微創(chuàng)新++概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題+講義 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

微創(chuàng)新概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一概率、統(tǒng)計(jì)和數(shù)列的綜合問(wèn)題例1(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj(i<j)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是(i，j)-可分?jǐn)?shù)列.(1)寫(xiě)出所有的(i，j)，1≤i<j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是(i，j)-可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是(2，13)-可分?jǐn)?shù)列；(3)從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j(i<j)，記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是(i，j)-可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：Pm>18[規(guī)律方法]概率問(wèn)題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類(lèi)型：(1)求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項(xiàng)公式.(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和.(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限.跟蹤演練1一口袋中裝有10個(gè)小球，其中標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各兩個(gè)，這些小球除數(shù)字外其余均相同.(1)某人從中一次性摸出4個(gè)球，設(shè)事件A為“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)數(shù)字是5”，事件B為“摸出的4個(gè)球中恰有兩個(gè)數(shù)字相同”，分別求事件A和事件B的概率；(2)現(xiàn)有一游戲，游戲規(guī)則是：游戲玩家每次有放回地從袋中隨機(jī)摸出一球，若摸到5號(hào)球，則游戲結(jié)束；否則繼續(xù)摸球，當(dāng)摸到第n(n≥2)個(gè)球時(shí)，無(wú)論摸出的是幾號(hào)球游戲都結(jié)束.設(shè)X表示摸球的次數(shù)(1≤X≤n，X∈N*)，求隨機(jī)變量X的期望.考點(diǎn)二概率、統(tǒng)計(jì)和函數(shù)的綜合問(wèn)題例2(2024·衡水模擬)已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N*)個(gè)紅球和2個(gè)白球，小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球，然后再?gòu)囊铱诖蟹呕氐剡B續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球.(1)當(dāng)m=4，n=2時(shí)，①求小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球的概率；②設(shè)小明4次摸球中，摸出白球的個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)m=n時(shí)，設(shè)小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為P，則當(dāng)m為何值時(shí)，P最大？[規(guī)律方法]構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對(duì)變量范圍的限制.跟蹤演練2(2024·滄州模擬)某景區(qū)的索道共有三種購(gòu)票類(lèi)型，分別為單程上山票、單程下山票和雙程上下山票.為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對(duì)當(dāng)日購(gòu)票的120人征集意見(jiàn)，當(dāng)日購(gòu)買(mǎi)單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36，60和24.(1)若按購(gòu)票類(lèi)型采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買(mǎi)單程上山票的概率；(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見(jiàn)時(shí)要求把購(gòu)買(mǎi)單程上山票的2人和購(gòu)買(mǎi)回程票的m(m>2且m∈N*)人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問(wèn)，若選出的2人的購(gòu)票類(lèi)型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問(wèn)的某組被標(biāo)為B的概率為p.①試用含m的代數(shù)式表示p；②若一共詢問(wèn)了5組，用g(p)表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求g(p)的最大值及此時(shí)m的值.

答案精析例1(1)解(1，2)，(1，6)，(5，6).(2)證明當(dāng)m=3時(shí)，刪去a2，a13，其余項(xiàng)可分為以下3組：a1，a4，a7，a10為第1組，a3，a6，a9，a12為第2組，a5，a8，a11，a14為第3組，當(dāng)m>3時(shí)，刪去a2，a13，其余項(xiàng)可分為以下m組：a1，a4，a7，a10為第1組，a3，a6，a9，a12為第2組，a5，a8，a11，a14為第3組，a15，a16，a17，a18為第4組，a19，a20，a21，a22為第5組，…a4m-1，a4m，a4m+1，a4m+2為第m組，可知每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，故數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是(2，13)-可分?jǐn)?shù)列.(3)證明易知a1，a2，…，a4m+2是(i，j)-可分?jǐn)?shù)列?1，2，…，4m+2是(4p+1，4q+2)-可分?jǐn)?shù)列，其中p，q∈{0，1，…，m}.當(dāng)0≤p≤q≤m時(shí)，刪去4p+1，4q+2，其余項(xiàng)按從小到大的順序排列，每4項(xiàng)分為1組，可知每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，故數(shù)列1，2，…，4m+2是(4p+1，4q+2)-可分?jǐn)?shù)列，可分為(1，2，3，4)，…，(4p-3，4p-2，4p-1，4p)，…，(4(q+1)-1，4(q+1)，4(q+1)+1，4(q+1)+2)，…，(4m-1，4m，4m+1，4m+2).p，q的可能取值方法數(shù)為Cm+12+m易知a1，a2，…，a4m+2是(i，j)-可分?jǐn)?shù)列?1，2，…，4m+2是(4p+2，4q+1)-可分?jǐn)?shù)列，其中p，q∈{0，1，…，m}.當(dāng)q-p>1時(shí)，刪去4p+2，4q+1，將1~4p與4q+3~4m+2按從小到大的順序排列，每4項(xiàng)分為1組，可知每組的4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.考慮4p+1，4p+3，4p+4，…，4q，4q+2是否可分，等同于考慮1，3，4，…，4t，4t+2是否可分，其中t=q-p>1，可分為(1，t+1，2t+1，3t+1)，(3，t+3，2t+3，3t+3)，(4，t+4，2t+4，3t+4)，…，(t，2t，3t，4t)，(t+2，2t+2，3t+2，4t+2)，每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列.故數(shù)列1，2，…，4m+2是(4p+2，4q+1)-可分?jǐn)?shù)列，p，q且q-p>1的可能取值方法數(shù)為Cm+12-m從而Pm≥(=m2+m跟蹤演練1解(1)從中一次性摸出4個(gè)球有C104n(A)=210-C84n(B)=C51·C42·C∴P(A)=140210=2P(B)=120210=4(2)X的取值可能為1，2，3，…，n，當(dāng)1≤k≤n-1時(shí)，P(X=k)=45k?1當(dāng)k=n時(shí)，P(X=k)=45X123…k…nP(45)0×(45)1×(45)2×…(45)k-1×…(45)n∴E(X)=1×450×15+2×451×15+3×452×15+…+(n-1)×45n?2×令S=450+2×451+3×452+…+(則45S=451+2×452+…+(n-2)×45n?2相減得15S=450+451+452+…+45n?2-(n-1)×45n?1=1?45∴E(X)=5-4×45例2解(1)小明從甲口袋有放回地摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為24+2=1從乙口袋有放回地摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為22+2=1①設(shè)“小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球”為事件A，則“小明4次摸球中，摸出的都是紅球”為事件A，且P(A)=1?132×1?所以P(A)=1-P(A)=1-19=8②X的所有可能取值為0，1，2，3，4，由①得P(X=0)=P(A)=19P(X=1)=C21×1?13×13×1?122+1?1P(X=2)=132×1?122+1?132×122+C21×P(X=3)=132×C21×1?12×12+=16P(X=4)=132×12所以E(X)=0×19+1×13+2×1336+3×16+4×(2)由m=n，可視為小明從甲口袋中有放回地摸出一個(gè)球，連續(xù)摸4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)小明每次摸出一個(gè)紅球的概率為k(0<k<1)，則P(k)=C43k3(1-k)=4(k3-k4因?yàn)镻'(k)=-16k2k?所以當(dāng)0<k<34時(shí)，P'(k)>0當(dāng)34<k<1時(shí)，P'(k)<0所以P(k)在區(qū)間0，34所以當(dāng)k=34時(shí)，P(k此時(shí)k=mm+2=解得m=6，故當(dāng)m=6時(shí)，P最大.跟蹤演練2解(1)因?yàn)橘?gòu)買(mǎi)單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為3∶5∶2，所以這10人中，購(gòu)買(mǎi)單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為10×310=310×510=5，10×210故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買(mǎi)單程上山票的概率P=C72C(2)①?gòu)膍+2人中任選2人，有Cm+22種選法，其中購(gòu)票類(lèi)型相同的有C則詢問(wèn)的某組被標(biāo)為B的概率p=1-C=1-m=4m②由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率g(p)=C53p3(1-p=10p3(1-2p+p2)=10(p3-2p4+p5)，所以g'