期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等三角形 二十個(gè)必考點(diǎn)（解析版）

全等三角形二十個(gè)必考點(diǎn)【華東師大版】題型先知【考點(diǎn)1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】 【考點(diǎn)2將已知圖形分割成幾個(gè)全等的圖形】 【考點(diǎn)3添加條件使三角形全等】 【考點(diǎn)4靈活選用判定方法證明全等】 【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】 【考點(diǎn)6證明全等的常見(jiàn)輔助線的作法】 【考點(diǎn)7證一條線段等于兩條線段的和（差）】 【考點(diǎn)8全等中的倍長(zhǎng)中線模型】【考點(diǎn)9全等中的旋轉(zhuǎn)模型】 【考點(diǎn)10全等中的垂線模型】 【考點(diǎn)11作等腰三角形】 【考點(diǎn)12利用三線合一求值】 【考點(diǎn)13利用三線合一證明】 【考點(diǎn)14利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】 【考點(diǎn)15利用等角對(duì)等邊證明】 【考點(diǎn)16等邊三角形的判定與性質(zhì)】 【考點(diǎn)17垂直平分線的判定與性質(zhì)】 【考點(diǎn)18等腰三角形中的新定義問(wèn)題】 【考點(diǎn)19角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 【考點(diǎn)20角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】

舉一反三【考點(diǎn)1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】【例1】（2022·山東·禹城市督楊實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【詳解】∵在△ABC和△DBE中AB＝∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．【變式1-1】（2022·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)城西分校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，由4個(gè)相同的小正方形組成的格點(diǎn)圖中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【分析】首先利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出∠1+∠3的值，即可得出答案；【詳解】如圖所示，在△ACB和△DCE中，{AB=DE∴△ACB?△DCE(SAS)，∴∠ABE=∠3，∴∠1+∠2+∠3=(∠1+∠3)+45°=90°+45°=135°；故答案是：135°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠P＋∠Q＝__________度．【答案】45【分析】如圖，直接利用網(wǎng)格得出對(duì)應(yīng)角∠P=∠AQC，進(jìn)而得出答案．【詳解】如圖，易知△ABP≌△ACQ，∴∠P=∠AQC，∵BQ是正方形的對(duì)角線，∴∠BQC=∠BQA+∠AQC=∠P+∠Q=45°，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·山東·濟(jì)南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．【答案】45【分析】連接AB，根據(jù)正方形網(wǎng)格的特征即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接AB

∵圖中是4×4的正方形網(wǎng)格∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，DB=AE∴△ADB≌△CEA(SAS)∴∠EAC=∠ABD=α，AB=AC∵∠ABD+∠BAD=90°∴∠EAC+∠BAD=90°，即∠CAB=90°∴∠ACB=∠ABC=45°∵BD∴∠BCE=∠DBC=β∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+β∴α+β=45°故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形網(wǎng)格中求角的度數(shù)，利用了平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠掌握正方形網(wǎng)格的特征．【考點(diǎn)2將已知圖形分割成幾個(gè)全等的圖形】【例2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）沿著圖中的虛線，請(qǐng)將如圖的圖形分割成四個(gè)全等的圖形．【答案】見(jiàn)解析【分析】直接利用圖形總面積得出每一部分的面積，進(jìn)而求出答案．【詳解】∵共有3×4=12個(gè)小正方形，∴被分成四個(gè)全等的圖形后每個(gè)圖形有12÷4=3，∴如圖所示：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)圖作圖，正確求出每部分面積是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）方格紙上有2個(gè)圖形，你能沿著格線把每一個(gè)圖形都分成完全相同的兩個(gè)部分嗎？請(qǐng)畫(huà)出分割線．【答案】見(jiàn)解析【分析】觀察第一個(gè)圖，圖中共有20個(gè)小方格，要分成完全相同兩部分，則每個(gè)有10個(gè)小格，則可按如圖所示，沿A→B→C→D分割；第二個(gè)圖同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．【詳解】解：如圖所示，第一個(gè)圖，圖中共有20個(gè)小方格，要分成完全相同兩部分，則每個(gè)有10個(gè)小格，則可按如圖所示，沿A→B→C→D分割；第二個(gè)圖同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．將分割出的兩個(gè)圖形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，再通過(guò)平移，兩部分能夠完全重合，所以分割出的兩部分完全相同．【點(diǎn)睛】本題考查圖形全等，掌握全等圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）試在下列兩個(gè)圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個(gè)圖形分別分割成兩個(gè)全等的圖形，將其中一部分涂上陰影．【答案】見(jiàn)解析（第一個(gè)圖答案不唯一）【分析】根據(jù)全等圖形的定義，利用圖形的對(duì)稱性和互補(bǔ)性來(lái)分隔成兩個(gè)全等的圖形．【詳解】解：第一個(gè)圖形分割有如下幾種：第二個(gè)圖形的分割如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和學(xué)生的空間想象能力，牢記全等圖形的定義是解題的重點(diǎn)．【變式2-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）知識(shí)重現(xiàn)：“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．”理解應(yīng)用：我們可以把4×4網(wǎng)格圖形劃分為兩個(gè)全等圖形．范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法．請(qǐng)你再提供四種與上面不同的劃分方法，分別在圖4中畫(huà)出來(lái)．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和全等形的定義進(jìn)行作圖即可．【詳解】依題意，如圖【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的定義，熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)作圖和全等圖形的概念是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3添加條件使三角形全等】【例3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)已知條件與全等三角形的判定定理即可分別判斷求解．【詳解】解：∵∠C＝∠D＝90°，AB=AB，∴①AC＝AD，可用HL判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；②∠ABC＝∠ABD，可用AAS判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；③BC＝BD，可用HL判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．【變式3-1】（2022·重慶·中考真題）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可解題．【詳解】解：∵BF=EC，∴BC=EFA.添加一個(gè)條件AB=DE，又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(SAS)故A不符合題意；B.添加一個(gè)條件∠A=∠D又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(AAS)故B不符合題意；C.添加一個(gè)條件AC=DF，不能判斷△ABC≌△DEF，故C符合題意；D.添加一個(gè)條件AC∥FD∴∠ACB=∠EFD又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(ASA)故D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·安徽淮南·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，∠ABC=∠ABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【答案】B【分析】根據(jù)題意，∠ABC=∠ABD，AB是公共邊，結(jié)合選項(xiàng)，逐個(gè)驗(yàn)證得出．【詳解】解：A、補(bǔ)充BC=BD，先證出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意；B、補(bǔ)充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故錯(cuò)誤，符合題意；C、補(bǔ)充∠ACB=∠ADB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意；D、補(bǔ)充∠CAB=∠DAB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等判定，解題的關(guān)鍵是知道有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能證明三角形全等的，做題時(shí)要逐個(gè)驗(yàn)證，排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)．【變式3-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD，試添加一個(gè)條件使得△ADE≌△CBE．現(xiàn)給出如下五個(gè)條件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】延長(zhǎng)DA、BC使它們相較于點(diǎn)F，首先根據(jù)AAS證明△FAB≌△FCD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到AF=FC，F(xiàn)D=FB，進(jìn)而得到AD=BC，即可證明△ADE≌△CBE，可判斷①、②的正誤；根據(jù)SAS證明△ADE≌△CBE，即判斷③、④的正誤；連接BD，根據(jù)SSS證明△ADB≌△CBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C，結(jié)合①即可證明⑤．【詳解】延長(zhǎng)DA、BC使它們相較于點(diǎn)F∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC∴∠B=∠D又∵∠F=∠F，AB=CD∴△FAB≌△FCD∴AF=FC，F(xiàn)D=FB∴AD=BC∴△ADE≌△CBE，即①正確；同理即可證明②正確；∵AE=CE，AB=CD∴DE=BE又∵∠AED=∠BEC∴△ADE≌△CBE，③正確；同理即可證明④正確；連接BD，∵AD=CB，AB=CD，BD=BD∴△ADB≌△CBD∴∠DAB=∠BCD∴△ADE≌△CBE，⑤正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA，難點(diǎn)在于添加輔助線來(lái)構(gòu)造三角形全等，關(guān)鍵在于應(yīng)根據(jù)所給的條件判斷應(yīng)證明哪兩個(gè)三角形全等．【考點(diǎn)4靈活選用判定方法證明全等】【例4】（2022·湖南·八年級(jí)單元測(cè)試）具備下列條件的兩個(gè)三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形B．兩邊及其中一條對(duì)應(yīng)邊上的高也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形C．兩邊分別相等，并且第三條邊上的中線也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形D．有兩邊及其第三邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形【答案】C【分析】選項(xiàng)A，選項(xiàng)B和選項(xiàng)D分別舉出反例的圖形即可；選項(xiàng)C根據(jù)題意畫(huà)出圖形，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，延長(zhǎng)A'D'至E'，使D'E'=A'D'，連接BE和B'E'，根據(jù)全等三角形的判定，可證得△BDE≌△CDA，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得BE=AC，∠E=∠CAD【詳解】A．如圖1所示，在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，但△ADE和△ABC不全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B．如圖2所示，在△ABC和△EFG中，BC=FG，AC=EG，AD⊥BC，EH⊥FG，AD=FG，但△ABC和△EFG不全等，故本選項(xiàng)不符合題意；C．如圖3所示，在△ABC和△A'B'C'中，點(diǎn)D和點(diǎn)D'分別平分線段BC和B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，∵點(diǎn)D平分線段BC，∴BD=CD，∵DE=AD，∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA∴BE=AC，∠E=∠CAD同理B'E∵AC=∴BE=∵AD=∴AE=∵AB=∴△ABE≌△∴∠E=∠E'∴∠CAD=∠∵∠BAE+∠CAD=∠∴∠BAC=∠∵AB=∴△ABC≌△故本選項(xiàng)符合題意；D．如圖4所示，在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，熟記全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)瀚文外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）我國(guó)傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖是油紙傘的張開(kāi)示意圖，AE=AF，GE=GF，則△AEG≌△AFG的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【詳解】解：在△AEG和△AFG中，EG=FGAE=AF∴△AEG≌△AFG（SSS），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．【變式4-2】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級(jí)）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，那么圖中全等的三角形有（

）A．5對(duì) B．6對(duì) C．7對(duì) D．8對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定即可求出答案．【詳解】解：①△ABE≌

∵AB∥∴AB=CD，∠ABE=∠CDF

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，

∴∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌

②△AOE≌∵AB∥CD，AD∥∴OA=OC，∵∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌③△ABO≌

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴OD=OB，

∴△ABO≌

④△BOC≌∵AB∥CD，AD∥BC，∴OD=OB，∴△BOC≌

⑤△ABC≌

∵AB∥∴BC=AD，

∴△ABC≌⑥△ABD≌∵AB∥∴∠BAD=∠BCD，

∴△ABD≌

⑦△ADE≌

∵AD=BC，

∴△ADE≌

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，解題關(guān)鍵找出對(duì)應(yīng)相等的邊、角，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、【變式4-3】（2022·浙江·八年級(jí)單元測(cè)試）根據(jù)下列條件不能唯一畫(huà)出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定定理逐項(xiàng)分析即可解答．【詳解】解：A．∵AC與BC兩邊之和大于第三邊，故能作出三角形，且三邊知道能唯一畫(huà)出△ABC，不符合題意；B．∠B是AB、BC的夾角，故能唯一畫(huà)出△ABC，不符合題意；C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一畫(huà)出△ABC，不符合題意；D．由于是SSA，所以AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能唯一畫(huà)出三角形ABC，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握SSA不能判定三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】【例5】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC外找一個(gè)點(diǎn)A'（與點(diǎn)A不重合），并以BC為一邊作△A'BC，使之與△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題是開(kāi)放題，要想使△A′BC與△ABC全等，先確定題中條件，再對(duì)應(yīng)三角形全等條件求解．【詳解】解：如圖：以B點(diǎn)為圓心，CA為半徑上下畫(huà)弧，C點(diǎn)為圓心，BA為半徑上下畫(huà)弧，兩弧相交分別得到點(diǎn)A'、A1'；以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑畫(huà)弧，以B點(diǎn)為圓心，BA為半徑畫(huà)弧，兩弧的交點(diǎn)得到點(diǎn)A2'故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等的判定綜合．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法去求證．【變式5-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)A為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作?。辉僖皂旤c(diǎn)C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；連結(jié)AD，CD．由作法可得：△ABC?△CDA的根據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)題意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根據(jù)，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，AD=BC，AB=CD，在△ADC和△CBA中，AD=CBDC=BA∴△ADC≌△CBA（SSS），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定方法解答．【變式5-2】（2022·廣東·普寧市紅領(lǐng)巾實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）在課堂上，張老師布置了一道畫(huà)圖題：畫(huà)一個(gè)Rt△ABC，使∠B=90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫(huà)出了∠MBN=90°之后，后續(xù)畫(huà)圖的主要過(guò)程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是______；_______【答案】

SAS

HL【分析】由圖可知小劉同學(xué)確定的是兩條直角邊，根據(jù)三角形全等判定定理為SAS．由圖可知小趙同學(xué)確定了一個(gè)直角邊和斜邊，根據(jù)三角形全等判定定理為HL．【詳解】小劉同學(xué)畫(huà)了∠MBN=90°后，再截取AB,BC兩直角邊等于兩已知線段，所以確定的依據(jù)是SAS定理；小趙同學(xué)畫(huà)了∠MBN=90°后，再截取BC,AC一直角邊和一個(gè)斜邊，所以確定的依據(jù)是HL定理．故答案為：①SAS；②HL．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握每種證明方法，做出判斷是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·北京·101中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來(lái)探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問(wèn)題．操作學(xué)具時(shí)，點(diǎn)Q在軌道槽AM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動(dòng)，也能在軌道槽QN上運(yùn)動(dòng)．圖2是操作學(xué)具時(shí)，所對(duì)應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖．有以下結(jié)論：①當(dāng)∠PAQ=30°，PQ=6時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ②當(dāng)∠PAQ=90°，PQ=10時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ③當(dāng)∠PAQ=150°，PQ=12時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．【答案】②③##③②【分析】分別在以上三種情況下以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，觀察弧與直線AM的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，作出ΔPAQ【詳解】如下圖，當(dāng)∠PAQ=30°，PQ=6時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出ΔPAQ，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的Q都符合題意，所以ΔPAQ不唯一，所以如下圖，當(dāng)∠PAQ=90°，PQ=10時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出ΔPAQ，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的Q都符合題意，但是此時(shí)兩個(gè)三角形全等，所以形狀相同，所以ΔPAQ唯一，所以如下圖，當(dāng)∠PAQ=150°，PQ=12時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出ΔPAQ，發(fā)現(xiàn)左邊位置的Q不符合題意，所以ΔPAQ唯一，所以綜上：②③正確．故答案為：②③【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形形狀問(wèn)題，為三角形全等來(lái)探索判定方法，也考查三角形的作圖，利用對(duì)稱關(guān)系作出另一個(gè)Q是關(guān)鍵．【考點(diǎn)6證明全等的常見(jiàn)輔助線的作法】【例6】（2022·江蘇·宿遷青華中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF．試探究圖中∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，從而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）將（1）中的條件“∠B=∠ADC=90°”改為“∠B+∠D=180°”（如圖②），其余條件不變，上述數(shù)量關(guān)系是否成立，成立，請(qǐng)證明；不成立，說(shuō)明理由（3）如圖③，中俄兩國(guó)海軍在南海舉行聯(lián)合軍事演習(xí)，中國(guó)艦艇在指揮中心（O）北偏西30°的A處，俄羅斯艦艇在指揮中心南偏東70°的B處，兩艦艇到指揮中心距離相等．接到行動(dòng)指令后，中國(guó)艦艇向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，俄羅斯艦艇沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處且相距280海里．求此時(shí)兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大?。敬鸢浮浚?）∠EAF=12∠BAD；（2）仍然成立，見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)小明同學(xué)的探究方法不難得到∠EAF=12∠BAD（2）延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可；（3）連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，然后求出∠OAC+∠OBC=180°，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可．【詳解】解：(1)如圖①，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連結(jié)AG．在△ABE和△ADG中，AB=AD，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，在△AEF和△AGF中，AE=AG，AF=AF，EF=BE+FD=DG+FD=GF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF∴∠EAF=12(2)∠EAF=12∠BAD證明：如圖②，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．

又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，∴∠EAF=12(3)如圖③，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C．∵2小時(shí)后，艦艇甲行駛了120海里，艦艇乙行駛了160海里，即AE=120，BF=160．而EF=280，∴在四邊形AOBC中，有EF=AE+BF，又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合(2)中的條件．

又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EOF=12∠AOB=70°答：此時(shí)兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大小為70°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂問(wèn)題背景的求解思路，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【變式6-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，則∠B=（

）A．50° B．40° C．40°或70【答案】B【分析】連接AD，可證△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可以得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ADB=∠ADC，代入角度即可求出∠BAD【詳解】連接AD，如圖，在△ABD與△ACD中AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACDSSS，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC∵∠A=60∴∠BAD=∠CAD=30∵∠D=140∴∠ADB=∠ADC=1∵∠BAD+∠ADB+∠B=180∴∠B=40故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）（1）求證：等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長(zhǎng).（提示：添加輔助線證明）（2）如圖所示，在三角形ABC中，點(diǎn)D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求證：AD平分∠BAC.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）已知點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作三邊的垂線，分別交三邊于點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F.求證PD+PE+PF為定長(zhǎng),即可完成證明；（2）（面積法）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.因?yàn)椤螦DB=∠ADC，所以∠ADE=∠ADF，因此△ADF?ADE(AAS)，得到AF=AE.進(jìn)而△AFC?△AEB，得到∠ABD=∠ACD，因此∠BAD=∠CAD，即AD平分【詳解】（1）

已知：等邊如圖三角形ABC，P為三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,求證：PD+PE+PF為定值.證明：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，分別連接AP、BP、CP.∵S△ABC∴12又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD+PE+PF=AG定長(zhǎng).∴等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長(zhǎng).（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵∠ADB=∠ADC，∴∠ADE=∠ADF，又∵AD=AD∴△ADF?ADE(AAS∴AF=AE∴△AFC?△AEB，∴∠ABD=∠ACD，∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，其中做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點(diǎn)E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，直接寫(xiě)出DH，BH，DE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）圖2：DH=BH-DE，圖3【分析】（1）在線段AH上截取HM=BH，連接CM，CD，證明△DMC≌△DEC，可得到DE=DM，即可求解．（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)，在BA的延長(zhǎng)線上截取MH=BH，連接CM，DC，由題意可證△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由題意可得∠B=∠AED，即可證△DMC≌△DEC，可得DE=DM，則可得DH=BH-DE；當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，在線段AB上截取BH=HM，連接CM，CD，由題意可證△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由題意可得∠B=∠AED，即可證△DMC≌△DEC，可得DE=DM，則可得【詳解】解：（1）證明：在線段AH上截取HM=BH，連接CM，CD∵CH⊥AB，HM=BH∴CM=BC∴∠B=∠CMB∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵DE∴∠ADE=∠B=∠AED=∠ACB，∠CDE=∠BCD∴∠AED=∠BMC∴∠DEC=∠DMC∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD=∠EDC∵CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DM∴BH（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)，DH=BH-DE如圖2：在BA的延長(zhǎng)線上截取MH=BH，連接CM，DC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD=BC∴∠BDC=∠DCB∵DE∴∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH，BH=MH∴△BHC≌△CHM∴∠B∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH∴DH=BH-DE當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，DE=DH+BH如圖3：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，在線段AB上截取BH=HM，連接CM，CD∵BH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，合理添加輔助線證全等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7證一條線段等于兩條線段的和（差）】【例7】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD【答案】見(jiàn)解析【分析】遇到這種CD＝AB＋AD線段和差問(wèn)題一般都是截長(zhǎng)補(bǔ)短；方法1：補(bǔ)短AB，構(gòu)造BE＝AB＋AD，證明CD=BE即可；方法2：補(bǔ)短AD，構(gòu)造DF＝AB＋AD，證明CD=DF即可；方法3：截長(zhǎng)，在CD上截取DE使得DE＝AD，構(gòu)造等腰直角三角形ABF，證明AF=EC即可；方法4：截長(zhǎng)，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延長(zhǎng)上取點(diǎn)H使得AH＝AC,證明AB=EC即可；【詳解】方法1：補(bǔ)短，構(gòu)造全等證明：延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使得AD＝AE，連接CE∵AD⊥CD∴∠D＝90°∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC在△ADC和△AEC中∵AD＝AE∠EAC＝∠DACAC＝AC∴△ADC≌△AEC(SAS)∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15°∴∠ECB＝∠B＝45°∴EC＝BE∴EC＝BE＝CD∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD方法2：補(bǔ)短，構(gòu)造全等證明：延長(zhǎng)DA至點(diǎn)F，使得AF＝AB∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°∵CD是∠ACB的角平分線∴∠ACD＝15°∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105°∴∠EAC＝∠BAC在△ABC和△AEC中AB＝AE∠EAC＝∠BACAC＝AC∴△ABC≌△AEC（SAS）∴∠E＝∠B＝45°,∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45°∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB方法3：截長(zhǎng)，構(gòu)造全等證明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB交BC于點(diǎn)F∵∠B=45°，∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135°∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠EAC＝∠ACF在△AEC和△CFA中∠EAC＝∠ACFAC＝AC∠AEC＝∠AFC∴△AEC≌△CFA(ASA)∴CE＝AF＝AB∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB方法4：截長(zhǎng)，構(gòu)造全等證明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°在CB延長(zhǎng)上取點(diǎn)H，使得AH＝AC∵∠ABC＝45°∴∠ABH＝135°∴∠ABH＝∠AEC∵AH＝AC∴∠H＝∠ACB＝30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠H＝∠EAC在△ABH和△CEA中∠H＝∠EACAH＝AC∠ABH＝∠AEC∴△ABH≌△CEA(ASA)∴AB＝CE∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB【變式7-1】（2022·安徽淮北·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分線，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，則四邊形ABDC的周長(zhǎng)為（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a(chǎn)+2b【答案】B【分析】在線段AC上作AF=AB，證明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再證明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四邊形ABDC的周長(zhǎng)．【詳解】解：在線段AC上作AF=AB，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵AE⊥CE，∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，在△CEF和△CED中∵∠D=∠CFE∠CEF=∠CED∴△CEF≌△CED（AAS）∴CE=CF，∴四邊形ABDC的周長(zhǎng)=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a+b，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷．能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長(zhǎng)到E，使得CE＝CD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫(xiě)出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AC＝EF+FC，證明見(jiàn)解析(2)補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，AC＝EF-CF，證明見(jiàn)解析(3)AC＝CF-EF【分析】（1）過(guò)D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論；（2）過(guò)D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論．（3）過(guò)D作DH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論．(1)結(jié)論：AC＝EF+FC，理由如下：過(guò)D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC=BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB∴AC＝FC+EF；(2)依題意補(bǔ)全圖形，結(jié)論：AC＝EF-CF，理由如下：過(guò)D作DH⊥CB交BC的延長(zhǎng)線于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC=HB-CH∴AC＝EF-CF．(3)AC=CF-EF．如圖3，過(guò)D作DH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H，同理可證△FEC≌△HDC（AAS），∴CH=FC，DH=EF，∵∠DHB=90°，∴∠B=∠HDB=45°，∴DH=HB=EF，∵BC=CH-BH，∴AC=CF-EF．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AE，CD為△ABC的角平分線，AE，CD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠B=60°．①直接寫(xiě)出∠AFC的大??；②求證：AC=AD+CE．（2）若圖2，若∠B=90°，求證：S△ACF【答案】（1）①120°；②見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）①綜合三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求解即可；②利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”思想，在AC上取點(diǎn)H，使得AD=AH，從而通過(guò)全等證得∠AFD=∠AFH，再結(jié)合①的結(jié)論進(jìn)一步證明∠CFH=∠CFE，從而通過(guò)全等證得CE=CH，即可得出結(jié)論；（2）同樣利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”思想，在AC上取S、T兩點(diǎn)，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，可通過(guò)全等直接先對(duì)△ADF和△CEF的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后結(jié)合（1）中的結(jié)論，證明SF∥ET，即可對(duì)△DEF的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=12∠BAC，∠FCA=12∠∴∠FAC+∠FCA=12(∠BAC+∠BCA)=12∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②證：如圖所示，在AC上取點(diǎn)H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，AD=AH∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∠CFH=∠CFE∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）證：如圖所示，在AC上取S、T兩點(diǎn)，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，AD=AS∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可證△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，F(xiàn)T=FE，∴△DEF≌△SEF，∴S△ADF=S△ASF，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+12∠B=135°∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS=90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴S△SFT∴S∵S△ACF∴S△ACF【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形角平分線相關(guān)的證明問(wèn)題，掌握基本的輔助線添加思想，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)8全等中的倍長(zhǎng)中線模型】【例8】（2022·江西吉安·七年級(jí)期末）（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問(wèn)題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，試問(wèn)線段EF、BE、FD【答案】（1）1＜AD＜6；（2）見(jiàn)解析；（3）結(jié)論：EF＝BE﹣FD，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先證明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）如圖2中，延長(zhǎng)ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．再證明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再證明EF＝FH，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABG，同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的結(jié)論：EF＝BE﹣DF．【詳解】（1）解：如圖1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故答案為1＜AD＜6．（2）證明：如圖2中，延長(zhǎng)ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．（4）結(jié)論：EF＝BE﹣FD證明：如圖3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝12∠BAD∴∠GAE＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握倍長(zhǎng)中線、構(gòu)造全等三角形成為本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·山東德州·八年級(jí)期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問(wèn)題的方法我們稱為倍長(zhǎng)中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見(jiàn)解析；（3）AF+CF＝AB，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）如圖③，延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過(guò)作輔助線證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·山東·高唐縣趙寨子中學(xué)八年級(jí)期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，連接CM、DM．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上時(shí)（如圖一），求證：DM=CM，DM⊥CM；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖二）（1）中結(jié)論仍然成立，請(qǐng)補(bǔ)全圖形（不用證明）；

（3）當(dāng)ED∥AB時(shí)（如圖三），上述結(jié)論仍然成立，請(qǐng)加以證明．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．【分析】（1）如圖一中，延長(zhǎng)DM使得MN=DM，連接BN、CN，先證明ΔDME?ΔNMB，再證明ΔACD?ΔBCN即可解決問(wèn)題．（2）補(bǔ)充圖形如圖二所示，延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于N，只要證明ΔDME?ΔNMB，再證明ΔCDN是等腰直角三角形即可．（3）如圖三中，如圖一中，延長(zhǎng)DM使得MN=DM，連接BN、CN，CD，先證明ΔDME?ΔNMB，再證明ΔACD?ΔBCN即可．【詳解】（1）證明：如圖一中，延長(zhǎng)DM使得MN=DM，連接BN、CN．

在△DME和△NMB中，DM=MN∠DME=∠NMB∴△DME≌△NMB，∴DE=BN，∠MDE=∠MNB，∴DE∥NB，∴∠ADE=∠ABN=90°，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∴∠CBN=45°=∠A，在△ACD和△BCN中，AC=BC∠A=∠CBN∴△ACD≌△BCN，∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，∴DM=CM．DM⊥CM（2）解：如圖二所示延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于N，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∵∠EDC+∠DCN=180°，∴DE∥CN，∴∠EDM=∠N在△DME和△NMB中，∠EDM=∠N∠EMD=∠NMB∴△DME≌△NMB，∴DE=BN=AD，DM=MN，∴CD=CN，∴∠CDN=∠N=45°，CM=DM=MN，CM⊥DN，∴DM=CM．DM⊥CM．（3）證明：如圖三中，如圖一中，延長(zhǎng)DM交AB于N連接CN．

∵DE∥AB，∴∠MBN=∠MED，在△DME和△NMB中，∠MBN=∠MEDBM=EM∴△DME≌△NMB，∴DE=BN=AD，DM=MN，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，∴AD=DE=BN，AC=BC，∠BAC=∠ABC=45°，∵∠AED+∠BAE=180°，∴∠BAE=135°，∵∠BAC=∠EAD=45°，∴∠DAC=∠CBN=45°在△ACD和△BCN中，AC=BC∠DAC=∠NBC∴△ACD≌△BCN，∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，∴DM=CM．DM⊥CM【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，記住中線延長(zhǎng)一倍是常用輔助線，屬于中考?？碱}型．【變式8-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請(qǐng)證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問(wèn)題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請(qǐng)寫(xiě)出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②1<BD<9；（3）MN=2BD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）①只需要利用SAS證明△CED≌△ABD即可；②根據(jù)△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三邊的關(guān)系可得CE-BC<BE<CE+BC即AB-BC<BE<AB+BC則2<BE<18，再由BE=2BD，可得1<BD<9；（2），延長(zhǎng)BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后證明∠BAE=∠MBN，則可證△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【詳解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中線，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵CE-BC<BE<CE+BC，∴AB-BC<BE<AB+BC即2<BE<18，又∵BE=BD+DE=2BD，∴1<BD<9；故答案為：1<BD<9；（2）MN=2BD，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，∵BC=BN，∴AE=BN，∵∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又∵AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，∵BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握倍長(zhǎng)中線法證明兩個(gè)三角形全等．【考點(diǎn)9全等中的旋轉(zhuǎn)模型】【例9】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知C為線段AB上一點(diǎn)，分別以線段AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE，BD，線段AE，BD之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；位置關(guān)系為_(kāi)______．拓展探究：如圖2，把Rt△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段AE，BD交于點(diǎn)F，則AE與BD【答案】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由見(jiàn)解析【分析】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；拓展探究：用SAS證ΔACE?【詳解】解：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)BD，交AE于點(diǎn)F，如圖所示：∵∠ACD=90∴∠ACE=∠DCB=90又∵CA=CD,CB=CE,∴ΔACE?ΔDCB∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠CBD=90∴∠CAE+∠CBD=90∴∠AFD=90∴AF⊥FB，∴AE⊥BD，故答案為：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立．理由如下：設(shè)CE與BD相交于點(diǎn)G，如圖1所示：∵∠ACD=∠BCE=90∴∠ACE=∠BCD，又∵CB=CE，AC=CD，∴ΔACE?ΔDCB∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，∵∠CBD+∠CGB=90∴∠AEC+∠EGF=90∴∠AFB=90∴BD⊥AE，即AE=BD，AE⊥BD依然成立．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將△ADE關(guān)于AE對(duì)稱得到△AFE，從而可得△AFE的面積為15，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得AF=AD,∠EAF=45°，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出△ACF?△ABD，從而可得CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S△ACF=S△ABD，最后根據(jù)△ABD與△AEC【詳解】解：如圖，將△ADE關(guān)于AE對(duì)稱得到△AFE，則AF=AD,∠EAF=45°，S△AFE∴∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°+45°=90°，∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD∴△ACF?△ABD(SAS)，∴CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形，∴S∴S即△ABD與△AEC的面積之和為21，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·江蘇·南京民辦求真中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一個(gè)頂點(diǎn)將這個(gè)直角三角形的斜邊分成二部分，AD=3厘米，陰影部分的面積是6平方厘米，DB長(zhǎng)______厘米．【答案】4【分析】如圖，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF與△DBF組成一個(gè)直角△DBG，直角邊DG是3厘米，面積是6平方厘米，由此利用三角形的面積公式即可求出DB的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△GDF，則△ADE≌△GDF，點(diǎn)G、F在BC上，∴∠ADE＝∠GDF，∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°，∴∠ADE＋∠FDB＝90°，∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°，∴△GDF與△DBF組成一個(gè)直角△DBG，直角邊DG是3厘米，面積是6平方厘米，∴DB的長(zhǎng)為：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米），故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是巧妙地把陰影部分△ADE通過(guò)旋轉(zhuǎn)與陰影部分△DBF組成一個(gè)直角三角形．【變式9-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝12∠ABC，試探索線段MN、AM、CN（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝12∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見(jiàn)解析；（3）MN=CN-AM，理由見(jiàn)解析【分析】（1）把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，再由∠MBN＝12∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'（3）在NC上截取CM'=AM，連接BM'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可證得△ABM≌△CBM'，從而得到AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，進(jìn)而得到∠MAM'=∠ABC，再由∠MBN＝12∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，從而得到△NBM≌△NBM'【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN＝12∠ABC∴∠ABM+∠CBN=12∠ABC＝∠MBN∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，∵∠MBN＝12∠ABC∴∠MBN＝12∠MAM'=∠M'BN∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=CN-CM'，

∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圖形的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意做適當(dāng)輔助線，得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10全等中的垂線模型】【例10】（2022·廣東佛山·七年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，∠EAB+∠DAC=度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見(jiàn)解析(3)CD=BE+DE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到∠EAB+∠DAC=90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．（1）∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．（2）證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∠ADC=∠BEA=∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．（3）∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∠ADC=∠BEA=∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．【變式10-1】（2022·陜西省西安愛(ài)知中學(xué)七年級(jí)期末）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問(wèn)題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問(wèn)題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，求△BCD的面積．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知條件可證△ABC≌△CED，可得答案；（2）過(guò)D作DE⊥BC交BC延長(zhǎng)線于E，同（1）中的方法，可證△ABC≌△CED，可得答案；（3）過(guò)A作AE⊥CD于E，過(guò)B作BF⊥CD交DC延長(zhǎng)線于F，由△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，可得AE＝4，進(jìn)而可得CE=2，同（1）中證法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性質(zhì)可求得答案．【詳解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，在△ABC和△CED中，∠B=∠E∠ACB=∠D∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案為：7；（2）過(guò)D作DE⊥BC交BC延長(zhǎng)線于E，如圖：∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，在△ABC和△CED中，∠ABC=∠E∠ACB=∠CDE∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝12BC?DE＝8（3）過(guò)A作AE⊥CD于E，過(guò)B作BF⊥CD交DC延長(zhǎng)線于F，如圖：∵△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，∴12×6?AE＝12∴AE＝4，∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，∠AEC=∠F∠ACE=∠CBF∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝12CD?BF＝6【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，屬于類比探究類的題目，掌握模型思想，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2022·安徽·九年級(jí)期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過(guò)F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則AGCG=【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）113或【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長(zhǎng)，得到答案；（3）過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，∠AFD＝∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，∠FDG＝∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴AG=CG+AC=5.5，∴AGCG同理，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，AG=AC-CG+=2.5，∴AGCG故答案為：113或5【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立(2)AF-BF=2CE【分析】（1）過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，可證△ACE≌△CBH，通過(guò)線段的等量代換可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，△ACE≌△CBG，通過(guò)線段的等量代換可得答案．（1）解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，

證明：如圖，過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CA