2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例章末復(fù)習(xí)課演練含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-章末復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯(cuò)提示]1．回來分析：(1)回來分析是建立在兩個(gè)具有相關(guān)性變量之間的一種模擬分析，因此必需先推斷兩變量是否具有相關(guān)性．(2)線性回來分析中易誤認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)必在回來直線上，實(shí)質(zhì)上回來直線必過(eq\o(x,\s\up10(－))，eq\o(y,\s\up10(－)))點(diǎn)，可能全部的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)都不在直線上．(3)利用回來方程分析問題時(shí)，所得的數(shù)據(jù)易誤認(rèn)為精確值，而實(shí)質(zhì)上是預(yù)料值(期望值)．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)：(1)通過獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)論未必正確，它只是對(duì)一種牢靠性的預(yù)料．(2)在2×2列聯(lián)表中，當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c，d都不小于5時(shí)，才可以用K2檢測(cè)．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)易錯(cuò)誤理解假設(shè)檢驗(yàn)原理，導(dǎo)致得到相反的結(jié)論．專題一線性回來分析回來分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法．依據(jù)兩個(gè)變量的一組觀測(cè)值，可以畫出散點(diǎn)圖，以推斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，可求出線性回來直線方程．求出線性回來模型后，可以借助殘差、殘差平方和以及相關(guān)指數(shù)R2等對(duì)模型進(jìn)行評(píng)判．相關(guān)指數(shù)R2刻畫回來的效果，其計(jì)算公式：R2＝1－,R2的值越大，模型的擬合效果越好.［例1］下表供應(yīng)了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組比照數(shù)據(jù)：(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)依據(jù)上表供應(yīng)的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回來方程；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試依據(jù)(2)求出的線性回來方程，預(yù)料技改后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品比技改前少消耗多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤.解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示：(2)xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\o(y,\s\up10(－))＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86.eq\o(b,\s\up10(^))＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝eq\f(66.5－63,86－81)＝0.7，eq\o(a,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(b,\s\up10(^))eq\o(x,\s\up10(－))＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的線性回來方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝0.7x＋0.35.(3)依據(jù)回來方程預(yù)料，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7×100＋0.35＝70.35(噸)，故耗能削減了90－70.35＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)．歸納升華1．求線性回來方程的基本步驟．2．需特殊留意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈直線時(shí)，求出的線性回來方程才有實(shí)際意義，否則求出的回來方程毫無意義．[變式訓(xùn)練]如圖是我國(guó)2008年至2024年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2008～2024(1)由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回來方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)料2024年我國(guó)生活垃圾無害化處理量．附注：解：因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系．所以y關(guān)于t的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.將2024年對(duì)應(yīng)的t＝11代入回來方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×11＝2。03.所以預(yù)料2024年我國(guó)生活垃圾無害化處理量將約為2。03億噸．專題二獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是推斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法．在推斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí)，作出等高條形圖只能近似地推斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到牢靠的結(jié)論．[例2]2024年10月18日至24日，中國(guó)共產(chǎn)黨第十九次全國(guó)人民代表大會(huì)在北京順當(dāng)召開．大會(huì)期間，北京某中學(xué)舉辦了一次“喜迎十九大”的讀書讀報(bào)學(xué)問競(jìng)賽，參賽選手為從高一年級(jí)和高二年級(jí)隨機(jī)抽取的各100名學(xué)生．圖1和圖2分別是高一年級(jí)和高二年級(jí)參賽選手成果的頻率分布直方圖．圖1圖2(1)分別計(jì)算參與這次學(xué)問競(jìng)賽的兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均成果；(2)若稱成果在68分以上的學(xué)生學(xué)問淵博，試以上述數(shù)據(jù)估計(jì)該高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的學(xué)問淵博率；(3)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下，認(rèn)為高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生這次讀書讀報(bào)學(xué)問競(jìng)賽的成果有差異．分類成果低于60分人數(shù)成果不低于60分人數(shù)總計(jì)高一年級(jí)高二年級(jí)總計(jì)附：P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).思路點(diǎn)撥：(1)利用均值公式求平均成果；(2)先利用頻率分布直方圖求出高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生成果在68分以上的學(xué)生所占的頻率；(3)完善2×2列聯(lián)表，代入K2公式求解．解：(1)高一年級(jí)參賽學(xué)生的平均成果為(45×0.04＋55×0.04＋65×0.01＋75×0.01)×10＝54(分)．高二年級(jí)參賽學(xué)生的平均成果為(45×0.015＋55×0.025＋65×0.035＋75×0.025)×10＝62(分)．(2)高一年級(jí)參賽學(xué)生的學(xué)問淵博率為P1＝10×0.01×eq\f(70－68,70－60)＋10×0.01＝0.12，高二年級(jí)參賽學(xué)生的學(xué)問淵博率為P2＝10×0.035×eq\f(70－68,70－60)＋10×0.025＝0.32.故可估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的學(xué)問淵博率為0.12，高二年級(jí)學(xué)生的學(xué)問淵博率為0.32.(3)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，如下：分類成果低于60分人數(shù)成果不低于60分人數(shù)總計(jì)高一年級(jí)8020100高二年級(jí)4060100總計(jì)12080200依據(jù)表中數(shù)據(jù)得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(200×（80×60－20×40）2,100×100×120×80)≈33.33>6.635，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下，認(rèn)為高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生這次讀書讀報(bào)學(xué)問競(jìng)賽的成果有差異．歸納升華1．正確利用概率分布直方圖與平均數(shù)等，求出高一、高二年級(jí)各個(gè)分?jǐn)?shù)的學(xué)生數(shù)是利用K公式求得k并進(jìn)行估計(jì)的前提條件．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟如下：(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k.(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系，做統(tǒng)計(jì)推斷．注：依據(jù)學(xué)生用書選用[變式訓(xùn)練]某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)狀況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本，并稱出它們的重量(單位：克)，重量值落在[495，510)內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：甲流水線樣本的頻數(shù)分布表產(chǎn)品重量(克)頻數(shù)[490，495)6[495，500)8[500，505)14[505，510)8[510，515]4乙流水線樣本的頻率分布直方圖(1)求甲流水線樣本合格的頻率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)．分類甲流水線乙流水線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)由表知甲流水線樣本中合格品數(shù)為8＋14＋8＝30，故甲流水線樣本中合格品的頻率為eq\f(30,40)＝0.75.(2)由(1)知甲流水線樣本中合格品行數(shù)30，乙流水線樣本中合格品數(shù)為0.9×40＝36.2×2列聯(lián)表如下：分類甲流水線乙流水線總計(jì)合格品303666不合格品10414總計(jì)404080由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得K2的觀測(cè)值為K＝eq\f(80×（30×4－36×10）2,40×40×66×14)≈3.12>2.706.故有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)．[變式訓(xùn)練]調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒誕生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)：誕生時(shí)間在晚上的男嬰為24人，女嬰為8人；誕生時(shí)間在白天的男嬰為31人，女嬰為26人．(1)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整．性別誕生時(shí)間總計(jì)晚上白天男嬰女嬰總計(jì)(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為嬰兒性別與誕生時(shí)間有關(guān)系？解：(1)列出2×2列聯(lián)表：性別誕生時(shí)間總計(jì)晚上白天男嬰243155女嬰82634總計(jì)325789(2)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算K2的觀測(cè)值k＝eq\f(89×（24×26－31×8）2,55×34×32×57)≈3.689＞2.706.依據(jù)臨界值表知P(K2≥2.706)≈0.10，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為嬰兒的性別與誕生的時(shí)間有關(guān)系.專題三化歸轉(zhuǎn)化思想在回來分析中的應(yīng)用假如兩個(gè)變量非線性相關(guān)，要進(jìn)行回來分析，可以通過對(duì)變量進(jìn)行代換，轉(zhuǎn)化成線性相關(guān)問題，進(jìn)而進(jìn)行回來分析．[例3]電容器充電后，電壓達(dá)到100V，然后起先放電，由閱歷知道，此后電壓U隨時(shí)間t改變的規(guī)律用公式U＝Aebt(b<0)表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：t(s)012345678910U(V)100755540302015101055試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回來方程．(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回來分析問題)解：對(duì)U＝Aebt兩邊取對(duì)數(shù)得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，則y＝a＋bx，得y與x的數(shù)據(jù)如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6依據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖所示，從圖中可以看出，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)求得eq\o(x,\s\up10(－))＝5，eq\o(y,\s\up10(－))≈3.045，進(jìn)而可以求得eq\o(b,\s\up10(^))≈－0.313，eq\o(a,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(b,\s\up10(^))eq\o(x,\s\up10(－))＝4.61.所以y對(duì)x的線性回來方程為y＝4.61－0.313x.由y＝lnU，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x.因此電壓U對(duì)時(shí)間t的回來方程為U＝e4.61·e－0.313x.歸納升華非線性回來分析的一般步驟：1．確定變量，作出散點(diǎn)圖．2．依據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．3．變量置換，通過變量置換把非線性回來問題轉(zhuǎn)化為線性回來問題，并求出線性回來方程．4．分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來推