福建省名校聯(lián)盟2025屆高三六市大聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試卷

準(zhǔn)考證號(hào)______ 姓名______（在此卷上答題無效）福建省名校聯(lián)盟2025屆高三六市大聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題考試時(shí)間120分鐘，總分150分。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，集合B＝{x∈N|2x﹣3＞0}，則A∩B＝（）A．[﹣1，4] B． C．{1，2，3，4} D．{2，3，4}2．若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）?z＝3﹣i（i是虛數(shù)單位），則|z|等于（）A． B． C． D．3．已知||＝2，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，且||＝，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與圓x2+y2＝a2相切于點(diǎn)M且與雙曲線的左支交于點(diǎn)P，線段FP的中點(diǎn)為N，且N在線段PM上，若|OM|＝|MN|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150t至250t之間，年生產(chǎn)的總成本y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：t）之間的關(guān)系可近似地表示為y＝﹣30x+4000，則每噸該產(chǎn)品的平均成本最低時(shí)的年產(chǎn)量為（）A．240t B．200t C．180t D．160t6．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1?a6＝9，則log3a1+log3a2+…+log3a6＝（）A．6 B．9 C．27 D．817．四棱錐S﹣ABCD中，＝（4，﹣1，0），＝（0，3，0），＝（﹣3，1，﹣4），則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)f（x）＝3cosx+|cosx|，若方程|f（x）|＝a（a≠0）在區(qū)間（0，2π）上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，則a（x1+x2）的取值范圍為（）A．（4π，8π） B．（2π，4π） C．（0，4π） D．（0，2π）二．多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．下列命題中，真命題的是（）A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù) B．已知隨機(jī)變量X～B（n，），若D（2X+1）＝5，則n＝5 C．已知隨機(jī)變量ξ，η滿足η＝﹣ξ+8，若E（ξ）＝6，D（ξ）＝2.4，則E（η）＝2，D（η）＝2.4 D．已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為120．10．若函數(shù)y＝ex（x2﹣6x+a）有極值，則a的可能取值為（）A．8 B．9 C．10 D．1111．已知直線l：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R）及圓C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝3，則（）A．直線l過定點(diǎn) B．直線l截圓C所得弦長(zhǎng)最小值為2 C．存在m，使得直線l與圓C相切 D．存在m，使得圓C關(guān)于直線l對(duì)稱三．填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（Sn≠0），滿足an+Sn﹣1Sn＝0（n≥2），a1＝1，則S100＝．13．已知函數(shù)，若方程在區(qū)間（0，π）上的根為x1，x2（x1＜x2），則tan（x1+x2）＝．14．如圖，直線AB在平面α內(nèi)，點(diǎn)C在平面α外，直線AB與AC的夾角為θ，直線AC與平面α所成的角為交．若平面ABC與平面α所成角的大小為φ，且，則cosθ的值為．四．解答題（共5小題，滿分77分）15．（13分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1且滿足．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列{bn}滿足，，記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．16．（15分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，AA1＝3，A1在底面上的射影為BC中點(diǎn)，D1為B1C1的中點(diǎn)．（1）求證：A1D1⊥平面A1BC；（2）求直線A1B與BCC1B1所成角的正弦值．17．（15分）某研究性學(xué)習(xí)小組收集了某網(wǎng)絡(luò)銷售平臺(tái)近五年“雙十一”當(dāng)天成交額的數(shù)據(jù)，并制成如下表格：年份x20152016201720182019成交額y（百億元）912172127（1）小組成員小明準(zhǔn)備用線性模型＝x+刻畫y與x的關(guān)系，請(qǐng)幫助小明求出線性方程；參考公式：線性回歸方程中的，．（2）小組成員小王收集了更多的數(shù)據(jù)信息，借助計(jì)算機(jī)整理得到圖：小王提出，從圖上來看，刻畫y與x的關(guān)系選用線性模型明顯不合理，而二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）模型或指數(shù)函數(shù)模型y＝a?bx+c（a，b，c∈R，b＞0，b≠1）均有可能．已知中國(guó)人均可支配收入y1與中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶人均該平臺(tái)消費(fèi)額y2呈正線性相關(guān)，請(qǐng)你依據(jù)圖表中的信息，幫助小王選擇一個(gè)合理的函數(shù)模型，并簡(jiǎn)要說明理由（不需要求出a，b，c）（3）“雙十一”活動(dòng)中，顧客可以享受優(yōu)惠‘也可能會(huì)沖動(dòng)消費(fèi)，導(dǎo)致所購(gòu)物品閑置．（閑置物品全部在某二手平臺(tái)上以原價(jià)的50%售出）．某商戶對(duì)標(biāo)價(jià)100元的某種商品采取了3種銷售形式促銷：普通購(gòu)物，秒殺購(gòu)物，直播購(gòu)物．該小組收集了相關(guān)信息整理得下表：普通購(gòu)物秒殺購(gòu)物直播購(gòu)物銷售量占比70%10%20%折扣率5%20%15%所購(gòu)物品閑置率20%40%30%用頻率估計(jì)概率，從數(shù)學(xué)期望的角度，判斷顧客購(gòu)買該商品是否劃算？注：折扣率＝×100%；所購(gòu)物品閑置率＝×100%．18．（17分）設(shè)橢圓C1：的左頂點(diǎn)A在拋物線C2：y2＝8x的準(zhǔn)線上，F(xiàn)是橢圓C1的右焦點(diǎn)，且橢圓C1的焦距為2，過點(diǎn)F且斜率不為0的直線l與橢圓C1交于D，E兩點(diǎn)，直線AD和AE分別與直線x＝4交于點(diǎn)M，N．（1）求橢圓C1的方程；（2）|MF|2+|NF|2是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+ax﹣xeax+1．（1）若a＝1，求f（x）的極值；（2）若f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求證：x1+x2＞﹣．

名校聯(lián)盟福建省2025屆高三六市大聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題答案一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）若集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，集合B＝{x∈N|2x﹣3＞0}，則A∩B＝（）A．[﹣1，4] B． C．{1，2，3，4} D．{2，3，4}【分析】先求出集合A，B，再利用集合的基本運(yùn)算求解．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}，集合B＝{x∈N|2x﹣3＞0}＝{x∈N|x＞}，所以A∩B＝{2，3，4}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）?z＝3﹣i（i是虛數(shù)單位），則|z|等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求出結(jié)果．【解答】解：由（1+i）?z＝3﹣i，得，所以．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知||＝2，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，且||＝，則與的夾角為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，推得＝﹣，再結(jié)合θ的取值范圍，即可求解．【解答】解：設(shè)與的夾角為θ，θ∈[0，π]，∵向量在向量上的投影向量與向量方向相反，∴＝﹣，解得cosθ＝，∴．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與圓x2+y2＝a2相切于點(diǎn)M且與雙曲線的左支交于點(diǎn)P，線段FP的中點(diǎn)為N，且N在線段PM上，若|OM|＝|MN|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，連接PF1，進(jìn)而由中位線定理得，在結(jié)合雙曲線的定義得，，，最后在Rt△OMF中，結(jié)合勾股定理得3a2＝c2，進(jìn)而得答案．【解答】解：如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，連接PF1，因?yàn)檫^點(diǎn)F的直線與圓x2+y2＝a2相切于點(diǎn)M，|OM|＝|MN|，所以|OM|＝|MN|＝a，OM⊥PF，所以，因?yàn)榫€段FP的中點(diǎn)為N，O為線段FF1的中點(diǎn)，所以，所以，由雙曲線的定義得，所以，所以，所以，在Rt△OMF中，|OM|2+|MF|2＝|OF|2，即3a2＝c2，所以，離心率為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求解等知識(shí)，屬于中等題．5．（5分）某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150t至250t之間，年生產(chǎn)的總成本y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：t）之間的關(guān)系可近似地表示為y＝﹣30x+4000，則每噸該產(chǎn)品的平均成本最低時(shí)的年產(chǎn)量為（）A．240t B．200t C．180t D．160t【分析】根據(jù)題意得到每噸該產(chǎn)品的平均成本為，利用基本不等式即可求解．【解答】解：成本，當(dāng)且僅當(dāng)即x＝200時(shí)取“＝”．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1?a6＝9，則log3a1+log3a2+…+log3a6＝（）A．6 B．9 C．27 D．81【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可求得答案．【解答】解：由題意可得log3a1+log3a2+…+log3a6＝log3a1?a2?…?a6＝log3（a1?a6）3＝log393＝6，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）四棱錐S﹣ABCD中，＝（4，﹣1，0），＝（0，3，0），＝（﹣3，1，﹣4），則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先求出平面ABCD的一個(gè)法向量，則在法向量上的投影的絕對(duì)值即為這個(gè)四棱錐的高．【解答】解：設(shè)平面ABCD的法向量為＝（x，y，z），則，即，∴，取z＝1，則＝（0，0，1），∴這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)＝＝4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面的法向量，考查了向量數(shù)量積的幾何意義，是基礎(chǔ)題．8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3cosx+|cosx|，若方程|f（x）|＝a（a≠0）在區(qū)間（0，2π）上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，則a（x1+x2）的取值范圍為（）A．（4π，8π） B．（2π，4π） C．（0，4π） D．（0，2π）【分析】先化簡(jiǎn)f（x）的解析式，作出f（x）的圖象，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求解．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝3cosx+|cosx|，當(dāng)cosx≥0時(shí)，f（x）＝4cosx∈[0，4]，當(dāng)cosx＜0時(shí)，f（x）＝2cosx∈[﹣2，0），作出函數(shù)y＝|f（x）|在區(qū)間（0，2π）上的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可得，當(dāng)2＜a＜4時(shí)，方程|f（x）|＝a在（0，2π）上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，且x1+x2＝2π，所以a（x1+x2）的取值范圍是（4π，8π）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的變換及三角函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）（多選）9．（6分）下列命題中，真命題的是（）A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù) B．已知隨機(jī)變量X～B（n，），若D（2X+1）＝5，則n＝5 C．已知隨機(jī)變量ξ，η滿足η＝﹣ξ+8，若E（ξ）＝6，D（ξ）＝2.4，則E（η）＝2，D（η）＝2.4 D．已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為120．【分析】利用中位數(shù)的概念即可判斷A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，利用二項(xiàng)分布的方差公式及方差性質(zhì)求解；對(duì)選項(xiàng)C，利用期望與方差的性質(zhì)；對(duì)選項(xiàng)D，利用平均數(shù)和方差公式計(jì)算即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，X～B（n，），則D（2X+1）＝4D（X）＝4×n×＝n＝5，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，∵隨機(jī)變量ξ，η滿足η＝﹣ξ+8，E（ξ）＝6，D（ξ）＝2.4，∴根據(jù)期望與方差的性質(zhì)可得：E（η）＝2，D（η）＝2.4，選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，由分層抽樣的平均數(shù)公式可得＝×172+×165＝，按分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式可得：S2＝{[120+（172﹣）2]+[120+（165﹣）2]}＝132.25，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查中位數(shù)的概念，期望與方差的性質(zhì)，二項(xiàng)分布的方差，平均數(shù)與方差的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）10．（6分）若函數(shù)y＝ex（x2﹣6x+a）有極值，則a的可能取值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可．【解答】解：函數(shù)y＝ex（x2﹣6x+a），則y'＝ex（x2﹣6x+a）+ex（2x﹣6）＝ex（x2﹣4x+a﹣6），因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex（x2﹣6x+a）有極值，所以y'＝ex（x2﹣4x+a﹣6）有零點(diǎn)，所以Δ＝16﹣4（a﹣6）＞0，解得a＜10，結(jié)合選項(xiàng)可知，a的可能取值為8，9．故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的理解與應(yīng)用，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題．（多選）11．（6分）已知直線l：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R）及圓C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝3，則（）A．直線l過定點(diǎn) B．直線l截圓C所得弦長(zhǎng)最小值為2 C．存在m，使得直線l與圓C相切 D．存在m，使得圓C關(guān)于直線l對(duì)稱【分析】利用直線系方程求解直線經(jīng)過定點(diǎn)，判斷A；求解直線l截圓C所得弦長(zhǎng)最小值，判斷B；利用圓的圓心到直線的距離等于半徑，求解m，判斷C；通過直線經(jīng)過圓的圓心，判斷D即可．【解答】解：直線l：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R），可得m（x﹣1）﹣（y﹣3）＝0，可得直線經(jīng)過定點(diǎn)（1，3），所以A正確；圓C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝3，圓的圓心（2，4），半徑為，圓的圓心到定點(diǎn)（1，3）的距離為：＝，所以直線l截圓C所得弦長(zhǎng)最小值為：2＝2，所以B正確；因?yàn)閳A的圓心到定點(diǎn)（1，3）的距離為：（半徑），所以直線與圓的的位置關(guān)系是相交，不存在m，使得直線l與圓C相切，所以C不正確；當(dāng)直線l：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R）經(jīng)過圓的圓心時(shí)，存在m，使得圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，所以D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，是中檔題．三．填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（Sn≠0），滿足an+Sn﹣1Sn＝0（n≥2），a1＝1，則S100＝．【分析】先將an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）代入題干表達(dá)式，兩邊同時(shí)乘以，進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，通過計(jì)算出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式即可計(jì)算出數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，從而計(jì)算出S100的值．【解答】解：由題意，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，由an+Sn﹣1Sn＝0（n≥2），可得Sn﹣Sn﹣1+Sn﹣1Sn＝0，兩邊同時(shí)乘以，可得﹣+1＝0，化簡(jiǎn)整理，得﹣＝1（n≥2），∵＝＝1，∴數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴＝1+1?（n﹣1）＝n，∴Sn＝，n∈N*，∴S100＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列根據(jù)遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，并計(jì)算某項(xiàng)的值．考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列的判別，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．13．（5分）已知函數(shù)，若方程在區(qū)間（0，π）上的根為x1，x2（x1＜x2），則tan（x1+x2）＝﹣．【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求解．【解答】解：令2x﹣＝k得x＝，k∈Z，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間（0，π）上的根為x1，x2（x1＜x2），則x1，x2關(guān)于x＝對(duì)稱，所以x1+x2＝則tan（x1+x2）＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）如圖，直線AB在平面α內(nèi)，點(diǎn)C在平面α外，直線AB與AC的夾角為θ，直線AC與平面α所成的角為交．若平面ABC與平面α所成角的大小為φ，且，則cosθ的值為．【分析】過點(diǎn)C作CO⊥α，且交α于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AB，且交AB于E，在三角形CEO中，可得，Rt△AEC中可得，進(jìn)一步計(jì)算即可．【解答】解：過點(diǎn)C作CO⊥α，且交α于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AB，且交AB于E，則直線AC與平面α所成的角為，所以∠ACO＝θ，不妨設(shè)∠CAE＝θ，易得Rt△AEC?Rt△COA，則CO＝AE，又平面ABC與平面α所成角為∠CEO＝φ，，則，則，Rt△AEC中，，代入sin2θ+cos2θ＝1，可求得，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的求法及直線與直線所成的角的求法，屬于中檔題．四．解答題（共5小題，滿分77分）15．（13分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1且滿足．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列{bn}滿足，，記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（1）先將遞推公式兩邊同時(shí)乘以，再兩邊同時(shí)加2，進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，從而證得結(jié)論成立；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列{bn}的遞推公式的特點(diǎn)運(yùn)用累乘法推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，最后運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可計(jì)算出前n項(xiàng)和Tn．【解答】（1）證明：依題意，由4anan+1＝an﹣3an+1兩邊同時(shí)乘以，可得4＝﹣3?，即＝3?+4，兩邊同時(shí)加2，可得+2＝3?+4+2＝3?（+2），∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．（2）解：由（1），可得＝3?3n﹣1＝3n，則，n∈N*，又由，可得，則，，…，，當(dāng)n≥2時(shí)，，∵當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足上式，∴，n∈N*，∴，∴Tn＝c1+c2+…+cn＝3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）?3n，①3Tn＝3×32+5×33+7×34+…+（2n+1）?3n+1，②①﹣②，可得﹣2Tn＝9+2（32+33+…+3n）﹣（2n+1）?3n+1＝＝﹣2n?3n+1，∴Tn＝n?3n+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列由遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和問題．考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，累乘法，錯(cuò)位相減法，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．16．（15分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，AA1＝3，A1在底面上的射影為BC中點(diǎn)，D1為B1C1的中點(diǎn)．（1）求證：A1D1⊥平面A1BC；（2）求直線A1B與BCC1B1所成角的正弦值．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）過A1作A1H⊥D1E于H，連BH，∠A1BH就是直線A1B與平面BCC1B1所成的角，根據(jù)線面角定義求解即可．【解答】證明：（1）取BC中點(diǎn)E，連A1E，AE，則A1E⊥平面ABC，A1E⊥AE，又AE⊥BC，AE∩BC＝E，AE⊥平面A1BC，又AE∥A1D1，∴A1D1⊥平面A1BC．解：（2）∵A1E⊥BC，AE⊥BC，A1E∩AE＝E，∴BC⊥平面A1AED1BC?平面BCC1B1，∴平面A1D1E⊥平面BCC1B1，平面A1D1E∩平面BCC1B1＝D1E，過A1作A1H⊥D1E于H，∴A1H⊥平面BCC1B1，連BH，∠A1BH就是直線A1B與平面BCC1B1所成的角，，，，，，故直線A1B與平面BCC1B1所成的角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直，直線與平面所成的角，是中檔題．17．（15分）某研究性學(xué)習(xí)小組收集了某網(wǎng)絡(luò)銷售平臺(tái)近五年“雙十一”當(dāng)天成交額的數(shù)據(jù)，并制成如下表格：年份x20152016201720182019成交額y（百億元）912172127（1）小組成員小明準(zhǔn)備用線性模型＝x+刻畫y與x的關(guān)系，請(qǐng)幫助小明求出線性方程；參考公式：線性回歸方程中的，．（2）小組成員小王收集了更多的數(shù)據(jù)信息，借助計(jì)算機(jī)整理得到圖：小王提出，從圖上來看，刻畫y與x的關(guān)系選用線性模型明顯不合理，而二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）模型或指數(shù)函數(shù)模型y＝a?bx+c（a，b，c∈R，b＞0，b≠1）均有可能．已知中國(guó)人均可支配收入y1與中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶人均該平臺(tái)消費(fèi)額y2呈正線性相關(guān)，請(qǐng)你依據(jù)圖表中的信息，幫助小王選擇一個(gè)合理的函數(shù)模型，并簡(jiǎn)要說明理由（不需要求出a，b，c）（3）“雙十一”活動(dòng)中，顧客可以享受優(yōu)惠‘也可能會(huì)沖動(dòng)消費(fèi)，導(dǎo)致所購(gòu)物品閑置．（閑置物品全部在某二手平臺(tái)上以原價(jià)的50%售出）．某商戶對(duì)標(biāo)價(jià)100元的某種商品采取了3種銷售形式促銷：普通購(gòu)物，秒殺購(gòu)物，直播購(gòu)物．該小組收集了相關(guān)信息整理得下表：普通購(gòu)物秒殺購(gòu)物直播購(gòu)物銷售量占比70%10%20%折扣率5%20%15%所購(gòu)物品閑置率20%40%30%用頻率估計(jì)概率，從數(shù)學(xué)期望的角度，判斷顧客購(gòu)買該商品是否劃算？注：折扣率＝×100%；所購(gòu)物品閑置率＝×100%．【分析】（1）求出回歸系數(shù)，可得y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）由圖象可得中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)與年份線性相關(guān)，可用一次函數(shù)模型刻畫，中國(guó)互朕網(wǎng)用戶人均該平臺(tái)消費(fèi)額與年份線性相關(guān)，可用一次函數(shù)模型刻畫，而該平臺(tái)消費(fèi)額＝中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶人數(shù)×中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶人均該平臺(tái)消費(fèi)額，從而可得結(jié)論；（3）記顧客購(gòu)買一件該商品花費(fèi)金額為X元，求出X的概率分布列，可得數(shù)學(xué)期望E（X），與100作比較即可求得結(jié)論．【解答】解：＝＝2017，＝＝＝17.2．（xi﹣）（yi﹣）＝（﹣2）×（﹣8.2）+（﹣1）×（﹣5.2）+0×（﹣0.2）+1×3.8+2×9.8＝16.4+5.2+3.8+19.6＝45，（xi﹣）2＝（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22＝10，所以＝＝＝4.5，所以＝﹣＝17.2﹣4.5×2017＝﹣9059.3，所以線性回歸方程為＝4.5x﹣9059.3．（2）選二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R．a(chǎn)≠0）模型．理由如下：該平臺(tái)消費(fèi)額＝中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶人數(shù)×中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶人均該平臺(tái)消費(fèi)額，由中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)與年份關(guān)系圖可看出：散點(diǎn)分布在一條直線附近，可認(rèn)為中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)與年份線性相關(guān)，可用一次函數(shù)模型刻畫．由中國(guó)人均可支配收入和年份關(guān)系圖可看出：散點(diǎn)分布在一條直線附近，可認(rèn)為中國(guó)人均可支配收入與年份線性相關(guān)，又因?yàn)橹袊?guó)人均可支配收入與中國(guó)互朕網(wǎng)用戶人均該平臺(tái)消費(fèi)額呈正線性相關(guān)，因此中國(guó)互朕網(wǎng)用戶人均該平臺(tái)消費(fèi)額與年份線性相關(guān)，可用一次函數(shù)模型刻畫．因?yàn)橐淮魏瘮?shù)與一次函數(shù)的乘積為二次函數(shù)，所以應(yīng)該選擇二次函數(shù)模型．注：只考生提到“一次函數(shù)與一次函數(shù)的乘積為二次函數(shù)”即可（3）記顧客購(gòu)買一件該商品花費(fèi)金額為X元，則普通購(gòu)物中，X＝95+0.2（95﹣50）＝104元；秒殺購(gòu)購(gòu)物中，X＝80+0.4（80﹣50）＝92元；直播購(gòu)物中，X＝85+0.3（85﹣50）＝95.5元；所以概率分布列為：X1049295.5P0.70.10.2所以E（X）＝104×0.7+92×0.1+95.5×0.2＝101.1＞100，所以，顧客購(gòu)買該商品不劃算．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程、根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型以及離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．（17分）設(shè)橢圓C1：的左頂點(diǎn)A在拋物線C2：y2＝8x的準(zhǔn)線上，F(xiàn)是橢圓C1的右焦點(diǎn)，且橢圓C1的焦距為2，過點(diǎn)F且斜率不為0的直線l與橢圓C1交于D，E兩點(diǎn)，直線AD和AE分別與直線x＝4交于點(diǎn)M，N．（1）求橢圓C1的方程；（2）|MF|2+|NF|2是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）求出拋物線的準(zhǔn)線為x＝﹣2，求出A（﹣2，0），得到a，利用焦距求出c，然后求解b，得到橢圓方程．（2）|MF|2+|NF|2存在最小值為36，理由如下：設(shè)M（4，m），N（4，n），D（x0，y0），直線x＝4與x軸交點(diǎn)為P（4，0），易知m≠0，n≠0，寫出AM的方程，聯(lián)立得，利用韋達(dá)定理以及判別式，求出D的坐標(biāo)，整然后推出直線FD的斜率kFD，kFE，利用向量的數(shù)量積為0，轉(zhuǎn)化求解|MF|2+|NF|2＝|MN|2，然后推出結(jié)果．【解答】解：（1）拋物線的準(zhǔn)線為x＝﹣2，橢圓左頂點(diǎn)A在拋物線＝8x的準(zhǔn)線上，所以A（﹣2，0），a＝2，橢圓C1的焦距為2，所以2c＝2，所以c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝3，所以橢圓C1的方程為＝1．（2）|MF|2+|NF|2存在最小值為36，理由如下：設(shè)M（4，m），N（4，n），D（x0，y0），直線x＝4與x軸交點(diǎn)為P（4，0），易知m≠0，n≠0，直線AM的方程為y＝，聯(lián)立得，消去y，整理得（27+m2）x2+4m2x+（4m2﹣108）＝0，Δ＝（4m2）2﹣4（27+m2）（4m2﹣108）＞0成立，由﹣2x0＝，解得x0＝，所以y0＝＝，所以，當(dāng)|m|＝3時(shí)，＝1，即DE⊥x軸，由橢圓的對(duì)稱性可得|n|＝3，即|MP|＝|FP|＝|NP|＝3，又因?yàn)閨PF|＝3，∠MPF＝∠NPF＝90°，所以∠MFP＝∠NFP＝45°，∠MFN＝90°，此時(shí)|MF|2+|NF|2＝|MN|2＝36，當(dāng)|m|≠3時(shí)，|n|≠3，直線FD的斜率kFD＝＝，同理，因?yàn)镈E過點(diǎn)F，所以，所以mn＝﹣9，，，所以∠MFN＝90°，|MF|2+|NF|2＝|MN|2，|m|≠3且|n|≠3，所以|MN|＝|MP|+|NP|＝|m|+|n|＞，|MF|2+|NF|2＝|MN|2＞36，綜上可知，|MF|2+|NF