2025年中考數(shù)學(xué)考試易錯題之統(tǒng)計與概率（解析版）

易錯08統(tǒng)計與概率

中位數(shù)、眾數(shù)'易錯點一：忽略排序直接數(shù)

平均數(shù)卜、易錯點二：混淆平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

概

率極差、方差'易錯點三：混淆兩個概念的定義

與含參求眾數(shù)、平均數(shù)'易錯點四：忽略分類討論

統(tǒng)

計統(tǒng)計圖卜、易錯點五:混淆各種統(tǒng)計圖提取信息的方法

（不）放回問題卜、易錯點六：區(qū)分不了兩種問題

頻率與概率卜、易錯點七：混淆兩個概念的定義

易錯點一：忽略排序直接數(shù)

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校挥谧钪虚g的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時）

或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時）

易錯提醒：要觀察數(shù)據(jù)有沒有按照順序排列，沒有的要先排列順序再找，避免出錯.

例1.2023年9月5日是第八個“中華慈善日”，主題為“攜手參與慈善，共創(chuàng)美好生活”.某校為了響應(yīng)中

華慈善總會的號召，舉行捐款活動.下表是某班的捐款金額統(tǒng)計情況，則該班捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分

別是（）

捐款金額/元123510

人數(shù)589158

A.5,3B.15,3C.15,5D.5,5

【答案】D

【分析】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)，中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中處在最中間或處在最中間的兩

個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：?.?捐款為5元的人數(shù)最多，

，眾數(shù)為5元，

捐款人數(shù)為5+8+9+15+8=45人，

按照捐款錢數(shù)從低到高排列，處在第23名的捐款錢數(shù)為5元，

.?.中位線為5元，

故選：D.

例2.金牛區(qū)某校八年級學(xué)生參加體質(zhì)健康測試，有一組9個女生做一分鐘的仰臥起坐個數(shù)如表中數(shù)據(jù)所

示，則這組仰臥起坐個數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

學(xué)生（序號）1號2號3號4號5號6號7號8號9號

仰臥起坐個數(shù)525650504858525054

A.眾數(shù)是58,中位數(shù)是48B.眾數(shù)是58,中位數(shù)是52

C.眾數(shù)是50,中位數(shù)是48D.眾數(shù)是50,中位數(shù)是52

【答案】D

【分析】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從

小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中50出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為50,

先把這些數(shù)從小到大排列，第5個女生的成績?yōu)橹形粩?shù)，

則中位數(shù)是52；

故選：D.

練習1.一組由小到大排列的數(shù)據(jù)為-1,0,4,x,6,16,其中位數(shù)為5,則眾數(shù)是（）

A.5B.6C.-1D.5.5

【答案】B

【分析】本題考查眾數(shù)與中位數(shù)的意義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪?/p>

間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)

據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個.先根據(jù)中位數(shù)的概念找出最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)求出尤值，再根據(jù)眾數(shù)的

概念求解.

【詳解】解：根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)，可以看到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)是4與尤和的平均數(shù)，即

4+x_

------=5,

2

解得：x=6,這樣這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的就是6,即眾數(shù)是6.

故選：B.

練習2.下表是我市某校九（1）班參加學(xué)?！凹o念12.9主題演講活動”的得分情況，表中“得分”數(shù)據(jù)的中位

數(shù)是（）.

評委評委1評委2評委3評委4評委5評委6評委7

得分9.69.49.59.69.49.69.3

A.9.3B.9.4C.9.5D.9.6

【答案】C

【分析】本題考查了中位數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)的定義.將“得分”從小到大的排列，即可求

解.

【詳解】解：將“得分”從小到大的排列：9.3,9.4,9.4,9.5,9.6,9.6,9.6,

排在中間的數(shù)是9.5,

二中位數(shù)是9.5,

故選：C.

練習3.一家鞋店在一段時間內(nèi)銷售了某種女鞋30雙，各種尺碼鞋的銷售量如表所示在鞋的尺碼組成的數(shù)

據(jù)中，中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

尺碼/cm2222.52323.52424.525

銷售量/雙12511731

A.23.5和23.5B.23和23.5C.23.5和23D.24和23.5

【答案】A

【分析】根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的意義進行填空即可.本題考查眾數(shù)與中位數(shù)的意義.中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從

小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù).眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的一個數(shù).

【詳解】解：把30雙鞋的尺碼從小到大排列，排在中位數(shù)為最中間兩個數(shù)為23.5,23.5,所以中位數(shù)為

23.5.

觀察數(shù)據(jù)可知23.5出現(xiàn)次數(shù)最多，即眾數(shù)為23.5；

故選:A.

練習4.某次射擊比賽，甲隊員的成績?nèi)鐖D所示，根據(jù)此統(tǒng)計圖，判斷下列結(jié)論中錯誤的是()

A.最高成績是9.4環(huán)B.這組成績的中位數(shù)是8.85環(huán)

C.這組成績的眾數(shù)是9環(huán)D.這組成績的方差是8.8

【答案】B

【分析】此題主要考查了折線統(tǒng)計圖，中位數(shù)，眾數(shù)和方差，解題的關(guān)鍵是根據(jù)各自的計算方法結(jié)合表格

中的數(shù)據(jù)分別計算即可.

【詳解】解：由題意可知，甲隊員的成績?yōu)?.4,8.4,9.2,9.2,8.8,9,8.6,9,9,9.4

從小到大排列為：8.4,8.6,8.8,9,9,9,9.2,9.2,9.4,9.4,

最高成績是9.4環(huán)，故正確，選項A不合題意；

這組成績的中位數(shù)為9環(huán)，故錯誤，選項B合題意；

這組成績的眾數(shù)是9環(huán)，故正確，選項C不合題意；

這組成績的平均數(shù)為$X(9.4+9.4+9.2+9.2+9+9+9+8.8+8.6+8.4)=9,

這組成績的方差是看x[2X(9.4-9)2+(8.4—9y+2x(9.2-9)2+(8.8-9)2+3x(9-9)2+(8.6-9)2]=0.096,故錯誤，選

項D不符合題意.

故選：B

1.某學(xué)校在6月6日全國愛眼日當天，組織學(xué)生進行了視力測試.小紅所在的學(xué)習小組每人視力測試的結(jié)

果分別為：5.0,4.8,4.5,4.8,4.6,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()

A.4.8,4.74B.4.8,4.5C.5.0,4.5D.4.8,4.8

【答案】D

【分析】本題考查了眾數(shù)的定義，理解定義：“一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將這

組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，當數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)時，中間的數(shù)為中位數(shù)，當數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時，中

間兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù).”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4.5,4.6,4.8,4.8,5.0,排在中間的數(shù)是4.8,

故中位數(shù)是4.8；

這組數(shù)據(jù)中4.8出現(xiàn)的次數(shù)最多，

故眾數(shù)為4.8.

故選：D.

2.“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交水稻苗的

長勢，從稻田中隨機抽取7株水稻苗，測得苗高（單位：cm）分別是23,24,23,25,26,23,25.則這

組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

【答案】C

【分析】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)，掌握眾數(shù)、中位數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵.根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義

進行解答即可.

【詳解】這組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是23,因此眾數(shù)是23,

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，處在中間位置的一個數(shù)是24,由此中位數(shù)是24.

故選C.

3.已知數(shù)據(jù)：-2,1,2,1,4,6,下列說法正確的是（）

A.平均數(shù)3B.眾數(shù)是-2C.極差為8D.中位數(shù)是1

【答案】C

【分析】本題考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、極差、中位數(shù)等知識，根據(jù)相關(guān)知識逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是一2+.2：1+4+6=2,故本選項不符合題意；

O

B、1出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是1,故本選項不符合題意；

C、極差是：6-（-2）=8,故本選項符合題意；

D、把這些數(shù)從小到大排列為-2,1,1,2,4,6,中位數(shù)是覺=],故本選項不符合題意.

故選：C.

4.若一組數(shù)據(jù)2,3,x,5,6,7的眾數(shù)為7,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

A.2B.3C.5.5D.7

【答案】C

【分析】本題考查的是眾數(shù)，中位數(shù)的含義，先根據(jù)眾數(shù)的含義求解x=7,再排序求解中位數(shù)即可.

【詳解】解：,??數(shù)據(jù)2,3,x,5,6,7的眾數(shù)為7,

x=7,

把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：2、3、5、6、7、7,

則中位數(shù)為手=5.5；

故選：C.

5.如圖為榮成市7天的天氣情況，這7天最高氣溫的中位數(shù)與眾數(shù)分別為（）

06/0106/0206/0306/0406/0506/0606/07

&￡00Q

27℃28C28℃

-----------------

19°C^云°2正

21~—O一

17℃16℃

A.25.5,27B.26,28C.26.5,27D.28,28

【答案】B

【分析】本題考查求中位數(shù)及眾數(shù)，根據(jù)最中間的數(shù)叫中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的角眾數(shù)直接求解即可得到

答案；

【詳解】解：由圖像可得，

28出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為28,

數(shù)據(jù)排序為：23,24,25,26,27,28,28,

二中位數(shù)為：26,

故答案為：B.

6.2021年5月1日至7日，某市每日最高氣溫如圖所示，則最高氣溫的中位數(shù)是℃.

【答案】27

【分析】本題考查確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力.解題的關(guān)鍵是先把數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻?/p>

序排列，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個數(shù)來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果

是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).據(jù)此解答即可.

【詳解】解：把這些數(shù)從小到大排列為：23,25,26,27,30,33,33,

最中間的數(shù)是27,

.??中位數(shù)是279.

故答案為：27.

7.學(xué)校舉行“書香校園”讀書活動，某小組的五位同學(xué)在這次活動中讀書的本數(shù)分別為4,7,9,8,7.數(shù)據(jù)4,

7,9,8,7的眾數(shù)為一.

【答案】7

【分析】此題考查了眾數(shù)，根據(jù)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是眾數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：數(shù)據(jù)4,7,9,8,7中出現(xiàn)最多的是7,

.?.數(shù)據(jù)4,7,9,8,7的眾數(shù)為7,

故答案為：7.

易錯點二：混淆平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

平均數(shù)：一般地，“個數(shù)七,々，…，相，我們把工&+%2+…+5）叫做這〃個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記做最

n

〃個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)：如果在幾個數(shù)中，X1出現(xiàn)了力次，與出現(xiàn)了當次，……4出現(xiàn)了九次，那么加

權(quán)平均數(shù)為X=再:+馬力+…+4/

n

易錯提醒：加權(quán)平均數(shù)即將各數(shù)值乘以相應(yīng)的權(quán)數(shù)，然后加總求和得到總體值，再除以總的單位數(shù).在做

題的時候，要注意題設(shè)中有沒有出現(xiàn)“權(quán)”，不能將加權(quán)平均數(shù)和平均數(shù)混淆.

例3.如表記錄了數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)最近幾次拓展訓(xùn)練的數(shù)學(xué)成績，現(xiàn)要選拔一名成

績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加比賽，應(yīng)推選（）

甲乙丙T

平均數(shù)95969695

方差2.52.42.32.5

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】C

【分析】此題考查了算術(shù)平均數(shù)和方差，正確理解方差與平均數(shù)的意義是解題關(guān)鍵.首先比較平均數(shù)，平

均數(shù)相同時選擇方差較小的同學(xué)參加.

【詳解】解：???乙和丙的平均數(shù)大于甲和丁的平均數(shù)，

從乙和丙中選擇一人參加比賽，

???丙的方差小于乙的方差，

，選擇丙參加比賽.

故選：C

例4.若一組數(shù)據(jù)T,0,2,5,x的極差為8,則尤的值是（）.

A.-3B.8或-9C.8D.7或一3

【答案】D

【分析】當x為最大值和最小值時分別根據(jù)極差列方程即可.

【詳解】解：當x為最大值時，

X-（-1）=8,

解得x=7；

當x為最小值時，

5-x=8,

解得x=-3,

故選D.

【點睛】本題考查了極差的定義，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的

最大值減去最小值.

練習1.如果一組數(shù)據(jù)6,7,x,9,5的平均數(shù)是2x,那么這組數(shù)據(jù)的標準差為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】直接利用平均數(shù)的求法，得出一元一次方程，解出即可得出x的值，進而求出這組數(shù)據(jù)的方差，

從而求出標準差.

【詳解】解：：一組數(shù)據(jù)6,7,x,9,5的平均數(shù)是2尤，

??6+7+尤+9+5=2xx5,

解得：x=3,

???這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,

...這組數(shù)據(jù)的方差為（6一寸+（7-6）2+（3-句+（9-句+（5-6）2=4,

5

.??這組數(shù)據(jù)的標準差為4=2.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平均數(shù)和標準差，正確得出x的值是解本題的關(guān)鍵.

練習2.甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)均是9.1環(huán)，方差分別為

s差=0.9,4=0-8，s奮=0.2,s1=0.5,則射擊成績最穩(wěn)定的是—.

【答案】丙

【分析】本題考查了數(shù)據(jù)的波動，明確方差越小越穩(wěn)定即可解題.

【詳解】看=0.9,S^=0.8,=0.2,芹=0.5,

$丙<$丁<3乙<S甲，

???成績最穩(wěn)定的是丙.

故答案為：丙.

練習3.小明連續(xù)5天的體溫數(shù)據(jù)如下（單位：。C）：36.7,36.3,36.6,36.2,36.3,這組數(shù)據(jù)的極差

是0c.

【答案】0.5

【分析】本題考查了極差的定義，極差是最大數(shù)據(jù)和最小數(shù)據(jù)的差，據(jù)此解答.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的極差是：36.7-36.2=0.5（℃）.

故答案為:0.5.

練習4.若五個數(shù)據(jù)2,-1,3,尤，5的極差為8,則x的值為一.

【答案】7或-3

【分析】根據(jù)題目給的數(shù)據(jù)和極差的定義，可分兩種情況討論：x是最大值和尤是最小值，分別列式計

算，可求解.

【詳解】解：由題意可得：極差是8,故x不可能是中間值，

若x是最大值，則x-（T）=8,x=7,

若X是最小值，則5-x=8,x=-3,

則x的值為7或-3,

故答案為：7或-3.

【點睛】本題考查了極差的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

1.某班級學(xué)生期末操行評定從德、智、體、美、勞五方面按2:3:2:2:1確定成績，小明同學(xué)本學(xué)期五方面

得分如圖所示，則他期末操行得分為一分.

體美

【答案】9

【分析】本題考查了求平均數(shù)，熟記加權(quán)平均數(shù)公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式計算即可

得解.

10x2+9x3+8x2+9x2+9x1

【詳解】解：由題意可得,（分）,

2+3+2+2+1

答：他期末操行得分為9分.

故答案為：9.

2.某校在12月9日舉辦了以“不忘國恥振興中華”為主題的合唱比賽，每支參賽隊的最終成績按歌曲內(nèi)容

占30%,演唱技巧占50%,精神面貌占20%進行考評.八一班參賽歌曲內(nèi)容獲得90分，演唱技巧獲得94

分，精神面貌獲得95分，則八一班的最終成績是一分.

【答案】93

【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算方法，掌握權(quán)的分配是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列式計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，八一班的最終成績是：30%x90+50%x94+20%x95=93（分）.

故答案為：93.

3.中衛(wèi)三中規(guī)定學(xué)生體育成績滿分為100分，按課外活動成績、期中成績、期末成績2：3：5的比計算學(xué)

期成績，小明同學(xué)本學(xué)期三項成績依次為90分、80分、90分，則小紅同學(xué)本學(xué)期的體育成績是一分.

【答案】87

【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)的求法，根據(jù)題中條件，利用加權(quán)平均數(shù)的求解公式代值求解即可得到答

案，熟記加權(quán)平均數(shù)公式是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??中衛(wèi)三中規(guī)定學(xué)生體育成績滿分為100分，按課外活動成績、期中成績、期末成績2:3:5的

比計算學(xué)期成績，小明同學(xué)本學(xué)期三項成績依次為90分、80分、90分，

.?.小紅同學(xué)本學(xué)期的體育成績是90x—2^+80x一3一+90x.5:”87分,

2+3+52+3+52+3+5

故答案為：87.

4.在前三場擊球游戲中，王新同學(xué)得分分別為139,143,144,為使前4場的平均得分為145,第四場他應(yīng)得

分.

【答案】154

【分析】此題考查了利用平均數(shù)求未知數(shù)值，用平均數(shù)乘以數(shù)據(jù)個數(shù)減去已知數(shù)據(jù)即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，145x4-139-143—144=154,

即第四場他應(yīng)得154,

故答案為：154

5.已知一組數(shù)據(jù)°、b、c的平均數(shù)為5,那么數(shù)據(jù)a-2、b—2、c-2的平均數(shù)是

【答案】3

【分析】本題考查了算術(shù)平均數(shù)；

根據(jù)數(shù)據(jù)。、b、c的平均數(shù)為5求出a+人+c=15,然后根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計算方法求解即可.

【詳解】解：由題意得：￡±|±￡=5,

/.a+b+c=15,

-2+h-2+c-215-2-2-2

數(shù)據(jù)。-2、b-2、c-2的平均數(shù)為：°a一+丁匕丁，=3,

故答案為：3.

6.張老師把七年級2班第三組五名同學(xué)的成績簡記為+10,-5,0,-8,-3,又知道記為0的實際成績

表示90分.

(1)成績最高是多少分？成績最低是多少分？

(2)這5名同學(xué)的平均成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

【答案】(1)成績最高是100分.成績最低是82分

(2)五位同學(xué)平均成績是88.8

【分析】本題考查的是正負數(shù)的含義，有理數(shù)的混合運算的實際應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵；

(1)由超過最多的分數(shù)加上基準分可得最高分，由不足最多的加上基準分可得最低分數(shù)；

（2）設(shè)這5名同學(xué)的平均成績?yōu)闊o分，利用總分不變列方程求解即可.

【詳解】（1）解：成績最高：90+10=100,成績最低：90-8=82；

答：成績最高是100分.成績最低是82分；

（2）設(shè)這5名同學(xué)的平均成績?yōu)閤分，

由題意，得5x=90x5+（10-5+0-8-3）.

解得x=88.8.

答：五位同學(xué)平均成績是88.8.

7.某班為了從甲、乙兩同學(xué)中選出班長，進行了一次演講答辯和民主測評，A、B,C、D,E五位老師作

為評委對“演講答辯”情況進行了評價，全班50位同學(xué)參與了民主測評，結(jié)果如下表：

表1演講答辯得分表（單位：分）

ABCDE

甲9092949588

乙8986879491

表2民主測評票數(shù)統(tǒng)計表（單位：張）

“好”票數(shù)“較好”票數(shù)“一般”票數(shù)

甲4073

乙4244

規(guī)則：

①演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分后，再算出平均分”的方法確定；

②民主測評得分=“好”票數(shù)x2分+“較好”票數(shù)x1分+“一般”票數(shù)x0分；

③演講答辯得分和民主測評得分按4:6確定權(quán)重，計算綜合得分，請你計算一下甲、乙的綜合得分，選出

班長.

【答案】見解析

【分析】本題考查了平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的概念及應(yīng)用，首先分別求出甲、乙兩位選手各自演講答辯的平

均分，然后根據(jù)平均數(shù)的概念分別計算出甲、乙兩位選手的民主測評分，最后根據(jù)不同權(quán)重計算加權(quán)成

績.

【詳解】解：甲演講答辯的平均分為：；二92；

乙演講答辯的平均分為：QQ4-R；7+Q1=89；

甲民主測評分為：40x2+7x1=87；

乙民主測評分為：42x2+4x1=88；

92x4+87x6

，甲綜合得分:

4+6

89x4+88x6

乙綜合得分:=88.4

4+6

89>88.4,

???應(yīng)選擇甲當班長.

易錯點三：混淆極差、方差的定義

極差：最大值與最小值的差

2

方差：一般地，各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)?=：［（%—元）2+（X2-X）+.??+（%?-xf.

方差的算術(shù)平方根S就是標準差.方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定.

易錯提醒：須記住對應(yīng)的定義，不能因為都有“差”就覺得一樣

@00?

例5.一組數(shù)據(jù)2,1,4,X,6的平均值是4,則X的值為（）

A.3B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，可直接根據(jù)平均數(shù)的定義列方程求解.

【詳解】解：：一組數(shù)據(jù)2,1,4,x,6的平均值是4,

（2+l+4+x+6）+5=4,

解得x=7,

故選：D.

例6.睡眠管理作為“五項管理”中重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)校教育重點關(guān)注的內(nèi)容.某老師了解到某班40

位同學(xué)每天睡眠時間（單位：小時）如下表所示，則該班級學(xué)生每天的平均睡眠時間是一小時.

睡眠時間8小時9小時10小時

人數(shù)62410

【答案】9.1

【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法，進行求解即可.

8x6+9x24+10x10…

【詳解】解:---------------------------=9.1（小時）,

40

即該班級學(xué)生每天的平均睡眠時間是9.1小時.

故答案為：9.1.

練習1.為進一步增強文化自信，肩負起傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的歷史責任，某校舉行了“誦讀國學(xué)經(jīng)

典傳承中華文明”演講比賽.演講得分按“演講內(nèi)容”占40%,“語言表達”占40%,“形象風度”占10%,“整

體效果”占10%進行計算，小穎這四項的得分依次為85,88,92,90,則她的最后得分是一分.

【答案】87.4

【分析】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法.根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算可得.

【詳解】解：她的最后得分是85x40%+88x40%+92xl0%+90xl0%=87.4（分），

故答案為：87.4.

練習2.在數(shù)據(jù)4,5,6,5中添加一個數(shù)據(jù)后，使其平均數(shù)不發(fā)生變化，則你添加的這個數(shù)可以是—.

【答案】5

【分析】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，先求出原數(shù)據(jù)的平均數(shù)，添加一個數(shù)使得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)

不變，則添加的數(shù)即為原數(shù)據(jù)的平均數(shù)，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：???數(shù)據(jù)4,5,6,5的平均數(shù)為4+5：6+5=5,

4

添加一個數(shù)據(jù)后，使其平均數(shù)不發(fā)生變化，則添加的數(shù)為5,

故答案為：5.

練習3.杭州亞運會射箭比賽中，某運動員6箭的成績（單位：環(huán)）依次是巧，x3,西+1,%+2,

電+3若前3箭的平均成績?yōu)?環(huán)，則這6箭的平均成績?yōu)橐画h(huán).

【答案】8

【分析】本題考查了平均數(shù)的計算，掌握平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)前3箭的平均成績?yōu)?

環(huán)，可得為+々+斗=21,再計算6箭的平均成績，化簡為含有&+%+工）的算式，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：,?,前3箭的平均成績?yōu)?環(huán),

.占+%+2小

"3-'

石+/+%3=21,

,這6箭的平均成績?yōu)闉?々W+（為+1）+（%+2）+（玉+3）=2（陽+々+馬）+6=2x21+6=8

‘6―6-—6

故答案為：8.

練習4.已知一組數(shù)據(jù)為,與三,七的平均數(shù)是5,則數(shù)據(jù)占+1,%+2,W+3,%+4的平均數(shù)是

【答案】7.5

【解析】略

1.體育課上，九（1）班兩個組各10人參加跳繩測試，要判斷哪一組成績比較整齊，通常需要知道這兩

個組跳繩測試成績的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】D

【分析】本題考查了方差的意義，根據(jù)方差越小，數(shù)據(jù)波動越小，越穩(wěn)定，解答即可.

【詳解】根據(jù)方差越小，數(shù)據(jù)波動越小，越穩(wěn)定，

故選D.

2.已知一個樣本數(shù)據(jù)為2,3,4,5,6,則這組數(shù)據(jù)的方差和標準差分別是（）

A.2、0B.3、百C.0、2D.出、3

【答案】A

【分析】此題考查計算方差和標準差，熟練掌握計算公式是解題的關(guān)鍵，先求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方

差及標準差公式求出方差.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=2+3+；+5+6=4,

方差=；x-4）2+（3-4）2+（4-4+（5-4）2+（6.4）1=2,

標準差=拒，

故選：A.

3.如圖是根據(jù)某打繩巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（單位：噸）繪制成的折線統(tǒng)計圖.則這

組數(shù)據(jù)的方差是—.

【答案】8

【分析】本題主要考查了折線統(tǒng)計圖，求方差，先根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，進而求出這

組數(shù)據(jù)的方差即可得到答案.

【詳解】解；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為？+5+；+9+H=7,

??.這組數(shù)據(jù)的方差為G-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(11-7)、&,

5

故答案為：8.

4.數(shù)據(jù)2,x,4,2,8,5的平均數(shù)為6,這組數(shù)據(jù)的極差為一.

【答案】13

【分析】考查了平均數(shù)和極差公式，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中

的最大值減去最小值，由平均數(shù)公式求出x,再根據(jù)極差的公式：極差=最大值-最小值求解即可.

【詳解】解根據(jù)題意得：2+x+4+2+8+5=6?6

解得：丈=15

極差：15-2=13,

故答案為13.

5.已知2,3,5,優(yōu)，“五個數(shù)據(jù)的方差是16,那么3,4,6,m+1,〃+1五個數(shù)據(jù)的標準差是.

【答案】4

【分析】先設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為無，即可得出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出原來的方差，和現(xiàn)在的方差，進而

得出標準差.

【詳解】解：由題意知，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為無，新數(shù)據(jù)的每一個數(shù)都加了1,則平均數(shù)變?yōu)?+1,

1———

則原來的方差s；=-x)2+(4-x)2+.??+(演-x)2]=16,

5

1———

2

現(xiàn)在的方差S；=一[(為+1-X-1)+(4+1-X-L)2+???+(x5+l-X~L)2]

5

=-[(^-X)2+(入2-X)2+??,+(才5-X)2]=16.

5

所以方差不變，標準差為4.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了方差，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，每個數(shù)都加1所以波動不會變,

方差不變，即數(shù)據(jù)的波動情況不變.

6.若3,a,4,6,5的平均數(shù)是4,則這組數(shù)據(jù)的標準差是—.

【答案】V2

【分析】先根據(jù)求平均數(shù)的方法，求出。的值，再根據(jù)標準差的公式，求出標準差即可.

【詳解】V3,。，4,6,5的平均數(shù)是4

3+Q+4+6+5.

/.-------------------=4

5

a=2

：.S=J|[(3-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(5-4)2]=41

故答案為：72.

【點睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，標準差的計算，熟知相應(yīng)公式，并進行準確計算是解題的關(guān)鍵.

7.有一組數(shù)據(jù)如下：5,6,7,a,9,它們的平均數(shù)是7,那么這組數(shù)據(jù)的標準差是()

A.10B.V10C.2D.72

【答案】D

【分析】根據(jù)平均數(shù)求出再根據(jù)方差公式求出方差，再根據(jù)標準差的定義即可得出答案.

【詳解】???這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7

1x(5+6+7+a+9)=7,

*,*<3=8,

s)=:[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)〃=2,

s="\/2

故選：D.

【點睛】本題考查了標準差的計算，掌握標準差的計算方法是解本題的關(guān)鍵.

易錯點四：含參求“三數(shù)”忽略分類討論

易錯提醒：在求眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)時，如果是一組含有未知數(shù)的數(shù)據(jù)就要分類討論。其實對于此類題

目的解題本質(zhì)還是掌握好眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的概念以及聯(lián)系、區(qū)別，再對未知數(shù)可能取值的范圍進行

分類討論就可順利解決。

?0?S

例7.一組數(shù)據(jù)6,8,10,X的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則無的值不可能是（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】本題結(jié)合平均數(shù)考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力.涉及到分類討論思想，根據(jù)中位數(shù)的值與

大小排列順序有關(guān)，而此題中x的大小位置未定，故應(yīng)該分類討論x所處的所有位置情況：從小到大（或

從大到?。┡帕性谥虚g（在第二位或第三位結(jié)果不影響）；結(jié)尾；開始的位置.

【詳解】解：（1）將這組數(shù)據(jù)從大到小的順序排列為10,8,無，6,

處于中間位置的數(shù)是8,x,

那么由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（8+x）+2,

平均數(shù)為（10+8+x+6）+4,

?.?數(shù)據(jù)10,8,x,6,的中位數(shù)與平均數(shù)相等，

（8+x）+2=（10+8+x+6）+4,

解得x=8,大小位置與8對調(diào)，不影響結(jié)果，符合題意；

（2）將這組數(shù)據(jù)從大到小的順序排列后10,8,6,x,

中位數(shù)是（8+6）+2=7,

此時平均數(shù)是（10+8+x+6）+4=7,

解得x=4,符合排列順序；

（3）將這組數(shù)據(jù)從大到小的順序排列后x,10,8,6,

中位數(shù)是。。+8）+2=9,

平均數(shù)（1。+8+%+6）+4=9,

解得x=12,符合排列順序.

；.x的值為4、8或12,不可能是6.

故選：B.

例8.已知數(shù)據(jù)4,4,6,6,8,a的中位數(shù)是5,如果這組數(shù)據(jù)有唯一的眾數(shù)，那么a的值為—.

【答案】4

【分析】根據(jù)這組數(shù)據(jù)有唯一的眾數(shù)可得。=4或a=6,再分別求出當。=4和。=6時這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即

可得到答案.

【詳解】解：???數(shù)據(jù)4,4,6,6,8,。有唯一的眾數(shù)，

??6Z—48立Q=6,

4+6

當Q=4時，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4,4,4,6,6,8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為言=5,符合題意；

當。=6時，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4,4,6,6,6,8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為審=6,不符合題

忌；

〃=4,

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了求中位數(shù)和求眾數(shù)，正確根據(jù)有唯一的眾數(shù)確定出。=4或。=6是解題的關(guān)鍵.

練習1.己知一組數(shù)據(jù)-20、1「2、-3、1*有唯一眾數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.

【答案】-2或0/0或-2

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義，結(jié)合有唯一眾數(shù)分類討論x的取值，排序即可得到答案；

【詳解】解：\?數(shù)據(jù)-2。1「2、-3、1J有唯一眾數(shù)，

；.尤等于-2或1,

當x=-2時，中位數(shù)為-2,

當x=l時，中位數(shù)為0,

故答案為：-2或0；

【點睛】本題考查眾數(shù)的定義及中位數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是分類討論.

練習2.若四個互不相等的正整數(shù)中，最大的數(shù)是8,中位數(shù)是4,則這四個數(shù)的和是—.

【答案】17或18/18或17

【分析】本題考查中位數(shù)，掌握一組數(shù)據(jù)從小到大排列后居于中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)

的中位數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：\?中位數(shù)為4,

第二、三個數(shù)的和為8,

:這四個數(shù)是不相等的正整數(shù)，

第二、三個數(shù)為3、5或2、6,

這四個數(shù)為1、3、5、8；2、3、5、8或1、2、6、8,

.?.這四個數(shù)的和為17或18,

故答案為：17或18.

練習3.若一組數(shù)據(jù)2,6,3,5,x的平均數(shù)與中位數(shù)相同，則實數(shù)尤的值可以是.

【答案】T或4或9

【分析】本題考查了平均數(shù)與中位數(shù)的定義，根據(jù)題意，平均數(shù)與中位數(shù)相同建立等價的式子，靈活運用

分類討論思想，解出即可作答.

2+6+3+5+x16+x

【詳解】解：平均數(shù):

55

當尤<2,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得x,2,3,5,6,

此時中位數(shù)為3

因為平均數(shù)與中位數(shù)相同

則—3

解得*=滿足條件;

當2<x<3,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得2,x,3,5,6,

此時中位數(shù)為3

因為平均數(shù)與中位數(shù)相同

則—3

解得x=-1,不滿足條件2〈尤<3,故舍去；

當3Vx<5,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得2,3,x,5,6,

此時中位數(shù)為x

因為平均數(shù)與中位數(shù)相同

解得x=4,滿足條件3cx<5；

當5<x<6,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得2,3,5,%,6,

此時中位數(shù)為5

因為平均數(shù)與中位數(shù)相同

解得x=9,不滿足條件5<x<6,故舍去；

當6<x,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得2,3,5,6,尤,

此時中位數(shù)為5

因為平均數(shù)與中位數(shù)相同

解得尤=9,滿足條件6<x；

綜上：實數(shù)尤的值可以是T或4或9

故答案為：-1或4或9

練習4.一組數(shù)據(jù)5,7,x,7中位數(shù)與平均數(shù)相等，則無的值是—.

【答案】5或9/9或5

【分析】根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義就可以解決.中位數(shù)可能是7或6.

【詳解】解：當尤27時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：；(7+7+5+%)=7,解得x=9；

當x45時：：(7+7+5+%)=6,解得：x=5；

當5<x<7時：(7+7+x+5)+4=(x+7)+2,解得左=5,舍去.

所以x的值為5或9.

故答案為：5或9.

【點睛】本題考查中位數(shù)，算術(shù)平均數(shù).掌握中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

1.一組數(shù)據(jù)有5個自然數(shù)：4,5,5,x,?這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4,唯一的眾數(shù)是5,那么，所有滿足條

件的x、y中，x+>的最大值是.

【答案】5

【分析】本題主要考查中位數(shù)、眾數(shù)的定義以及利用中位數(shù)、眾數(shù)求未知數(shù)的值，根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定

義結(jié)合唯一的眾數(shù)是5,可知根據(jù)中位數(shù)為4可知x<4,y<4,又知小y是自然數(shù)，據(jù)此得出

無、y的所有可能的取值，并求出x+>可能的最大值即可.

【詳解】解：由于唯一的眾數(shù)是5,中位數(shù)為4,

所以x,y不相等且x<4,y<4,

所以x、>的取值可能是0,1,2,3,

于是得了+y的最大值為2+3=5.

故答案為：5.

2.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：x,3,4,4(尤是正整數(shù))，唯一的眾數(shù)是4,則數(shù)據(jù)x是—.

【答案】1或2/2或1

【分析】首先根據(jù)唯一的眾數(shù)是4得到XN4,然后根據(jù)從小到大排列求解即可.

【詳解】???一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：無，3,4,4（尤是正整數(shù)），唯一的眾數(shù)是4,

???唯一的眾數(shù)是4,

x44

?.?是從小到大排列，

x=1或2.

故答案為：1或2.

【點睛】本題考查了眾數(shù)，解題關(guān)鍵掌握眾數(shù)的概念.

3.五個正整數(shù)的中位數(shù)是5,唯一的眾數(shù)是7,且這五個正整數(shù)的平均數(shù)為4.8,則這五個正整數(shù)中小于5

的是

【答案】1,4或2,3

【分析】設(shè)小于5的正整數(shù)為a,b,根據(jù)五個正整數(shù)的平均數(shù)為4.8得：a+6+；+7+7=4.8,求得。+8

后即可求得本題答案.

【詳解】解:設(shè)小于5的正整數(shù)為a,b,

ir-tir-j口H”,口〃+Z?+5+7+7c

根據(jù)題意得：-------------------=4.8,

解得：a+b=5,

小于5的兩數(shù)可以是1,4或2,3,

故答案為：1,4或2,3.

【點睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到小于5的兩數(shù)的和，難度不大.

4.一組數(shù)據(jù)1,2,46x的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則x的值是

13

【答案】-3或7或三

4

【分析】本題考查了中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)，根據(jù)中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的意義列方程即可求解，掌握中位

數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：這組數(shù)據(jù)的個數(shù)為5,

.??這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能為2,4,x,

解得x=-3；

當中位數(shù)為4時,

l+2+4+6+x/

5=’

解得x=7；

當中位數(shù)為x時，

l+2+4+6+x

5一"'

解得％=—13；

4

13

故答案為：-3或7或三.

4

5.一組數(shù)據(jù)：“3,6,3,5,a,3”的平均數(shù)和中位數(shù)相同，則〃的值是—.

【答案】-2

【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)“3,6,3,5,〃，3”的平均數(shù)和中位數(shù)相同和分類討論的方法，可以求得〃的值.

【詳解】解：??,一組數(shù)據(jù)：36,3,5,a,3”的平均數(shù)和中位數(shù)相同,

???當々K3時,

1

—x(〃+3+3+3+5+6)=(3+3)+2

6

解得a=-2；

當3<〃45時,

1

—x(3+3+3+Q+5+6)=(3+Q)+2

6

解得〃=5.5（不合題意，舍去）;

當a>5時,

1

—x(3+3+3+5+a+6)=(3+5)+2

6

解得Q=4（不合題意，舍去）;

故答案為：-2.

【點睛】本題考查中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出〃的值.

6.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為調(diào)查學(xué)生對杭州亞運會的了解情況，

學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生進行“我所了解的杭州亞運會”問卷調(diào)查，規(guī)定每人必須且只能在“非常了解”“一般

了解”“有點了解”“很不了解”四個選項中選擇一項，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

人數(shù)

70非常

60

50

40

30

20

10nr11

01非常一般有點

了解了解了解

請根據(jù)上面提供的信息，解答下列問題:

（1）在這次調(diào)查中，該校一共抽樣調(diào)查了名學(xué)生，扇形統(tǒng)計圖中“非常了解”項目所對應(yīng)的扇形圓心角

的度數(shù)是°,并補全條形統(tǒng)計圖;

（2）若該校共有1200名學(xué)生，試估計該校學(xué)生中知道第19屆杭州亞運會的人數(shù)（知道包括“有點了解”“一般

了解”和“非常了解”）；

（3）學(xué)校在選擇“非常了解”的學(xué)生中任選6名進行“亞運知識我知道”小測試，其中5名學(xué)生的分數(shù)（單位:

分）分別為76,84,92,80,80,這6名學(xué)生的分數(shù)的中位數(shù)為81,求第6名學(xué)生的分數(shù).

【答案】（1）160；157.5；見解析

(2)1050名

(3)82分

【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，中位數(shù).

（1）根據(jù)選項“有點了解”的人數(shù)與百分比，即可求出總?cè)藬?shù)；根據(jù)“非常了解”的人數(shù)與總?cè)藬?shù)求出所占百

分比，再乘以360。即可得到圓心角的度數(shù)；根據(jù)總?cè)藬?shù)與其他三個選項的人數(shù)，求出“很不了解”的人數(shù),

即可補全條形統(tǒng)計圖.

（2）全校學(xué)生人數(shù)乘以樣本中知道第19屆杭州亞運會的比例，即可解答.

（3）將已知5名學(xué)生的分數(shù)從小到大排列為76,80,80,84,92,設(shè)第6名學(xué)生的分數(shù)為羽分3種情況

討論：①尤（80,②xW84,③80cx<84,根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解.

【詳解】（1）該校一共抽樣調(diào)查學(xué)生40-25%=160（名）,

“非常了解”項目所對應(yīng)的扇形圓心角會70、360。=157.5。,