河南省新鄉(xiāng)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源～2023學(xué)年新鄉(xiāng)市高二期中（下）測試數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章至第七章7.3.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.歡歡同學(xué)從4本漫畫書和5本繪本書中各任選1本出來參加義賣活動，則不同的選法共有（）A.7種 B.9種 C.12種 D.20種【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選法共有種.故選：D.2.某物體沿直線運動，其位移（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則在這段時間內(nèi)，該物體的平均速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均變化率的計算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由位移與時間之間的關(guān)系為，根據(jù)平均變化率的計算公式，可得在這段時間內(nèi)，該物體的平均速度為：故選：B.3.投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點朝上的骰子的個數(shù)為，則的分布列為（）A.X12PB.X01PC.X012PD.X012P【答案】C【解析】【分析】根據(jù)離散型隨機變量的分布列，即可寫出答案.【詳解】因為每枚骰子偶數(shù)點朝上的概率為，且相互獨立，的取值可能為0，1，2.，，，所以的分布列為：XP故選：C.4.一排有7個空座位，有3人各不相鄰而坐，則不同坐法共有（）A.120種 B.60種 C.40種 D.20種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由插空法即可得到結(jié)果.【詳解】首先拿出4個空座位，則四個空座位之間一共有5個空位置，包括兩端，從5個空位置中選出3個空位置，即，然后3人全排列為,所以不同的坐法共有種，故選:B5.某校有，等五名高三年級學(xué)生報名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試，每人限報一所高校，每所高校均有人報考，其中，兩名學(xué)生相約報考同一所高校，則這五名學(xué)生不同的報考方法共有（）A.9種 B.18種 C.24種 D.36種【答案】D【解析】【分析】分報考三所高校的人數(shù)為3:1:1和報考三所高校的人數(shù)為2:2:1兩種情況求解，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果.【詳解】若報考三所高校的人數(shù)為3:1:1，則不同的報考方法有種.若報考三所高校的人數(shù)為2:2:1，則不同的報考方法有種.故這五名學(xué)生不同的報考方法共有36種.故選：D6.被3除的余數(shù)為（）A.2 B.1 C.0 D.不確定【答案】A【解析】【分析】由于，利用二項式定理將其展開，由于246被3整除，從而可求出結(jié)果.【詳解】.因為246被3整除，所以被3除的余數(shù)為.故選：A7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致如圖所示，則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.無極大值點 B.有2個零點C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)，可得出的單調(diào)性和極值可判斷ACD；的零點個數(shù)不能準確判斷，可判斷B.【詳解】如圖，繪制函數(shù)的圖象，可知當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由圖可知，,，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極大值點，的零點個數(shù)不能準確判斷.故選：D.8.已知集合，集合滿足，且中恰有三個元素，其中一個元素是另外兩個元素的算術(shù)平均數(shù)，則滿足條件的共有（）A.380個 B.180個 C.90個 D.45個【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，，則由題意可得，然后分，同為奇數(shù)或同為偶數(shù)兩種情況討論求解即可.【詳解】設(shè)，，，且是與的算術(shù)平均數(shù)，則，所以，同為奇數(shù)或同為偶數(shù).當，同為奇數(shù)時，則必存在唯一確定的數(shù)，此時滿足條件的共有個.當，同為偶數(shù)時，則也必存在唯一確定的數(shù)，此時滿足條件的共有個.故滿足條件的共有90個.故選：C二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.隨機變量的分布列為234若，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由分布列的性質(zhì)列方程可求出，再由方差的公式可求出.【詳解】由題可知，解得，則.故選：AD.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則下列結(jié)論正確的有（）A.當時，有3個零點 B.當時，有2個極值點C.若為增函數(shù)，則 D.若為增函數(shù)，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用零點的定義直接求解即可，對于B，對函數(shù)求導(dǎo)后，由，可得有兩個零點，再由極值點的定義判斷，對于C，由于導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，所以其不可能為增函數(shù)，對于D，由判斷即可.【詳解】當時，由，得，則或.由，可知有兩個非零實根，故有3個零點，A正確.由，得.因為，所以恰有2個零點，且在這兩個零點周圍的符號發(fā)生改變，所以有2個極值點，B正確.因為是二次函數(shù)，所以不可能是增函數(shù)，C不正確.若為增函數(shù)，則恒成立，則，解得，D正確.故選：ABD11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】令，求得，可判定A正確；化簡二項式為，求得其展開式為，結(jié)合選項B、C、D，逐項判定，即可求解.【詳解】由，令，可得，所以A正確；又由，根據(jù)二項展開式可得：，由，可得，所以B不正確；由，可得，所以C正確；由，可得，所以D正確.故選：ACD.12.已知，且恒成立，則k的值可以是（）A－2 B.0 C.2 D.4【答案】ABC【解析】【分析】先對不等式變形得，發(fā)現(xiàn)是與雙變量之間的關(guān)系，然后再根據(jù)已知的等式把雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，從而構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最小值即可得出結(jié)果.【詳解】由知，，，令，則，令，則，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以存在使得，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以可取，故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知隨機變量的期望為3，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)滿足線性關(guān)系的變量間的期望的計算公式，即可求解.【詳解】由題意知，所以.故答案為：.14.設(shè)，為兩個事件，若事件和事件同時發(fā)生的概率為，在事件發(fā)生的前提下，事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件概率概率公式計算可得.【詳解】依題意可得，，因為，所以.故答案為：15.展開式的所有項的系數(shù)和為1024，則______，展開式中的常數(shù)項為______.（用數(shù)字作答）【答案】①.1②.210【解析】【分析】令，由題意可得，解方程即可求出；求出的通項，令和，即可求出展開式中的常數(shù)項.【詳解】令，由題意可得，解得.，則的通項為：，令，得，令，得，則展開式中的常數(shù)項為.故答案為：1；21016.已知直線與曲線相切，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點，得到方程組，得到，故，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求出最小值，得到答案.【詳解】直線與曲線相切，設(shè)切點為，則，所以，因為，所以，即，又，，故，將代入得，，解得，故，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，故，故最小值為-1.故答案為：-1【點睛】當已知切點坐標為時，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可得到切線的斜率，再利用求出切線方程；當不知道切點坐標時，要設(shè)出切點坐標，結(jié)合切點既在函數(shù)圖象上，又在切線方程上，列出等式，進行求解.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的展開式中第4項和第5項的二項式系數(shù)相等.（1）求的值；（2）求展開式中，含項的系數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題設(shè)知，根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果；（2）寫出二項式的通項公式，即知含項的，進而求其系數(shù).【小問1詳解】由展開式中第4項和第5項的二項式系數(shù)相等，即，則.【小問2詳解】由（1）知：原二項式為，則，故時，，所以含項的系數(shù)為.18.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最值.【答案】（1）（2）最大值為8，最小值為【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線方程為求解；.（2）由（1）得到，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【小問1詳解】解：，又函數(shù)的圖象在處的切線方程為，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可知，令，解得，或.當或時，；當時，.故的增區(qū)間為和的減區(qū)間為因為，所以在上的最大值為8，最小值為.19.甲箱子中有4個黑球、3個白球，乙箱子中有4個黑球、5個白球，各球除顏色外沒有其他差異．（1）從甲、乙兩個箱子中各任取1個球，求至少有1個白球被取出的概率；（2）從甲箱子中任取1個球放入乙箱子中，再從乙箱子中任取1個球，求取出的球是白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分為：甲箱子摸出白球且乙箱子摸出黑球、甲箱子摸出黑球且乙箱子摸出白球、甲箱子摸出白球且乙箱子摸出白球三類情況，結(jié)合互斥事件的概率加法公式，即可求解；（2）由題意分為：甲箱子中摸出的是黑球和甲箱子中摸出的是白球，兩種情況，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，可分為三類：當甲箱子摸出白球且乙箱子摸出黑球時，可得；當甲箱子摸出黑球且乙箱子摸出白球時，可得；當甲箱子摸出白球且乙箱子摸出白球時，可得，由互斥事件的概率加法公式，可得.【小問2詳解】解：由題意，可分為兩類：當甲箱子中摸出的是黑球時，再從乙箱子中任取1個球是白球的概率為；當甲箱子中摸出的是白球時，再從乙箱子中任取1個球是白球的概率為，由互斥事件的概率加法公式，可得.20.甲、乙兩位圍棋選手進行圍棋比賽，比賽規(guī)則如下：比賽實行三局兩勝制（假定沒有平局），任何一方率先贏下兩局比賽時，比賽結(jié)束，圍棋分為黑白兩棋，第一局雙方選手通過抽簽的方式等可能的選擇棋色下棋，從第二局開始，上一局的敗方擁有優(yōu)先選棋權(quán).已知甲下黑棋獲勝的概率為，下白棋獲勝的概率為，每位選手按有利于自己的方式選棋.（1）求甲選手以2:1獲勝的概率；（2）比賽結(jié)束時，記這兩人下圍棋的局數(shù)為，求的分布列與期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由題意可知甲選手以2:1獲勝必須前兩局雙方各勝一局，且第三局甲獲勝，則分第一局甲下黑棋和第一局甲下白棋兩種情況求出概率，然后利用互斥事件的概率公式求解，（2）由題意可知的取值可能為2，3，7，然后求出各自對應(yīng)的概率，從而可求出的分布列與期望.【小問1詳解】甲選手以2:1獲勝，則前兩局雙方各勝一局，且第三局甲獲勝.若第一局乙選棋，則所求概率為；若第一局甲選棋，則所求概率為.故甲選手以2:1獲勝的概率為.【小問2詳解】由題可知，的取值可能為2，3，則，.則的分布列為23.21已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2），，求的取值范圍.【答案】（1）極小值為，無極大值（2）【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可求出的極值；（2）將題意轉(zhuǎn)化為對恒成立，令，求出，即可得出答案.【小問1詳解】因，所以，.令，得.當時，，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.故當時，取得極小值，且極小值為，無極大值.【小問2詳解】因為，所以等價于.令，，則.令，，則，則.當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故，從而，即的取值范圍為.22.已知函數(shù).（1）求的