2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式習(xí)題課均值不等式的應(yīng)用課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版必修第一冊(cè)

其次章等式與不等式習(xí)題課均值不等式的應(yīng)用課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.某工廠第一年產(chǎn)量為A,其次年的增長(zhǎng)率為a,第三年的增長(zhǎng)率為b,這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,則()A.x=a+b2 B.C.x>a+b2 D.解析由條件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+a)+(1+b)22,所以1+x≤1答案B2.已知正數(shù)x,y滿(mǎn)意x+2y-xy=0,則x+2y的最小值為()A.8 B.4 C.2 D.0解析由x+2y-xy=0,得2x+1y=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×2x+1y=4yx+xy+4≥4+4答案A3.若正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)意a+b=1,則()A.1a+B.ab有最小值1C.a+b有最大值D.a2+b2有最小值2解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿(mǎn)意a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí),等號(hào)成立,故1a+1b有最小值4,故A不正確;由均值不等式可得a+b=1≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí),等號(hào)成立,∴ab≤14,故ab有最大值14,故B不正確;由于(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤2,∴a+b≤2,故a答案C4.(多選題)(2024遼寧高一月考)已知正數(shù)a,b滿(mǎn)意a+b=4,ab的最大值為t,不等式x2+3x-t<0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是()A.t=2 B.t=4C.M={x|-4<x<1} D.M={x|-1<x<4}解析∵正數(shù)a,b滿(mǎn)意a+b=4,∴ab≤a+b22=4,即ab的最大值為t=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),等號(hào)成立.∵x2+3x-4<0的解集為M,∴M={x|-答案BC5.(多選題)設(shè)a>0,b>0,下列不等式恒成立的是()A.a2+1>a B.a+C.(a+b)1a+D.a2+9>6a解析A中,由于a2+1-a=a-122+34>0,∴a2+1>a,故A恒成立;B中,由于a+1a≥2,b+1b≥2,∴a+1ab+1b≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立,故B恒成立;C中,由于a+b≥2ab,1a+1b≥21ab,∴(a+b)1a+答案ABC6.已知一次函數(shù)y=-12x+1的圖像分別與x軸、y軸相交于A,B兩點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線(xiàn)段AB上,則ab的最大值是,取得最值時(shí)a的值為.解析因?yàn)锳(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由題意得a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·1-b+b22當(dāng)且僅當(dāng)1-b=b,即b=12時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)a=因此當(dāng)b=12,a=1時(shí),ab的最大值為1答案127.某公司一年需購(gòu)買(mǎi)某種貨物200噸,平均分成若干次進(jìn)行購(gòu)買(mǎi),每次購(gòu)買(mǎi)的運(yùn)費(fèi)為2萬(wàn)元,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用數(shù)值(單位:萬(wàn)元)恰好為每次的購(gòu)買(mǎi)噸數(shù)數(shù)值,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則每次購(gòu)買(mǎi)該種貨物的噸數(shù)是.

解析設(shè)每次購(gòu)買(mǎi)該種貨物x噸,則須要購(gòu)買(mǎi)200x次,則一年的總運(yùn)費(fèi)為200x×2=400x,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為x,所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用為400x+x≥2400x·x=答案208.如圖某村安排建立一個(gè)室內(nèi)面積為800平方米的矩形蔬菜溫室,溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1米寬的通道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3米寬的空地,當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí),蔬菜的種植面積最大?最大種植面積是多少?解設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米,則另一邊長(zhǎng)為800x米,因此種植蔬菜的區(qū)域?qū)挒?x-4)米,長(zhǎng)為800x-2米.由x-4>0所以其面積S=(x-4)·800x-2=808-2x+3200x≤808-22x·3200x=808-160=當(dāng)且僅當(dāng)2x=3200x,即x=40∈(4,400)時(shí)等號(hào)成立.因此當(dāng)矩形溫室的兩邊長(zhǎng)分別為40米,20米時(shí)蔬菜的種植面積最大,最大種植面積是648平方米9.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:(1)1a(2)1+1a1+1b≥9.證明(1)因?yàn)閍+b=1,a>0,b>0,所以1a+1b+1所以1a+1b=a+ba所以1a+1b+1ab≥8(2)方法一因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1,所以1+1a=1+a+ba=2+ba,同理1+1所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.所以1+1a1+1b≥9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)等號(hào)成立.方法二1+1a1+1b=1+1a+1由(1)知,1a故1+1a1+1b=1+1a+1b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號(hào)實(shí)力提升練1.某金店用一桿不精確的天平(兩邊臂不等長(zhǎng))稱(chēng)黃金,某顧客要購(gòu)買(mǎi)10g黃金,售貨員先將5g的砝碼放在左盤(pán),將黃金放于右盤(pán)使之平衡后給顧客,然后又將5g的砝碼放入右盤(pán),將另一黃金放于左盤(pán)使之平衡后又給顧客,則顧客實(shí)際所得黃金()A.大于10g B.小于10gC.大于等于10g D.小于等于10g解析設(shè)兩臂長(zhǎng)分別為a,b,兩次放入的黃金數(shù)是x,y,依題意有ax=5b,by=5a,所以xy=25.因?yàn)閤+y2又a≠b,所以x≠y.所以x+y>10,即兩次所得黃金數(shù)大于10g.答案A2.若a,b為大于1的實(shí)數(shù),且滿(mǎn)意a+b=ab,則4a-1A.2 B.4 C.6 D.8解析因?yàn)閍,b為大于1的實(shí)數(shù),所以4a-1>0,1因?yàn)閍+b=ab可知ab-(a+b)=0,∴4a-1+1當(dāng)且僅當(dāng)a=3,b=32時(shí)等號(hào)成立答案B3.已知正實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)意m+n=1,且使1m+16n取得最小值.若y=5m,x=4n是方程y=xA.-1 B.12 C.2 D.解析1m+16n=1m+16n(m+n)=17+16mn+nm≥17+當(dāng)且僅當(dāng)16mn=nm,又m+n=1,即m=15,n=45時(shí),上式取等號(hào),即1m+16n取得最小值時(shí),m=15,n=45答案C4.若a>0,b>0,且a+b=1,則1a2-A.9 B.8 C.7 D.6解析1a2=(a+b)2-a2-b2a所以當(dāng)a=b=12時(shí),原式取最小值9答案A5.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m恒成立,則A.10 B.9 C.8 D.7解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab答案B6.設(shè)a+b=2,b>0,則12|a|+|解析因?yàn)閍+b=2,所以12|a|+|a|又a+b=2,b>0,所以當(dāng)b=-2a,a=-2時(shí),12|答案-27.已知正數(shù)a,b,x,y滿(mǎn)意a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值為18,求a解x+y=(x+y)ax+by=a+bxy因?yàn)閤,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2ab=18,當(dāng)且僅當(dāng)bxy=ayx時(shí),等號(hào)成立.即又a+b=10,所以a8.某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元,年銷(xiāo)售量為8萬(wàn)件.(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若價(jià)格每提高1元,銷(xiāo)售量將相應(yīng)削減2000件,要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入,該商品每件定價(jià)最多為多少元?(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷(xiāo)售量.公司確定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革,并提高定價(jià)到x元.公司擬投入16(x2-600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用,投入50萬(wàn)元作為固定宣揚(yáng)費(fèi)用,投入15x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣揚(yáng)費(fèi)用.試問(wèn):當(dāng)該商品明年的銷(xiāo)售量a解(1)設(shè)每件定價(jià)為t元,依題意得8-t-251×0.2t≥25×8,整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40所以要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入,每件定價(jià)最多為40元.(2)依題意不等式ax≥25×8+50+16(x2-600)+15x有解,等價(jià)于x>25時(shí),a≥150x因?yàn)?50x+16x≥2150所以a≥10.2.所以當(dāng)該商品明年的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使明年的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.素養(yǎng)培優(yōu)練已知函數(shù)y=x+mx-1((1)若m=1,求當(dāng)x>1時(shí)函數(shù)的最小值;(2)