13.3.2 等腰三角形的判定（難點練）解析版

13.3.2等腰三角形的判定（難點練）一、單選題1．（2020·浙江溫嶺·八年級期末）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F(xiàn)是CB延長線上一點，AF⊥CF，垂足為F．下列結(jié)論：①∠ACF＝45°；②四邊形ABCD的面積等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】證明≌，得出，正確；由，得出，正確；證出，，正確；由，不能確定，不正確；即可得出答案．【詳解】解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，∴∠E＝∠ACE＝45°，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠ACF＝∠E＝45°，①正確；∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD，∴S四邊形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC2，②正確；∵△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AEC＝45°，∵∠ACE＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝∠ACE，∴AC平分∠ECF，過點A作AG⊥CG，垂足為點G，如圖所示：∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF＝AG，又∵AC＝AE，∴∠CAG＝∠EAG＝45°，∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，∴CG＝AG＝GE，∴CE＝2AG，∴CE＝2AF，③正確；∵S△ABF+S△ADE＝S△ABF+S△ABC＝S△ACF，不能確定S△ACF＝S△BCD，④不正確；故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2021·全國八年級專題練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為AB的中點，點E在BC上，CE＝2，將線段ED繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DF，然后把△DEF沿著DE翻折得到△DEF′，連接AF′，BF′，取AF′的中點G，連接DG，則DG的長為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】如圖中，作于點，于．根據(jù)已知條件得到，，根據(jù)三角形的中位線的選擇定理得到，得到，根據(jù)全等三角形的選擇得到，，求得，得到，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖中，作于點，于．，點為的中點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，點為的中點，取的中點，，；故選：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．（2020·鹽城市鹽都區(qū)實驗初中八年級月考）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)SAS證△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，結(jié)合∠BCD＝∠BDC可得①②正確；根據(jù)角的和差以及三角形外角的性質(zhì)可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正確；過E作EG⊥BC于G點，證明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用線段和差即可得到④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正確；②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正確；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE．③正確；④過E作EG⊥BC于G點，∵E是∠ABC的角平分線BD上的點，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG?CG＝BF＋BG＝2BF，④正確．故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和全等三角形的對應邊、對應角相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應角、對應邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·靖江市實驗學校八年級月考）如圖，在中，，，，，且，連接、、，有下列結(jié)論:①；②；③；④.其中正確的是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】①根據(jù)：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ECA=165°，從而得證結(jié)論正確；②根據(jù)CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求證△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論；③根據(jù)∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性質(zhì)和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出結(jié)論；④過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CN=DM=AC=BC，從而得出CN=BN．然后即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，

∴∠ACD=∠ADC=（180°-30°）=75°，

∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，

∴∠ECA=165°，∴①正確；

②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已證），

∴∠BCE=∠ECA-∠ACB=165°-90°=75°，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=AD=BC，

∴BE=BC，∴②正確；

③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，

∴∠CAB=∠ABC=45°

∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°-30°=15°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=30°，

∴∠ABF=45°+30°=75°，

∴∠AFB=180°-15°-75°=90°，

∴AD⊥BE．

④證明：如圖，

過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．

∵∠ACB=90°

∴四邊形CMDN是矩形，

∴CN=DM，

∵∠CAD=30°，

∴DM=AD=BC，∴CN=BC，∴CN=BN，

∵DN⊥BC，

∴BD=CD．

∴④正確．

所以4個結(jié)論都正確．

故選：D．【點睛】此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．5．（2020·武漢大學附屬外語學校八年級月考）如圖，在△ABC中，∠ABE＝∠CBE＝22．5°，AD、BE是△ABC的高，AD與BE交于點H，下列結(jié)論：①∠ABE＝∠HAC；②BD+DH＝AB；③BH＝2AE；④若DF⊥BE于F，則AE－FH＝DF，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①由直角三角形的性質(zhì)得出∠ABE=∠HAC，①正確；②證出△ABD是等腰直角三角形，得出AD=BD，證明△BDH≌△ADC（ASA），得出DH=CD，BH=AC，得出BD+DH=AB，②正確；③由BH=AC，當AC=2AE時，2AE=BH，③錯誤；④作DK⊥AC于K，則DF=EK，證明△DFH≌△DKC（AAS），得出FH=KC，DF=DK，證出AB=CB，由等腰三角形的性質(zhì)得出AE=CE，即可得出AE-FH=DF，④正確；即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵∠ABE=∠CBE=22.5°，

又∵AD是高，

∴AD⊥BC，

∴∠CBE+∠C=∠HAC+∠C，

∴∠ABE=∠HAC，①正確；∵∠ABE=∠CBE=22.5°，

∴∠ABD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

∵AD⊥BC，

∴∠BDH=∠ADC=90°，

在△BDH和△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（ASA），

∴DH=CD，BH=AC，

∵AB=BC，

∴BD+DH=AB，②正確；∵BH=AC，當AC=2AE時，即2AE=BH，③錯誤；作DK⊥AC于K，如圖所示：

則DF=EK，∠DKC=90°，∠C+∠CDK=∠C+∠HAC，

∴∠CDK=∠HAC，

∵BE⊥AC，DF⊥BE，

∴DF∥AC，∠DFH=90°=∠DKC，

∴∠FDH=∠CDK，

在△DFH和△DKC中，，∴△DFH≌△DKC（AAS），

∴FH=KC，DF=DK，

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，

∴∠BAC=∠BCA，

∴AB=CB，

∴AE=CE，

∵CE=KC+EK，DF=EK，

∴AE=FH+DF，

∴AE-FH=DF，④正確．故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2021·洛陽市第二外國語學校）如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點P，交AC于點M，交AD與點N．下列結(jié)論：①BD=CE;②∠BPE=180°?2α;③AP平分∠BPE;④若α=60°，則PE=AP+PD．其中一定正確的結(jié)論的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由“SAS”可△BAD≌△CAE，可得BD=CE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠ACE，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定義可得∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α；由全等三角形的性質(zhì)可得S△BAD=S△CAE，利用三角形的面積公式可得AH=AF，由角平分線的性質(zhì)可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可證△AOE≌△APD，可得AO=AP，可證△APO是等邊三角形，可得AP=PO，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE,∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，故①符合題意；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α，∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP,∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合題意；如圖，過點A作AH⊥BD，AF⊥CE，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，∴，且BD=CE，∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE，故③符合題意；如圖，在線段PE上截取OE=PD，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO，∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，∴∠APO=60°，且AP=AO，∴△APO是等邊三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD，故④符合題意．故選：C【點睛】本題主要考查的是三角形的綜合題，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2020·浙江翠苑中學）如圖所示，中，、分別平分和，過點作交于點，交于點，那么下列結(jié)論：①；②；③的周長等于的周長；④．其中正確的是（）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等量代換即可得；②根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得；③先根據(jù)等腰三角形的判定可得，，再根據(jù)三角形的周長公式即可得；④先根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】∵平分，平分，∴，，∵，∴，，則結(jié)論②正確；∴，，則結(jié)論①正確；∴，，∴的周長為，，，∵的周長為，且，∴的周長不等于的周長，則結(jié)論③錯誤；∵，，∴，又∵，∴，∴，，，則結(jié)論④正確；綜上，正確的結(jié)論是①②④，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．8．（2021·全國八年級專題練習）當題目條件出現(xiàn)角平分線時，我們往往可以構(gòu)造等腰三角形解決問題．如圖1，在中，，CD平分，，，求BC的長，解決辦法：如圖2，在BC邊上取點E，使，連接DE，可得且是等腰三角形，所以BC的長為5，試通過構(gòu)造等腰三角形解決問題：如圖3，中，，，BD平分，要想求AD的長，僅需知道下列哪些線段的長（，，）（）A．a(chǎn)和b B．b和c C．a(chǎn)和c D．a(chǎn)、b和c【答案】A【分析】在邊上取點，使，連接，得到，在邊上取點，使，連接，得到，即可推出結(jié)論．【詳解】解：要想求的長，僅需知道和的長，理由是：如圖4，中，，，，平分，，，在邊上取點，使，連接，在和中，，，，，在邊上取點，使，連接，則，，，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)題意正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2021·河南金水·八年級期中）如圖，在中，，將繞點旋轉(zhuǎn)到，邊和邊相交于點，邊和邊相交于，當為等腰三角形時，則__________．【答案】或【分析】過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△ABC≌△A'BC'，則BD＝BE，進而得到BP平分∠A'PC，再根據(jù)∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝，即可得出∠BPQ＝（180°?∠C'PQ）＝90°?，分三種情況討論，利用三角形內(nèi)角和等于180°，即可得到關(guān)于的方程，進而得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，由旋轉(zhuǎn)可得，△ABC≌△A'BC'，則BD＝BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，∴∠CBQ＝∠C'PQ＝，∴∠BPQ＝（180°?∠C'PQ）＝90°?，分三種情況：①如圖所示，當PB＝PQ時，∠PBQ＝∠PQB＝∠C＋∠QBC＝30°＋，∵∠BPQ＋∠PBQ＋∠PQB＝180°，∴90°?＋2×（30°＋）＝180°，解得＝20°；②如圖所示，當BP＝BQ時，∠BPQ＝∠BQP，即90°?＝30°＋，解得＝40°；③當QP＝QB時，∠QPB＝∠QBP＝90°?，又∵∠BQP＝30°＋，∴∠BPQ＋∠PBQ＋∠BQP＝2（90°?）＋30°＋＝210°＞180°（不合題意），故答案為：20°或40°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是利用全等三角形對應邊上高相等，得出BP平分∠A'PC，解題時注意分類思想的運用．10．（2019·哈爾濱市第一一三中學校）如圖，在四邊形ABCD中，AC是四邊形的對角線，∠CAD=30°，過點C作CE⊥AB于點E，∠B=2∠BAC，∠ADC﹣∠BAC=90°，若AB=20，CD=16，則BE的長為____．【答案】2．【分析】在EA上截取EF＝EB，連接CF，作FM⊥AC于M，作CN⊥AD于N，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出CB＝CF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CFB＝∠B＝2∠BAC，證出∠FCA＝∠BAC，得出AF＝CF，由等腰三角形的性質(zhì)得出CM＝AM＝AC，由直角三角形的性質(zhì)得出CN＝AC，得出AM＝CN，證出∠BAC＝∠DCN，證明△AFM≌△CDN（ASA），得出AF＝CD＝16，進而得出答案．【詳解】在EA上截取EF=EB，連接CF，作FM⊥AC于M，作CN⊥AD于N，如圖所示：∵CE⊥AB，∴CB=CF，∴∠CFB=∠B=2∠BAC．∵∠CFB=∠FCA+∠BAC，∴∠FCA=∠BAC，∴AF=CF．∵FM⊥AC，∴CM=AM=AC．∵CN⊥AD，∠CAD=30，∴CN=AC，∴AM=CN．∵∠ADC﹣∠BAC=90，∴∠ADC=90+∠BAC．∵∠ADC=∠N+∠DCN=90+∠DCN，∴∠BAC=∠DCN，在△AFM和△CDN中，，∴△AFM≌△CDN（ASA），∴AF=CD=16，∴BF=AB﹣AF=20﹣16=4，∴BE=BF=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．11．（2020·連云港外國語學校）如圖，已知：，點、、、…在射線上，點、、…在射線上，、、…均為等邊三角形，若，則的邊長為__________．【答案】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出，證明，，則，推出，，同理，，…，記各等邊三角形的邊長依次為：則…，從而可得出結(jié)果．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵∠MON=30°，∴，，∴，∴，∴，同理，，…，記各等邊三角形的邊長依次為：∴…，的邊長為故答案為：【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角直角三角形的性質(zhì)找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．12．（2020·江陰市長涇第二中學八年級月考）如圖①，點D為一等腰直角三角形紙片的斜邊AB的中點，E是BC邊上的一點，將這張紙片沿DE翻折成如圖②，使BE與AC邊相交于點F，若圖①中AB＝2，則圖②中△CEF的周長為______________．【答案】【分析】如圖，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，連接DF．首先證明△DFB≌△DFC，推出CF=BF，可得，再利用勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：如圖，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，連接DF．∵，，∴，，．∴，∴，∵∠BFM=∠EFC，∴∠DFB=∠DFC，在△DFB和△DFC中，，∴△DFB≌△DFC，∴CF=BF，∵，∵，∴（負根舍去）故答案為：【點睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理的應用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．13．（2020·江西廣豐·八年級期末）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，且AB＝AC，BD＝AD，AC＝DC，那么∠B＝_____．【答案】36°【分析】先設∠B＝x，由AB＝AC可知，∠C＝x，由AD＝DB可知∠B＝∠DAB＝x，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，根據(jù)AC＝CD可知∠ADC＝∠CAD＝2x，再在△ACD中，由三角形內(nèi)角和定理即可得出關(guān)于x的一元一次方程，求出x的值即可．【詳解】解：設∠B＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x，∵AD＝DB，∴∠B＝∠DAB＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠CAD＝2x，在△ACD中，∠C＝x，∠ADC＝∠CAD＝2x，∴x+2x+2x＝180°，解得x＝36°．∴∠B＝36°．故答案為：36°．【點睛】本題考查了等腰三角形等邊等角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2019·哈爾濱市松雷中學校）如圖，在中，，點在上，連接，點在上，連接，，，若，則的長為______．【答案】5.【分析】設∠DEB=∠ACD=x，∠ECB=y，根據(jù)已知條件，推導出∠ABC=x+y=45°，而x+y=∠ACD+∠ECB=∠ACB，從而得到∠ACB=∠ABC，進而有AC=AB=5，問題得解.【詳解】解：設∠DEB=∠ACD=x，∠ECB=y，則∠DBE=2y，∠EBC=∠DEB-∠ECB=x-y，又∵，∴∠DBE+∠EBC=45°，∴2y+x-y=45°，即x+y=45°，∴∠ACD+∠ECB=45°，即∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB=5，【點睛】本題主要考查了三角形的一個外角等于其不相鄰的兩個內(nèi)角和、等腰三角形的等角對等邊及整體思想的運用.在處理幾何中有關(guān)角度關(guān)系問題時，常常用代數(shù)的方法表示各個角，結(jié)合已知條件及三角形內(nèi)角和定理及推論，利用整體的思想可順利解決.15．（2020·河南鄭州·八年級月考）在直角坐標系中，O為坐標原點，已知點A（1，2），點P是y軸正半軸上的一點，且△AOP為等腰三角形，則點P的坐標為_____________．【答案】【分析】有三種情況：①以O為圓心，以OA為半徑畫弧交y軸于D，求出OA即可；②以A為圓心，以OA為半徑畫弧交y軸于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分線交y軸于C，則AC＝OC，根據(jù)勾股定理求出OC即可．【詳解】有三種情況：①以O為圓心，以OA為半徑畫弧交y軸于D，則OA＝OD＝；∴D（0，）；②以A為圓心，以OA為半徑畫弧交y軸于P，OP＝2×yA=4，∴P（0，4）；③作OA的垂直平分線交y軸于C，則AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC＝，∴OC＝，∴C（0，）；故答案為：．【點睛】本題主要考查對線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，坐標與圖形性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．16．（2021·江西章貢·八年級期末）如圖所示，已知△ABC中，，，，點P是△ABC邊上的一個動點，點P從點A開始沿A→B→C→A方向運動，且速度為每秒4cm，設出發(fā)的時間為，當點P在邊CA上運動時，若△ABP為等腰三角形，則運動時間______．【答案】8.4或9或9.5【分析】分三種情形：AB＝AP，AB＝BP，PA＝PB，畫出圖形分別求解即可．【詳解】過點B作BH⊥AC于H．∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝16，∴AB＝＝12，∵BH⊥AC，∴S△ABC＝?AC?BH＝?AB?BC，∴BH＝＝，∴AH＝，當BA＝BP1時，AH＝HP1＝，∴AB＋BC＋AP1＝20＋16＋12?＝，此時t＝÷4==8.4，當AB＝AP2時，AB＋BC＋CP2＝20＋16＋12?12＝36，此時t＝36÷4=9，當AP3＝BP3時，AB＋BC＋CP3＝20＋16＋12?10＝38，此時t＝38÷4=9.5，綜上所述，滿足條件的t的值為8.4或9或9.5．故答案為：8.4或9或9.5．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．17．（2020·湖南廣益實驗中學八年級月考）如圖所示，在等腰中，，，為的中點，點在上，，若點是等腰的腰上的一點，則當為以為腰的等腰三角形時，的度數(shù)是____________．【答案】34°或53.5°或100°或134°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理解答即可．【詳解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∠AED=73°，

∴∠EDB=23°，

∵當△DEP是以DE為腰的等腰三角形，

①當點P在AB上，

∵DE=DP1，

∴∠DP1E=∠AED=73°，

∴∠EDP1=180°-73°-73°=34°，

②當點P在AC上，

∵AB=AC，D為BC的中點，

∴∠BAD=∠CAD，

過D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，

∴DG=DH，

在Rt△DEG與Rt△DP2H中，，∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），

∴∠AP2D=∠AED=73°，

∵∠BAC=180°-50°-50°=80°，

∴∠EDP2=134°，

③當點P在AC上，

同理證得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），

∴∠EDG=∠P3DH，

∴∠EDP3=∠GDH=180°-80°=100°，

④當點P在AB上，EP=ED時，∠EDP=（180°-73°）=53.5°．

故答案為：34°或53.5°或100°或134°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2020·哈爾濱市蕭紅中學）如圖，在中，點在邊上，于點，，，若，則的長______．【答案】10【分析】如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、等量代換可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，最后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，以AB為邊作，交AC于點M，以ED為邊作，交BC于點N，在和中，，，，由三角形的外角性質(zhì)得：，又，，，，（等腰三角形的三線合一），又，，即，，故答案為：10．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等腰三角形是解題關(guān)鍵．19．（2020·浙江八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點，點Q在x軸的負半軸上，且分別以、為腰，點C為直角頂點在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點，則的值為________．【答案】9【分析】先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH=AQ，HN=QC，然后根據(jù)點C（0，3），S△CQA=18，求得AQ=12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP=PH=CH=6，即可求得CP=3+6=9．【詳解】解：如圖，過N作NH∥CM，交y軸于H，則∠CNH+∠MCN=180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN=180°，∴∠ACQ+∠MCN=360°-180°=180°，∴∠CNH=∠ACQ，又∵∠HCN+∠ACO=90°=∠QAC+∠ACO，∴∠HCN=∠QAC，在△HCN和△QAC中，，∴△HCN≌△QAC（ASA），∴CH=AQ，HN=QC，∵QC=MC，∴HN=CM，∵點C（0，3），S△CQA=18，∴×AQ×CO=18，即×AQ×3=18，∴AQ=12，∴CH=12，∵NH∥CM，∴∠PNH=∠PMC，∴在△PNH和△PMC中，，∴△PNH≌△PMC（AAS），∴CP=PH=CH=6，又∵CO=3，∴OP=3+6=9，故答案為：9．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積計算以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應邊相等進行推導計算．解題時注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．三、解答題20．（2021·河南延津·）如圖，在中，是邊上一點，平分交于點，且．（1）求證：；（2）過點作于點，若．①求證：；②請直接寫出、、滿足的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．【分析】（1）先證明，可得，再利用對頂角相等即可得到結(jié)論；（2）①先求解，再證明，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得，從而可得，從而可得結(jié)論；②由①可知，證明．結(jié)合，，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：平分，．，，，．，．（2）①證明：，于點，．，，，，．，，，．，．②．理由如下：由①可知．，．，，，即．【點睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．21．（2021·江蘇寶應·八年級期末）如圖，在等邊中，點是邊上一定點，點是直線上一動點，以為一邊作等邊，連接．（問題思考）如圖1，若點與點重合時，求證：；（類比探究）如圖2，若點在邊上，求證：；（拓展歸納）如圖3，若點在邊的延長線上，請直接寫出線段、與之間存在的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論是：______（不證明）．【答案】【問題思考】見解析；【類比探究】見解析；【拓展歸納】．【分析】問題思考：利用等邊三角形的性質(zhì)證明：可得，再利用，從而可得結(jié)論；類比探究：作交于點，如圖所示：證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)再證明：可得，從而可得結(jié)論；拓展歸納：過D作，交AC的延長線于點G，如圖所示：證明為等邊三角形，再證明△EGD≌△FCD，可得EG=FC，從而可得結(jié)論．【詳解】問題思考：證明：∵是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴；類比探究：作交于點，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵∴，∴∴是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，∴∴，∴，∴；拓展歸納：線段CE，CF與CD之間的等量關(guān)系是FC=CD+CE；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=60°，過D作，交AC的延長線于點G，如圖所示：∵，∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，∴，∴△GCD為等邊三角形，∴DG=CD=CG，∵△EDF為等邊三角形，∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，∴∠EDG=∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG=FC，∴FC=EG=CG+CE=CD+CE．故答案為：．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2021·湖北荊門·八年級期末）已知是等邊三角形，點，分別在直線，上．（1）如圖1，當時，連接與交于點，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______；的度數(shù)是______．（2）如圖2，若“”不變，與的延長線交于點，那么（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）如圖3，若，連接與邊交于點，求證：點是的中點．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知，證明△ABD≌△BCE（SAS）即可解決問題．（2）結(jié)論：“AD=BE，∠APE=60°”仍然成立．利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知，證明△ABD≌△BCE（SAS）即可解決問題．（3）如圖3，過點E作交AB邊于點F．證明△MEF≌△MDB（AAS）即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，∴又BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，又∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，∴∠APE=∠PAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=60°．故答案為：AD=BE；∠APE=60°．（2）結(jié)論：“AD=BE，∠APE=60°”仍然成立．理由如下：如圖2，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠BCE=120°，又BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，又，∴（3）證明：∵△ABC是等邊三角形，如圖3，過點E作交AB邊于點F．∴△AEF是等邊三角形，∴EF=AE，∠EFM=∠DBM，∠EMF=∠DMB，∴△MEF≌△MDB（AAS），∴EM=DM，即點M是DE的中點．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．23．（2021·浙江新昌·）如圖1，已知，點D是射線上的動點，延長至點E，使得，連結(jié)，過點D作，交的垂直平分線于點F，連結(jié)，探究與的關(guān)系．下面是小明遵循老師平時說的“一般問題特殊化入手研究”的思路所做的探究活動請你根據(jù)小明的探究思路，回答下列問題．[探究1]如圖2小明先探究點D與點C重合，延長至點G，使得，連結(jié)，，發(fā)現(xiàn)一些全等三角形，如：等，從而發(fā)現(xiàn)．請證明：．[探究2]當點D與點C不重合時，猜想與的關(guān)系，并說明理由．[探究3]小明由角度的關(guān)系聯(lián)想到了線段之間的關(guān)系，當時，探究線段與的數(shù)量關(guān)系．【答案】[探究1]見解析；[探究2]，理由見解析；[探究3]【分析】[探究1]根據(jù)已知條件利用SAS可得；[探究2]當點D在線段上時，延長至點G，使得，連結(jié)．可得．所以，根據(jù)已知條件可得所以，所以；當點D在線段的延長線上時，同理可得，．[探究3]在中，．所以，即可得出結(jié)論．【詳解】解：[探究1]：證明：在和中，∵，∴[探究2]：猜想：理由如下：當點D在線段上時，如圖2．延長至點G，使得，連結(jié)．在和中，∵，∴．∴．又∵F在的垂直平分線上，∴，∴．∵，∴，又∵，∴．∴，∴．當點D在線段的延長線上時，如圖3．同理可得，．綜上所述，．[探究:3]：在中，．∵，∴．【點睛】本題幾何綜合題主要考查了、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、分類討論思想，解題的關(guān)鍵是正確做輔助線尋找全等三角形解決問題，屬于壓軸題．24．（2021·全國）如圖，是的高，的平分線交于點，設．（1）求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（2）求證：；（3）將沿直線折疊得到，連接，若，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)∠A=2∠B，以及角平分線的定義表示出∠ACE，再根據(jù)高的定義得到交ACD，從而可以表示出∠DCE；（2）在DA上截取DM=DE，連接CM，求出∠ACM，得到∠BCM，再求出∠BMC，可推出BC=BM，根據(jù)BM=BE+2DE可推出結(jié)論；（3）根據(jù)折疊得到△BCE≌△BCF，從而推出∠FCB=∠FBC，在△ABC中利用內(nèi)角和求出α，分別求出∠AFE和∠DCE，即可證明∠AFE=∠DCE．【詳解】解：（1），，，，平分，，是的高，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=90°-2α，；（2）在DA上截取DM=DE，連接CM，，，，，，，，，，，，；（3）∵△BCE沿直線BC折疊得到△BCF，∴△BCE≌△BCF，，，，EF垂直平分BC，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和，等角對等邊，解題的關(guān)鍵是利用相應定理求出角的度數(shù)，結(jié)合邊的關(guān)系推出結(jié)論．25．（2021·宜興外國語學校）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為直線BC上一動點，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，過點E作EH⊥AC于H，連接DE，求證：EH=AC；（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，連