《向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/22.2平面向量的線性運(yùn)算2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(名師：卓忠越)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過(guò)這節(jié)課學(xué)習(xí)，掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義及向量共線定理，培養(yǎng)學(xué)生自主探究知識(shí)形成的過(guò)程的能力、合作釋疑過(guò)程中合作交流的能力.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情感,培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度、勇于創(chuàng)新的精神.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例,掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義及向量共線定理，熟練運(yùn)用定義、運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，能夠運(yùn)用定理解決向量共線、三點(diǎn)共線、直線平行等問(wèn)題.2.理解、掌握向量共線定理及其證明過(guò)程，會(huì)根據(jù)向量共線定理判斷兩個(gè)向量是否共線.3.通過(guò)由實(shí)例到概念、由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生自主探究知識(shí)形成的過(guò)程的能力、合作釋疑過(guò)程中合作交流的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性,陶冶學(xué)生的情感，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度、勇于創(chuàng)新的精神.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1．掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義及向量共線定理．2．熟練運(yùn)用定義、運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．3．能夠運(yùn)用定理解決向量共線、三點(diǎn)共線、直線平行等問(wèn)題．（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1．理解向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義及向量共線定理．2．能夠運(yùn)用定理解決向量共線、三點(diǎn)共線、直線平行等問(wèn)題．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第87頁(yè)至第90頁(yè)，填空：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反.特別的：時(shí)，根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，可得如下運(yùn)算律：設(shè)為實(shí)數(shù)，那么：（1）；（2）；（3）共線向量基本定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使.2．預(yù)習(xí)自測(cè)（1）任畫(huà)一向量，分別求作向量答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的幾何意義【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】按向量數(shù)乘的幾何意義，同向或反向延長(zhǎng)向量點(diǎn)撥：按向量數(shù)乘的幾何意義作圖即可（2）點(diǎn)C在線段AB上，且，則______,________答案：；解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的幾何意義【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】根據(jù)向量數(shù)乘的幾何意義，表示向量之間的關(guān)系點(diǎn)撥：同向系數(shù)為正，反向系數(shù)為負(fù)，系數(shù)絕對(duì)值表示長(zhǎng)度之間的關(guān)系（3）化簡(jiǎn)：①；②答案：①；②；解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的運(yùn)算律【解題過(guò)程】①；②點(diǎn)撥：類(lèi)比多項(xiàng)式運(yùn)算，利用向量數(shù)乘運(yùn)算律展開(kāi)合并即可（4）判斷下列向量與是否共線：①；②答案：①∥；②∥；解析：【知識(shí)點(diǎn)】共線向量定理【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】①，所以∥；②，所以∥；點(diǎn)撥：根據(jù)兩向量的數(shù)量關(guān)系，判定兩向量是否共線(二)課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧（1）向量加減法的運(yùn)算法則（2）向量加法的運(yùn)算律①；②（3）向量加減法的幾何表示①②③2．問(wèn)題探究探究一通過(guò)實(shí)例，理解向量數(shù)乘定義及其幾何意義●活動(dòng)①類(lèi)比定義向量數(shù)乘我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請(qǐng)同學(xué)們作出和向量，并請(qǐng)同學(xué)們指出相加后，和的長(zhǎng)度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的3倍，其方向與的方向相同，的長(zhǎng)度是長(zhǎng)度的3倍，其方向與的方向相反.類(lèi)比小學(xué)算術(shù)中的乘法定義，類(lèi)比規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量的積就是，它還是一個(gè)向量，我們把這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作.它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（1）.（2）時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；特別地，當(dāng)或時(shí)，.從圖形上看，向量的數(shù)乘就是將有向線段同向或反向的進(jìn)行了拉伸或壓縮.【設(shè)計(jì)意圖】從小學(xué)的已有知識(shí)推廣發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，從特殊到一般，體會(huì)新定義的產(chǎn)生、概念的提煉、抽象過(guò)程.●活動(dòng)②辨析概念，總結(jié)提煉運(yùn)算律根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，求作向量和（為非零向量）并進(jìn)行比較；向量與向量相等嗎？學(xué)生從模的大小與方向兩個(gè)方面進(jìn)行比較，得出，.一般的，設(shè)、為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則有：（1）；（2）；（3）.通常將（1）稱(chēng)為結(jié)合律，（2）（3）稱(chēng)為分配律.【設(shè)計(jì)意圖】由一般推廣到特殊，在由數(shù)乘的定義總結(jié)提煉出向量數(shù)乘的運(yùn)算律．例1計(jì)算：（1）；（2）；（3）.【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的運(yùn)算律【解題過(guò)程】（1）；（2）（3）點(diǎn)撥：應(yīng)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律，類(lèi)似于多項(xiàng)式的運(yùn)算展開(kāi)合并即可．答案：（1）；（2）（3）．同類(lèi)訓(xùn)練化簡(jiǎn)：【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的運(yùn)算律【解題過(guò)程】；點(diǎn)撥：應(yīng)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律，類(lèi)似于多項(xiàng)式的運(yùn)算展開(kāi)合并即可．答案：探究二辨析定義，探究共線向量定理●活動(dòng)①由特例入手，發(fā)現(xiàn)共線向量定理請(qǐng)同學(xué)們觀察，，回答、有何關(guān)系？因?yàn)椋?、是平行向?反之，若、是平行向量，能否得出？為什么？可得出嗎？為什么？若都為非零向量可以！因?yàn)?、都非零且平行，它們的方向相同或相反，可以相互用?shù)乘向量進(jìn)行表示.若，則不存在實(shí)數(shù)使得，僅能存在使得.同理若，情況類(lèi)似.由此可得向量平行的充要條件：向量與非零向量平行的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.對(duì)此定理的證明，可從兩方面來(lái)說(shuō)明：其一，若存在實(shí)數(shù)，使，則由實(shí)數(shù)與向量乘積定義中第(2)條可知與平行，即與平行.其二，若與平行，且不妨令，設(shè)，接下來(lái)看、方向如何：①、同向，則，②若、反向，則記，總而言之，存在實(shí)數(shù)（或）使.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)由特殊到一般，探索發(fā)現(xiàn)共線向量基本定理，再用定義加以證明，符合科學(xué)探索發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律.●活動(dòng)②鞏固理解，嘗試應(yīng)用判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，主要看這三點(diǎn)是否共線.由于兩點(diǎn)確定一條直線，如果能夠判斷第三點(diǎn)在這條直線上，那么就可以判斷這三點(diǎn)共線.因此，借助共線向量基本定理，可以幫助我們判定三點(diǎn)是否共線.例2如圖：已知，，試判斷與是否平行．【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算及共線向量基本定理【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】∵∴與平行點(diǎn)撥：應(yīng)用向量線性運(yùn)算，判斷向量是否具有線性相關(guān)性，從而判定是否平行.答案：與平行同類(lèi)訓(xùn)練如例2圖，已知在△ADE中，點(diǎn)B、C分別為邊AD、AE的三等分點(diǎn)，試判斷BC與DE是否平行?答案：BC∥DE解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算法則及共線向量定理【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】∵，又∵BC與DE不在同一條直線上∴BC∥DE點(diǎn)撥：運(yùn)用向量線性運(yùn)算法則判定向量的線性關(guān)系，從而判定直線平行例3如圖,已知任意兩個(gè)非零向量,試作，你能判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算及其幾何意思、共線向量基本定理【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】如圖，分別作向量，過(guò)點(diǎn)作直線，觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量怎樣變化,點(diǎn)B始終在直線上,猜想三點(diǎn)共線.事實(shí)上,因?yàn)槎谑?2，且它們有公共點(diǎn)A所以A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)撥：先畫(huà)圖猜想，再通過(guò)向量線性運(yùn)算，應(yīng)用共線向量基本定理判定是否共線答案：A、B、C三點(diǎn)共線同類(lèi)訓(xùn)練：設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，若，，，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；【知識(shí)點(diǎn)】共線向量基本定理【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線．點(diǎn)撥：應(yīng)用向量線性運(yùn)算，判斷向量是否具有線性相關(guān)性，從而判定是否平行.答案：A、B、D三點(diǎn)共線；探究三學(xué)以致用、用向量表示幾何元素●活動(dòng)用向量表示幾何元素(點(diǎn)、線段等)是用向量方法證明幾何問(wèn)題的重要步驟，運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則，逐步嘗試表示幾何元素.例4如圖,ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M,且，,你能用表示答案：;;;解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算法則及其運(yùn)算律【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】在ABCD中,∵,又∵平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分,∴，，點(diǎn)撥：結(jié)合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則,將兩個(gè)向量的和或差表示出來(lái),這是解決這類(lèi)幾何題的關(guān)鍵.同類(lèi)訓(xùn)練：在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E為BC的中點(diǎn)，則等于()A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算法則及其運(yùn)算律【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】∵∴點(diǎn)撥：結(jié)合向量加法的多邊形法則和運(yùn)算律,將兩個(gè)向量的和或差表示出來(lái),這是解決這類(lèi)幾何題的常用方法.答案：A3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）向量數(shù)乘的定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①；②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反.特別的：時(shí)，（2）向量數(shù)乘的運(yùn)算律：

設(shè)為實(shí)數(shù)，那么：①；②；③（3）共線向量基本定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使.重難點(diǎn)歸納（1）理解向量數(shù)乘的幾何本質(zhì)上就是將有向線段同向或反向伸長(zhǎng)或壓縮；（2）能夠運(yùn)用定理解決向量共線、三點(diǎn)共線、直線平行等問(wèn)題．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．化簡(jiǎn)__________.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算法則及其運(yùn)算律【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：運(yùn)用向量線性運(yùn)算法則展開(kāi)、合并即可2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點(diǎn)共線B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線D．B，C，D三點(diǎn)共線答案：B

解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算律及共線向量定理【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))共線，又有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．點(diǎn)撥：運(yùn)用向量線性運(yùn)算法則判定向量的線性關(guān)系，從而判定三點(diǎn)共線3．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))等于()A．.eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算法則與幾何圖形結(jié)合【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】∵,∴點(diǎn)撥：利用向量線性運(yùn)算法則表示有向線段，用到了三角形中線的向量表示答案：C

4．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若點(diǎn)D滿(mǎn)足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c答案：A

解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算法則與幾何圖形結(jié)合【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.點(diǎn)撥：利用向量線性運(yùn)算法則表示有向線段，用到了三角形中線的向量表示5．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是()A．矩形B．平行四邊形C．梯形D．以上都不對(duì)答案：C

解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量線性運(yùn)算法則與平行向量判定【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】由已知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，∴四邊形ABCD是梯形．點(diǎn)撥：分別判定四邊形對(duì)邊向量的平行關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系即可得解.能力型師生共研6.已知和是不共線向量=t(t∈R),試用、表示.【知識(shí)點(diǎn)】三點(diǎn)共線的向量表示與用向量表示幾何元素【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】由=t(t∈R)知A、B、P三點(diǎn)共線∴=+=+t·=+t·(-)=(1-t)·+t·.點(diǎn)撥：由向量運(yùn)算法則，將依次用、表示出來(lái)即可.由此還可思考，在題目條件不變的前提下，能否用、來(lái)表示或者用、來(lái)表示呢？逐步層層遞進(jìn)，還可探索發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是且答案：7.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB.若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)bD.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b【知識(shí)點(diǎn)】三角形角平分線定理的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】由內(nèi)角平分線定理，得eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(|AD|,|DB|)＝2.∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.點(diǎn)撥：利用三角形角平分線定理得出線段比例關(guān)系，從而表示出向量答案：B8．O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是該平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則直線AP一定通過(guò)△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)】三角形中線、重心的向量表示【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】取BC中點(diǎn)D.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2λeq\o(AD,\s\up6(→)).∴A，P，D三點(diǎn)共線，∴AP一定通過(guò)△ABC的重心．點(diǎn)撥：,,從而得AP與中線AD共線9．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，則△AOC與△ABC的面積之比是______．答案：1∶2解析：【知識(shí)點(diǎn)】用向量反映幾何關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】如圖所示，取AC中點(diǎn)D.∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→)).∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→)).∴O為BD中點(diǎn)，∴面積比為高之比點(diǎn)撥：由共線向量的關(guān)系反映線段長(zhǎng)度關(guān)系，從而得面積比.探究型多維突破1.凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F,求證:=(+).答案：詳見(jiàn)解題過(guò)程解析：【知識(shí)點(diǎn)】用向量證明幾何問(wèn)題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】（法一）過(guò)點(diǎn)C在平面內(nèi)作=則四邊形ABGC是平行四邊形,故F為AG中點(diǎn).(如圖1)∴EF是△ADG的中位線.∴EFDG；∴=.而=+=+,∴=(+).（法二）如圖2,連接EB、EC,則有=+,=+,又∵E是AD之中點(diǎn),∴有+=0,

即有+=+.以與為鄰邊作EBGC,則由F是BC之中點(diǎn),可得F也是EG之中點(diǎn).∴==(+)=(+).點(diǎn)撥：能否構(gòu)造三角形,使EF作為三角形中位線,借助于三角形中位線定理解決,或創(chuàng)造相同起點(diǎn),以建立向量間關(guān)系.從多角度觀察思考問(wèn)題，使問(wèn)題得到解決.自助餐1．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)】共線向量的判定【解題過(guò)程】若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b；若a∥b，則a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．點(diǎn)撥：辨析共線向量的充要條件2．設(shè)a是任一向量，e是單位向量，且a∥e，則下列表示形式中正確的是()A．e＝B．a(chǎn)＝eC．a(chǎn)＝－eD．a(chǎn)＝±e答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)】單位向量的表示【解題過(guò)程】對(duì)于A，當(dāng)a＝0時(shí)，eq\f(a,|a|)沒(méi)有意義，錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，D當(dāng)a＝0時(shí)，選項(xiàng)B，C，D都對(duì)；當(dāng)a≠0時(shí)，由a∥e可知，a與e同向或反向.點(diǎn)撥：向量平行，方向可相同亦可相反，同時(shí)注意零向量的特殊情況.3．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq