第二章 圓與方程單元測(cè)試【同步教案】(解析版)

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2 第二章圓與方程單元測(cè)試 學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知圓：與圓：交于、兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先寫(xiě)出兩圓的圓心的坐標(biāo)，再求出兩圓的連心線所在直線的方程即得解.【詳解】圓：的圓心坐標(biāo)為，圓：的圓心為，由題得線段的垂直平分線就是兩圓的連心線，所以,所以線段的垂直平分線為.所以線段的垂直平分線為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線的方程常用的方法是：待定系數(shù)法，先定式，后定量.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.2．已知圓的圓心到直線的距離為，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出整數(shù)的值，然后將與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，由已知條件可得，整理可得，，解得，因?yàn)?，且，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：D.3．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式建立不等式，解之可得選項(xiàng).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑，當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，滿足題意，圓心在直線上的射影點(diǎn)即滿足題意，故有，解得，即的最大值為，故選：C.4．為上一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心到直線的距離，減去半徑可得出的最小值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最小距離，故選：A．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線與圓相離，點(diǎn)是半徑為的圓上的一點(diǎn)，圓心到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.5．已知，，圓：（），若圓上存在點(diǎn)，使，則圓的半徑的范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由得，即可知的軌跡為，要使圓上存在點(diǎn)，即圓與有交點(diǎn)，進(jìn)而可得半徑的范圍.【詳解】設(shè)，則，，∵，即，∴，即在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，而圓的圓心為，半徑為R，∴圓上存在點(diǎn)，即圓與有交點(diǎn)，∴.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由及向量垂直的數(shù)量積公式即可確定的軌跡，要使圓上存在點(diǎn)，只需保證圓與的軌跡有交點(diǎn)即可.6．若圓x2+y2+ax-by=0的圓心在第二象限，則直線x+ay-b=0一定不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由圓心位置確定，的正負(fù)，再結(jié)合一次函數(shù)圖像即可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，由圓心在第二象限可得，所以直線的斜率，軸上的截距為，所以直線不過(guò)第三象限.故選：C7．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程可得已知圓的圓心坐標(biāo)和半徑；求得圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，即為所求圓的圓心，又半徑不變，從而可得圓的方程.【詳解】由圓的方程可知圓心坐標(biāo)為：，半徑為：設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為則：，解得：，即所求圓圓心為：所求圓的方程為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查求解圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程的求解，關(guān)鍵是明確兩圓半徑相同，且圓心關(guān)于直線對(duì)稱.8．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程來(lái)確定點(diǎn)在圓上，然后求出過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，所以過(guò)點(diǎn)的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因?yàn)橹本€與切線垂直，所以，解得.故選：B.9．已知，圓：（），若圓上存在點(diǎn)，使，則圓的半徑的范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，求得以為直徑的圓的方程，把要使得圓上存在點(diǎn)，滿足，轉(zhuǎn)化為圓與圓由公共點(diǎn)，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為的坐標(biāo)為，，所以圓的方程為，又由圓的圓心為，半徑為，則，要使得圓上存在點(diǎn)，滿足，則圓與圓由公共點(diǎn)，可得，解得,即圓的半徑的范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略：1、判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常采用幾何法，即利用兩圓的圓心之間的距離與兩圓的半徑間的關(guān)系進(jìn)行判斷，一般不采用代數(shù)法；2、若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去項(xiàng)得到.10．已知曲線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，與y軸交于P點(diǎn)，則外接圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接圓的方程為，分別令，結(jié)合韋達(dá)定理求得D,E,F,代入即可求得圓的方程.【詳解】設(shè)外接圓的方程為，點(diǎn)Q是的外接圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)，分別令，則，．設(shè)，則，又曲線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，則，，，，，所以，，故外接圓的方程．故選：C.二、多選題11．設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（）．A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上 B．所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有且只有一個(gè) D．所有圓的面積均為【答案】ABD【分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑后可判斷A、D的正誤，將B、C選項(xiàng)中的點(diǎn)代入圓的方程得到關(guān)于的方程，通過(guò)方程的有解與否可判斷B、C的正誤，【詳解】圓心坐標(biāo)為，在直線上，A正確；令，化簡(jiǎn)得，∵，∴，無(wú)實(shí)數(shù)根，∴B正確；由，化簡(jiǎn)得，∵，有兩不等實(shí)根，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)圓的性質(zhì)，注意動(dòng)圓中隱含的確定關(guān)系，另外判斷動(dòng)圓是否過(guò)確定的點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程是否有解來(lái)討論.12．若圓與圓相切，則m的值可以是A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，求出圓的圓心與半徑，分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況，求出的值即可.【詳解】由題意，圓可化簡(jiǎn)為，所以，圓的圓心坐標(biāo)，半徑，圓的圓心坐標(biāo)，半徑，所以，，所以，或，解得或.故選：AC.【點(diǎn)睛】考查兩圓的位置關(guān)系的13．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓相交，則值可能為（）A．0 B． C．1 D．【答案】BCD【分析】寫(xiě)出已知圓的圓心，再由給定條件探求出圓心到直線距離必小于2方可得解.【詳解】圓的方程為，圓心為，由題意可知到的距離應(yīng)小于2，即，解得，顯然，1，均符合要求.故選：BCD三、填空題14．已知圓C過(guò)點(diǎn)（8，1），且與兩坐標(biāo)軸都相切，則面積較小的圓C的方程為_(kāi)_______.【答案】【分析】設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)，求得或，進(jìn)而得到圓的方程.【詳解】由題意，圓過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸都相切，設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)代入圓的方程，可得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，圓的面積較小，所以圓的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】求解圓的方程的兩種方法：1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程；2、待定系數(shù)法：①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；③解出或的值，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.15．已知直線：與直線：相交于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】由直線：恒過(guò)定點(diǎn)，直線：恒過(guò)定點(diǎn)，且，可知在以為直徑的圓上，要求的最大值，轉(zhuǎn)化為在上找上一點(diǎn)，使最大，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解【詳解】解：因?yàn)橹本€：恒過(guò)定點(diǎn)，直線：恒過(guò)定點(diǎn)，且，所以兩直線的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，且圓的方程為，要求的最大值，轉(zhuǎn)化為在上找上一點(diǎn)，在上找一點(diǎn)，使最大，根據(jù)題意可知兩圓的圓心距為，所以的最大值為，故答案為：16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_.【答案】.【分析】由曲線的方程可得曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的，故只需考慮第一象限內(nèi)的情況即可，數(shù)形結(jié)合求得的最大值.【詳解】由曲線的方程，可得曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的，故只需考慮第一象限內(nèi)的情況即可，如圖：在第一象限內(nèi)（含坐標(biāo)軸），曲線方程為，轉(zhuǎn)化為：，滿足方程，表示以為圓心，半徑為的圓的一部分.所以的最大值為圓的直徑.故答案為：.【點(diǎn)睛】考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，四、解答題17．已知曲線C：表示圓，圓心為C.（1）求圓C的面積的取值范圍；（2）若曲線C與直線交于M?N兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)方程表示圓求出的范圍，求出圓的半徑的取值范圍，由圓的面積公式可得結(jié)果；（2）將轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離可解得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)榍€C：表示圓，所以，解得，所以圓的半徑，所以圓C的面積.（2）因?yàn)閳A心，半徑，所以圓心到直線的距離，因?yàn)椋?，所以，解得，滿足.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解題關(guān)鍵.18．已知圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，，．（1）求圓的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的、兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡．【答案】（1）；（2）的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（點(diǎn)在圓內(nèi)，不與邊界重合）．【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)后可求解；（2）根據(jù)圓的弦中點(diǎn)性質(zhì)求出的軌跡方程后可得軌跡．【詳解】（1）設(shè)圓方程為，則，解得，所以圓方程為，即；（2）由（1），設(shè)，則由得，，即，，．又在圓內(nèi)部，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（點(diǎn)在圓內(nèi)部）．【點(diǎn)睛】考查求圓的方程，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡．已知圓過(guò)三點(diǎn)時(shí)一般可設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)求出圓的方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可．平面解析幾何中的軌跡問(wèn)題，可通過(guò)求出動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，由方程判斷軌跡．當(dāng)然也可由幾何性質(zhì)判斷軌跡．19．已知直線，的方程為.（1）求證：與相交；（2）若與的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)，求的面積最大值.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由題知直線過(guò)定點(diǎn)，且為的圓心，故與相交；（2）由題知，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，到直線的距離最大，最大值為，進(jìn)而得答案.【詳解】解：（1）由題知直線，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，為圓的圓心，所以直線過(guò)的圓心，故與相交；（2）由（1）知直線過(guò)圓的圓心，的半徑為，所以，所以當(dāng)?shù)街本€的距離最大時(shí)，的面積取最大值，故當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，到直線的距離最大，最大值為，所以的面積最大值為20．設(shè)圓的半徑為，圓心是直線與直線的交點(diǎn)．（1）若圓過(guò)原點(diǎn)，求圓的方程；（2）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程，