2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一元二次方程（考點解析+試題講義）（原卷版）

第二章方程（組）與不等式（組）

第2講一元二次方程

N?？枷蚪庾x

?專題精練

第2講一元二次方程

一?考點精析一

一?真題精講一

考向-----元二次方程的解

考向二解一元二次方程

考向三一元二次方程根的判別式

考向四含參問題

考向五根與系數(shù)關(guān)系

考向六一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用

第2講一元二次方程

本考點內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達定理（根

與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主,既有單獨考查,也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值

問題,年年考查,分值為20分左右,預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型,為避

免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實掌握.

一?考點精析一

一'一元二次方程的概念

1.一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二

次方程.

2.一般形式：ax2+bx+c=0（其中。，“。為常數(shù)，awO）,其中"2/x,c分別叫做二

次項、一次項和常數(shù)項，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意aw0,因為當(dāng)a=0時，不含有二次項，

即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須

只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

二、一元二次方程的解法

1.直接開平方法：適合于（》±。）2=/?（。20）或（辦±6）2=3±1）2形式的方程.

2.配方法：（1）化二次項系數(shù)為1;（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右

邊為常數(shù)項；

（3）方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成（x±a）2=b（b>0）的

形式；

（5）運用直接開平方法解方程.

3.公式法：（1）把方程化為一般形式，即辦2+桁+°=0；（2）確定見“C的值；（3）

求出4ac的值；（4）將凡“c的值代入X=一&?—4竺即可.

2a

4.因式分解法：基本思想是把方程化成（QX+力3+d）=0的形式，可得QX+b=O或

cx+d=0.

三'一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系

1.根的判別式：一元二次方程辦2+陵+。=0(。70)是否有實數(shù)根，由〃-4ac的符號來

確定，我們把〃—4四叫做一元二次方程根的判別式.

2.一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系

(1)當(dāng)4ac〉0時，方程"2+及+。=0(。/0)有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)當(dāng)4ac=0時，方程"2+樂+C=03/0)有1個(兩個相等的)實數(shù)根；

(3)當(dāng)/-4ac<0時，方程ax?+bx+c=0(aw0)沒有實數(shù)根.

3.根與系數(shù)關(guān)系：對于一元二次方程辦2+法+°=0(其中a,"c為常數(shù)，。/0),設(shè)

bc

其兩根分別為苞，X,則可+々=一一，X[X=—.

2a2-a

四、利用一元二次方程解決實際問題

列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、歹h解、

驗、答六步.列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟類和面積類問題是?？純?nèi)容.

1.增長率等量關(guān)系

(1)增長率=增長量-基礎(chǔ)量.(2)設(shè)a為原來量，加為平均增長率，〃為增長次數(shù)，b為

增長后的量，則a(l+M"=b；當(dāng)加為平均下降率時，則有a(l-加)"=b.

2.利潤等量關(guān)系：(1)利潤=售價一成本.(2)利潤率=霧*100%.

成本

3.面積問題

(1)類型L如圖1所示的矩形/BCD長為。，寬為b,空白“回形”道路的寬為x,則

陰影部分的面積為(?-2x)3-2%).

(2)類型2：如圖2所示的矩形45CD長為a,寬為6,陰影道路的寬為x,則空白部分

的面積為(a—x)(b-x).

(3)類型3:如圖3所示的矩形/BCD長為a,寬為b,陰影道路的寬為X,則4塊空白

部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為(?-X)(b-X).

4.碰面問題(循環(huán)問題)

(1)重疊類型(雙循環(huán))："支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。

「I支球隊要和剩下的(n-1)支球隊比賽，支球隊需要比(n-1)場

???存在"支這樣的球隊，，比賽場次為：n(n-1)場

.:A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，..?上述求法有重疊部分.

-'-m=-n61—1?

2

(2)不重疊類型(單循環(huán))：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽

場次為mo

「I支球隊要和剩下的(n-1)支球隊比賽，???1支球隊需要比(n-1)場

?「存在"支這樣的球隊，，比賽場次為：n(n-1)場.

??乂與8比賽在人的主場，B與八比賽在8的主場，不是同一場比賽，..?上述求法無重疊.

.,.m=n6i—1)

一?真題精講一

考向-----元二次方程的解

緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解。

1.(2020?甘肅金昌?中考真題)已知％二1是一元二次方程(加一2)/+4%-加2=。的一

個根，則加的值為()

A.T或2B.-1C.2D.0

考向二解一元二次方程

一元二次方程的常見解法及適用情形:

一般形式：ax1+&r+c=0(Qw0)

形如（x+加）2=n（n>0）的方程，可直接開方求解，則再=一加+6,

直接開平

方法M=-m-

因式分解可化為a（x+冽）（％+〃）=0的方程，用因式分解法求解，貝！J演=—m,

法再=-n

若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為a（x+/z）2=左，再直接開方

配方法

求解

公式法利用求根公式：x=一""（/=/-4ac>0）

2a

2.（2023秋?遼寧沈陽?九年級統(tǒng)考期末）解方程：X2-3X+2=0.

3.（2020?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）解方程：5x+6=0

4.（2020?山東聊城?中考真題）用配方法解一元二次方程2必—3x-1=0,配方正確的

5.（2020?四川樂山?中考真題）已知ywO,且3町—4產(chǎn)=0.則I的值是.

考向三一元二次方程根的判別式

對于方程。/+6%+。=0（4/0）,A=b2-4ac,①若/>0,方程有兩個不相等的實數(shù)

根；②若4=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；③若/<0,方程沒有實數(shù)根.

6.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程*+2"+/_1=0的根的情況是

（）

A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)。的取值有關(guān)

7.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考中考真題）設(shè)一元二次方程X2+6X+C=0.在下面的四組條件中選

擇其中：組上c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程.

①b=2,c=l；②6=3,c=l；@b=3,c=-l；④b=2,c=2.

注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分.

考向四含參問題

8.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程/-2x+優(yōu)-2=0有兩個不相等

的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）

3

A.^<-B.m>3C.m<3D.m<3

2

9.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程//+2x+l=0有實數(shù)解，則加的取值

范圍是（）

A.m>-1B.m￡1C.冽?一1且加D.加￡1且加

10.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）若x=3是關(guān)x的方程依2_樂=6的解，則2023-6。+26

的值為.

11.（2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程發(fā)一。左+4）x+?6=0有

兩個不相等的實數(shù)根.

⑴求上的取值范圍；

（2）當(dāng)％=1時，用配方港解方程.

12.（2020?四川南充?中考真題）已知占，%是一元二次方程_2x+左+2=0的兩

個實數(shù)根.

11,C

（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k,使得等式一+一=左-2成立？如果存在，

國x2

請求出k的值，如果不存在，請說明理由.

考向五根與系數(shù)關(guān)系

bc

設(shè)一元二次方程a*+區(qū)+。=0（a。0）的兩根分別為西，則、1+、2=——，玉%2二一?

一aa

13.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于'的一元二次方程――8x+冽=0兩根為4x2,

且玉=3X2,則m的值為（）

A.4B.8C.12D.16

14.（2020?河南中考真題）定義運算：加☆〃=加〃2—加〃—1.例如

:4^2=4X22-4X2-1=7.則方程=0的根的情況為（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根

15.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）若不凡是方程/-6x-7=0的兩個根，則（）

7

再+%2=6%1,x=—

A.B.xx+x2=-6C.2D.x^x2=7

16.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）已知為、巧是方程2f-3x+l=0的兩根，則代數(shù)式

芭十12

的值為_________

1+x1x2

17.（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x?-（2加+l）x+"，+〃7=o.

（1）求證：無論加取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為。，b,若（20+6）伍+26）=20,求加的值.

考向六一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用

列一元二次方程解實際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程.其中分

析實際問題是解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方

程的解是否符合實際問題.

18.（2023?廣西?統(tǒng)考中考真題）據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公

報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設(shè)2020

年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x,依題意可列方程為（）

A.3.2（1-x）2=3.7B.3.2（1+x）2=3.7

C.3.7（1-%）2=3.2D.3.7（1+x）2=3.2

19.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為100m,寬為50m的矩形空地上修筑四條寬

度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m,則小路的寬是（）

A.5mB.70mC.5m或70mD.10m

20.（2020?遼寧大連?中考真題）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》

中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.意

思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，間寬和長各幾步.若設(shè)長為x步，則可列方

程為.

21.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個，并按計

劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位1815個.設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均

增長率為x,根據(jù)題意，可列方程為.

22.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛圖書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分

資金用于購買書籍.已知2020年該學(xué)校用于購買圖書的費用為5000元