2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：分式及其運(yùn)算

分式及其運(yùn)算

知識(shí)梳理

1.分式的概念

表示兩個(gè)整式相除，且除式中含有字母，像這樣的代數(shù)式就是分式.

注意：分式中字母的取值不能使分母為零.當(dāng)分母的值為零時(shí)，分式?jīng)]有意義.

2.分式的基本性質(zhì)和變號(hào)法則

⑴分式的基本性質(zhì)：然器=言

⑵分式的變號(hào)法則：$-新苫建

3.分式的運(yùn)算

⑴分式的乘除：

①分式的乘法：,5=*

②分式的除法：(丹寸出=詈

bdbcbe

當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先進(jìn)行因式分解再約分.

(2)分式的加減

①同分母分式相加減：巴士2=幽

CCC

②異分母分式相加減：2±2=些士％=』

acacacac

(3)分式的乘方：應(yīng)把分子分母各自乘方，即仁)''=《In為正整數(shù)).

4.分式求值

⑴先化簡(jiǎn)，再求值.

⑵由化簡(jiǎn)后的形式直接代入所求分式的值.

(3)式中字母表示的數(shù)隱含在方程等題設(shè)條件中.

典型例題

例1

分式舒的值為°，則().

x+2

A.x=-2B.x=±2C.x=2D.x=0

分析分式的值為0的條件：分子等于0,且分母不等于0.

解由題意，得

x2—4=0,且x+2加，

解得x=2.

故選C.

例2

若ab+a-b-l=0,試判斷白，三是否有意義.

Q—1D+1

分析要判斷」7,臺(tái)是否有意義，須看其分母是否為零，由條件中等式左邊因式分解，即可判斷a-l,b+l與零

a—1b+1

的關(guān)系.

解因?yàn)閍b+a-b-l=0,所以a(b+1)-(b+1)=0,BP(b+1)(a-1)=0,

所以b+l=0或a-l=0,所以白，6中至少有一個(gè)無意義.

Q—1D+1

例3

n-m而一足

計(jì)算：

1+m-2nm2-4mn+4n2

分析分式運(yùn)算時(shí)，若分子或分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先因式分解.

m-n(m-2n)2

解原式=

1-m-2n(m+n)(m-n)

=1y--m-2-n

m+n

m+n-m+2n

m+n

3n

m+n

例4

已知求的值.

abc=l,ac+c+1

分析若先通分，計(jì)算就復(fù)雜了，我們可以用abc替換待求式中的“1”，將三個(gè)分式化成同分母，運(yùn)算就簡(jiǎn)單了.

解原式=。+。匕+abc

ab+a+1abc+ab+aa2bc+abc+ab

ababc

ab+a+11+ab+aa+l+ab

a+ab+1

ab+a+1

=1

雙基訓(xùn)練

1

1.下列代數(shù)式中：C扛-y,熹，就，衛(wèi)，是分式的有一.

7T2Va+匕x+yx-y

2.下列式子中是分式的是（）.

A.x/2B.-C.X7C。.上

-x-2

3.下列分式中，最簡(jiǎn)分式有（）.

a3x-ym2+n2m+1a2-2ab+b2

3x2，x2+y2'm2-n21m2-l'a2-2ab-b2

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.下列變形不正確的是（）.

2—aCL—2.

—ci—2,a+2

x+1_16%+3_2X+1

X2+2X+123y—6y-2

“2I”…~.2

5.若2x+y=0廁與言〉的值為（）.

4—1|C.1D.無法確定

6.若把分式上中的x和y都擴(kuò)大2倍，那么分式的值（）.

c.縮小為原來的iD.縮小為原來的:A.擴(kuò)大2倍B.不變

24

7.若x+y=l,且X#),則(X+2xy+y2+上的值為.

Xx

8.已知分式注，當(dāng)x=—時(shí)，分式?jīng)]有意義；當(dāng)%=時(shí)，分式的值為0；當(dāng)x=-2時(shí)，分式的值為

x—2

9?分式23.的最簡(jiǎn)公分母是-?

10.某校組織學(xué)生春游，有m名師生租用n座的大客車若干輛，共有3個(gè)空座位，那么租用大客車的輛數(shù)是一

_（用m,n的代數(shù)式表示）.

11.化簡(jiǎn).

(1)：34)5

Q2+2Q—8

X2-3X+2

+(%+1),

⑵Hx-1

12.當(dāng)x取何值時(shí)，式筆三有意義?當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，該式的值為零?

xz+3x+2

13.先化簡(jiǎn)（E-三）+占,再求當(dāng)x=2時(shí)的分式值

14.有一道題：“先化簡(jiǎn)，再求值：（言+含）+士其中，x=-3”小玲做題時(shí)把“x=-3”錯(cuò)抄成了x=3",但

她的計(jì)算結(jié)果也是正確的，請(qǐng)你解釋這是怎么回事？

15.已知3久2+孫一2y2=0（久力0,y40）,求:一號(hào)—高占的值.

16.已知實(shí)數(shù)m,n滿足關(guān)系:+工=士，求理要的值.

m+nm-nm2-n2m2

17.課堂上，李老師給大家出了這樣一道題：當(dāng)久=3,5-2魚,7+舊時(shí)，求代數(shù)式等甲+會(huì)的值.小明一

xz—1x+l

看，說：“太復(fù)雜了，怎么算呢?”你能幫小明解決這個(gè)問題嗎?請(qǐng)你寫出具體的解題過程.

18.先化簡(jiǎn):（京-久+1）十三等然后從-1WXW2中選一個(gè)合適的整數(shù)作為x的值代入求值.

19.已知:非零實(shí)數(shù)a,b,c滿足y-工,求證:ab+bc=2ac.

abbc

20.已知分式:4=表,8=±+±.。大±1）.有下面三個(gè)結(jié)論：①A,B相等；②A,B互為相反數(shù)；③A,

B互為倒數(shù).上述結(jié)論中哪個(gè)正確?為什么？

能力提升

21.已知夫=￡+?廁M=

xz-yzxz-yzx+y

22.已知分式等?，當(dāng)x=55時(shí)，分式的值為零，求a的取值范圍—；當(dāng)x取任何值時(shí)，這個(gè)分式一定有意

xz-4x+a

義，求a的取值范圍

23.如果記y=三=/⑺，并且f(l)表示當(dāng)X=1時(shí)y的值即/⑴=鼻=："G)表示當(dāng)x=1時(shí)y的值，即

北)=,?那么

/(I)+f⑵+/g)+/(3)+/(j)+-+/(n)+/&)=_(結(jié)果用含n的代數(shù)式表示).

24.若/+〃=3西則（1+怒）+0+言）的值等于（）.

12

A.-B.OC.1D.-

23

25?若P=嘉一嘉，Q=翳一翳，R=黑一翳，那么P，Q，R的大小關(guān)系為().

A.P>Q>RB.P<Q<RC.P=R>QD.P=R<Q

26.已知:方程啖=上的解為x=-3,求弋-4的值.

x-3xa-1a￡-a

27.已知:a+b+c=O,abc=8,求證:工+工+工<0.

abc

28.已知a?一6a+9與|b-l|互為相反數(shù)，求代數(shù)式+1K+2的值.

\az-bzabz-azb/azb+2abza

g99giin+199992222+1

29.若A-99-9-9-22-2-2-+-1D'—99993333+1，試比較A與B的大小.

30.設(shè)a,b,c,d都不等于0,并且"R1按照下面的步驟探究合和胃之間的關(guān)系.

(1)請(qǐng)你任意取3組a,b,c,d的值,通過計(jì)算猜想當(dāng)和署之間的關(guān)系.

⑵證明你的猜想.

拓展資源

31.已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且鼻=§怒=%曰=|，那么說『的值是多少?

a+b3b+c4c+a5ab+bc+ca

32.當(dāng)x的值變化時(shí)，求分式8-肅幣的最小值.

x+y-z

已知，求的值.

33.4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,xyz0,x-y+2z

34.(1)已知恒等式x3-x2-x+l=(x-l)(x2+kx-1),求k的值.

⑵若x是整數(shù)，求證是整數(shù).

35.解答一個(gè)問題后，將結(jié)論作為條件之一，提出與原問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原問題的一個(gè)“逆向”

問題.例如，原問題是“若矩形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,求矩形的周長(zhǎng)”，求出周長(zhǎng)等于14后,它的一個(gè)逆向”問題

可以是“若矩形的周長(zhǎng)為14,且一邊長(zhǎng)為3,求另一邊的長(zhǎng)”；也可以是“若矩形的周長(zhǎng)為14,求矩形面積的最大

值”，等等.

(1)設(shè)4=M一言？8=多,求人與8的積.

⑵提出⑴的一個(gè)“逆向”問題，并解答這個(gè)問題.

第二十二講

1.^!,巫2.B3.C4.C5.B6.C7.18.2,--9.x(x-l)210.—

x+yx-y24n

11.(1)原式=(--^―■絲2=—.

(Q—2)(a+4)u2—4a—2a+4

(、、百T_(x+l)(x-l)1(x-l)(x-2)_x-1

()原式-(X,2)2?^--三，

12.由x2+3x+2=(x+l)(x+2)=0,得x=-l或-2

所以，當(dāng)xr-l和xW-2時(shí),原分式有意義

由分子岡-2=0得x=±2,

當(dāng)x=2時(shí)分母Y+3%+2H0;

當(dāng)x=-2時(shí)，分母產(chǎn)+3%+2=0,原分式無意義.

所以當(dāng)x=2時(shí)，黑3的值為零.

12百一^_x+1-x+l.x_x+l-x+12(x+l)(x-l)4

?八工(x+l)(x-l)?2(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)xx

當(dāng)x=2時(shí)，原式=2.

14.原式計(jì)算的結(jié)果等于%2+4,所以不論x的值是+3還是-3結(jié)果都為13.

15.先化簡(jiǎn)，得原式=又因3久2+xy-2y2=0,所以(3x-2y)(x+y)=0,

所以%=|y或x=-y,當(dāng)x=|、時(shí),原式=-3;當(dāng)x=-y時(shí)，原式=2.

16.由二一+上=ri可得:n=2m;則網(wǎng)耍=2+m=4+4=8.

m+nm-nmz-nAm

17.原式=妥J?丹=:,由于化簡(jiǎn)后的代數(shù)中不含字母x,故不論x取任何值，所求的代數(shù)式的值始終

(x+l)(x—1)2(x—1)2

不變.所以當(dāng)x=3,5-2a,7+舊時(shí)，代數(shù)式的值都是I，

18.化簡(jiǎn)得原式=歲，當(dāng)x=l時(shí)，原式=3.

2-X

19.因?yàn)楣ひ唬?：一二所以Y=丁，所以c(b-a)=a(c-b),所以bc-ac=ac-ab,所以ab+bc=2ac.

abbcabbe

20.②的結(jié)論正確.理由如下：

因?yàn)锽=工+工=--------=(i)-(x+i)=二=

x+11-x(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)x2-l

所以A,B互為相反數(shù).

1

21.x222.a齊5,a>423.九一：24.A25.D

26.因?yàn)榉匠锑?U的解為.x=3.所以亳=-去解得a=2,

x—3X-3-33

gr-1\?CL1a?1_(a+l)(a—1)_a+1

a-1a2-aa(a-l)a(a-l)a(a-l)a'

當(dāng)a=2時(shí)原式=等=|.

27.證明:因?yàn)閍+b+c=0,)所以((a+b+=0,即a2+Z>2+c2+2ab+2bc+2ac=0,

所以ab+be+ac=—^(a2+62+c2),

又因?yàn)楣?2+工=歸產(chǎn)=—2(a2+b2+c2),

abcabc16

且已知abc=8,所以a,b,c均不為零,所以a2+b2+c2>0,所以％+工+工<0.

acc

28.由已知得a--3=0,b-l=0,解得a=3,b=l.

_r4+a+bj.a2+ab-2b2+b

|_(a+b)(a-b)ab(b-a)\'ab(a+2b)a

-(a-b)21.a2-b2+ab-b2+b

.ab(a-b^a+b')]ab(a+2b)a

-(a-fe)2ab(a+2b)+b

ab(a-b^a+b')(a-b)(a+2b)a

1a

----------1—

a+bb

把a(bǔ)=3,b=l代入得源式=*

29.設(shè)a=9999im,則A=等,B=等

a2+la3+l

匚匚]\[.ca+1。2+1。4+。3+。+1—2。2-ia(a-l)20

所以A-B=------；—=----——---23

a2+la3+l(a2+l)(a3+l)(a+l)(a+l),

所以A>B.

30.(1)可取a=l,b=2,c=2,d=4;a=l,b=2,c=3,d=6;a=2,b=3,c=6,d=9,再分別代入鬻和詈中進(jìn)行計(jì)算,由計(jì)算結(jié)果可

得到合利詈的關(guān)系是相等.

(2)證明:因?yàn)閍,b,c,d都不等于0,并且？=5H

ba1,

^-b+b%1_c+d

所以a=「也所以安=a___

-1-c-d

aa-b—a.?b—ba

31.由已知條