2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型歸納思想在兩種題型中的應(yīng)用

專(zhuān)題17歸納思想在兩種題型中的應(yīng)用

壓軸題密押

通用的解題思路：

解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是觀察一歸納一猜想一證明（驗(yàn)證），具體做法是:①認(rèn)

真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系:②分析概括所給數(shù)式圖

的特征，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)一般性的結(jié)論;③結(jié)

合問(wèn)題所給的材料查是證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

壓軸題預(yù)測(cè)

題型一：數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想

1.（2024?馬鞍山一模）觀察以下等式:

第1個(gè)等式：lx—--=1,

22

第2個(gè)等式：-x—--=l,

233

第3個(gè)等式：Lx絲一2=1,

344

第4個(gè)等式：=

455

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：1X25+15_2=1:

一566一

（2）寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式：—（用含"的等式表示），并證明.

【分析】（1）根據(jù)前4個(gè)等式的規(guī)律求解此題；

（2）根據(jù)前5個(gè)等式歸納出此題規(guī)律進(jìn)行求解.

2

.第I個(gè)等式…號(hào)21Ix3xl,

【解答】解：（1）——=lx—,—1,

21+1

14x62122+3x22,

第2個(gè)等式：—x二一X-------------------------------=I9

23322+12+1

9+92132+3X32

第3個(gè)等式：-X------=11,

34433+13+1

142+3X42

樂(lè)T1寸工Sx——X------=1,

45544+14+1

2125+1521

?./JJ1、JJ-XI?人—二I,

55+15565

故答案為：3乎-1j

（2）由題意得,

11+32Tx12X3X1

第1個(gè)等式:lx---------一1,

221+1

I4x62122+3x22

第2個(gè)等式:_y—X—1,

2___33-22+12+1

I9+92I32+3X32?

第3個(gè)等式:_V________—X—1,

344-33+13+1

I16+122142+3X42

第4個(gè)等式:—X-------1,

455—44+14+1-

...第〃個(gè)等式：4*心且一_?_=1.

nn+1n+l

1n2+3n2.

故答案為:—x--------------------=1.

nM+1n+l

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算式規(guī)律的歸納能力,關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并通過(guò)觀察、計(jì)算、歸納進(jìn)行求解.

2.（2024?包河區(qū)一模）觀察下列等式:

112

CL=-------------1-=---；

11x2x321x3

113

22x3x432x4

114

cu=-------------1—=---;

33x4x543x5

（1）猜想并寫(xiě)出第6個(gè)等式/=——+!=」-.；

-6x7x876x8

（2）猜想并寫(xiě)出第〃個(gè)等式％=―；

（3）證明（2）中你猜想的正確性.

【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；

（2）分析所給的等式的形式，進(jìn)行總結(jié)即可；

（3）把（2）中的左邊進(jìn)行整理，從而可求證.

117

【解答】解：（1）由題意得：第6個(gè)等式《:一'一+!=’.

66x7x876x8

117

故答案為:-----1—=---

6x7x876x8

⑵由題意得：第〃個(gè)等式“而"++=受

故答案為：-----1-----+」_=」±L

n(n+1)(〃+2)n+1n(n+2)

n(n+2)

(3)(2)中的等式左邊=-----------

n(n+1)(〃+2)n(n+l)(n+2)

1+n2+2n

n(n+1)(〃+2)

5+1)2

n(n+1)(〃+2)

n+1

n(n+2)

=右邊?

故猜想成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律.

3.（2024?嘉善縣一模）觀察下面的等式：=囚［=3@,卜1=44,1^=5^,...

（1）寫(xiě)出J2023+—1―的結(jié)果；

V2025

（2）按照上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論；（用含〃的等式表示，〃為正整數(shù)）

（3）試運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明你所得到的結(jié)論是正確的.

=伽+1)J----->所以小2023+

【分析】（1）由上述等式得,=2024,

〃+220252025

（2）觀察上面的等式可得，/?+—=（n+l）Al^;

V〃+2丫〃+2

⑶計(jì)算不是否等于…后.

【解答】解：(1)由上述等式得，,2023+-^-=202^^~；

V2025V2025

(2)--------=(n+1).-------;

V〃+2Vn+2

I1幾2+2幾十1

(3)

〃+2V〃+2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，關(guān)鍵是從等式中找到規(guī)律.

4.（2024?新樂(lè)市一模）每個(gè)人都擁有一個(gè)快樂(lè)數(shù)字，我們把自己出生的年份減去組成這個(gè)年份的數(shù)字之和，

所得的差就是我們自己的快樂(lè)數(shù)字.比如我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚出生于1910年，他的快樂(lè)數(shù)字是

1910-（1+9+1+0）=1899.

（1）某人出生于1949年，他的快樂(lè)數(shù)字是1926；

（2）你再舉幾個(gè)例子并觀察，這些快樂(lè)數(shù)字都能被—整除，請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明你的猜想.

（3）請(qǐng)你重新對(duì)快樂(lè)數(shù)字定義，并寫(xiě)出一個(gè)你找到的規(guī)律（直接寫(xiě)出結(jié)果，不用證明）.

【分析】（1）根據(jù)快樂(lè)數(shù)字的定義即可解決問(wèn)題.

（2）按要求舉幾個(gè)例子，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題.

（3）根據(jù)（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行重新定義即可.

【解答】解：（1）由題知，

1949-（1+9+4+9）=1926,

即他的快樂(lè)數(shù)字是1926.

故答案為：1926.

（2）例如：1986,1995,

1986-（1+9+8+6）=1962,

1995-（1+9+9+5）=1971,

觀察發(fā)現(xiàn)，這些快樂(lè)數(shù)字都能被9整除.

證明如下，

令這個(gè)四位數(shù)為：1000a+1006+10c+d,（a*0）,

貝!]1000G+1006+10c+d-（a+b+c+d）

=999a+99b+9c

二9（in〃+lg+c）,

故此代數(shù)式是9的倍數(shù)，

所以猜想是正確的.

（3）定義如下，

若一個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字相等，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字相等，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“快樂(lè)數(shù)字”.

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是，

“快樂(lè)數(shù)字”能被101整除.（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，理解題中“快樂(lè)數(shù)字”的定義是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）某班數(shù)學(xué)小組在研究個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方的規(guī)律時(shí)，得到了下列等式:

第1個(gè)等式：152=15x15=225=(1x2)x100+25；

第2個(gè)等式：25?=25x25=625=(2x3)x100+25；

第3個(gè)等式：352=35x35=1225=(3x4)x100+25；

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

(1)填空：752=75x75=5625=；

(2)已知啜此9且〃為整數(shù)，猜想第〃個(gè)等式(用含〃的等式表示)，并證明.

【分析】(1)計(jì)算75x75=5625,根據(jù)上述等式得5625=(7*8)x100+25；

(2)根據(jù)上述等式，得出規(guī)律(10〃+5)2="("+1)x100+25,(啜出9,且“為整數(shù))，再證明即可.

【解答】解：⑴5625；

(7x8)x100+25；

(2)(10/?+5)2=n(n+1)x100+25,(啜女9,且〃為整數(shù))

證明：(10〃+5)2=100/+100〃+25

=(/I2+”)x100+25

=n(n+l)x100+25,

猜測(cè)的算式正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和列代數(shù)式，從題目中找出數(shù)字與等式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

6.(2024?廬江縣一模)觀察下列等式：

3_2+12

第1個(gè)等式:+CI:

133

4_2+22

第2個(gè)等式:+a

248

5_2空+32

第3個(gè)等式:+a

3515

6_2+42

第4個(gè)等式:+a

4624

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

(1)各等式都成立時(shí)，47=_-1_；

(2)在(1)的條件下，寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式(用含〃的式子表示)，并證明.

【分析】(1)根據(jù)所給等式，求出。得值即可解決問(wèn)題.

(2)觀察所給等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題.

【解答】解：(1)由題知，

中+3232+12

因?yàn)?---=------+a，

133

解得。=-1,

所以。的值為-1.

故答案為：-1.

3232+12

(2)因?yàn)榈?個(gè)等式：=

133

第2個(gè)等式：=

248

22

第3個(gè)等式：-5--2=^5-+^3--1；

3515

第4個(gè)等式：9一2=e±￡一1；

4624

觀察所給等式各部分的變化規(guī)律可知，

22

第〃個(gè)等式："2--2_=(n+2)+n_1；

nn+2n(n+2)

證明如下，

)邊(n+2)~-2〃n~+2n+4

n(ji+2)n2+2n

右邊zi2+4/7+4+n2-(/+2n)〃2+2〃+4

n2+2〃n2+2〃

左邊=右邊，

所以此等式成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給等式發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律進(jìn)而得出第"的等式是解題的關(guān)

鍵.

7.(2023?利辛縣模擬)觀察下列等式：

第①個(gè)等式：『+22=32-22,

2222

第②個(gè)等式：2+3=7-6,

第③個(gè)等式：32+42=132-122,

第④個(gè)等式：42+52=212-202,

根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出第⑤個(gè)等式；

（2）寫(xiě)出你猜想的第？個(gè)等式（用含“的式子表示），并證明.

【分析】（1）根據(jù)等式的計(jì)算規(guī)律分析即可；

（2）利用等式的計(jì)算規(guī)律寫(xiě)出猜想，再運(yùn)用平方差公式計(jì)算證明.

【解答】解：（1）第⑤個(gè)等式為：52+62=312-302；

（2）第？個(gè)等式（用含〃的式子表示）為：n2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2-[n（n+1）]2,

證明：左邊=〃？+(/+2〃+1)=2〃2+2〃+l,

Ji=[n(n+1)+1+n(n+1)]-[n(n+1)+1-[n(n+1)]=2n2+2〃+l,

左邊=右邊,

n2+{n+1)2=[n(n+1)+1]2~[n(n+1)]2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字規(guī)律的探究，熟練掌握平方差公式的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵.

8.（2023?全椒縣三模）觀察下列等式：

22

第1個(gè)等式：--1-2=1；

1

321

第2個(gè)等式：--2-2=-；

22

421

第3個(gè)等式：--3-2=-；

33

521

第4個(gè)等式：--4-2=-；

44

第5個(gè)等式：--5-2=-；

55

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題

721

（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式：--6-2=-；

—66~

（2）寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式（用含〃的式子表示），并驗(yàn)證其正確性.

【分析】（1）根據(jù)前5個(gè)等式規(guī)律寫(xiě)出第6個(gè)等式；

（2）根據(jù)前5個(gè)等式猜想出第〃個(gè)等式并驗(yàn)證.

【解答】解：（1）第1個(gè)等式：土_1_2=1；

1

321

第2個(gè)等式：--2-2=-；

22

421

第3個(gè)等式：--3-2=-；

33

521

第4個(gè)等式：--4-2=-；

44

第5個(gè)等式：--5-2=-,

55

721

可得第6個(gè)等式為：--6-2=-,

66

721

故答案為：--6-2--；

66

(2)由題意可猜想得，第〃個(gè)等式為：如［匚-〃-2=」,

nn

證明：色包-〃-2

n

川+2〃+1n(n+2)

nn

"2+2〃+1—"2—2〃

n

_1

=-，

n

二第〃個(gè)等式為：如2-"-2=」.

nn

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算式規(guī)律的歸納能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并通過(guò)觀察、計(jì)算、歸納進(jìn)行求解.

9.（2023?夏邑縣校級(jí)三模）設(shè)益是一個(gè)兩位數(shù)，其中。是十位上的數(shù)字（啜h9）.例如：當(dāng)a=4時(shí)，石表

示的兩位數(shù)是45.

(1)嘗試：

①當(dāng)。=1時(shí)，152=225=1x2x100+25；

②當(dāng)。=2時(shí)，252=625=2x3x100+25；

③當(dāng)。=3時(shí)，352=1225=3x4x100+25；

④當(dāng)。=4時(shí)，452=2025=_4x5xl00+25_.

-----2

(2)歸納：a5與100a(4+1)+25有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由.

-----2

（3）運(yùn)用：若a5與100a的和為6325,求a的值.

【分析】（1）根據(jù)規(guī)律直接得出結(jié)論即可；

-----2

（2）根據(jù)a5=（10a+5）（10。+5）=100o2+100a+25=100<7（o+1）+25即可得出結(jié)論;

(3)根據(jù)題意列出方程求解即可.

【解答】解：(1)①當(dāng)。=1時(shí)，152=225=1x2x100+25；

②當(dāng)。=2時(shí)，252=625=2x3x100+25；

③當(dāng)a=3時(shí)，352=1225=3x4x100+25；

，③當(dāng)a=4時(shí)，352=2025=4x5x100+25,

故答案為：4x5x100+25；

-----2

(2)?5=10040+1)+25,理由如下：

-----2

a5=(10a+5)(10。+5)

=lOOa?+100。+25

—100a(a+1)+25；

-----2

(3)由題知,a5-100a=6325,

BP100a2+100a+25-100a=6325,

解得a=75或-7(舍去)，

：.a的值為7.

-----2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律得出15=100々3+1)+25的結(jié)論是解題的關(guān)

鍵.

10.(2023?鳳臺(tái)縣校級(jí)三模)觀察等式：

3_1_1

第1個(gè)等式:

2^4-3-2x3x4

41_1

第2個(gè)等式:

3^5-4-3X4X5

5_1_1

第3個(gè)等式:

4x654x5x6

根據(jù)以上等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題:

(1)直接寫(xiě)出第5個(gè)等式：_二一--=——

-6x876x7x8一

(2)猜想并寫(xiě)出第〃個(gè)等式，證明你所猜想的正確性.

【分析】先分別找出分子分母的規(guī)律，再猜想出等式，并證明即可.

【解答】解：（1）先得到第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母分別為7,6x8,

第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母分別為1,7,

第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母分別為1,6x7x8,

711

故得:

6x876x7x8

n+211

（2）第〃個(gè)等式:

(〃+l)(n+3)n+2(n+l)(n+2)(〃+3)

5+2)2(n+1)(〃+3)(〃2+4H+4)-(/+4〃+3)1

證明:左邊二=右

(〃+l)(n+2)(n+3)(n+l)(n+2)(〃+3)(n+l)(n+2)(n+3)(〃+l)(〃+2)(〃+3)

邊,

/.得證.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生找出分子分母的規(guī)律，再猜想出等式的能力，用分式運(yùn)算證明是難點(diǎn).

、,132

11.（2023?蕭縣三模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：1+1—_;_=—；

51x5

第2個(gè)等式：1+--142

262^6

52

第3個(gè)等式：1+---

373^7

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題:

14-162

（1）寫(xiě)出第4個(gè)等式:

478-：

48

（2）寫(xiě)出你猜想的第九個(gè)等式（用含"的等式表示），并證明.

【分析】（1）根據(jù)題目中的三個(gè)等式各部分的變化規(guī)律，可解決問(wèn)題.

（2）根據(jù)此等式各部分的變化規(guī)律，可歸納猜想出第〃個(gè)等式.將所得等式的左邊通分，與右邊相等，則

可得出此等式成立..

【解答】解：（1）由題知,

第4個(gè)等式為：1+」="

484x8

故答案為：1一,一，62

484x8

（2）猜想第〃個(gè)等式為：1+!-1("+2)2

n〃+4n(n+4)

證明：左邊=幽土出+」±3n+4〃+4("+2)2右邊

n{n+4)n(n+4)n{n+4)n(ji+4)n(ji+4)

所以此等式成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)式變化規(guī)律的歸納猜想問(wèn)題，抓住等式中各部分的變化規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.（2023?無(wú)為市四模）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：：L1

1U2~2

第2個(gè)等式：1-11

22^3-3

第3個(gè)等式：1-1

3374-4

第4個(gè)等式：1-11

44^5~5

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題:

(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：--——=-

-55x66—

（2）寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式（用含〃的式子表示），并證明.

【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；

（2）利用所給的規(guī)律進(jìn)行求解即可.

【解答】解：（1）按照以上規(guī)律，第5個(gè)等式為：=-；

55x66

故答案為：—----;

55x66

（2）按照以上規(guī)律，第〃個(gè)等式為：-——證明如下:

nn（ji+1）n+1

等式左邊=2——1—

n九（"+1）

n+11

n{n+1）n（n+1）

n

n（n+1）

1

=----,

n+1

等式右邊=_L,

n+\

等式左邊=等式右邊，

二等式成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的加減法，數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到已知等式的規(guī)律.

13.（2023?思明區(qū)模擬）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂釀蜂蜜”這兩句話(huà)從左往右讀和從右往左讀，結(jié)果完全

相同.文學(xué)上把這樣的現(xiàn)象稱(chēng)為“回文”，數(shù)學(xué)上也有類(lèi)似的“回文數(shù)”，比如252,7887,34143.小明在

計(jì)算兩位數(shù)減法的過(guò)程中意外地發(fā)現(xiàn)有些等式從左往右讀的結(jié)果和從右往左讀的結(jié)果一樣，如：

65-38=83-56；91—37=73—19；54—36=63-45.數(shù)學(xué)上把這類(lèi)等式叫做“減法回文等式”.

(1)①觀察以上等式，請(qǐng)你再寫(xiě)出一個(gè)“減法回文等式”；

②請(qǐng)歸納“減法回文等式”的被減數(shù)法(十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為b)與減數(shù)應(yīng)應(yīng)滿(mǎn)足的條件，并證明.

(2)兩個(gè)兩位數(shù)相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出“乘法回文等式”的因數(shù)

H與因數(shù)嬴應(yīng)滿(mǎn)足的條件.

【分析】(1)①根據(jù)題意寫(xiě)出一個(gè)“減法回文等式“即可；

②由已知“減法回文等式”的定義證明即可；

(2)類(lèi)似“減法回文等式”定義得到“乘法回文等式”，再根據(jù)“乘法回文等式”定義證明即可.

【解答】解：(1)①觀察已知等式，再寫(xiě)出一個(gè)“減法回文等式”可以是81-72=27-18(答案不唯一)；

②歸納“減法回文等式”的被減數(shù)瓦(十位數(shù)字為個(gè)位數(shù)字為6)與減數(shù)牙應(yīng)滿(mǎn)足的條件是a-c=d-A,

證明如下：

ab—cd=dc—ba,即10a+b-(10c+d)=10<7+c—(106+a),

整理，得：ll(a-c)=ll(d—力，

:.a-c=d-b；

(2)兩個(gè)兩位數(shù)相乘，也存在“乘法回文等式“，”乘法回文等式"的因數(shù)藥與因數(shù)應(yīng)嬴滿(mǎn)足的條件是

xm=yn,理由如下：

xyxmn=nmxxyx,

即(lOx+y)(10m+n)=(10〃+z?z)(10y+x),

整理，得：

99xm=99yn,

:.xm=yn.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的加減，注意發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的聯(lián)系，找出運(yùn)算的規(guī)律解決問(wèn)題.

14.(2023?武安市三模)某數(shù)學(xué)興趣小組研究如下等式：38x32=1216,53x57=3021,71x79=5609,

84x86=7224.觀察發(fā)現(xiàn)以上等式均是“十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，且積有一

定的規(guī)律”.

（1）根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律，直接寫(xiě)出結(jié)果：58x52=3016；752=；

（2）設(shè)其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為8（。>0/>0）.

①請(qǐng)用含a,6的等式表示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律，并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明；

②上述等式中，分別將左邊兩個(gè)乘數(shù)的十位和個(gè)位數(shù)字調(diào)換位置，得到新的兩個(gè)兩位數(shù)相乘（如:38x32調(diào)

換為83x23）.若記新的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為〃7,①中的運(yùn)算結(jié)果為〃，求證：九能被99整除.

【分析】（1）根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算，即可求解；

（2）①根據(jù)題意可得這兩個(gè)兩位數(shù)分別為10a+b,10a+10-b,從而得到這個(gè)運(yùn)算規(guī)律為

（10。+6）（10。+1。-。）=100。（。+D+仇1。-。），然后分別計(jì)算等式的左右兩邊，即可求解；

②由①得：n=100a2+100a+10/>-^2,可得新的兩個(gè)兩位數(shù)分別為10b+a,10（10-6）+a,進(jìn)而得到

m=（10&+a）[10（10-Z?）+a],然后計(jì)算出“工一"，即可解答.

【解答】（1）解：根據(jù)題意得：58x52=（5x6）x100+8x2=3016,752=（7x8）x100+5x5=5625；

故答案為：3016；5625；

（2）①解：:其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為仇a,b>0）,

...另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為10-8,

，這兩個(gè)兩位數(shù)分別為10a+b,10a+10-6,

根據(jù)題意得：這個(gè)運(yùn)算規(guī)律為（10。+6）（104+10-。）=100。（。+1）+僅10-功，

證明：左邊=100a2+10ab+100。+Wb-10ab-b2=100a2+100a+10b-b2,

右邊=100a2+100a+10b-b2,

.?.左邊=右邊；

②證明：由①得：〃=100a2+100a+106-〃，

■分別將左邊兩個(gè)乘數(shù)的十位和個(gè)位調(diào)換位置，得到新的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，

.-.新的兩個(gè)兩位數(shù)分別為10b+a,10（10-6）+a,

/.m=（IQb+（2）[10（10—b）+a]

=（10/7+a）（100-10/?+a）

=10006-100Z?2+100a+a2,

m-n=(10006-100Z?2+100a+a2)-(100a2+100a+Wb-b2)

=-99a2-99b2+990b

=-99(4+"-10。)，

a,6為正整數(shù),

:.cr+/-10b為整數(shù),

m-n能被99整除.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

15.(2024?安徽模擬)【觀察】觀察下列式子:

①I(mǎi)x4+2=2x3；

②2x5+2=3x4；

③3*6+2=4*5；

④4x7+2=5x6；

【猜想】根據(jù)上述式子猜想式子⑥：6x9+2=7x

【發(fā)現(xiàn)】用含〃的式子表示出第〃個(gè)式子:

2021x2024+2

【應(yīng)用】利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算:

2022x2025+2

【分析】猜想：根據(jù)上述四個(gè)式子猜想第六個(gè)式子即可;

發(fā)現(xiàn)：根據(jù)上述式子得出一般規(guī)律，即〃x(〃+3)+2=(〃+l)x("+2)；

應(yīng)用：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算即可.

【解答】解：猜想：@：6x9+2=7x8,

故答案為：7,8；

發(fā)現(xiàn)：第九個(gè)式子：Mx(?；+3)+2=(/;+1)x(?+2),

故答案為：〃x(〃+3)+2=(〃+l)x(〃+2)；

2022x20231011

應(yīng)用:原式=

2023x2024W12

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算和列代數(shù)式，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

16.(2024?蕪湖二模)如圖被稱(chēng)為“楊輝三角”或“賈憲三角”.其規(guī)律是：從第3行起，每行兩端的數(shù)都

是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和.圖中兩平行線(xiàn)之間的一列數(shù)：1,3,6,10,15,

我們把第1個(gè)數(shù)記為％,第2個(gè)數(shù)記為4,第3個(gè)數(shù)記為生，……，第〃個(gè)數(shù)記為％.

(1)根據(jù)這列數(shù)的規(guī)律，4=36,%=

(2)這列數(shù)中有66這個(gè)數(shù)嗎？如果有，求“；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)題意，可以得出規(guī)律：第〃個(gè)數(shù)記為為=1+2+3+4++”=彗°,

再求心即可;

(2)設(shè)66=地上°,求解即可.

2

【解答】解：(1)根據(jù)題意可知：

4=1;

%=1+2=3；

02t=1+2+3=6；

以4=1+2+3+4=10；

第〃個(gè)數(shù)記為%=1+2+3+4++〃=%],

”等=36；

故答案為：36；a3.

2

(2)^66=<^±1),

2

解得：77=11,

,這列數(shù)中有66這個(gè)數(shù)，n=ll.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出數(shù)字間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

17.(2024?池州二模)觀察下列式子：

第1個(gè)等式：132=10x(10x1+6)x1+9；

第2個(gè)等式：232=10x(10x2+6)x2+9；

第3個(gè)等式：332=10x(10x3+6)x3+9；

(1)請(qǐng)寫(xiě)出第4個(gè)等式：_432=10x(10x4+6)x4+9

（2）設(shè)一個(gè)兩位數(shù)表示為10a+3,根據(jù)上述規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出（10。+3）2的一般性規(guī)律，并予以證明.

【分析】（1）根據(jù)前3個(gè)等式的規(guī)律，即可寫(xiě)出答案；

（2）根據(jù)前3個(gè)等式的運(yùn)算過(guò)程，即可得出一般性規(guī)律，再進(jìn)行證明即可.

【解答】解：⑴432=10x（10x4+6）x4+9,

故答案為：432=10x（10x4+6）x4+9；

（2）一般性規(guī)律：（10。+3）2=10ax（10。+6）+9.

證明：.?等式左邊=（10。+3f=100標(biāo)+60。+9,

等式右邊=10”（10。+6）+9=100。2+60。+9,

二等式左邊=等式右邊，即（10。+3）2=104x（10。+6）+9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和有理數(shù)的混合運(yùn)算，找出等式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

18.（2024?廬江縣校級(jí)模擬）觀察下列等式:

_1_0

第1個(gè)等式：--

11x1'

1

第2個(gè)等式：-

344x3

22

第3個(gè)等式：-

599x5

第4個(gè)等式：132

71616x7

(1)請(qǐng)你按照上述等式規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)等式;

(2)根據(jù)上述等式規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)等式;

(3)證明（2）中你所寫(xiě)等式的正確性.

11_42

【分析】（1）根據(jù)前幾個(gè)等式，可得第5個(gè)等式:

9-25-25x9

⑵第"個(gè)等式：5

(3)證明等式左邊等于等式右邊即可.

2

【解答】解：(1)l1-，1=，4_；

92525x9

(2)11一("TA；

2n-\n2n2(2n—1)

⑶,左邊=—^----.="；(2〃1)="22L+1=,-1)2=右邊,

2n-lrv〃2(2〃一1)/(2I)n2(2n-l)

等式成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2222

19.(2024?沅江市一模)設(shè)q=3?-F,a2=5-3,a3=7-5...,容易知道q=8,a,=16,%=24,

如果一個(gè)數(shù)能表示為8的倍數(shù)，我們就說(shuō)它能被8整除，所以%,%,%都能被8整除.

(1)試探究。,是否能被8整除，并用文字語(yǔ)言表達(dá)出你的結(jié)論.

(2)若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出q,電，生…見(jiàn)這一系

列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并說(shuō)出當(dāng)〃滿(mǎn)足什么條件時(shí)，a,為完全平方數(shù).

【分析】(1)由題意，?！笆窍噜弬z奇數(shù)2〃+1、2〃-1的平方差，化簡(jiǎn)結(jié)果是8的倍數(shù)，可整除；

(2)由為=8〃找到前四個(gè)完全平方數(shù)，從下標(biāo)2、8、18、32可知它們是一個(gè)完全平方數(shù)的2倍.

【解答】解：(1)由題意得：

=(2n+l)2-(2?-1)2

=4n2+4n+1—(4n2—4n+1)

=8〃

an能被8整除.

(2)由(1)知％=8”，

當(dāng)"=2時(shí)，%=16=是完全平方數(shù)；

當(dāng)〃=8時(shí)，％=64=G,是完全平方數(shù)；

當(dāng)”=18時(shí)，/=144=122,是完全平方數(shù)；

當(dāng)”=32時(shí)，/=256=162,是完全平方數(shù).

這一系列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)依次為：16、64、144、256.

由外、%、48、/2四個(gè)完全平方數(shù)可知〃=，

所以〃為一個(gè)完全平方數(shù)兩倍時(shí)，a,是完全平方數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，利用代數(shù)式來(lái)表示一般規(guī)律，利用已總結(jié)的規(guī)律進(jìn)一步探索、

發(fā)現(xiàn)、歸納得出下一步結(jié)論是本題難點(diǎn).

20.(2023?新華區(qū)校級(jí)二模)【發(fā)現(xiàn)】如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字能被5整除，那么這個(gè)整數(shù)就能被5整除.

【驗(yàn)證】如：345=100x3+10x4+5,

又100和10都能被5整除，5能被5整除，

.-.100x3+10x4+5能被5整除，

即：345能被5整除.

(1)請(qǐng)你照著上面的例子驗(yàn)證343不能被5整除；

(2)把一個(gè)千位是。、百位是6、十位是c、個(gè)位是d的四位數(shù)記為痂.請(qǐng)照例說(shuō)明：只有d等于5或

0時(shí)，四位數(shù)abed才能被5整除.

【遷移】(3)設(shè)嬴是一個(gè)三位數(shù)，請(qǐng)證明；當(dāng)a+6+c的和能被3整除時(shí)，嬴能被3整除.

【分析】(1)仿照所給的例子進(jìn)行求解即可；

(2)仿照所給的例子進(jìn)行求解即可；

【遷移】仿照所給的例子進(jìn)行求解即可.

【解答】證明：(1)343=100x3+10x4+3,

100和10都能被5整除,3不能被5整除,

.?.100x3+10*4+3不能被5整除，

即343不能被5整除；

(2)abed=1000a+100b+10c+d,

1000和100和10都能被5整除，

當(dāng)d能被5整除時(shí)，1000。+1006+10c+d能被5整除；

，只有“等于5或0時(shí)，四位數(shù)麗才能被5整除.

【遷移】證明：abc=lOOo+10/?+c,

=(99+l)a+(9+l)b+c

=(99a+9b)+(a+b+c)

=3(33a+3b)+(a+b+c),

?3(33a+36)能被3整除，

.?.若“a+>+c”能被3整除，則正能被3整除.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，列代數(shù)式，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

題型二：圖案規(guī)律中的猜想歸納思想

1.(2023?棗莊)(1)觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅

圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫(xiě)出三個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：

軸對(duì)稱(chēng)圖形，；

（2）動(dòng)手操作：請(qǐng)?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個(gè)新的圖案，使其滿(mǎn)足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征.

圖①圖②圖③

【分析】（1）觀察圖形可得出結(jié)論.

（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接畫(huà)出圖形即可.

【解答】解：（1）觀察圖形可知：三個(gè)圖形都為軸對(duì)稱(chēng)圖形且面積相等,

故答案為：軸對(duì)稱(chēng)圖形，面積相等.

（2）如圖：（答案不唯一）②

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行圖形的變換是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?肥西縣一模）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，拼如圖的方式拼圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息完成

①②③

（1）在圖②中用了8塊白色正方形,在圖③中用了一塊白色正方形；

（2）按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第〃個(gè)圖形要用一塊白色正方形；

（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2024塊白色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果

可以請(qǐng)說(shuō)明它是第幾個(gè)圖形；如果不能，說(shuō)明你的理由.

【分析】（1）觀察如圖可直接得出答案；

（2）認(rèn)真觀察題目中給出的圖形，結(jié)合問(wèn)題（1）,通過(guò)分析，即可找到規(guī)律，得出答案；

（3）根據(jù)問(wèn)題（2）中總結(jié)的規(guī)律，列出算式3〃+2=2024,如果結(jié)果是整數(shù)，則能夠拼出具有以上規(guī)律的

圖形，否則，不能.

【解答】解：（1）觀察如圖可以發(fā)現(xiàn)，圖②中用了8塊白色正方形，在圖③中用了11塊白色正方形；

故答案為：8,11；

（2）在圖①中，需要白色正方形的塊數(shù)為3xl+2=5；

在圖②中，需要白色正方形的塊數(shù)為3x2+2=8；

在圖③中，需要白色正方形的塊數(shù)為3x3+2=11；

由此可以發(fā)現(xiàn)，第幾個(gè)圖形，需要白色正方形的塊數(shù)就等于3乘以幾，然后加2.

所以，按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第〃個(gè)圖形要用（3"+2）塊白色正方形；

故答案為：（3〃+2）；

（3）能恰好用完2024塊白色正方形，理由如下：

假設(shè)第〃個(gè)圖形恰好能用完2021塊白色正方形，則3〃+2=2024,

解得：n=674,

即第674個(gè)圖形中恰好用完2024塊白色正方形.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了列代數(shù)式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖

形，通過(guò)分析、思考，總結(jié)出圖形變化的規(guī)律.

3.（2024?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）將一些相同的按如圖所示擺放，觀察其規(guī)律并回答下列問(wèn)題：

☆

☆*☆☆

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

圖I圖2圖3圖4

（1）圖6中的的個(gè)數(shù)有35個(gè);

（2）圖”中的的個(gè)數(shù)有一個(gè)；

（3）圖”中的的個(gè)數(shù)可能是100個(gè)嗎；如果能，求出”的值；如果不能，試用一元二次方程的相關(guān)

知識(shí)說(shuō)明理由.

【分析】（1）圖1中的“☆”的個(gè)數(shù)有F-1+5=5個(gè)，圖2中的“☆”的個(gè)數(shù)有22-2+5=7個(gè)，圖3中的

“☆”的個(gè)數(shù)有32-3+5=11個(gè)，圖4中的“☆”的個(gè)數(shù)有4?-4+5=17個(gè)，由此得到規(guī)律求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求即可得到答案；

（3）令"-"+5=100,解方程求出〃的值，看〃是否是正整數(shù)即可得到答案.

【解答】解：（1）圖1中的的個(gè)數(shù)有/一1+5=5個(gè)，

圖2中的“☆”的個(gè)數(shù)有2?-2+5=7個(gè)，

圖3中的“☆”的個(gè)數(shù)有3?-3+5=11個(gè)，

圖4中的的個(gè)數(shù)有4?一4+5=17個(gè)，

.?.可以得到規(guī)律，圖〃中的“☆”的個(gè)數(shù)有（“2-〃+5）個(gè),

.?.圖6中的“☆”的個(gè)數(shù)有62-6+5=35個(gè)，

故答案為：35；

（2）由（1）得圖力中的的個(gè)數(shù)有面-〃+5）個(gè)，

故答案為：（/-〃+5）；

（3）圖〃中的的個(gè)數(shù)不可能是100個(gè)，理由如下：

令〃2_〃+5=100,貝!]〃2—〃-95=0,

1±#-4><1X(-95)1土屈1

又：〃為整數(shù)，

.?.圖〃中的的個(gè)數(shù)不可能是100個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)，解一元二次方程，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?宣城模擬）【觀察思考】

如圖，這是由正方形和等邊三角形組成的一系列圖案，其中第1個(gè)圖案有4個(gè)正方形；第2個(gè)圖案有6個(gè)

正方形；第3個(gè)圖案有8個(gè)正方形；…

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案

依此規(guī)律，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題.

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

（1）第5個(gè)圖案有正方形12個(gè).

（2）第〃個(gè)圖案有正方形一個(gè).

【規(guī)律應(yīng)用】

（3）結(jié)合圖案中正方形的排列方式，現(xiàn)有4050個(gè)正方形，若干個(gè)三角形（足夠多）.依此規(guī)律，是否可以

組成第〃個(gè)圖案（正方形一次性用完），若存在，請(qǐng)求出〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中正方形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題.

（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即可解決問(wèn)題.

（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即可解決問(wèn)題.

【解答】解：（1）由所給圖形可知，

第1個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為：4=lx2+2；

第2個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為：