2024學(xué)年河北省部分校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年河北省部分校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知全集。={0,1,2,3,4,5,6,7,8},集合N={1,2,4},集合3={0,3,5,6},貝|應(yīng)/）口8等于（）

A.{4}B.{7,8}C.{3,5,6}D.{3,5,6,0）

22

2.直線2x-y=0是雙曲線?-q=ig>0）的一條漸近線，則。=（）

A.1B.2C.4D.16

3.直線x+后-1=0的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.已知向量方=（%」,1）,b=（l?>y,l）,?=（2,-2,2）,^alc,b//c,則x+>的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

5.已知函數(shù)/（X）是周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)xe（O,l）時(shí)，/（x）=3J+l,則的值為（）

A.3B.-3C.-2D.2

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)［（2,4）,點(diǎn)P滿足麗.方=3.過點(diǎn)P總可

以向以點(diǎn)C（5,6）為圓心、r為半徑的圓作兩條切線，則半徑『的取值范圍為（）

A.（0,V2）B.（0,272）C.（0,3亞）D.（0,472）

7.如圖所示，在三棱錐尸-48C中，APB=^,PA=4,PB=3,AC-V35,5C—y/10,且平面RIBJ_

平面/3C,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

P

8.已知V48c的頂點(diǎn)均在拋物線Y=4了上，且?guī)着?2也，過4&C分別作拋物線x?=4了的切

線/144，則三條切線/圍成的三角形的面積為（）

35

A.血B.C.D.2

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知曲線C的方程為cose，2+sinO-y2=sinJ.cos8,ee（0,兀），則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。==時(shí)，曲線C為直線

B.當(dāng)Oe，,：］時(shí)，曲線。為焦點(diǎn)在>軸上的橢圓

C.當(dāng)北弓,"寸，曲線。為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

D.曲線C不可能是圓

10.下列說法正確的是（）

A.在長(zhǎng)方體/BCD-431cA中，｛4,芯,布'｝可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

B.已知4SC三點(diǎn)不共線，對(duì)平面N3C外的任一點(diǎn)O,若點(diǎn)M滿足而=?厲+礪+反），

則M在平面43C內(nèi)

C.若向量力=加亍+切+后，則稱（加,〃,左）為。在基底｛月//｝下的坐標(biāo)，已知向量方在基底｛a,b,c｝

13

下的坐標(biāo)為（123）,則向量/在基底稅;-34+3,用下的坐標(biāo)為（-5,5,3）

D.已知P4P反尸C是從點(diǎn)P出發(fā)的三條線段，每?jī)蓷l線段夾角均為60。//=&=尸。=1,若M

^^PM=PA+2PB+3PC>貝Icos〈商,萬〉=嚕

2222

11.已知橢圓G：三+卷=l（%>4>0）和雙曲線C2：q-±=l（a2>0也>0）有公共焦點(diǎn)，左，右焦

點(diǎn)分別為用工，設(shè)兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為為/邛物的角平分線，〃尸，點(diǎn)P,。

均在x軸上，設(shè)橢圓G的離心率為q,雙曲線G的離心率為《2，則下列說法正確的是（）

A.MFx-MF2=bl~b^

B.以橢圓和雙曲線四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值為2ae

C.若閨8|=6|班|,則e,e的取值范圍為

23

D.若ZF}MF2=60°,

三、填空題（本大題共3小題）

2

12.設(shè)拋物線/=20x（p>0）的焦點(diǎn)為尸，尸（1,加）為拋物線上一點(diǎn)，若忸以=2,則。=.

13.已知直線4的一個(gè)方向向量為（6,。），直線4的一個(gè)方向向量為（1-“，2）,其中。力為正數(shù)，若

1』，則3。+26的最小值為.

14.已知長(zhǎng)方體/BCD-4802中，==4，點(diǎn)尸為平面//DA內(nèi)任一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到

點(diǎn)4的距離與到面N3CD的距離相等，點(diǎn)民尸分別為8C,CD的中點(diǎn)，則三棱錐尸-的體積的

最小值為?

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知雙曲線CM-/”?（加>o）的左右焦點(diǎn)與點(diǎn)（0,遍）構(gòu)成等邊三角形.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/過定點(diǎn)（0,1）且與雙曲線C交于尸,0兩點(diǎn)，當(dāng)|尸。|=2板時(shí)，求直線/的方程.

16.一個(gè)小島（點(diǎn)。）的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島為圓心，半徑為1km的圓形區(qū)域內(nèi)，

輪船在小島正東方2km的3點(diǎn)處.以小島中心為原點(diǎn)。，正東方向?yàn)閤軸的正方向，正北方向?yàn)?/p>

N軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，取1km為單位長(zhǎng)度.

⑴若輪船沿北偏西45。的航向直線航行，輪船是否會(huì)有觸礁風(fēng)險(xiǎn)？說明理由；

⑵若直線/過點(diǎn)B,且其傾斜角為直線y=的傾斜角的2倍，求/的一般式方程，并求暗礁邊

界上動(dòng)點(diǎn)P到直線/的距離的最小值.

17.在V45C中，角A.B.C的對(duì)邊分別為。也c,已知（c-b）sinC=（a+6）（siiL4-sin5）.

⑴求4

（2）若〃=2,求三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐尸-45CQ中，底面45C。是正方形，PD上面4BCD,PD=AB=4,E為棱PA上

的動(dòng)點(diǎn).

3

⑴若石為棱尸4中點(diǎn)，證明：尸?！嫒浴?；

2PF

⑵在棱P4上是否存在點(diǎn)￡,使得二面角8-4的余弦值為1?若存在，求出三的值；若不

3PA

存在，請(qǐng)說明理由；

⑶瓦戶，。分別在棱P4尸CP。上，EQ=FQ=\,求三棱錐尸-ED尸的體積的最大值.

19.已知橢圓c：1+「=l（q>6>0）的離心率為,且過點(diǎn)］半，過點(diǎn)尸（4,2）作橢圓C兩條切

線，切點(diǎn)分別為42.

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求直線4B的方程；

⑶過點(diǎn)P（4,2）作直線/交橢圓C于。,E兩點(diǎn)，其中點(diǎn)。在x軸上方，直線/交直線43于點(diǎn)尸.試

證明：A5.而+而?麗=0恒成立.

4

參考答案

1.【答案】D

【詳解】全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},而/={1,2,4},

則為/={0,3,5,6,7,8},又B={0,3,5,6},

所以(用N)cB={3,5,6,0}.

故選：D.

2.【答案】A

【詳解】直線2x-y=0是雙曲線［一］=1(°>0)的一條漸近線，由直線2x-y=0的斜率為2,得

2一

一=2,所以。=1.

a

故選：A.

3.【答案】D

【詳解】x+Ey-l=0化為了=一*+*

直線的斜率為-傾斜角為150°.

3

故選:D.

4.【答案】A

【詳解】因?yàn)橄蛄糠?(x,l,l),1=(1,刈,c=(2,-2,2),

由貝i］2x-2+2=0,解得x=0,

由B//1，則:===：，解得y=T，貝!Jx+.v=-l.

2—22

故選：A.

5.【答案】B

【詳解】因函數(shù)“X)的周期為2,且為奇函數(shù)，

Q1

故)(唾3萬)=/(1暇81-logs2)=/(4-logs2)=/(-10g32),

1O&2

=-/(log32)=-(3+1)=-(2+1)=-3.

故選：B.

6.【答案】B

【詳解】設(shè)P(K,y),由麗.莎=3，貝I(f-y)-(2-x,4-y)=3,x(x-2)+y(j-4)=3,

得圓(x-l>+(了-2)2=8,圓心為(1,2),半徑為2行.

5

又點(diǎn)（5,6）與圓心（1,2）的距離為d=J（5-1丫+（6-2）2=4A/2,由于過點(diǎn)尸總可以向以點(diǎn)C（5,6）為圓

心的圓作兩條切線，故兩圓相離，所以0＜廠＜4行-2行，故『的取值范圍為（0,2夜）.

故選：B

7.【答案】D

7T

【詳解】在中，^APB--,PA=4,PB=3,:.AB^5,

■：AC=V35,BC=A/10,.-.AB1+BC2=AC2,貝UZABC=],

取的中點(diǎn)分別為D,。，則。。分別為△以民△NBC的外心，且。0^/3,

:平面平面48C,平面PABc平面ABC=AB,DOu平面ABC,

.1。。，平面尸/瓦因POu平面尸N3,故。O_LP。,

尸O=又oo=，8C=也,

在RtdPB中，

2222

在R3PDO中，

在Rt4/8C中，OB=-AC=—,

22

故。為三棱錐P-NBC外接球的球心，外接球的半徑A=痘,

2

35

故夕卜接球的表面積S=47tR2=47tx—=35限

4

故選:D.

8.【答案】A

21222

【詳解】依題意，設(shè)/（Q,——）,C（c,—）,過點(diǎn)A的切線4：｝/一幺=左（％-4）,

4444''

6

2

幺=左（％-4）,

聯(lián)立y-47得一—4左x+4左。一/二o,

2

X二4乂

2

令A(yù)=16r-4(4版-*=0,解得左=3,故得/：＞=4-幺

、7224

22

AAce

同理可得4：y=—x---,/:y=—x------,

2243324

記《4交于點(diǎn)。，44交于點(diǎn)區(qū)44交于點(diǎn)尸，聯(lián)立4、4的方程解得D（一,.

a+cac、?b+cbe、Ia-c1/、

同理可得必，彳),八，貝口XD~XF=~^~=~\XA~XC)-

2

22

C4]

另外直線2T化簡(jiǎn)得：AC:y=-(a+c)x-^f

AC\y----(x-a)44

4c—a

abbe

直線。尸:了-弓=a+3化簡(jiǎn)得:DF:y=*[.

F2-

如圖，過點(diǎn)8垂直于X軸的直線交直線/C于點(diǎn)G,則

1

凡一為卜|#+。6若一卜2一口\ab-\-bc-ac-b

4

ab+bc-ac-b2

過點(diǎn)E垂直于x軸的直線交直線分于點(diǎn)H,解得皿=（京：）-胃

3-4

BGX

因?yàn)槎珹BC=^\\-\C一盯I，S&DEF=^EH\-\XF-XD\,

所以S.DEF=；S“BC=V2,即切線圍成的三角形的面積為V2.

故選：A.

9.【答案】ABC

7

jr

【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)e時(shí)，曲線C的方程為『=0,即y=0,故曲線C為直線，正確.

B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，方程可化為工+工=1,由cos6>sine>0,可知曲線為焦點(diǎn)在N軸上

I4)sin<9cos6?

的橢圓，正確.

C選項(xiàng)：當(dāng)。€佰,兀］時(shí)，方程可化為上+上=1,由Sin6>0,cos8<0,可知曲線為焦點(diǎn)在x軸

上的雙曲線，正確.

D選項(xiàng)：當(dāng)6=:時(shí)，方程可化為/+必=等，可知曲線為以原點(diǎn)為圓心，以心為半徑的圓，D

錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,在長(zhǎng)方體中，萬，就，用口共面,

則｛益，就，福｝不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，A錯(cuò)誤；

——?1—?1—?1—?111

對(duì)于B,OM=-OA+-OB+-OC,而一+—+—=1,

333333

則”,4瓦。四點(diǎn)共面，從而M在平面內(nèi)，B正確；

對(duì)于C,依題意，p=a+2b+3c,設(shè).=x(，一B)+y伍+B)+z1(x,y,z￡R),

x+y=1

13

貝卜y-x=2,x=-—,y=-,z=3

即(x+y)a+(>—x)b+zc=a+2b+3c9f

z=3

(--、13

因此向量力在基底｛1-仇］+仇？｝下的坐標(biāo)為｛-了了3｝,C正確；

對(duì)于D,AM=PM-PA^2PB+3PC>PA-PB=PB-PC=PC-PA=1xlx1=1,

貝U畫=J(2萬+3畫2^4PB+UPBPC+9PC=J4+12>1+90S,

AM-AB=(2PS+3PC\(PB-PA)=2PB2-2PB-'PA+3PC^-PB'-3PC~-PA

cc1c1c1,

=2-2x—F3x—3x—=1,

222

莉="麗_哂^PB+PA-2PB-PA=J1+1-2=1,

cos〈痂，刀〉=0,竺^巫,D正確.

\AM^AB\V19xl19

故選：BCD

8

11.【答案】BCD

【詳解】

對(duì)于A,設(shè)閨閭=2c,|MF；|=叫摩卜〃，/用外=6,

由橢圓和雙曲線定義有〃z+"=2q,機(jī)-〃=2%,

222

將兩式平方得加2+*+2mn=（2a1）,m+n—2mn=（2%）~>

相加整理得/+“2=2°：+2°；,

又在叢［MF］中,由余弦定理有m2+n2-ImncosO=(2c)2,

貝Umncosd=a；+a；-2c2,即mncosO=b^-b：,

貝UAfFJ=:"“cos。=6；-6；,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B,橢圓和雙曲線一個(gè)交點(diǎn)M（x。,比）,由橢圓和雙曲線的對(duì)稱性可知,

另外三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-Xo,%）,（%,-%）,

以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形為矩形，面積S=4尤0%,又點(diǎn)在橢圓上，

所以滿足鳥+￡■=1,則有S=4%%=2地x2但因42地x匡+喇=2地,

qb；\）（a；b；）

當(dāng)且僅當(dāng)血=普時(shí)等式成立，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C,閨鳥|=6|"75即2c=6〃，所以〃=|>則加=2%-〃=24，

9

-43

又2a=m-n=2a-—<2c,所以《<,即q〉z(mì),

2i3

又G<1,所以qe1

_2c_2c2

3，3e

°?2a2°2c3-e,，則的2-01.

22al---l--e13-e

1331r

令，=3-。，1€（2,：），9=3-/,則e?=3（3”=3】。+9：6t=3^z^1_6

函數(shù)y=f+；在[2,：）上單調(diào)遞減，所以e0eg,|],故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D,由MP為/邛明的角平分線，MQVMP,易知M。為△耳勺外角平分線,

MFX_PF\_PF\__PFr_PF'+PF?2c

_

則由角平分線性質(zhì)定理有~MF\~~PF\即礪_~MF\~MF{+MF2一或一6

由外角平分線性質(zhì)定理有^=器,QF^=QFL=QF\-QF^=2L=e

2

2尸2MF?.MF「MF、-MF2~2a2~

由%+〃=2%,加一〃=2%可得m=a{+a2,n=a1-a2,

22222

代入加2+n-2mncosO=(2c>即m+n-mn=(2c),整理可得4c=+3a；,

-134

所以方+萬=4,

6%

1,213、1

則e；+e；=/+

A十域74

當(dāng)且僅當(dāng)e；=6e；時(shí)取等號(hào),故D選項(xiàng)正確;

故選：BCD.

12.【答案】2

【分析】由拋物線的焦半徑公式可得.

【詳解】因尸。,加）在拋物線V=2px（p>0）上，所以|尸尸|=1+5=2,故。=2,

故答案為：2

13.【答案】7+4白

【詳解】依題意，兩直線垂直，則兩直線的方向向量垂直，其數(shù)量積為零.

可得6(1—0)+2a=0,gp2a+b=ab,所以?+1=1,

ba

10

由。>0/>0得34+26=卜+號(hào)(3“+2匕)=7+殳+黑27+4月.當(dāng)且僅當(dāng)生=”取等號(hào).

\abJabab

故答案為：7+46

14.【答案】4

【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)尸(O,y,z),:平面44Q￡?_L平面/3CZ),

.?.點(diǎn)P到面/2C。的距離為點(diǎn)P到直線的距離

...由拋物線的定義可知：z=；/+i,

易知￡(4,2,0),尸(2,4,0)C(4,4,2),

：.EF=(-2,2,0),西=(0,2,2),

,、[EF-n=-2x+2y=0

設(shè)元=(”/)是平面跖￡的其中一個(gè)法向量，則一_',

?方=2》+2z=0

令z=l,得<>=-1,

z=l

平面屏G的法向量為訪=(-1,-1,1),

又麗=(-2,y-4,z),則尸到平面可。的距離

所以d的最小值為26，

?.?點(diǎn)瓦廠分別為BC,CD的中點(diǎn)且N8=/。=4,CG=2,

G尸=C\E=EF=A/22+22=2V2,

所以三棱錐尸-瓦。的體積的最小值：VP-EFCt=1x^x^c,=1X2V3X^1X2V2X2V2X^=4.

ZA八?,AA______________C_

ABx

11

故答案為：4.

15.【答案】⑴龍2-/=1

（2）y=l,y=+1或y=—X+l-

【詳解】（1）由等邊三角形可知雙曲線焦距為2后，

——--=1>BPa2=b2=m>?*.c2=2m>2m=（V2）2,m=1,

mm

雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2-/=l.

（2）顯然當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/與雙曲線不相交，

...設(shè)直線/的方程為了=區(qū)+1,

聯(lián)立方程組F211b1；得（1/*-2h-2=0,

A=（-2左>一4（1-r）（—2）=-4/+8>0,解得左e卜亞，后）,

由韋達(dá)定理可知,

BPk2（3后2-5）=0,

解得左=0或土史.

3

所以直線/的方程為y=l,y=M5x+1或y=一"^尤+1.

33

16.【答案】（1）輪船沒有觸礁風(fēng)險(xiǎn)，理由見解析.

3

（2）4x-3y-8=0；jkm

【詳解】（1）由題意可知，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓。的方程為：/+/=1.

輪船航線所在直線過點(diǎn)（2,0）,所在直線的傾斜角為135。，斜率為-1,直線方程為了=-（尤-2）,

即尤+了一2=0.

2

原點(diǎn)到輪船航線所在直線的距離為4==V2>1,

Vi2+i2

所以，輪船沒有觸礁風(fēng)險(xiǎn).

（2）記直線/的傾斜角為a,直線y=的傾斜角為月,

14

貝Utan/?=^，左=tana=tan2/?=—

12

4

直線/的方程為：y=-(x-2),其一般式方程為:4%—3〉一8=0.

831

易知原點(diǎn)到直線/的距離為d=

忑+425

直線/與圓O相離,

Q3

圓上動(dòng)點(diǎn)P到直線/的距離的最小值為：|-l=|(km).

17.【答案】(1)/='

⑵Y

【詳解】(1)因?yàn)?。一6卜出。=(4+6)0政一51115),

由正弦定理得：(c-b)c=(a+b)(a-b),整理可得C2+1—Q2=A,

c2+b2-a2be_1

則cosA=

2bc2bc-2

TT

且0<4<兀,故

(2)由余弦定理/=〃+c2—2bccos/,即4=/+。2一6。，

整理可得4+36C=3+C)2.

設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為『，貝

i]S=g(a+6+c)r=-bcsinA,

2

日nbesinA百(b+c)2-4百

即r=------------二—.---------二—?(6+c-2)，

2+b+c62+b+c6

a2473

2K----——產(chǎn)'——

由正弦定理可知sirUV33?

2

4-73.?^-B

b+c=2RsinB+27?sinC=-----sinB+sin=迪凡3+——cos/>

3322

7

=4——sin5+—cos5=4sin[5+..

22

因?yàn)?小，牛jr

，則8+1可得6+c=4sin]8+e?2,4],

6

所以廠=々.9+c-2)e0,

6

18.【答案】⑴證明見解析:

13

PF1

⑵存在滿足條件的點(diǎn)￡,

PA3

⑶2

3

【詳解】(1)連接NC交8。于。，則為三角形中位線，易知47//犯,

又因?yàn)镋Ou平面￡08上，PCU面EBD,所以尸C〃面EAD；

P

(2)以。為原點(diǎn)，以D4所在直線為x軸，DC所在直線為V軸，DP所在直線為z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，可得。(0,0,0)4(4,0,0),3(4,4,0),尸(0,0,4),蘇=(4,0,-4),

由￡為棱P4上一點(diǎn)，設(shè)而=4方=(42,0,-42),042W1,

讀=麗+而=(42,0,4-42),麗=(4,4,0).

設(shè)平面EAD的法向量為力=(a,b,c),

亢DE=0,42(z+(4-4A)c=0,

由＜_可得

元DB=04a+4b=0,

令。=%,則4=2-1,則元=(4—1,1—%,%).

取平面月。E的法向量為而=(0,1,0),

則二面角8-的平面角c滿足：

,?同司”42

cosa=4?，=/^==—,

同?同J(__l)2+(l_「)2+423

14

化簡(jiǎn)得：322+2A-l=0,解得：義=；或4=-1（舍去），

故存在滿足條件的點(diǎn)E,此時(shí)PF?=；1

PA3

（3）因?yàn)閂F_PED=V"D-PEF，

可知三棱錐。-PE尸體積最大時(shí)，即S△陽最大，在以石。中，由余弦定理有:

EQ2=PE2+PQ2-2PE-PQCOSZEPQ,

nT#PQ2-41PE-PQ+PE2-1=0,

設(shè)尸。=x,貝!!》2—正尸后"+依2-1=0，

由題可知：該方程有實(shí)根，貝l]A=2P￡2-4（尸爐一1）20,解得尸EW&，

同理可得尸尸4行.

設(shè)點(diǎn)。到平面尸環(huán)的距離為〃，則由等體積法得到：jc=—CD，

—x—x4^2x4V2xxd=-x—x4x4x4,解得：d=.

322323

當(dāng)SAW最大時(shí)三棱錐。-尸石尸體積最大，即三棱錐尸-「皮）體積最大，

最大體積為：V=—?—?V2?>/2?-4"=—■

32233

19.【答案】（1）.+金=1

42

（2）x+J-1=0

⑶證明見解析

C_y[2

a一2'/=4,

【詳解