用尺規(guī)作圖，在圖中構(gòu)造出一個(gè)“黃金三角形”；(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

(2)說(shuō)說(shuō)(1)中的三角形是“黃金三角形”的理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)

及角平分線(xiàn)的作圖是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)定義可知，黃金三角形需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①等腰三角形，②頂角為36。.因此滿(mǎn)足條件的黃金三

角形不唯一，例如以NC=72。為一個(gè)角構(gòu)造黃金三角形，只需作48的平分線(xiàn)交4C于點(diǎn)。，則小BDC是黃金

三角形；

(2)由48=4c及三角形內(nèi)角和定理可知乙4BC=NC=72°，由角平分線(xiàn)的定義可得乙4BD=LCBD=36°,

貝UABDC=72°,所以N8DC=ZC,故4是黃金三角形.

【詳解】(1)如圖，△BDC就是所求作的黃金三角形；

A

A

A

-------

(2)-AB=AC,

180°—乙4

Z.ABC=Z-C==72°

2z

由作圖可知，BD平分乙4BC,

i

"B。=NCBD=_BC=36。，

乙乙

BDC=^A+ABD=72°z

??.Z.BDC=Z-C,

所以△BDC是黃金三角形.

【變式6-3]（2024上江西南昌?校聯(lián)考期末）如圖是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,僅用

無(wú)刻度直尺在圖①和圖②中按要求作圖.

圖①圖②

⑴在圖①中，畫(huà)等腰三角形ABC，使其面積為3（畫(huà)出一個(gè)即可）；

⑵在圖②中，畫(huà)等腰直角三角形4BD，使其面積為：（畫(huà)出一個(gè)即可）.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定：

（1）取格點(diǎn)C,連接AC、BC,貝必ABC即為所求；

（2）取格點(diǎn)D,連接4D、BD,!J1I|AABD即為所求；

【詳解】（1）解：如圖所示，△ABC即為所求；

（2）解：如圖所示，△4BD即為所求。

【變式6-4］（2023上?江蘇南京?校聯(lián)考期末）如圖，已知線(xiàn)段4B,用兩種不同的方法作一個(gè)含30。角的直角

三角形4BC,使其斜邊為（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

I__________________II_____________________I

ABAB

【答案】見(jiàn)解析

【分析】方法一，作線(xiàn)段4B的垂直平分線(xiàn)，交48于點(diǎn)D,再以點(diǎn)D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)A為

圓心，4。長(zhǎng)為半徑作弧與前弧相交于點(diǎn)C,A力BC即為所作；

方法二，作線(xiàn)段4B的垂直平分線(xiàn)，交48于點(diǎn)。，再作射線(xiàn)4C,在射線(xiàn)71C上截取AC=\AB,過(guò)點(diǎn)C作AC的

垂線(xiàn),以點(diǎn)A為圓心，力B長(zhǎng)為半徑作弧，交CB于點(diǎn)B,△48C即為所作.

【詳解】解：方法一：含30。角的直角三角形A8C如圖所示：

方法二：含30。角的直角三角形4BC如圖所示：

【點(diǎn)撥】本題考查的是作圖-復(fù)雜作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式6-5](2022下福建漳州統(tǒng)考期末)求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30°,則它所對(duì)的直角

邊等于斜邊的一半.要求：

____________C

AB

(1)根據(jù)給出的線(xiàn)段4B及N8，以線(xiàn)段48為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出RtAABC的斜邊4C，使得乙4=

30°,保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；

⑵根據(jù)(1)中所作的圖形，寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；

(2)根據(jù)圖形和命題的已知事項(xiàng)寫(xiě)出已知，根據(jù)命題的未知事項(xiàng)寫(xiě)出求證，再寫(xiě)出證明過(guò)程即可.

【詳解】(I)解：如圖所示，線(xiàn)段4c為所求作的線(xiàn)段；

(2)已知：如圖，△ABC是直角三角形，N28C=90°,乙4=30°.

求證：BC=^AC.

解法一：如圖，在AC上截取一點(diǎn)。，使得CD=CB,連接DB.

\^ABC=90°,乙4=30°z：.Z.ACB=60°.

.CD=CB，:.△BCD是等邊三角形.

「.BC=CD=BD,Z.CBD=60°.

\^ABC=90°z=AABC-^CBD=30°.

..Z-ABD=Z-A..,.DA=DB.

i

：BC=CD=DB,：.BC=-AC.

'2

解法二：如圖,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)。，使CB=BD,連接ZD.

'：^ABC=90°,^BAC=30°z

：.^ABD=90°,乙ACB=60°,

：AB=AB,BC=BD,乙ABC=Z.ABD,

：△ABC=△ABD(SAS).：.AC=AD.

「.△ZCD是等邊三角形.

.t.AC=CD.

：BC=-CD,：.BC=-AC.

22

【點(diǎn)撥】本題主要考查了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角及命題的證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)格式，掌握相關(guān)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.

【變式6-6].(2022弓工蘇南京?統(tǒng)考一模)如圖，已知線(xiàn)段a,h,用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰

三角形ABC（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）.

（l）ZkA8C的底邊長(zhǎng)為a,底邊上的懸）為h；

（2）AABC的腰長(zhǎng)為a,腰上的高為h.

【答案】（1）作圖及理由見(jiàn)解析；

⑵作圖及理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）首先作線(xiàn)段BC=a,再作出BC的垂直平分線(xiàn)，然后截取高為h,連接AB.CA即可.

（2）首先作直線(xiàn)GH垂直于直線(xiàn)DE,垂足為F,再直線(xiàn)DE上取線(xiàn)段FC=h，然后=AC=a,連接AB.CB

即可.

作法：1.作線(xiàn)段BC=a,（如圖1）

2.作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)MN,最足為0,

3.在直線(xiàn)MN上取線(xiàn)段OA=h,

4.連接AB.AC,

為所求作的三角形；

理由：??線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)是MN,OA=h,

AB=AC,AABC的高為h,

.,.△ABC為等腰三角形，

BC=a,

???△ABC是底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高為h的等腰三角形；

作法：1.作直線(xiàn)GH垂直于直線(xiàn)DE,垂足為尸，（如圖2）

2.在直線(xiàn)DE上取線(xiàn)段FC=h,

3.以點(diǎn)C為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)GH于點(diǎn)A,

4.以點(diǎn)A為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線(xiàn)AF于點(diǎn)B,

5.連接BCAC,

△ABC為所求作的三角形；

理由：???AB=AC=a,

??.△ABC為等腰三角形，

???直線(xiàn)GH垂直于直線(xiàn)DE,垂足為F,FC=h,

.?.△ABC是腰長(zhǎng)為a,腰上的高為h的等腰三角形；

【點(diǎn)撥】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是正確掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法和等腰三角形的性質(zhì).

題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線(xiàn)與高

【例7】(2023下?江蘇泰州?泰州市海軍中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)4ABC，按要求進(jìn)

行下列作圖(只能借助于網(wǎng)格)

⑴分別畫(huà)出AaBC的中線(xiàn)8G、高CH；

⑵畫(huà)出先將△4BC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF；

(3)畫(huà)一個(gè)享用三角形MNP(要求各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上)，使其面積等于4A8C的面積的2倍.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的高和中線(xiàn)的定義結(jié)合網(wǎng)格作圖即可；

(2)根據(jù)平移變換的定義和性質(zhì)作圖即可；

(3)由44BC的面積為3知所作三角形的面積為6,據(jù)此結(jié)合網(wǎng)格作圖即可得解；

【詳解】(1)如圖所示，中線(xiàn)BG、高即為所求；

(2)如圖所示，△DEF即為所求；

(3)如圖所示，直角三角形MNP即為所求；

【點(diǎn)撥】本題主要考查作圖-基本作圖及平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的高，中線(xiàn)的定義和平移變換

的定義與性質(zhì).

【變式7-1](2023?吉林?一模)如圖，圖①、圖②均是8x8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每

個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)4B、C均為格點(diǎn).只用無(wú)刻度的直尺，按下列要求作圖：

⑴在圖①中，作△ABC的BC邊上的高；

⑵在圖②中，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)使得直線(xiàn)/平分仆ABC的面積.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，找到格點(diǎn)。，使得△ABD是直角三角形，且乙4DB=90。，連接4D,即可求

解.

(2)根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到4C的中點(diǎn)，過(guò)2C的中點(diǎn)與點(diǎn)B作直線(xiàn)/,即可求解.

【詳解】（1）解：線(xiàn)段4。即為所求；

C

A

圖①

-：AB=22+44=20,AD=32+33=18,BD=I2+I2

：.AB2=AD2+BD2

.■.A4BD是直角三角形，且乙=90°,

.MD即為所求；

（2）直線(xiàn)］即為所求.

圖②

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，作三角形的高，中線(xiàn)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2】（2024?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△力BC中，4。是BC邊上的中線(xiàn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在4c

邊上作一點(diǎn)P,使得S-BC=4S”DP.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂線(xiàn)，與三角形中線(xiàn)有關(guān)的面積的計(jì)算，分別以點(diǎn)4