福建省龍巖市上杭縣2024屆高三物理上學(xué)期12月月考試題含解析

考試時間：120分鐘第I巻（選擇題）一?單選題.本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.若，則（）A. B. C. D.3.“”是“直線：與直線：互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（）A. B. C. D.5.已知，，，則大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.“蹴”有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早是外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動.如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個點(diǎn)，滿足平面，若的面積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為（）A. B. C. D.7.設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，N在橢圓C上（點(diǎn)M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.8.已知：定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.任給實(shí)數(shù)，滿足，，則A.1 B.2 C.3 D.4二?多選題.本題共4小題，全對得5分，部分對得2分，選錯得0分，共20分.9.關(guān)于函數(shù)，，下列命題正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的表達(dá)式可改寫為D.函數(shù)圖像可先將圖像向左平移，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼玫?0.已知圓C過點(diǎn)，，直線m：平分圓C面積，過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點(diǎn)M，N，則（）A.圓心的坐標(biāo)為B.圓C的方程為C.k的取值范圍為D.當(dāng)時，弦MN的長為11.如圖，已知正方體的棱長為2，分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若直線與平面平行，則三棱錐的體積為B.若直線與平面平行，則直線上存在唯一的點(diǎn)，使得與始終垂直C.若，則的最小值為D.若，則的最大值為12.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對于任意實(shí)數(shù)，都有，且滿足，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.不等式的解集為C.若方程有兩個根，，則D.在處的切線方程為第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.其中14題第一空2分，第二空3分.13.向量，滿足，，，則___________.14.對任意的正整數(shù)，直線：恒過定點(diǎn)，則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)為______，若點(diǎn)在直線上，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為______.15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在圓上，且，點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的所有值為__________.16.已知函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，則________四?解答題.17.已知函數(shù)（1）當(dāng)，求的最值，及取最值時對應(yīng)的的值；（2）在中，為銳角，且，求的面積．18.第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（FIFAWorldCupQatar2022）決賽中，阿根廷隊(duì)通過扣人心弦的點(diǎn)球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊(duì).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門.已知男生進(jìn)球的概率為，女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.19.橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，不在軸上，的面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求證：直線，的斜率之和為定值，并求出定值.20.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求滿足的所有正整數(shù)n.21.如圖①所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.（1）求四棱錐的體積的最大值；（2）設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，證明：.

上杭一中2024屆高三數(shù)學(xué)12月月考試卷命題人：賴杭珍羅洪祥審核人：林滿連考試時間：120分鐘第I巻（選擇題）一?單選題.本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】解：，，所以．故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】故選：C3.“”是“直線：與直線：互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定直線方程求出的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故選：A4.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），根據(jù)求得，再由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則，解得：，又，所以，故選：C.5.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可判斷出，在比較的大小，即比較與的大小，即比較與的大小，由于，即比較小于，把與同時五次方即可比較出大小.【詳解】，，，，故.故選：B.6.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.“蹴”有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早是外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動.如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個點(diǎn)，滿足平面，若的面積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球球心，用線段長表示出球半徑，再借助均值不等式求解作答.【詳解】在三棱錐中，因?yàn)槠矫鍭BC，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，于是，取中點(diǎn)，連接，從而，則點(diǎn)是三棱錐的外接球球心，如圖，設(shè)該外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此三棱錐的外接球表面積，所以制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再求出球的半徑即可.7.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，N在橢圓C上（點(diǎn)M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，利用勾股定理求出，再解方程即得解.【詳解】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得或舍去.故選：B．8.已知：定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.任給實(shí)數(shù)，滿足，，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，由關(guān)于對稱，可知的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及，可知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱．【詳解】設(shè)函數(shù)，則，其圖像關(guān)于對稱，故原函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且，故對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．又由已知可得，，則，又當(dāng)時，知在上恒單調(diào)遞增．故點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱．所以即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題通過新定義的形式考查了函數(shù)的對稱性，即若導(dǎo)函數(shù)為軸對稱圖形，則原函數(shù)為中心對稱圖形，且對稱軸和對稱中心的橫坐標(biāo)相同.結(jié)合已經(jīng)熟悉的結(jié)論：對于中心對稱的函數(shù)，若對稱中心為，那么當(dāng)函數(shù)單調(diào)時，與是等價的.本題在得出，以及的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱后，即可得出結(jié)果.二?多選題.本題共4小題，全對得5分，部分對得2分，選錯得0分，共20分.9.關(guān)于函數(shù)，，下列命題正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的表達(dá)式可改寫為D.函數(shù)圖像可先將圖像向左平移，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫健敬鸢浮緼C【解析】【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)即可判斷A正確；對選項(xiàng)B，根據(jù)在區(qū)間先增后減即可判斷B錯誤；對選項(xiàng)C，根據(jù)即可判斷C正確；對選項(xiàng)D，利用三角函數(shù)平移變換的性質(zhì)即可判斷D錯誤.【詳解】對選項(xiàng)A，，，故A正確.對選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間先增后減，故B錯誤.對選項(xiàng)C，，故C正確.對選項(xiàng)D，圖像向左平移得到，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?，故D錯誤.故選：AC10.已知圓C過點(diǎn)，，直線m：平分圓C的面積，過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點(diǎn)M，N，則（）A.圓心的坐標(biāo)為B.圓C的方程為C.k取值范圍為D.當(dāng)時，弦MN的長為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件由圓C被直線m平分，結(jié)合點(diǎn)A，B在圓上建立關(guān)于a，b，r的方程組，即可求出圓C的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離建立關(guān)于k的不等式，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，進(jìn)而也可求得當(dāng)時，弦MN的長，進(jìn)而選出符合要求的選項(xiàng).【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳AC被直線平分，所以圓心在直線m上，可得，由題目條件已知圓C過點(diǎn)，則綜上可解得，所以圓心的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A正確；圓C的方程為，選項(xiàng)B正確；根據(jù)題目條件已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l方程為，即，又直線l與圓C有兩個不同的交點(diǎn)M，N，所以點(diǎn)到直線l的距離小于半徑r，則利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：，解得k的取值范圍為，所以選項(xiàng)C錯誤；當(dāng)時，可求得點(diǎn)到直線l的距離為，所以根據(jù)勾股定理可得，即弦MN的長為，所以弦MN的長為，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.如圖，已知正方體的棱長為2，分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若直線與平面平行，則三棱錐的體積為B.若直線與平面平行，則直線上存在唯一的點(diǎn)，使得與始終垂直C.若，則的最小值為D.若，則的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】取棱的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而證明平面平面得的軌跡即為線段，再討論AB選項(xiàng)即可得判斷；當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在平面內(nèi)的圓弧，再分別討論CD選項(xiàng)即可.【詳解】解：取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)，分別是棱的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以，直線與平面平行，的軌跡即為線段，故對于A選項(xiàng)，，三棱錐的體積為，故A正確；對于B選項(xiàng)，要使得與始終垂直，則面，故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以且，解得，即，所以，直線上存在唯一的點(diǎn)（中點(diǎn)），使得與始終垂直，故B正確；當(dāng)時，所以，解得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在平面內(nèi)的圓弧，對于C選項(xiàng)，由于，故的最小值為，故C正確；對于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，的最大值為，故D錯誤.故選：ABC12.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對于任意實(shí)數(shù)，都有，且滿足，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.不等式的解集為C.若方程有兩個根，，則D.在處的切線方程為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判定A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得進(jìn)而可求解，即可求解BD，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可求解C.【詳解】對于A，，由可得，所以，且定義域?yàn)椋蕿槠婧瘮?shù)，A正確，由于，所以為常數(shù)，則又在中，令，則，故，故，所以，對于B,可得，又，故，則，故B錯誤，對于C，為單調(diào)遞增函數(shù)，而為開口向上，且對稱軸為二次函數(shù)，且是的兩個交點(diǎn)，的兩個交點(diǎn)設(shè)為，則，且，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，C正確，由得，所以在處的切線方程為，D錯誤，故選：AC第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.其中14題第一空2分，第二空3分.13.向量，滿足，，，則___________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)條件可得，，，聯(lián)立可得，即，即可得解.【詳解】由題意，，，，，，.故答案為：.14.對任意的正整數(shù)，直線：恒過定點(diǎn)，則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)為______，若點(diǎn)在直線上，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為______.【答案】①.②.【解析】【分析】依題意可得，令，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)，將代入直線方程，即可得到，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】直線：即，令，解得，所以直線恒過點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以，則數(shù)列的前10項(xiàng)和.故答案為：；15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在圓上，且，點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的所有值為__________.【答案】1，【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)為，由弦長求得，由，利用向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為，從而建立方程組，解得x0的值．【詳解】因?yàn)閳A的圓心，半徑為，設(shè)，由，得，又，所以，即，聯(lián)立，解得或.所以的所有值為1，.故答案為：1，.16.已知函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，則________【答案】2【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個零點(diǎn)為，，則，即，又，則，即，所以.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用同構(gòu)函數(shù)可得，可得，結(jié)合條件即得.四?解答題.17.已知函數(shù)（1）當(dāng)，求的最值，及取最值時對應(yīng)的的值；（2）在中，為銳角，且，求的面積．【答案】（1）,；，（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡可得的表達(dá)式，根據(jù)范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果可求出角A，利用余弦定理可求出的值，利用三角形面積公式即可求得答案.【小問1詳解】，，，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；【小問2詳解】由，即，而為銳角，，則，，又，由余弦定理得，即，即，18.第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（FIFAWorldCupQatar2022）決賽中，阿根廷隊(duì)通過扣人心弦的點(diǎn)球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊(duì).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門.已知男生進(jìn)球的概率為，女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.【答案】（1）表格見解析，有（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表，求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能的取值，求得相應(yīng)的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生6040100女生3070100合計(jì)90110200可得，所以有把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).【小問2詳解】解：由題意，人進(jìn)球總次數(shù)所有可能取值為，可得，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為.19.橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，不在軸上，的面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求證：直線，的斜率之和為定值，并求出定值.【答案】19.20.定值，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，列出表達(dá)式利用韋達(dá)定理計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，設(shè)到的距離為，因?yàn)椋?，易得?dāng)時面積取得最大值，所以，因?yàn)?，所以，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】證明：如圖，易知點(diǎn)在橢圓外，設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，，，因?yàn)椋?，所以，所以，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第（2）問的化簡，這里化簡主要是利用了韋達(dá)定理和直線的方程，在化簡過程中同時涉及到通分，計(jì)算比較復(fù)雜，要認(rèn)真計(jì)算.20.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求滿足的所有正整數(shù)n.【答案】（1）證明見解析（2）正整數(shù)n為1，2【解析】【分析】（1）由定義能證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由，得，從而；由求和式子由此能求出滿足的所有正整數(shù)n的值．【小問1詳解】由已知得，所以，其中，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，所以，，所以，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，其中，，，所以滿足的所有正整數(shù)n為1，2.21.如圖①所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.（1）求四棱錐的體積的最大值；（2）設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.【答案】（1）（2）平面和平面夾角余弦值的最小值為【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到當(dāng)平面平面時，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，求出，從而得到體積最大值；（3）作出輔助線，得到為的平面角，即，建立空間直角坐標(biāo)系，用含的關(guān)系式表達(dá)出平面和平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式及，得到，結(jié)合的取值范圍求出余弦值的最小值．【小問1詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，當(dāng)平面平面時，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體