2024-2025學(xué)年新教材高中物理第三章相互作用-力5共點(diǎn)力的平衡學(xué)案新人教版必修1

PAGE14-5共點(diǎn)力的平衡學(xué)問點(diǎn)一共點(diǎn)力1．定義：共同作用在同一點(diǎn)上，或者雖不作用在同一點(diǎn)，但是它們的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，這樣的一組力叫做共點(diǎn)力．2．力的合成的平行四邊形定則，只適用于共點(diǎn)力．學(xué)問點(diǎn)二共點(diǎn)力的平衡條件1．平衡狀態(tài)：靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．2．平衡條件：(1)F合＝0(或加速度a＝0)(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fx合＝0,Fy合＝0))某時(shí)刻速度等于零的物體肯定處于平衡狀態(tài)嗎？試舉例說明．提示：物體的瞬時(shí)速度為零與靜止是不等價(jià)的，這時(shí)物體不肯定處于平衡狀態(tài)．例如，將物體豎直上拋，物體上升到最高點(diǎn)時(shí)，其瞬時(shí)速度為零，但物體并不能保持靜止?fàn)顟B(tài)，物體在重力的作用下將向下運(yùn)動(dòng)．考點(diǎn)一共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用共點(diǎn)力作用下物體的平衡的求解方法(1)合成法：對(duì)于三力平衡，隨意兩個(gè)力的合力必與第三個(gè)力等大、反向，借助三角函數(shù)或相像三角形學(xué)問求解．如圖所示，結(jié)點(diǎn)O受三個(gè)力作用處于平衡狀態(tài)，若已知物體的質(zhì)量和OB繩與豎直方向的夾角，求OA和OB繩上拉力的大小，就可以將OA、OB繩上的拉力F2和F1合成，其合力F與OC繩的拉力F3等大、反向，然后再利用三角形中的邊角關(guān)系來分析處理即可．(2)分解法：物體在三個(gè)共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)，可以將某一個(gè)力分解在另兩個(gè)力的反方向上，得到的兩個(gè)分力必定分別與另兩個(gè)力等大、反向．(3)圖解三角形法：物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的共點(diǎn)力的作用處于平衡狀態(tài)．這三個(gè)力的矢量箭頭首尾依次相連構(gòu)成一個(gè)閉合三角形，利用三角形學(xué)問可求力的大小或改變，例如一個(gè)物體受三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，如圖甲所示．可以將三個(gè)力中的兩個(gè)力平移得如圖乙所示，利用三角形的學(xué)問求解即可．(4)相像三角形法：通常取一個(gè)矢量三角形與幾何三角形相像，利用比值關(guān)系解題，此法僅適用于三力平衡問題．(5)三力匯交原理解題法：物體受三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，不平行必共點(diǎn)，如圖所示，直棒AB在力F作用下靜止在水平地面上，地面對(duì)棒AB的作用力必過力F與重力G的交點(diǎn)O.(6)正交分解法：正交分解法在處理四個(gè)力或四個(gè)以上力的平衡問題時(shí)特別便利．將物體所受的各個(gè)力均在兩個(gè)相互垂直的方向上分解，然后分別在這兩個(gè)方向上列方程，此時(shí)平衡條件可表示為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fx合＝0，,Fy合＝0.))【例1】沿光滑的墻壁用網(wǎng)兜把一個(gè)足球掛在A點(diǎn)(如圖所示)，足球的質(zhì)量為m，網(wǎng)兜的質(zhì)量不計(jì)，足球與墻壁的接觸點(diǎn)為B，懸繩與墻壁的夾角為α，求懸繩對(duì)球的拉力和墻壁對(duì)球的支持力．【審題指導(dǎo)】取足球作為探討對(duì)象，它共受到三個(gè)力的作用：重力G＝mg，方向豎直向下；墻壁的支持力FN，方向水平向右；懸繩的拉力FT，方向沿繩的方向．這三個(gè)力肯定是共點(diǎn)力，重力的作用點(diǎn)在球心O點(diǎn)，支持力FN沿球的半徑方向．G和FN的作用線必交于球心O點(diǎn)，則FT的作用線必過O點(diǎn)．既然是三力平衡，可以依據(jù)隨意兩力的合力與第三力等大、反向求解，可以依據(jù)力的三角形求解，也可用正交分解法求解．【解析】解法1(用合成法)：取足球作為探討對(duì)象，如圖所示，它受重力G＝mg、墻壁的支持力FN和懸繩的拉力FT三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡，由共點(diǎn)力平衡的條件可知，F(xiàn)N和FT的合力F與G大小相等、方向相反，即F＝G，從圖中力的平行四邊形可求得FN＝Ftanα＝mgtanαFT＝eq\f(F,cosα)＝eq\f(mg,cosα)解法2(用分解法)：取足球?yàn)樘接憣?duì)象，所受重力G、墻壁支持力FN、懸繩的拉力FT，如圖所示，將重力G分解為F1′和F2′，由共點(diǎn)力平衡條件可知，F(xiàn)N與F1′的合力必為零，F(xiàn)T與F2′的合力也必為零，所以FN＝F1′＝mgtanαFT＝F2′＝eq\f(mg,cosα)解法3(用相像三角形求解)：取足球作為探討對(duì)象，其受重力G、墻壁的支持力FN、懸繩的拉力FT，如圖所示，設(shè)球心為O，由共點(diǎn)力的平衡條件可知，F(xiàn)N和G的合力F與FT大小相等、方向相反，由圖可知，三角形OFG與三角形AOB相像，所以eq\f(F,G)＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(1,cosα)，則FT＝F＝eq\f(G,cosα)＝eq\f(mg,cosα)eq\f(FN,G)＝eq\f(OB,AB)＝tanα，則FN＝Gtanα＝mgtanα.【答案】eq\f(mg,cosα)mgtanα總結(jié)提能應(yīng)用共點(diǎn)力的平衡條件解題的一般步驟：(1)確定探討對(duì)象：即在弄清題意的基礎(chǔ)上，明確以哪一個(gè)物體(或結(jié)點(diǎn))作為解題的探討對(duì)象；(2)分析探討對(duì)象的受力狀況：全面分析探討對(duì)象的受力狀況，找出作用在探討對(duì)象上的全部外力，并作出受力分析圖，假如物體與別的接觸物體間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)(或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì))時(shí)，在圖上標(biāo)出相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向，以推斷摩擦力的方向；(3)推斷探討對(duì)象是否處于平衡狀態(tài)；(4)應(yīng)用共點(diǎn)力的平衡條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，列平衡方程?5)求解方程，并依據(jù)狀況，對(duì)結(jié)果加以說明或進(jìn)行必要的探討．如圖所示，一個(gè)半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的．一根細(xì)線跨在碗口上，線的兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的小球，當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時(shí)，質(zhì)量為m1的小球與O點(diǎn)的連線與水平線夾角為α＝60°.兩個(gè)球的質(zhì)量比eq\f(m2,m1)等于(A)A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)解析：對(duì)m1、m2分別進(jìn)行受力分析，如圖所示，則T＝m2g.由平衡條件可知，F(xiàn)N、T的合力與m1g大小相等，方向相反，因?yàn)棣粒?0°，且OA＝OB，故平行四邊形ABOD為菱形，F(xiàn)N＝T，所以2Tsinα＝m1g，解得eq\f(m2,m1)＝eq\f(\r(3),3).考點(diǎn)二力的正交分解1．正交分解法：把力沿著兩個(gè)選定的相互垂直的方向分解的方法．2．正交分解法求合力的步驟(1)建立坐標(biāo)系：以共點(diǎn)力的作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直角坐標(biāo)系x軸和y軸的選擇應(yīng)使盡量多的力在坐標(biāo)軸上．(2)正交分解各力：將每一個(gè)不在坐標(biāo)軸上的力分解到x軸和y軸上，并求出各分力的大小，如圖所示．(3)分別求出x軸、y軸上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，F(xiàn)y＝F1y＋F2y＋….(4)求共點(diǎn)力的合力：合力大小F＝eq\r(F\o\al(2,x)＋F\o\al(2,y))，設(shè)合力的方向與x軸的夾角為α，則tanα＝eq\f(Fy,Fx).3．正交分解法適用于各種矢量運(yùn)算，這種方法可以將矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．【例2】如圖所示，水平地面上有一重60N的物體，物塊與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4.現(xiàn)在用與水平方向成37°角斜向上的拉力F作用下，使物塊在水平面上勻速移動(dòng)，求拉力F的大?。?已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)【審題指導(dǎo)】處于平衡狀態(tài)的物體受三個(gè)及三個(gè)以上力作用時(shí)，可以選定兩個(gè)相互垂直的方向?qū)⒘Ψ纸?，再分別求兩個(gè)方向上的合力，列方程求解．【解析】對(duì)物體進(jìn)行受力分析，如圖所示，物體受重力G、支持力FN、拉力F、摩擦力Ff.建立直角坐標(biāo)系，對(duì)力進(jìn)行正交分解，并依據(jù)平衡條件得：y方向：FN＋Fsin37°－G＝0①x方向：Ff－Fcos37°＝0②又Ff＝μFN③由①②③得：F＝eq\f(μG,cos37°＋μsin37°)，代入數(shù)據(jù)得F≈23.1N.【答案】23.1N總結(jié)提能(1)坐標(biāo)軸的選取原則：使盡量多的力落在坐標(biāo)軸上，盡量削減分解力的個(gè)數(shù)．(2)正交分解法的適用狀況：適用于計(jì)算物體受三個(gè)或三個(gè)以上共點(diǎn)力的合力狀況．(3)對(duì)于運(yùn)動(dòng)的物體，通常兩坐標(biāo)軸分別沿物體運(yùn)動(dòng)方向和垂直物體運(yùn)動(dòng)方向．小劉和小趙到機(jī)場(chǎng)去為摯友送行，看到有一些旅客斜向上拉著旅行箱走，也有一些旅客斜向下推著旅行箱走．小劉突然產(chǎn)生了一個(gè)想法，他問小趙：“你說拉著旅行箱走省力，還是推著旅行箱走省力？”小趙想了一下說：“我看拉著旅行箱走有點(diǎn)別扭，也許是推著省力．”小劉說：“不，我看還是拉著省力．”他們兩個(gè)誰(shuí)的看法正確呢？請(qǐng)你先做出推斷，然后通過列式求解分析，比較拉力和推力的大?。馕觯簽楹?jiǎn)化問題分析，設(shè)旅行箱重力為G，在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的水平地面上做勻速滑動(dòng)，拉力和推力與水平面的夾角均為θ，如圖所示．分別對(duì)旅行箱受力分析并進(jìn)行分解如圖所示．若斜向上拉旅行箱，則依據(jù)共點(diǎn)力平衡的條件有豎直方向：FN1＋F1＝G得FN1＝G－F拉sinθ水平方向：F2＝f1又有f1＝μFN1＝μ(G－F拉sinθ)即F拉cosθ＝μ(G－F拉sinθ)可得F拉＝eq\f(μG,cosθ＋μsinθ)；若斜向下推旅行箱，豎直方向：FN2＝F4＋G得FN2＝G＋F推sinθ水平方向F3＝f2又有f2＝μFN2＝μ(G＋F推sinθ)即F推cosθ＝μ(G＋F推sinθ)可得F推＝eq\f(μG,cosθ－μsinθ)，故F推>F拉即小劉的看法正確，斜向上拉著旅行箱走更省力．答案：小劉的看法正確斜向上拉著旅行箱走更省力，列式分析及比較大小見解析考點(diǎn)三共點(diǎn)力平衡的臨界和極值問題1．臨界狀態(tài)處理某種物理現(xiàn)象改變?yōu)榱硪环N物理現(xiàn)象的轉(zhuǎn)折狀態(tài)叫做臨界狀態(tài)，平衡物體的臨界狀態(tài)是指物體所處的平衡狀態(tài)將要破壞、而尚未破壞的狀態(tài)．解答平衡物體的臨界問題時(shí)可用假設(shè)法．運(yùn)用假設(shè)法解題的基本步驟是：①明確探討對(duì)象；②畫受力圖；③假設(shè)可發(fā)生的臨界現(xiàn)象；④列出滿意所發(fā)生的臨界現(xiàn)象的平衡方程求解．2．平衡問題中的極值問題在探討平衡問題中某些物理量改變時(shí)出現(xiàn)最大值或最小值的現(xiàn)象稱為極值問題．求解極值問題有兩種方法：(1)解析法．依據(jù)物體的平衡條件列方程，在解方程時(shí)采納數(shù)學(xué)學(xué)問求極值．通常用到的數(shù)學(xué)學(xué)問有二次函數(shù)極值、三角函數(shù)極值以及幾何法求極值等．(2)圖解法．依據(jù)物體的受力平衡條件作出力的矢量圖，如只受三個(gè)力，則這三個(gè)力構(gòu)成封閉矢量三角形，然后依據(jù)圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值和最小值．【例3】?jī)A角為θ的斜面在水平面上保持靜止，斜面上有一重為G的物體A，物體A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且μ<tanθ.現(xiàn)給A施加一水平推力F，如圖所示，設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，求水平推力F為多大時(shí)，物體A在斜面上靜止？【審題指導(dǎo)】本題可按以下思路進(jìn)行分析：eq\x(\a\al(物體保持靜止，,處于平衡狀態(tài)))?eq\x(\a\al(物體恰不上滑與恰,不下滑都對(duì)應(yīng)F的,一個(gè)臨界值))?eq\x(\a\al(由平衡條件,求出F的取,值范圍))【解析】物體靜止在斜面上的條件是合外力為零．由于靜摩擦力的大小可在0～fmax間改變，且方向可能沿斜面對(duì)上，也可能沿斜面對(duì)下，所以所求的推力應(yīng)是一個(gè)范圍．因?yàn)棣?lt;tanθ，說明無(wú)推力時(shí)物體將加速下滑，故推力的最大值和最小值對(duì)應(yīng)的狀態(tài)是恰不上滑和恰不下滑．以A為探討對(duì)象，設(shè)推力的最小值為Fmin，此時(shí)最大靜摩擦力fmax沿斜面對(duì)上，受力分析如圖甲所示．將各力正交分解，則沿斜面方向，有Fmincosθ＋fmax－Gsinθ＝0垂直于斜面方向，有N－Gcosθ－Fminsinθ＝0又fmax＝μN(yùn)解得Fmin＝eq\f(sinθ－μcosθ,cosθ＋μsinθ)G設(shè)推力的最大值為Fmax，此時(shí)最大靜摩擦力f′max沿斜面對(duì)下，受力分析如圖乙所示．沿斜面方向，有Fmaxcosθ－Gsinθ－f′max＝0垂直于斜面方向，有N′－Gcosθ－Fmaxsinθ＝0又f′max＝μN(yùn)′解得Fmax＝eq\f(sinθ＋μcosθ,cosθ－μsinθ)G所以物體能在斜面上靜止的條件為eq\f(sinθ－μcosθ,cosθ＋μsinθ)G≤F≤eq\f(sinθ＋μcosθ,cosθ－μsinθ)G.【答案】eq\f(sinθ－μcosθ,cosθ＋μsinθ)G≤F≤eq\f(sinθ＋μcosθ,cosθ－μsinθ)G總結(jié)提能平衡物體的臨界狀態(tài)是指物體所處的平衡狀態(tài)將要發(fā)生改變的狀態(tài)，涉及臨界狀態(tài)的問題叫做臨界問題．求解臨界問題時(shí)肯定要留意“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”的條件．解決這類問題的基本方法是假設(shè)推理法，即先假設(shè)某種狀況成立，然后依據(jù)平衡條件及有關(guān)學(xué)問進(jìn)行論證、求解．平衡物體的極值，一般是指在力的改變過程中的最大值和最小值問題．探討平衡物體的極值問題有兩種常用方法．(1)解析法：即依據(jù)物體的平衡條件列出方程，在解方程時(shí)，采納數(shù)學(xué)學(xué)問求極值或者依據(jù)物體的臨界條件求極值．(2)圖解法：即依據(jù)物體的平衡條件作出力的矢量圖，畫出平行四邊形或者矢量三角形進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值或最小值．如圖所示，質(zhì)量為m的光滑球體夾在豎直墻和斜面體之間靜止，斜面體質(zhì)量也為m，傾角θ＝45°，斜面體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(0.5<μ<1)，斜面體與地面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，若增加球體的質(zhì)量，且使斜面體靜止不動(dòng)，則可增加的最大質(zhì)量為(C)A．m B．eq\f(2μ－1,2－μ)mC．eq\f(2μ－1,1－μ)m D．eq\f(2μ,1－μ)m解析：對(duì)整體受力分析如圖甲所示，斜面體與地面間的最大靜摩擦力為Ffm＝2μmg，對(duì)球體受力分析如圖乙所示，則F1＝mgtan45°，由以上可知斜面體與地面間的靜摩擦力Ff＝mgtan45°，增加球體的質(zhì)量，要使斜面體靜止不動(dòng)，則(m＋Δm)gtan45°≤μ(2m＋Δm)g，解得Δm≤eq\f(2μ－1,1－μ)m，選項(xiàng)C正確．1．如圖所示，某工人正在修理草坪，推力F與水平方向成α角，割草機(jī)沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則割草機(jī)所受阻力的大小為(B)A．Fsinα B．FcosαC．eq\f(F,sinα) D．eq\f(F,cosα)解析：割草機(jī)沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，四個(gè)力的合力為零，受力如圖，則有Ff＝Fcosα.2．舉重運(yùn)動(dòng)員在抓舉競(jìng)賽時(shí)，為了減小杠鈴上升的高度和便于發(fā)力，抓握杠鈴的兩手間要有較大距離，使兩臂上舉后兩臂間成鈍角，手臂伸直后所受作用力沿手臂方向，一質(zhì)量為75kg的運(yùn)動(dòng)員，在舉起125kg的杠鈴時(shí)，兩臂成120°角，如圖所示，則此時(shí)運(yùn)動(dòng)員的每只手臂對(duì)杠鈴的作用力F及運(yùn)動(dòng)員對(duì)地面的壓力FN的大小分別為(g取10m/s2)(A)A．F＝1250N，F(xiàn)N＝2000NB．F＝1250N，F(xiàn)N＝3250NC．F＝625N，F(xiàn)N＝2000ND．F＝722N，F(xiàn)N＝2194N解析：分析杠鈴受力如圖所示，重力、人給的兩個(gè)支持力，三個(gè)力的夾角均為120°，杠鈴處于靜止?fàn)顟B(tài)，合力為零．兩臂作用力大小相等，并等于杠鈴重力G，所以F1＝F2＝1250N．把杠鈴和人看作整體，整體受重力、地面的支持力，且兩力大小相等，F(xiàn)N＝2000N.3．如圖所示，清洗樓房玻璃的工人常用一根繩索將自己懸在空中，工人及其裝備