重難點(diǎn)37 圓錐曲線定值問(wèn)題十三大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（原卷版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題37圓錐曲線定值問(wèn)題十三大題型匯總題型1線段長(zhǎng)度定值問(wèn)題 1題型2周長(zhǎng)定值問(wèn)題 3題型3面積定值問(wèn)題 5題型4向量積定值問(wèn)題 6題型5角度定值問(wèn)題 8題型6運(yùn)算關(guān)系定值問(wèn)題 9◆類(lèi)型1和關(guān)系 10◆類(lèi)型2差關(guān)系 11◆類(lèi)型3積關(guān)系 11◆類(lèi)型4商關(guān)系 12◆類(lèi)型5平方關(guān)系 13題型7坐標(biāo)相關(guān)定值問(wèn)題 14題型8參數(shù)相關(guān)定值問(wèn)題 16題型9斜率定值問(wèn)題 18題型10斜率和定值問(wèn)題 19題型11斜率差定值問(wèn)題 21題型12斜率積定值問(wèn)題 22題型13斜率比定值問(wèn)題 24題型1線段長(zhǎng)度定值問(wèn)題與線段長(zhǎng)度有關(guān)的定值問(wèn)題通常是先引入?yún)?shù)，利用距離公式或弦長(zhǎng)公式得到長(zhǎng)度解析式，再對(duì)解析式化簡(jiǎn)，得出結(jié)果為定值【例題1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過(guò)F的兩條互相垂直的直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，若線段AB，PQ的中點(diǎn)分別為M，N，且過(guò)F作直線MN的垂線，垂足為D，證明：存在定點(diǎn)H，使得DH為定值.【變式1-1】1.（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2pxp>0過(guò)點(diǎn)1,p(1)求拋物線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)Q2,0作QH⊥l，垂足為H（不與點(diǎn)Q重合），是否存在定點(diǎn)T，使得HT【變式1-1】2.（2023下·廣東深圳·高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x(1)點(diǎn)A1，A2為C的左右頂點(diǎn)，P為雙曲線C上異于A1，A(2)點(diǎn)M，N在C上，且kAM?kAN=12，AD⊥MN【變式1-1】3.（2023·云南曲靖·?？既＃╇p曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為(1)求雙曲線C的方程；(2)已知M,N是C上不同的兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且MN的中垂線為直線l，是否存在半徑為1的定圓E，使得l被圓E截得的弦長(zhǎng)為定值，若存在，求出圓E的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1-1】4.（2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)雙曲線C:x2a2-y2b2(1)求雙曲線C的方程．(2)已知點(diǎn)P2,-1，兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)M，N在雙曲線C上，直線PM，PN分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)Q在直線MN上，OE+OF=0且PQ⊥MN，試問(wèn)是否存在定點(diǎn)T【變式1-1】5.（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為π6的直線交拋物線于點(diǎn)M（M在第一象限），MN⊥l，垂足為N，直線NF交x(1)求p的值.(2)若斜率不為0的直線l1與拋物線C相切，切點(diǎn)為G，平行于l1的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，且∠PGQ=π2，點(diǎn)F到直線題型2周長(zhǎng)定值問(wèn)題【例題2】（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M到定點(diǎn)F3,0的距離和它到直線l：x=253(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若直線l：y=kx+m與圓x2+y2=16相切，切點(diǎn)N在第四象限，直線l與曲線C交于A【變式2-1】1.（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎狿為圓C：x2+y(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)點(diǎn)M在圓x2+y2=3【變式2-1】2.（2023·上海·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(1)若△PFB為直角三角形，求Γ的離心率；(2)若a=2，b=1，點(diǎn)Q，Q'是橢圓Γ上不同兩點(diǎn)，試判斷“PQ=PQ'”是“Q(3)若a=2，b=3，點(diǎn)T為直線x=4上的動(dòng)點(diǎn)，直線TA，TB分別交橢圓Γ于C，D兩點(diǎn)，試問(wèn)△FCD【變式2-1】3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程；(2)若P為直線x=4上一點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．①證明：直線CD過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2②橢圓的左焦點(diǎn)為F1，求△C【變式2-1】4.（2023·云南曲靖·曲靖一中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓P與圓C1:x+12+y2(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)曲線C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1、A2，T為直線l:x=4上的動(dòng)點(diǎn)，且T不在x軸上，直線TA1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線TA2與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，【變式2-1】5.（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)k=1時(shí)，求△ABF的面積；(3)對(duì)?k≠0，△ABF的周長(zhǎng)是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說(shuō)明理由.題型3面積定值問(wèn)題與面積有關(guān)的定值問(wèn)題通常是利用面積公式把面積表示成某些變量的表達(dá)式，再利用題中條件化簡(jiǎn)，【例題3】（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)x，y∈R，向量i，j分別為平面直角坐標(biāo)內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量，若向量a=x+3i(1)求點(diǎn)Mx,y的軌跡C(2)設(shè)橢圓E：x216+y24=1，曲線C的切線y=kx+m交橢圓E【變式3-1】1.（2023上·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E:x24+y23(1)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,3，且OA(2)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,3，且S(3)若kOA?k【變式3-1】2.（2023上·湖北武漢·高三武鋼三中校考階段練習(xí)）已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且AB=1，BC=2，○O1切直線l于點(diǎn)A，又過(guò)B、C作○O(1)求點(diǎn)P的軌跡E方程；(2)設(shè)M、N是P的軌跡E上的不同兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若OM，ON的斜率分別為k1，k2，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)k1k2【變式3-1】3.（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)為F1,F2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)△PF1F2，△PF1B【變式3-1】4.（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓Γ方程為x2a2(1)求橢圓的離心率；(2)當(dāng)直線PB1的一個(gè)方向向量是（1，1）時(shí)，求以PB1為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)點(diǎn)R滿足：RB1⊥PB1，R題型4向量積定值問(wèn)題與向量有關(guān)的定值問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型一是求數(shù)量積有關(guān)的定值問(wèn)題，二是根據(jù)向量共線，寫(xiě)出向量系數(shù)的表達(dá)式，再通過(guò)計(jì)算得出與向量系數(shù)有關(guān)的定值結(jié)論.【例題4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)圓x2+y2=45的切線交橢圓C于A【變式4-1】1.（2023上·四川·高三南江中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)C0,-1(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)（異于C,D），直線PC,PD與x軸分別交于M,N兩點(diǎn)．證明在x軸上存在兩點(diǎn)A,B，使得MB?【變式4-1】2.（2022上·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)M-54【變式4-1】3.（2018·天津·統(tǒng)考一模）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線y=kx-1①若MB=AN，求k的值；②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為74【變式4-1】4.（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:x=-2與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)l右側(cè)的點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M，且PA=

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)B1,0的動(dòng)直線l'交軌跡C于S,T，設(shè)Q-3,0題型5角度定值問(wèn)題【例題5】（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖3所示，點(diǎn)F1，A分別為橢圓E:x2a2+y2b

(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F1作直線l交橢圓E于B，D兩點(diǎn)，連接AB，AD并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，N，求證：∠M【變式5-1】1.（2023下·浙江·高二浙江省開(kāi)化中學(xué)校聯(lián)考期中）已知離心率為2的雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右頂點(diǎn)分別為A，B，頂點(diǎn)到漸近線的距離為3.過(guò)雙曲線E右焦點(diǎn)F的直線l(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記△ABP，△ABQ，△BPQ的面積分別為S1，S2，S3，當(dāng)S(3)若直線AP，AQ分別與直線x=1交于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)∠MFN是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式5-1】2.（2023下·北京海淀·高三人大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+(1)求C的方程和離心率；(2)過(guò)點(diǎn)13,-1【變式5-1】3.（2023下·河南安陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于點(diǎn)M，N（異于點(diǎn)A），直線AM，AN分別與直線x=4交于點(diǎn)P，Q．問(wèn)：∠PFQ的大小是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-1】4.（2023上·湖北十堰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若橢圓C的左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于B,D（異于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，直線AB,AD分別與直線x=8交于M,N兩點(diǎn)，試問(wèn)∠MFN是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型6運(yùn)算關(guān)系定值問(wèn)題與代數(shù)式有關(guān)的定值問(wèn)題，一般是依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值◆類(lèi)型1和關(guān)系【例題6-1】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A為

(1)求橢圓C1(2)若橢圓C2的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為F1,F2，且C2與C1的離心率相等，P為AB與C2異于F1【變式6-1】（2022上·浙江嘉興·高二校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E的焦點(diǎn)為F1-3,0，F(xiàn)23,0，且滿足______，橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為A,B，右頂點(diǎn)為D條件①；橢圓過(guò)點(diǎn)3,1請(qǐng)從上述兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并完成解答.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)Q在橢圓E上（且在第一象限），直線AQ與l交于點(diǎn)N，直線BQ與x軸交于點(diǎn)M.試問(wèn)：OM+2◆類(lèi)型2差關(guān)系【例題6-2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線x24-(1)若點(diǎn)N2,9(2)過(guò)點(diǎn)M且與直線l垂直的直線分別交x軸于A(x1,0)，y軸于B(0,y1【變式6-2】（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E:x22+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)T(2,0)的直線l(1)求直線AF2，(2)設(shè)AF1與BF2交于點(diǎn)◆類(lèi)型3積關(guān)系【例題6-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2-y2(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)Q是C上任意一點(diǎn)，過(guò)Q作與C的兩條漸近線平行的直線，與x軸分別交于點(diǎn)M，N，判斷x軸上是否存在點(diǎn)G，使得GMGN【變式6-3】（2021上·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y2=1的漸近線傾斜角分別為30°(1)求雙曲線方程．◆類(lèi)型4商關(guān)系【例題6-4】（2023上·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y(1)求雙曲線的離心率；(2)過(guò)M0,1的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F且與PQ平行的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)MP【變式6-4】1.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2-y2a2=1(1)求C的方程；(2)證明：MF【變式6-4】2.（2023上·四川成都·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為12，點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：PF【變式6-4】3.（2023·山東德州·三模）已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2-(1)求雙曲線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn)，Q為x軸上一點(diǎn)，滿足QA=QB◆類(lèi)型5平方關(guān)系【例題6-5】（2023上·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)一中?？茧A段練習(xí)）已知A,B分別是橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓的方程；(2)直線l//AB，與x軸交于點(diǎn)M，與橢圓相交于點(diǎn)C,D，求證：【變式6-5】1.（2023上·河南焦作·高三博愛(ài)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知半橢圓y2a2+x2b2=1(y>0,a>b>0)和半圓x

(1)求曲線Γ的方程；(2)連接PC，PD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：|AE|【變式6-5】2.（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2-(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)Gx1,y1的直線l1:x1題型7坐標(biāo)相關(guān)定值問(wèn)題【例題7】（2023上·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x，圓M：(x(1)求圓M的方程；(2)設(shè)P為x=-7上一點(diǎn)，P的縱坐標(biāo)不等于±2．過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1)，【變式7-1】1.（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)-2,1，1,14，-2,-2，(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓x2+y-22=3，過(guò)點(diǎn)Pm,-1m≠±3作圓的兩條切線，分別交拋物線T于【變式7-1】2.（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C1的方程為y(1)若M是C1上的一點(diǎn)，點(diǎn)N在C1的準(zhǔn)線l上，C1的焦點(diǎn)為F，且FM⊥FN，MF(2)設(shè)Px0,y0x0≠m±r,y0≠±m(xù)為圓C2【變式7-1】3.（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？既＃┮阎獟佄锞€C1:y

(1)求a，p的值；(2)設(shè)P為直線x=-1上除-1,-3，-1,3兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2:x-22+y2=3的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，【變式7-1】4.（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓Γ:x24+y2(1)求橢圓Γ的方程；(2)設(shè)圓C:x2+y2+8x-23(3)若點(diǎn)M是橢圓Γ上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N，直線MP?NP分別交x軸與點(diǎn)Em,0?點(diǎn)F【變式7-1】5.（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知離心率為22的橢圓C:x2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試判斷xMxN

是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式7-1】6.（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x2a2+y(1)求橢圓方程；(2)若直線y=kx+m交橢圓于Ax1,y1，B題型8參數(shù)相關(guān)定值問(wèn)題（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．【例題8】（2023上·貴州貴陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：y2a2+x(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，與定直線l1：y=9交于點(diǎn)D，設(shè)DP=λPF，DQ【變式8-1】1.（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)為F(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若PF1=λ1【變式8-1】2.（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P1,1的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與直線y=-34x相交于點(diǎn)Q，如果AQ=λ【變式8-1】3.（2023·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率是3，實(shí)軸長(zhǎng)是2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)點(diǎn)Px0,y0為雙曲線C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(1)當(dāng)l的方程為x0xa(2)設(shè)MP=λPN，求證：【變式8-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知M4,m是拋物線C:

(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)P2,0的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)Q，設(shè)QA=λPA，QB【變式8-1】5.（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，圓(1)求C的方程及點(diǎn)F與圓D上點(diǎn)的距離的最大值；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M0,1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，直線AD，BD分別與y軸相交于點(diǎn)P，Q，MP=mMO，MQ【變式8-1】6.（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（1）若橢圓C:x2a2+y2b2（2）橢圓C1:x2a2+y2b2=t1(a>b>0),C2:x2a2+y2題型9斜率定值問(wèn)題與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型是斜率之積商或斜率之和差為定值，求解時(shí)一般先利用斜率公式寫(xiě)出表達(dá)式，再利用題中條件或韋達(dá)定理化簡(jiǎn).【例題9】（2022上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=12，且過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，且直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ)，判斷直線AB的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式9-1】1.（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，若橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2,2(1)求橢圓C的方程；(2)若A,B是橢圓上不同于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，證明：直線AB的斜率為定值．【變式9-1】2.（2023上·江西·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C:y2a2+x2(1)求C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA與C交于另一點(diǎn)B，與直線OA平行的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與BQ交于點(diǎn)D，證明：直線OD的斜率為定值.【變式9-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A2,0，B-2,0分別是橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程；(2)證明：直線DE的傾斜角為定值．【變式9-1】4.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線C在x軸上方一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，過(guò)點(diǎn)A作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B，C，求證：直線BC的斜率為定值．題型10斜率和定值問(wèn)題【例題10】（2022上·河南商丘·高三?？茧A段練習(xí)）已知A1，A2，B是橢圓x2a2

(1)求此橢圓的方程；(2)設(shè)直線A1P和直線BQ的斜率分別為k1【變式10-1】1.（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知△PAB的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0,3),(0,-3),且直線PA，PB的斜率之積是-3，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【變式10-1】2.（2023上·河南洛陽(yáng)·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C1:y2=2(1)已知F為拋物線C1的焦點(diǎn)，若PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為1,1，求p(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為k1.若斜率為k2的直線l與拋物線C1和C【變式10-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線E:y2=2px(p>0)(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)P1,m為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過(guò)Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為kPM和kPN【變式10-1】4.（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過(guò)點(diǎn)A22,0，點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)直線l:y=12x+t與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)P-2,1，點(diǎn)Q與M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，討論：直線【變式10-1】5.（2023上·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知C1:x(1)證明：y=x-2總與C1(2)在（1）的條件下，若y=x-2與C1在y軸右側(cè)相切于A點(diǎn)，與C2在y軸右側(cè)相切于B點(diǎn)．直線l與C1和C2分別交于P，Q，M，N四點(diǎn).是否存在定直線題型11斜率差定值問(wèn)題【例題11】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2(1)求雙曲線C的方程；(2)若F為雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l交C的左支于A,B兩點(diǎn).點(diǎn)P-4,2，直線AP交直線x=-2于點(diǎn)Q.設(shè)直線QA,QB的斜率分別k1,【變式11-1】1.（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q的上方），PQ的中點(diǎn)為M，M在直線l：x=2上的射影為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△POQ的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為k1，k2，證明：【變式11-1】2.（2023上·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F2作斜率存在且不為0的直線l交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，若P1,32，直線AP與直線x=4交于點(diǎn)Q，記直線題型12斜率積定值問(wèn)題【例題12】（2023上·江西南昌·高三江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)Q3,4【變式12-1】1.（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為12，E的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點(diǎn)，滿足PF1+PF2=4.拋物線C：(1)若直線l與橢圓E相交于D，N兩點(diǎn)，且DN的中點(diǎn)為Q1,12(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：【變式12-1】2.（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)6,-3的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k【變式12-1】3.（2023上·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）動(dòng)圓C與圓M：(x+2)2+y2=(1)求動(dòng)圓C的圓心C的軌跡方程；(2)直線l：y=k(x-1)(k≥0)與C相交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為k'（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若|AP|?|BQ|=|BP|?|AQ|，判斷k?【變式12-1】4.（2023上·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知離心率為32的橢圓x2a2+y2(1)若△AOB的面積為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在（1）的條件下，記直線AC,BD的斜率分別為k1，k2，求證：【變式12-1】5.（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F3,0的距離與到直線l：x=433的距離之比為3(1)求W的方程；(2)過(guò)W上兩點(diǎn)A，B作斜率均為-12的兩條直線，與W的另兩個(gè)交點(diǎn)分別為C，D.若直線AB，CD的斜率分別為k1，k題型13斜率比定值問(wèn)題【例題13】（2023上·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓C1：x24+y2b2=10<b<2，雙曲線C2是橢圓C1的“姊妹”圓錐曲線，e1，e2分別為C1(1)求雙曲線C2(2)試探究kAM與kBN的(3)求w=k【變式13-1】1.（2023上·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1,a>0,b>0的實(shí)軸長(zhǎng)為4，左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,A2(1)求雙曲線方程.(2)求證：直線MA【變式13-1】2.（2021上·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：x2a2(1)求橢圓C的方程；(2)已知P0,-b(3)過(guò)點(diǎn)Da2，【變式13-1】3.（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為4，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)右焦點(diǎn)F(1)記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2.證明：(2)記△AMN的面積為S1，△BMN的面積為S2，求【變式13-1】4.（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）已知橢圓E：x2(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l的傾斜角為銳角，l分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M，N，與E相交于A，B兩點(diǎn)，且N為線段MB的中點(diǎn)，B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，直線CN與E的一個(gè)交點(diǎn)為D．（i）證明：直線CD與l的斜率之比為定值；（ii）當(dāng)直線AD的傾斜角最小時(shí)，求l的方程．1.（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A為直線l:x+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作射線AP（點(diǎn)P位于直線l的右側(cè)）使得AP⊥l,F1,0，設(shè)線段AF的中點(diǎn)為B，設(shè)直線PB與x軸的交點(diǎn)為T(mén),PF=TF(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)Q0,2的兩條射線分別與曲線C交于點(diǎn)M,N，設(shè)直線QM,QN的斜率分別為k1,k22.（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為F(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線l:x-2y=0與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)A，若∠PAQ的內(nèi)角平分線的斜率不存在.探究：直線PQ的斜率是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.3.（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓心為D的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F1-2,0，且內(nèi)切于圓(1)