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文檔簡介
易錯08統(tǒng)計與概率
中位數(shù)、眾數(shù)'易錯點一:忽略排序直接數(shù)
平均數(shù)卜、易錯點二:混淆平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)
概
率極差、方差'易錯點三:混淆兩個概念的定義
與含參求眾數(shù)、平均數(shù)'易錯點四:忽略分類討論
統(tǒng)
計統(tǒng)計圖卜、易錯點五:混淆各種統(tǒng)計圖提取信息的方法
(不)放回問題卜、易錯點六:區(qū)分不了兩種問題
頻率與概率卜、易錯點七:混淆兩個概念的定義
易錯點一:忽略排序直接數(shù)
眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)
中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到?。┑捻樞蚺帕校挥谧钪虚g的一個數(shù)據(jù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時)
或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時)
易錯提醒:要觀察數(shù)據(jù)有沒有按照順序排列,沒有的要先排列順序再找,避免出錯.
例1.2023年9月5日是第八個“中華慈善日”,主題為“攜手參與慈善,共創(chuàng)美好生活”.某校為了響應(yīng)中
華慈善總會的號召,舉行捐款活動.下表是某班的捐款金額統(tǒng)計情況,則該班捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分
別是()
捐款金額/元123510
人數(shù)589158
A.5,3B.15,3C.15,5D.5,5
【答案】D
【分析】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù),中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中處在最中間或處在最中間的兩
個數(shù)據(jù)的平均數(shù),眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),據(jù)此求解即可.
【詳解】解:?.?捐款為5元的人數(shù)最多,
,眾數(shù)為5元,
捐款人數(shù)為5+8+9+15+8=45人,
按照捐款錢數(shù)從低到高排列,處在第23名的捐款錢數(shù)為5元,
.?.中位線為5元,
故選:D.
例2.金牛區(qū)某校八年級學(xué)生參加體質(zhì)健康測試,有一組9個女生做一分鐘的仰臥起坐個數(shù)如表中數(shù)據(jù)所
示,則這組仰臥起坐個數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()
學(xué)生(序號)1號2號3號4號5號6號7號8號9號
仰臥起坐個數(shù)525650504858525054
A.眾數(shù)是58,中位數(shù)是48B.眾數(shù)是58,中位數(shù)是52
C.眾數(shù)是50,中位數(shù)是48D.眾數(shù)是50,中位數(shù)是52
【答案】D
【分析】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識,一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù);將一組數(shù)據(jù)按照從
小到大(或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位
數(shù);如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
【詳解】解:這組數(shù)據(jù)中50出現(xiàn)的次數(shù)最多,故眾數(shù)為50,
先把這些數(shù)從小到大排列,第5個女生的成績?yōu)橹形粩?shù),
則中位數(shù)是52;
故選:D.
練習1.一組由小到大排列的數(shù)據(jù)為-1,0,4,x,6,16,其中位數(shù)為5,則眾數(shù)是()
A.5B.6C.-1D.5.5
【答案】B
【分析】本題考查眾數(shù)與中位數(shù)的意義,中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪?/p>
間的那個數(shù)(最中間兩個數(shù)的平均數(shù)),叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)
據(jù),注意眾數(shù)可以不止一個.先根據(jù)中位數(shù)的概念找出最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)求出尤值,再根據(jù)眾數(shù)的
概念求解.
【詳解】解:根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù),可以看到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)是4與尤和的平均數(shù),即
4+x_
------=5,
2
解得:x=6,這樣這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的就是6,即眾數(shù)是6.
故選:B.
練習2.下表是我市某校九(1)班參加學(xué)?!凹o念12.9主題演講活動”的得分情況,表中“得分”數(shù)據(jù)的中位
數(shù)是().
評委評委1評委2評委3評委4評委5評委6評委7
得分9.69.49.59.69.49.69.3
A.9.3B.9.4C.9.5D.9.6
【答案】C
【分析】本題考查了中位數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)的定義.將“得分”從小到大的排列,即可求
解.
【詳解】解:將“得分”從小到大的排列:9.3,9.4,9.4,9.5,9.6,9.6,9.6,
排在中間的數(shù)是9.5,
二中位數(shù)是9.5,
故選:C.
練習3.一家鞋店在一段時間內(nèi)銷售了某種女鞋30雙,各種尺碼鞋的銷售量如表所示在鞋的尺碼組成的數(shù)
據(jù)中,中位數(shù)和眾數(shù)分別是()
尺碼/cm2222.52323.52424.525
銷售量/雙12511731
A.23.5和23.5B.23和23.5C.23.5和23D.24和23.5
【答案】A
【分析】根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的意義進行填空即可.本題考查眾數(shù)與中位數(shù)的意義.中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從
小到大(或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)(或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)),叫做這組數(shù)據(jù)的中位
數(shù).眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的一個數(shù).
【詳解】解:把30雙鞋的尺碼從小到大排列,排在中位數(shù)為最中間兩個數(shù)為23.5,23.5,所以中位數(shù)為
23.5.
觀察數(shù)據(jù)可知23.5出現(xiàn)次數(shù)最多,即眾數(shù)為23.5;
故選:A.
練習4.某次射擊比賽,甲隊員的成績?nèi)鐖D所示,根據(jù)此統(tǒng)計圖,判斷下列結(jié)論中錯誤的是()
A.最高成績是9.4環(huán)B.這組成績的中位數(shù)是8.85環(huán)
C.這組成績的眾數(shù)是9環(huán)D.這組成績的方差是8.8
【答案】B
【分析】此題主要考查了折線統(tǒng)計圖,中位數(shù),眾數(shù)和方差,解題的關(guān)鍵是根據(jù)各自的計算方法結(jié)合表格
中的數(shù)據(jù)分別計算即可.
【詳解】解:由題意可知,甲隊員的成績?yōu)?.4,8.4,9.2,9.2,8.8,9,8.6,9,9,9.4
從小到大排列為:8.4,8.6,8.8,9,9,9,9.2,9.2,9.4,9.4,
最高成績是9.4環(huán),故正確,選項A不合題意;
這組成績的中位數(shù)為9環(huán),故錯誤,選項B合題意;
這組成績的眾數(shù)是9環(huán),故正確,選項C不合題意;
這組成績的平均數(shù)為$X(9.4+9.4+9.2+9.2+9+9+9+8.8+8.6+8.4)=9,
這組成績的方差是看x[2X(9.4-9)2+(8.4—9y+2x(9.2-9)2+(8.8-9)2+3x(9-9)2+(8.6-9)2]=0.096,故錯誤,選
項D不符合題意.
故選:B
1.某學(xué)校在6月6日全國愛眼日當天,組織學(xué)生進行了視力測試.小紅所在的學(xué)習小組每人視力測試的結(jié)
果分別為:5.0,4.8,4.5,4.8,4.6,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()
A.4.8,4.74B.4.8,4.5C.5.0,4.5D.4.8,4.8
【答案】D
【分析】本題考查了眾數(shù)的定義,理解定義:“一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);將這
組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,當數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)時,中間的數(shù)為中位數(shù),當數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時,中
間兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù).”是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4.5,4.6,4.8,4.8,5.0,排在中間的數(shù)是4.8,
故中位數(shù)是4.8;
這組數(shù)據(jù)中4.8出現(xiàn)的次數(shù)最多,
故眾數(shù)為4.8.
故選:D.
2.“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交水稻苗的
長勢,從稻田中隨機抽取7株水稻苗,測得苗高(單位:cm)分別是23,24,23,25,26,23,25.則這
組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()
A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24
【答案】C
【分析】本題考查眾數(shù)、中位數(shù),掌握眾數(shù)、中位數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵.根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義
進行解答即可.
【詳解】這組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的是23,因此眾數(shù)是23,
將這組數(shù)據(jù)從小到大排列,處在中間位置的一個數(shù)是24,由此中位數(shù)是24.
故選C.
3.已知數(shù)據(jù):-2,1,2,1,4,6,下列說法正確的是()
A.平均數(shù)3B.眾數(shù)是-2C.極差為8D.中位數(shù)是1
【答案】C
【分析】本題考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、極差、中位數(shù)等知識,根據(jù)相關(guān)知識逐項判斷即可求解.
【詳解】解:A、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是一2+.2:1+4+6=2,故本選項不符合題意;
O
B、1出現(xiàn)了2次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)是1,故本選項不符合題意;
C、極差是:6-(-2)=8,故本選項符合題意;
D、把這些數(shù)從小到大排列為-2,1,1,2,4,6,中位數(shù)是覺=],故本選項不符合題意.
故選:C.
4.若一組數(shù)據(jù)2,3,x,5,6,7的眾數(shù)為7,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()
A.2B.3C.5.5D.7
【答案】C
【分析】本題考查的是眾數(shù),中位數(shù)的含義,先根據(jù)眾數(shù)的含義求解x=7,再排序求解中位數(shù)即可.
【詳解】解:,??數(shù)據(jù)2,3,x,5,6,7的眾數(shù)為7,
x=7,
把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為:2、3、5、6、7、7,
則中位數(shù)為手=5.5;
故選:C.
5.如圖為榮成市7天的天氣情況,這7天最高氣溫的中位數(shù)與眾數(shù)分別為()
06/0106/0206/0306/0406/0506/0606/07
&£00Q
27℃28C28℃
-----------------
19°C^云°2正
21~—O一
17℃16℃
A.25.5,27B.26,28C.26.5,27D.28,28
【答案】B
【分析】本題考查求中位數(shù)及眾數(shù),根據(jù)最中間的數(shù)叫中位數(shù),出現(xiàn)次數(shù)最多的角眾數(shù)直接求解即可得到
答案;
【詳解】解:由圖像可得,
28出現(xiàn)次數(shù)最多,故眾數(shù)為28,
數(shù)據(jù)排序為:23,24,25,26,27,28,28,
二中位數(shù)為:26,
故答案為:B.
6.2021年5月1日至7日,某市每日最高氣溫如圖所示,則最高氣溫的中位數(shù)是℃.
【答案】27
【分析】本題考查確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力.解題的關(guān)鍵是先把數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到?。┑捻?/p>
序排列,然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個數(shù)來確定中位數(shù),如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個,則正中間的數(shù)字即為所求,如果
是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).據(jù)此解答即可.
【詳解】解:把這些數(shù)從小到大排列為:23,25,26,27,30,33,33,
最中間的數(shù)是27,
.??中位數(shù)是279.
故答案為:27.
7.學(xué)校舉行“書香校園”讀書活動,某小組的五位同學(xué)在這次活動中讀書的本數(shù)分別為4,7,9,8,7.數(shù)據(jù)4,
7,9,8,7的眾數(shù)為一.
【答案】7
【分析】此題考查了眾數(shù),根據(jù)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是眾數(shù)即可得到答案.
【詳解】解:數(shù)據(jù)4,7,9,8,7中出現(xiàn)最多的是7,
.?.數(shù)據(jù)4,7,9,8,7的眾數(shù)為7,
故答案為:7.
易錯點二:混淆平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)
平均數(shù):一般地,“個數(shù)七,々,…,相,我們把工&+%2+…+5)叫做這〃個數(shù)的算術(shù)平均數(shù),記做最
n
〃個數(shù)的加權(quán)平均數(shù):如果在幾個數(shù)中,X1出現(xiàn)了力次,與出現(xiàn)了當次,……4出現(xiàn)了九次,那么加
權(quán)平均數(shù)為X=再:+馬力+…+4/
n
易錯提醒:加權(quán)平均數(shù)即將各數(shù)值乘以相應(yīng)的權(quán)數(shù),然后加總求和得到總體值,再除以總的單位數(shù).在做
題的時候,要注意題設(shè)中有沒有出現(xiàn)“權(quán)”,不能將加權(quán)平均數(shù)和平均數(shù)混淆.
例3.如表記錄了數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)最近幾次拓展訓(xùn)練的數(shù)學(xué)成績,現(xiàn)要選拔一名成
績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加比賽,應(yīng)推選()
甲乙丙T
平均數(shù)95969695
方差2.52.42.32.5
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】C
【分析】此題考查了算術(shù)平均數(shù)和方差,正確理解方差與平均數(shù)的意義是解題關(guān)鍵.首先比較平均數(shù),平
均數(shù)相同時選擇方差較小的同學(xué)參加.
【詳解】解:???乙和丙的平均數(shù)大于甲和丁的平均數(shù),
從乙和丙中選擇一人參加比賽,
???丙的方差小于乙的方差,
,選擇丙參加比賽.
故選:C
例4.若一組數(shù)據(jù)T,0,2,5,x的極差為8,則尤的值是().
A.-3B.8或-9C.8D.7或一3
【答案】D
【分析】當x為最大值和最小值時分別根據(jù)極差列方程即可.
【詳解】解:當x為最大值時,
X-(-1)=8,
解得x=7;
當x為最小值時,
5-x=8,
解得x=-3,
故選D.
【點睛】本題考查了極差的定義,極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小,求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的
最大值減去最小值.
練習1.如果一組數(shù)據(jù)6,7,x,9,5的平均數(shù)是2x,那么這組數(shù)據(jù)的標準差為()
A.4B.3C.2D.1
【答案】C
【分析】直接利用平均數(shù)的求法,得出一元一次方程,解出即可得出x的值,進而求出這組數(shù)據(jù)的方差,
從而求出標準差.
【詳解】解::一組數(shù)據(jù)6,7,x,9,5的平均數(shù)是2尤,
??6+7+尤+9+5=2xx5,
解得:x=3,
???這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,
...這組數(shù)據(jù)的方差為(6一寸+(7-6)2+(3-句+(9-句+(5-6)2=4,
5
.??這組數(shù)據(jù)的標準差為4=2.
故選:C.
【點睛】本題主要考查了平均數(shù)和標準差,正確得出x的值是解本題的關(guān)鍵.
練習2.甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試,每人10次射擊成績的平均數(shù)均是9.1環(huán),方差分別為
s差=0.9,4=0-8,s奮=0.2,s1=0.5,則射擊成績最穩(wěn)定的是—.
【答案】丙
【分析】本題考查了數(shù)據(jù)的波動,明確方差越小越穩(wěn)定即可解題.
【詳解】看=0.9,S^=0.8,=0.2,芹=0.5,
$丙<$丁<3乙<S甲,
???成績最穩(wěn)定的是丙.
故答案為:丙.
練習3.小明連續(xù)5天的體溫數(shù)據(jù)如下(單位:。C):36.7,36.3,36.6,36.2,36.3,這組數(shù)據(jù)的極差
是0c.
【答案】0.5
【分析】本題考查了極差的定義,極差是最大數(shù)據(jù)和最小數(shù)據(jù)的差,據(jù)此解答.
【詳解】解:這組數(shù)據(jù)的極差是:36.7-36.2=0.5(℃).
故答案為:0.5.
練習4.若五個數(shù)據(jù)2,-1,3,尤,5的極差為8,則x的值為一.
【答案】7或-3
【分析】根據(jù)題目給的數(shù)據(jù)和極差的定義,可分兩種情況討論:x是最大值和尤是最小值,分別列式計
算,可求解.
【詳解】解:由題意可得:極差是8,故x不可能是中間值,
若x是最大值,則x-(T)=8,x=7,
若X是最小值,則5-x=8,x=-3,
則x的值為7或-3,
故答案為:7或-3.
【點睛】本題考查了極差的定義,熟記概念是解題的關(guān)鍵.
1.某班級學(xué)生期末操行評定從德、智、體、美、勞五方面按2:3:2:2:1確定成績,小明同學(xué)本學(xué)期五方面
得分如圖所示,則他期末操行得分為一分.
體美
【答案】9
【分析】本題考查了求平均數(shù),熟記加權(quán)平均數(shù)公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式計算即可
得解.
10x2+9x3+8x2+9x2+9x1
【詳解】解:由題意可得,(分),
2+3+2+2+1
答:他期末操行得分為9分.
故答案為:9.
2.某校在12月9日舉辦了以“不忘國恥振興中華”為主題的合唱比賽,每支參賽隊的最終成績按歌曲內(nèi)容
占30%,演唱技巧占50%,精神面貌占20%進行考評.八一班參賽歌曲內(nèi)容獲得90分,演唱技巧獲得94
分,精神面貌獲得95分,則八一班的最終成績是一分.
【答案】93
【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算方法,掌握權(quán)的分配是解題的關(guān)鍵.
根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列式計算即可.
【詳解】解:根據(jù)題意,八一班的最終成績是:30%x90+50%x94+20%x95=93(分).
故答案為:93.
3.中衛(wèi)三中規(guī)定學(xué)生體育成績滿分為100分,按課外活動成績、期中成績、期末成績2:3:5的比計算學(xué)
期成績,小明同學(xué)本學(xué)期三項成績依次為90分、80分、90分,則小紅同學(xué)本學(xué)期的體育成績是一分.
【答案】87
【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)的求法,根據(jù)題中條件,利用加權(quán)平均數(shù)的求解公式代值求解即可得到答
案,熟記加權(quán)平均數(shù)公式是解決問題的關(guān)鍵.
【詳解】解:,??中衛(wèi)三中規(guī)定學(xué)生體育成績滿分為100分,按課外活動成績、期中成績、期末成績2:3:5的
比計算學(xué)期成績,小明同學(xué)本學(xué)期三項成績依次為90分、80分、90分,
.?.小紅同學(xué)本學(xué)期的體育成績是90x—2^+80x一3一+90x.5:”87分,
2+3+52+3+52+3+5
故答案為:87.
4.在前三場擊球游戲中,王新同學(xué)得分分別為139,143,144,為使前4場的平均得分為145,第四場他應(yīng)得
分.
【答案】154
【分析】此題考查了利用平均數(shù)求未知數(shù)值,用平均數(shù)乘以數(shù)據(jù)個數(shù)減去已知數(shù)據(jù)即可得到答案.
【詳解】解:根據(jù)題意可得,145x4-139-143—144=154,
即第四場他應(yīng)得154,
故答案為:154
5.已知一組數(shù)據(jù)°、b、c的平均數(shù)為5,那么數(shù)據(jù)a-2、b—2、c-2的平均數(shù)是
【答案】3
【分析】本題考查了算術(shù)平均數(shù);
根據(jù)數(shù)據(jù)。、b、c的平均數(shù)為5求出a+人+c=15,然后根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計算方法求解即可.
【詳解】解:由題意得:£±|±£=5,
/.a+b+c=15,
-2+h-2+c-215-2-2-2
數(shù)據(jù)。-2、b-2、c-2的平均數(shù)為:°a一+丁匕丁,=3,
故答案為:3.
6.張老師把七年級2班第三組五名同學(xué)的成績簡記為+10,-5,0,-8,-3,又知道記為0的實際成績
表示90分.
(1)成績最高是多少分?成績最低是多少分?
(2)這5名同學(xué)的平均成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>
【答案】(1)成績最高是100分.成績最低是82分
(2)五位同學(xué)平均成績是88.8
【分析】本題考查的是正負數(shù)的含義,有理數(shù)的混合運算的實際應(yīng)用,理解題意是關(guān)鍵;
(1)由超過最多的分數(shù)加上基準分可得最高分,由不足最多的加上基準分可得最低分數(shù);
(2)設(shè)這5名同學(xué)的平均成績?yōu)闊o分,利用總分不變列方程求解即可.
【詳解】(1)解:成績最高:90+10=100,成績最低:90-8=82;
答:成績最高是100分.成績最低是82分;
(2)設(shè)這5名同學(xué)的平均成績?yōu)閤分,
由題意,得5x=90x5+(10-5+0-8-3).
解得x=88.8.
答:五位同學(xué)平均成績是88.8.
7.某班為了從甲、乙兩同學(xué)中選出班長,進行了一次演講答辯和民主測評,A、B,C、D,E五位老師作
為評委對“演講答辯”情況進行了評價,全班50位同學(xué)參與了民主測評,結(jié)果如下表:
表1演講答辯得分表(單位:分)
ABCDE
甲9092949588
乙8986879491
表2民主測評票數(shù)統(tǒng)計表(單位:張)
“好”票數(shù)“較好”票數(shù)“一般”票數(shù)
甲4073
乙4244
規(guī)則:
①演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分后,再算出平均分”的方法確定;
②民主測評得分=“好”票數(shù)x2分+“較好”票數(shù)x1分+“一般”票數(shù)x0分;
③演講答辯得分和民主測評得分按4:6確定權(quán)重,計算綜合得分,請你計算一下甲、乙的綜合得分,選出
班長.
【答案】見解析
【分析】本題考查了平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的概念及應(yīng)用,首先分別求出甲、乙兩位選手各自演講答辯的平
均分,然后根據(jù)平均數(shù)的概念分別計算出甲、乙兩位選手的民主測評分,最后根據(jù)不同權(quán)重計算加權(quán)成
績.
【詳解】解:甲演講答辯的平均分為:;二92;
乙演講答辯的平均分為:QQ4-R;7+Q1=89;
甲民主測評分為:40x2+7x1=87;
乙民主測評分為:42x2+4x1=88;
92x4+87x6
,甲綜合得分:
4+6
89x4+88x6
乙綜合得分:=88.4
4+6
89>88.4,
???應(yīng)選擇甲當班長.
易錯點三:混淆極差、方差的定義
極差:最大值與最小值的差
2
方差:一般地,各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)?=:[(%—元)2+(X2-X)+.??+(%?-xf.
方差的算術(shù)平方根S就是標準差.方差越大,說明數(shù)據(jù)的波動越大,越不穩(wěn)定.
易錯提醒:須記住對應(yīng)的定義,不能因為都有“差”就覺得一樣
@00?
例5.一組數(shù)據(jù)2,1,4,X,6的平均值是4,則X的值為()
A.3B.5C.6D.7
【答案】D
【分析】本題考查了算術(shù)平均數(shù),可直接根據(jù)平均數(shù)的定義列方程求解.
【詳解】解::一組數(shù)據(jù)2,1,4,x,6的平均值是4,
(2+l+4+x+6)+5=4,
解得x=7,
故選:D.
例6.睡眠管理作為“五項管理”中重要的內(nèi)容之一,也是學(xué)校教育重點關(guān)注的內(nèi)容.某老師了解到某班40
位同學(xué)每天睡眠時間(單位:小時)如下表所示,則該班級學(xué)生每天的平均睡眠時間是一小時.
睡眠時間8小時9小時10小時
人數(shù)62410
【答案】9.1
【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù),根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法,進行求解即可.
8x6+9x24+10x10…
【詳解】解:---------------------------=9.1(小時),
40
即該班級學(xué)生每天的平均睡眠時間是9.1小時.
故答案為:9.1.
練習1.為進一步增強文化自信,肩負起傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的歷史責任,某校舉行了“誦讀國學(xué)經(jīng)
典傳承中華文明”演講比賽.演講得分按“演講內(nèi)容”占40%,“語言表達”占40%,“形象風度”占10%,“整
體效果”占10%進行計算,小穎這四項的得分依次為85,88,92,90,則她的最后得分是一分.
【答案】87.4
【分析】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法.根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算可得.
【詳解】解:她的最后得分是85x40%+88x40%+92xl0%+90xl0%=87.4(分),
故答案為:87.4.
練習2.在數(shù)據(jù)4,5,6,5中添加一個數(shù)據(jù)后,使其平均數(shù)不發(fā)生變化,則你添加的這個數(shù)可以是—.
【答案】5
【分析】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù),先求出原數(shù)據(jù)的平均數(shù),添加一個數(shù)使得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)
不變,則添加的數(shù)即為原數(shù)據(jù)的平均數(shù),據(jù)此可得答案.
【詳解】解:???數(shù)據(jù)4,5,6,5的平均數(shù)為4+5:6+5=5,
4
添加一個數(shù)據(jù)后,使其平均數(shù)不發(fā)生變化,則添加的數(shù)為5,
故答案為:5.
練習3.杭州亞運會射箭比賽中,某運動員6箭的成績(單位:環(huán))依次是巧,x3,西+1,%+2,
電+3若前3箭的平均成績?yōu)?環(huán),則這6箭的平均成績?yōu)橐画h(huán).
【答案】8
【分析】本題考查了平均數(shù)的計算,掌握平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)前3箭的平均成績?yōu)?
環(huán),可得為+々+斗=21,再計算6箭的平均成績,化簡為含有&+%+工)的算式,即可求出結(jié)果.
【詳解】解:,?,前3箭的平均成績?yōu)?環(huán),
.占+%+2小
"3-'
石+/+%3=21,
,這6箭的平均成績?yōu)闉?々W+(為+1)+(%+2)+(玉+3)=2(陽+々+馬)+6=2x21+6=8
‘6―6-—6
故答案為:8.
練習4.已知一組數(shù)據(jù)為,與三,七的平均數(shù)是5,則數(shù)據(jù)占+1,%+2,W+3,%+4的平均數(shù)是
【答案】7.5
【解析】略
1.體育課上,九(1)班兩個組各10人參加跳繩測試,要判斷哪一組成績比較整齊,通常需要知道這兩
個組跳繩測試成績的()
A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差
【答案】D
【分析】本題考查了方差的意義,根據(jù)方差越小,數(shù)據(jù)波動越小,越穩(wěn)定,解答即可.
【詳解】根據(jù)方差越小,數(shù)據(jù)波動越小,越穩(wěn)定,
故選D.
2.已知一個樣本數(shù)據(jù)為2,3,4,5,6,則這組數(shù)據(jù)的方差和標準差分別是()
A.2、0B.3、百C.0、2D.出、3
【答案】A
【分析】此題考查計算方差和標準差,熟練掌握計算公式是解題的關(guān)鍵,先求出數(shù)據(jù)的平均數(shù),再根據(jù)方
差及標準差公式求出方差.
【詳解】解:這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=2+3+;+5+6=4,
方差=;x-4)2+(3-4)2+(4-4+(5-4)2+(6.4)1=2,
標準差=拒,
故選:A.
3.如圖是根據(jù)某打繩巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量(單位:噸)繪制成的折線統(tǒng)計圖.則這
組數(shù)據(jù)的方差是—.
【答案】8
【分析】本題主要考查了折線統(tǒng)計圖,求方差,先根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),進而求出這
組數(shù)據(jù)的方差即可得到答案.
【詳解】解;這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為?+5+;+9+H=7,
??.這組數(shù)據(jù)的方差為G-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(11-7)、&,
5
故答案為:8.
4.數(shù)據(jù)2,x,4,2,8,5的平均數(shù)為6,這組數(shù)據(jù)的極差為一.
【答案】13
【分析】考查了平均數(shù)和極差公式,極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小,求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中
的最大值減去最小值,由平均數(shù)公式求出x,再根據(jù)極差的公式:極差=最大值-最小值求解即可.
【詳解】解根據(jù)題意得:2+x+4+2+8+5=6?6
解得:丈=15
極差:15-2=13,
故答案為13.
5.已知2,3,5,優(yōu),“五個數(shù)據(jù)的方差是16,那么3,4,6,m+1,〃+1五個數(shù)據(jù)的標準差是.
【答案】4
【分析】先設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為無,即可得出新數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出原來的方差,和現(xiàn)在的方差,進而
得出標準差.
【詳解】解:由題意知,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為無,新數(shù)據(jù)的每一個數(shù)都加了1,則平均數(shù)變?yōu)?+1,
1———
則原來的方差s;=-x)2+(4-x)2+.??+(演-x)2]=16,
5
1———
2
現(xiàn)在的方差S;=一[(為+1-X-1)+(4+1-X-L)2+???+(x5+l-X~L)2]
5
=-[(^-X)2+(入2-X)2+??,+(才5-X)2]=16.
5
所以方差不變,標準差為4.
故答案為:4.
【點睛】本題主要考查了方差,方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量,每個數(shù)都加1所以波動不會變,
方差不變,即數(shù)據(jù)的波動情況不變.
6.若3,a,4,6,5的平均數(shù)是4,則這組數(shù)據(jù)的標準差是—.
【答案】V2
【分析】先根據(jù)求平均數(shù)的方法,求出。的值,再根據(jù)標準差的公式,求出標準差即可.
【詳解】V3,。,4,6,5的平均數(shù)是4
3+Q+4+6+5.
/.-------------------=4
5
a=2
:.S=J|[(3-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(5-4)2]=41
故答案為:72.
【點睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù),標準差的計算,熟知相應(yīng)公式,并進行準確計算是解題的關(guān)鍵.
7.有一組數(shù)據(jù)如下:5,6,7,a,9,它們的平均數(shù)是7,那么這組數(shù)據(jù)的標準差是()
A.10B.V10C.2D.72
【答案】D
【分析】根據(jù)平均數(shù)求出再根據(jù)方差公式求出方差,再根據(jù)標準差的定義即可得出答案.
【詳解】???這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7
1x(5+6+7+a+9)=7,
*,*<3=8,
s)=:[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)〃=2,
s="\/2
故選:D.
【點睛】本題考查了標準差的計算,掌握標準差的計算方法是解本題的關(guān)鍵.
易錯點四:含參求“三數(shù)”忽略分類討論
易錯提醒:在求眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)時,如果是一組含有未知數(shù)的數(shù)據(jù)就要分類討論。其實對于此類題
目的解題本質(zhì)還是掌握好眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的概念以及聯(lián)系、區(qū)別,再對未知數(shù)可能取值的范圍進行
分類討論就可順利解決。
?0?S
例7.一組數(shù)據(jù)6,8,10,X的中位數(shù)與平均數(shù)相等,則無的值不可能是()
A.4B.6C.8D.12
【答案】B
【分析】本題結(jié)合平均數(shù)考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力.涉及到分類討論思想,根據(jù)中位數(shù)的值與
大小排列順序有關(guān),而此題中x的大小位置未定,故應(yīng)該分類討論x所處的所有位置情況:從小到大(或
從大到?。┡帕性谥虚g(在第二位或第三位結(jié)果不影響);結(jié)尾;開始的位置.
【詳解】解:(1)將這組數(shù)據(jù)從大到小的順序排列為10,8,無,6,
處于中間位置的數(shù)是8,x,
那么由中位數(shù)的定義可知,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(8+x)+2,
平均數(shù)為(10+8+x+6)+4,
?.?數(shù)據(jù)10,8,x,6,的中位數(shù)與平均數(shù)相等,
(8+x)+2=(10+8+x+6)+4,
解得x=8,大小位置與8對調(diào),不影響結(jié)果,符合題意;
(2)將這組數(shù)據(jù)從大到小的順序排列后10,8,6,x,
中位數(shù)是(8+6)+2=7,
此時平均數(shù)是(10+8+x+6)+4=7,
解得x=4,符合排列順序;
(3)將這組數(shù)據(jù)從大到小的順序排列后x,10,8,6,
中位數(shù)是。。+8)+2=9,
平均數(shù)(1。+8+%+6)+4=9,
解得x=12,符合排列順序.
;.x的值為4、8或12,不可能是6.
故選:B.
例8.已知數(shù)據(jù)4,4,6,6,8,a的中位數(shù)是5,如果這組數(shù)據(jù)有唯一的眾數(shù),那么a的值為—.
【答案】4
【分析】根據(jù)這組數(shù)據(jù)有唯一的眾數(shù)可得。=4或a=6,再分別求出當。=4和。=6時這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即
可得到答案.
【詳解】解:???數(shù)據(jù)4,4,6,6,8,。有唯一的眾數(shù),
??6Z—48立Q=6,
4+6
當Q=4時,這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4,4,4,6,6,8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為言=5,符合題意;
當。=6時,這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4,4,6,6,6,8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為審=6,不符合題
忌;
〃=4,
故答案為:4.
【點睛】本題主要考查了求中位數(shù)和求眾數(shù),正確根據(jù)有唯一的眾數(shù)確定出。=4或。=6是解題的關(guān)鍵.
練習1.己知一組數(shù)據(jù)-20、1「2、-3、1*有唯一眾數(shù),那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.
【答案】-2或0/0或-2
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義,結(jié)合有唯一眾數(shù)分類討論x的取值,排序即可得到答案;
【詳解】解:\?數(shù)據(jù)-2。1「2、-3、1J有唯一眾數(shù),
;.尤等于-2或1,
當x=-2時,中位數(shù)為-2,
當x=l時,中位數(shù)為0,
故答案為:-2或0;
【點睛】本題考查眾數(shù)的定義及中位數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是分類討論.
練習2.若四個互不相等的正整數(shù)中,最大的數(shù)是8,中位數(shù)是4,則這四個數(shù)的和是—.
【答案】17或18/18或17
【分析】本題考查中位數(shù),掌握一組數(shù)據(jù)從小到大排列后居于中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)
的中位數(shù)是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:\?中位數(shù)為4,
第二、三個數(shù)的和為8,
:這四個數(shù)是不相等的正整數(shù),
第二、三個數(shù)為3、5或2、6,
這四個數(shù)為1、3、5、8;2、3、5、8或1、2、6、8,
.?.這四個數(shù)的和為17或18,
故答案為:17或18.
練習3.若一組數(shù)據(jù)2,6,3,5,x的平均數(shù)與中位數(shù)相同,則實數(shù)尤的值可以是.
【答案】T或4或9
【分析】本題考查了平均數(shù)與中位數(shù)的定義,根據(jù)題意,平均數(shù)與中位數(shù)相同建立等價的式子,靈活運用
分類討論思想,解出即可作答.
2+6+3+5+x16+x
【詳解】解:平均數(shù):
55
當尤<2,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得x,2,3,5,6,
此時中位數(shù)為3
因為平均數(shù)與中位數(shù)相同
則—3
解得*=滿足條件;
當2<x<3,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得2,x,3,5,6,
此時中位數(shù)為3
因為平均數(shù)與中位數(shù)相同
則—3
解得x=-1,不滿足條件2〈尤<3,故舍去;
當3Vx<5,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得2,3,x,5,6,
此時中位數(shù)為x
因為平均數(shù)與中位數(shù)相同
解得x=4,滿足條件3cx<5;
當5<x<6,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得2,3,5,%,6,
此時中位數(shù)為5
因為平均數(shù)與中位數(shù)相同
解得x=9,不滿足條件5<x<6,故舍去;
當6<x,則一組數(shù)據(jù)從小到大排序得2,3,5,6,尤,
此時中位數(shù)為5
因為平均數(shù)與中位數(shù)相同
解得尤=9,滿足條件6<x;
綜上:實數(shù)尤的值可以是T或4或9
故答案為:-1或4或9
練習4.一組數(shù)據(jù)5,7,x,7中位數(shù)與平均數(shù)相等,則無的值是—.
【答案】5或9/9或5
【分析】根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義就可以解決.中位數(shù)可能是7或6.
【詳解】解:當尤27時,中位數(shù)與平均數(shù)相等,則得到:;(7+7+5+%)=7,解得x=9;
當x45時::(7+7+5+%)=6,解得:x=5;
當5<x<7時:(7+7+x+5)+4=(x+7)+2,解得左=5,舍去.
所以x的值為5或9.
故答案為:5或9.
【點睛】本題考查中位數(shù),算術(shù)平均數(shù).掌握中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
1.一組數(shù)據(jù)有5個自然數(shù):4,5,5,x,?這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4,唯一的眾數(shù)是5,那么,所有滿足條
件的x、y中,x+>的最大值是.
【答案】5
【分析】本題主要考查中位數(shù)、眾數(shù)的定義以及利用中位數(shù)、眾數(shù)求未知數(shù)的值,根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定
義結(jié)合唯一的眾數(shù)是5,可知根據(jù)中位數(shù)為4可知x<4,y<4,又知小y是自然數(shù),據(jù)此得出
無、y的所有可能的取值,并求出x+>可能的最大值即可.
【詳解】解:由于唯一的眾數(shù)是5,中位數(shù)為4,
所以x,y不相等且x<4,y<4,
所以x、>的取值可能是0,1,2,3,
于是得了+y的最大值為2+3=5.
故答案為:5.
2.一組從小到大排列的數(shù)據(jù):x,3,4,4(尤是正整數(shù)),唯一的眾數(shù)是4,則數(shù)據(jù)x是—.
【答案】1或2/2或1
【分析】首先根據(jù)唯一的眾數(shù)是4得到XN4,然后根據(jù)從小到大排列求解即可.
【詳解】???一組從小到大排列的數(shù)據(jù):無,3,4,4(尤是正整數(shù)),唯一的眾數(shù)是4,
???唯一的眾數(shù)是4,
x44
?.?是從小到大排列,
x=1或2.
故答案為:1或2.
【點睛】本題考查了眾數(shù),解題關(guān)鍵掌握眾數(shù)的概念.
3.五個正整數(shù)的中位數(shù)是5,唯一的眾數(shù)是7,且這五個正整數(shù)的平均數(shù)為4.8,則這五個正整數(shù)中小于5
的是
【答案】1,4或2,3
【分析】設(shè)小于5的正整數(shù)為a,b,根據(jù)五個正整數(shù)的平均數(shù)為4.8得:a+6+;+7+7=4.8,求得。+8
后即可求得本題答案.
【詳解】解:設(shè)小于5的正整數(shù)為a,b,
ir-tir-j口H”,口〃+Z?+5+7+7c
根據(jù)題意得:-------------------=4.8,
解得:a+b=5,
小于5的兩數(shù)可以是1,4或2,3,
故答案為:1,4或2,3.
【點睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到小于5的兩數(shù)的和,難度不大.
4.一組數(shù)據(jù)1,2,46x的中位數(shù)和平均數(shù)相等,則x的值是
13
【答案】-3或7或三
4
【分析】本題考查了中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù),根據(jù)中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的意義列方程即可求解,掌握中位
數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解::這組數(shù)據(jù)的個數(shù)為5,
.??這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能為2,4,x,
解得x=-3;
當中位數(shù)為4時,
l+2+4+6+x/
5=’
解得x=7;
當中位數(shù)為x時,
l+2+4+6+x
5一"'
解得%=—13;
4
13
故答案為:-3或7或三.
4
5.一組數(shù)據(jù):“3,6,3,5,a,3”的平均數(shù)和中位數(shù)相同,則〃的值是—.
【答案】-2
【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)“3,6,3,5,〃,3”的平均數(shù)和中位數(shù)相同和分類討論的方法,可以求得〃的值.
【詳解】解:??,一組數(shù)據(jù):36,3,5,a,3”的平均數(shù)和中位數(shù)相同,
???當々K3時,
1
—x(〃+3+3+3+5+6)=(3+3)+2
6
解得a=-2;
當3<〃45時,
1
—x(3+3+3+Q+5+6)=(3+Q)+2
6
解得〃=5.5(不合題意,舍去);
當a>5時,
1
—x(3+3+3+5+a+6)=(3+5)+2
6
解得Q=4(不合題意,舍去);
故答案為:-2.
【點睛】本題考查中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,求出〃的值.
6.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行,為調(diào)查學(xué)生對杭州亞運會的了解情況,
學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生進行“我所了解的杭州亞運會”問卷調(diào)查,規(guī)定每人必須且只能在“非常了解”“一般
了解”“有點了解”“很不了解”四個選項中選擇一項,并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
人數(shù)
70非常
60
50
40
30
20
10nr11
01非常一般有點
了解了解了解
請根據(jù)上面提供的信息,解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,該校一共抽樣調(diào)查了名學(xué)生,扇形統(tǒng)計圖中“非常了解”項目所對應(yīng)的扇形圓心角
的度數(shù)是°,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)若該校共有1200名學(xué)生,試估計該校學(xué)生中知道第19屆杭州亞運會的人數(shù)(知道包括“有點了解”“一般
了解”和“非常了解”);
(3)學(xué)校在選擇“非常了解”的學(xué)生中任選6名進行“亞運知識我知道”小測試,其中5名學(xué)生的分數(shù)(單位:
分)分別為76,84,92,80,80,這6名學(xué)生的分數(shù)的中位數(shù)為81,求第6名學(xué)生的分數(shù).
【答案】(1)160;157.5;見解析
(2)1050名
(3)82分
【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,用樣本估計總體,中位數(shù).
(1)根據(jù)選項“有點了解”的人數(shù)與百分比,即可求出總?cè)藬?shù);根據(jù)“非常了解”的人數(shù)與總?cè)藬?shù)求出所占百
分比,再乘以360。即可得到圓心角的度數(shù);根據(jù)總?cè)藬?shù)與其他三個選項的人數(shù),求出“很不了解”的人數(shù),
即可補全條形統(tǒng)計圖.
(2)全校學(xué)生人數(shù)乘以樣本中知道第19屆杭州亞運會的比例,即可解答.
(3)將已知5名學(xué)生的分數(shù)從小到大排列為76,80,80,84,92,設(shè)第6名學(xué)生的分數(shù)為羽分3種情況
討論:①尤(80,②xW84,③80cx<84,根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解.
【詳解】(1)該校一共抽樣調(diào)查學(xué)生40-25%=160(名),
“非常了解”項目所對應(yīng)的扇形圓心角會70、360。=157.5。,
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