八年級(jí)上冊(cè)《含30°角的直角三角形的性質(zhì)》課件與同步練習(xí)

第十三章軸對(duì)稱13.3等腰三角形13.3.2等邊三角形第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題

將兩個(gè)大小相同的含30°角的三角尺擺放在一起（較長(zhǎng)直角邊靠在一起且直角頂點(diǎn)重合），可拼成一個(gè)什么樣的三角形？你能借助拼圖找到直角尺的較短直角邊與斜邊之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

本節(jié)課我們?cè)俅螌W(xué)習(xí)與直角三角形相關(guān)的一個(gè)性質(zhì).學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）運(yùn)用等邊三角形能推導(dǎo)出30°角的直角三角形的性質(zhì).（2）能運(yùn)用30°角的直角三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.推進(jìn)新課知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)探究

將兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺擺放在一起.你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？思考這個(gè)命題是真命題嗎？請(qǐng)進(jìn)行證明．問(wèn)題請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)你猜想的命題中，條件和結(jié)論分別是什么？并結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言表述出來(lái).猜想在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABCD證明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°．延長(zhǎng)BC到D，使BD=AB，連接AD，則△ABD是等邊三角形．

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD∴BC=BD=AB．由等邊三角形的性質(zhì)可知，AC也是BD邊上的中線，你還能用其他方法證明嗎？另證：作∠BCE=60°，交AB于E，連接CE，

則∠ACE=90°-60°=30°．在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．在△BCE中，∵∠BCE=60°，∠B=60°，∴△BCE是等邊三角形．∴

BC=BE=CE．EABC在△ACE中，∵∠A=30°，∠ACE=30°，∴△AEC是等腰三角形．∴

CE=AE．∴

BC=BE=CE=AE．EABC∴BC=BE=AE=AB．符號(hào)語(yǔ)言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABC∴

BC=AB．

鞏固練習(xí)

練習(xí)1如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，則BC的長(zhǎng)為

．ABC5

練習(xí)2如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.1ABCD知識(shí)點(diǎn)2直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用

例如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多長(zhǎng).ABCDEABCDE解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴

BC=AB，DE=AD．又AD=AB，∴

DE=AD=1.85（m）

．∴

BC=3.7（m）．答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m．鞏固練習(xí)

練習(xí)3

Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關(guān)系？

證明：∵∠B+∠A=180°-∠C=90°，

∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°.

∴

AB=2BC.【課本P81練習(xí)】隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長(zhǎng)度是（

）A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm2.等腰三角形一腰上的高與腰長(zhǎng)之比為1∶2，則等腰三角形的頂角為（

）A.30°B.60°C.150°D.30°或150°CD3.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分線．求證：DC=2AD.證明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C,

∴∠C=30°，∠ABC=60°.

又BD是∠ABC的平分線，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°.

∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.

在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，

∴AD=BD=DC，即DC=2AD.綜合應(yīng)用4.如圖所示，

在△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長(zhǎng)BD至E，使DE=BD，DB⊥BC于B，∠ABC=120°，

求證:AB=2BC.證明：∵BD是AC的中線，∴AD=CD.在△ADE和△CDB中，AD=CD，

∠ADE=∠CDB，DE=DB，∴△ADE≌△CDB(SAS).∴∠E=∠CBD=90°，AE=BC.又∠ABC=120°，∴∠ABE=30°.∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.證明：∵∠ACB=90°，CD⊥BA，∠A=30°，∴∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CDB=∠CDA=90°.∴BD=BC，BC=AB，∴BD=AB.拓展延伸5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求證：BD=AB．課堂小結(jié)符號(hào)語(yǔ)言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABC∴

BC=AB．

課后作業(yè)1.從課后習(xí)題中選??；2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題。1．若直角三角形的一個(gè)銳角為30°，且斜邊與較短邊之和為24，則斜邊的長(zhǎng)為(

)A．4 B．8C．12 D．162．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，點(diǎn)D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，則BC的長(zhǎng)為(

)A．4 B．5C．6 D．8DC3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC分別交邊BC，AC于點(diǎn)D，E.若DE＝2cm，則BC的長(zhǎng)是(

)A．6cm

B．8cm

C．10cm

D．12cmD4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交邊BC于點(diǎn)D.若∠B＝30°，BD＝6，則CD的長(zhǎng)是______.35．如圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長(zhǎng)是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是______m.46．如圖，樹(shù)AB垂直于地面，為測(cè)樹(shù)高，小明在C處測(cè)得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20m，到達(dá)D處，測(cè)得∠ADB＝30°，你能幫助小明計(jì)算出樹(shù)的高度嗎？解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°，∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝20.∴樹(shù)的高度為10m.第十三章軸對(duì)稱13.3等腰三角形13.3.2等邊三角形《第2課時(shí)含30°角的直角三角形》同步練習(xí)1含30°角的直角三角形的性質(zhì)1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，則AB的長(zhǎng)為(

)A．1 B．2C．3 D．42．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，則AB的長(zhǎng)為(

)A．6cm B．7cmC．8cm D．9cmDC3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是中線，且AD＝3cm，則AB的長(zhǎng)是______cm.64．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，邊AC的垂直平分線分別交AC，BC于E，D兩點(diǎn)．試寫(xiě)出線段BD和DC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．解：DC＝2BD，證明如下：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°.∵∠B＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AD＝2BD，∴DC＝2BD.2含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用5．如圖，一棵樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面6m處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，則這棵樹(shù)在折斷前的高度為(

)A．6m B．9mC．12m D．18mD6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高．若∠A＝30°，AB＝8，則BD的長(zhǎng)是(

)A．2

B．3

C．4 D．6A7．將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起．若AB＝

4cm，則陰影部分的面積是______cm2.28．如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∠A＝30°，AB＝7m，則BC＝__________m，DE＝____________m.3.51.759．新情境

5月26日，“2024中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型(示意圖如圖所示)，它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是(

)A．4m B．6mC．10m D．12mB10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，若MN＝2，則NF的長(zhǎng)是(

)C．2 D．4B11．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，BP＝4cm，點(diǎn)Q為射線邊BC上一點(diǎn)．當(dāng)CQ的長(zhǎng)為_(kāi)_____________時(shí)，△PBQ是直角三角形．4cm或2cm12．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交邊AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交邊AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____.613．如圖，上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以每小時(shí)航行