安徽省六安市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)試題 含解析

六安一中2024屆高三年級(jí)第五次月考數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合，求值域得集合，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，，或，所以故選：D．2.已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（）A.0 B.－1 C.2 D.－2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)是實(shí)數(shù)求出的值【詳解】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以.故選：B3.已知雙曲線方程為，則“”是“雙曲線離心率為2”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】若，求得離心率為2說(shuō)明充分性成立；若，求得或說(shuō)明必要性不成立.【詳解】若，則雙曲線方程為，從而4，則，故充分性成立.若，當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為，則，得;當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為，則，得.故“”是“雙曲線離心率為2”的充分不必要條件.故選：A4.若，，則的值為（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)可求，再結(jié)合萬(wàn)能公式可求.【詳解】因?yàn)椋?，所以且，解得，所?故選：D5.已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1【答案】D【解析】【詳解】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)椋獾?【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.6.橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．在圓上總存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義結(jié)合兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓與必有交點(diǎn)才符合題意，即兩圓圓心距，則.故選：C7.各棱長(zhǎng)均相等三棱柱，平面，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，記二面角的平面角分別為．當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等時(shí)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出二面角的平面角，求出角的正切值，把底面的線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到上底面內(nèi)到三角形三邊的距離，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】由題意可知點(diǎn)的軌跡為內(nèi)一段拋物線，且該拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖1，設(shè)平面于，于，連接，易得（可證明平面得出），所以是二面角的平面角，，，由正三棱柱的性質(zhì)，等于上底面內(nèi)到的距離，設(shè)點(diǎn)到的距離分別為，記點(diǎn)到底面的距離為，則由題意知，，同理，由圖2可知，則，故選：D．圖1圖2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、二面角．作出二面角的平面角，求出角的正切值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較到三邊的距離的大小，在平面上利用拋物線的性質(zhì)得出結(jié)論．8.雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交，于，兩點(diǎn).已知、、成等差數(shù)列，且與反向.則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意為直角三角形，解出三邊后再由漸近線斜率求離心率【詳解】設(shè)，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得且，則，即，則離心率．故選:A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知、、是三條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若、是異面直線，，，且，則【答案】ACD【解析】【分析】由線面、面面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】若，，由面面平行的性質(zhì)定理可得成立，故A正確；兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線位置是平行或異面，即不一定正確，故B錯(cuò)誤；若，且，則，故C正確；如圖，因?yàn)?，所以存在直線，且滿足，又，所以，同理存在直線，且滿足，又，所以，因?yàn)?、是異面直線，所以與相交，設(shè)，又，，所以，故D正確.故選：ACD.10.已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，，記與的離心率分別為，，在第一象限的交點(diǎn)為P，下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】由離心率公式判斷AB，利用橢圓與雙曲線的定義及余弦定理得出的關(guān)系，從而得出關(guān)系判斷CD．【詳解】由題意，，，所以，A正確，不能得出，B錯(cuò)誤；設(shè)，，則，解得，若，則，即，所以，，，即，所以，C錯(cuò)，D正確．故選：AD．11.已知數(shù)列滿足，，，則（）A.當(dāng)且時(shí)，是等比數(shù)列B.當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列D.當(dāng)且時(shí)，是等比數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推公式和等比數(shù)列定義可判斷A；利用構(gòu)造法即可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，即，又，∴，∴為等比?shù)列，A對(duì)；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，∴，則，當(dāng)時(shí)不是等比數(shù)列，B錯(cuò)；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，則，∴是以1為公差的等差數(shù)列，C對(duì)；對(duì)于D，，則，則，所以，又，∴是以為公比的等比數(shù)列，D對(duì).故選：ACD.12.2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo（如圖所示），設(shè)計(jì)師的靈感來(lái)源于曲線．當(dāng)時(shí)，下列關(guān)于曲線的判斷正確的有（）A.曲線關(guān)于軸和軸對(duì)稱B.曲線所圍成的封閉圖形的面積小于8C.設(shè)，直線交曲線于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)小于8D.曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)用替換，不變，得方程不變，用替換，不變，得方程不變，可判斷A正確；根據(jù)曲線的范圍，可判斷B正確；先得到橢圓在曲線內(nèi)(除四個(gè)交點(diǎn)外)，再根據(jù)橢圓的定義可判斷C不正確；利用兩點(diǎn)間的距離公式、三角換元和三角函數(shù)知識(shí)求出最大值，可判斷D正確；【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線：，對(duì)于A，用替換，不變，得，即，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；用替換，不變，得，即，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，由，得，，所以曲線在由直線和所圍成的矩形內(nèi)（除曲線與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)外），所以曲線所圍成的封閉圖形的面積小于該矩形的面積，該矩形的面積為，故B正確；對(duì)于C，對(duì)于曲線和橢圓，設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，因?yàn)?，所以，所以，所以橢圓在曲線內(nèi)(除四個(gè)交點(diǎn)外)，如圖：設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于，易知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，，，所以的周長(zhǎng)為，由圖可知，的周長(zhǎng)不小于，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)曲線上的點(diǎn)，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，因?yàn)?，所以設(shè)，，，則，其中，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，取得最大值.故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.平面向量與的夾角為，，，則__________．【答案】【解析】【分析】由平面向量模的計(jì)算公式，直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，所以，所以;故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模的計(jì)算，只需先求出向量的數(shù)量積，進(jìn)而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.14.拋物線的焦點(diǎn)為，且拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，若軸，則________．【答案】【解析】【分析】利用拋物線方程可知坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓方程計(jì)算坐標(biāo)，計(jì)算即可.【詳解】由，所以，又在橢圓上，代入可得.故答案為：15.如圖，將繪有函數(shù)部分圖象的紙片沿軸折成直二面角，此時(shí)之間的距離為，則＝_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.【詳解】如圖，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，，所以，解得，所以，所以，，因?yàn)?，所以或，又因函?shù)在軸右側(cè)單調(diào)遞減，所以．故答案為:.16.已知點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，，以為圓心的圓過(guò)、兩點(diǎn)，且與直線相切.若存在定點(diǎn)，使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可求得點(diǎn)的軌跡方程為，利用拋物線的定義可得出當(dāng)點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合時(shí)，為定值，進(jìn)而可得解.【詳解】為圓的一條直徑，是弦的中點(diǎn)，所以，圓心在線段的中垂線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，圓與直線相切，則，，整理得，所以，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，，當(dāng)為定值時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.因此，存在定點(diǎn)，使得當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．（1）求角B；（2）若，，D為AC邊中點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)即可（2）由余弦定理可得，再根據(jù)的面積為面積的一半，結(jié)合三角形的面積公式求解即可【小問(wèn)1詳解】由，有，兩邊同乘得，故，即．因?yàn)?，所以A為銳角，，所以．又因?yàn)椋裕拘?wèn)2詳解】在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．18.己知雙曲線的一條漸近線為，其虛軸長(zhǎng)為為雙曲線上任意一點(diǎn)．（1）求證：到兩條漸近線的距離之積為定值，并求出此定值；（2）若雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，求的最小值．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出雙曲線方程，設(shè)，并表示出點(diǎn)到兩條漸近線的距離，，結(jié)合計(jì)算即可求解；（2）設(shè)根據(jù)，坐標(biāo)表示出，結(jié)合，得到關(guān)于的一元二次函數(shù)根據(jù)定義域或求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程為設(shè)，則，漸近線為，P到兩條漸近線的距離之積.【小問(wèn)2詳解】由已知，得，設(shè)或，在雙曲線上，所以，因此或，對(duì)稱軸為，由于或，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.19.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用推得，從而利用等比數(shù)列的定義即可證明，進(jìn)而求得；（2）利用錯(cuò)位相減法結(jié)合分組求和法即可求出.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即，則，即，又，故，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以,所以，則，兩式相減，得，所以．20.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．21.在直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，求拋物線在點(diǎn)處的切線方程；（2）探究軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）總有，即直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，即恒有，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到韋達(dá)定理代入運(yùn)算，判斷得解.【小問(wèn)1詳解】由已知，得，因?yàn)?，所以，斜率，因此，切線方程為，即．【小問(wèn)2詳解】存在符合題意的點(diǎn)，理由如下：設(shè)點(diǎn)為符合題意的點(diǎn)，，直線的斜率分別為．聯(lián)立方程，得，因?yàn)?，則，可得，從而，因?yàn)椴缓銥?，可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒有，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，故，所以點(diǎn)符合題意．22.已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于的兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，且．①求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為，求的最大值．【答案】（1）（2）①證明見解析；②2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①分析可知直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，可知，設(shè)點(diǎn).將直線的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用求出的值，即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，可求得的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解