2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式（九大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第01講三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1:三角函數(shù)基本概念......................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系..................................................5

知識(shí)點(diǎn)3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式......................................................6

解題方法總結(jié)....................................................................6

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別.........................................6

題型二：等分角的象限問題........................................................8

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算...............................................8

題型四：割圓術(shù)問題.............................................................10

題型五：三角函數(shù)的定義.........................................................11

題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值........................................12

題型七：弦切互化求值...........................................................13

題型八：誘導(dǎo)求值與變形.........................................................14

題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用............................15

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................17

05課本典例?高考素材............................................................18

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................19

易錯(cuò)點(diǎn)：不能理解三角函數(shù)的定義................................................19

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)此也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考

(1)三角函數(shù)基本概念

2023年甲卷第14題，5分查，將三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)

(2)任意角的三角函數(shù)

2022年浙江卷第13題，5分系式和誘導(dǎo)公式綜合起來考查，且考查得

(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)

2021年甲卷第8題，5分較為靈活，需要深入理解概念、熟練運(yùn)用

系

公式.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.

(2)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin'a+cos2a=1,^^=tana.

cosa

(3)掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

角可以看成平面內(nèi)一

條射線繞著端點(diǎn)從一

個(gè)位置旋踏到另一個(gè)

位置所成的圖形

歌限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)量合，角的始邊

與X軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的底邊在

第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果

角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于浮動(dòng)主題）

任何一個(gè)象限.

/第?象限角：（al"ir<av2AF+WU-eZ））

一［第二象限仰W2"+興a<2/y+7T.*eZ｝］

J（象限角的集合表示方法〕

一|第三象限角：（alUF+ir<a<2AF+爭(zhēng)

第四象限角：（MUF+要<?<2*“+2E4?西］

考點(diǎn)突確.題理輝寶

------

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:三角函數(shù)基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖

形；

②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S=加忸=h360o+a,kez}.

(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：｛al2Air<a<2JtTT+貿(mào)"GZ｝

第二象限角：｛al2LTr+3<a<2A：Tr+7r"GZ｝

第三象限角：｛a\2kir+Tt<a<2kTr+,^-,kE.Z）

第四象限角：｛al24F+要<a<2"+2iMGZ｝

2、弧度制

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)加d表示，讀作弧度.正角

的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

（2）角度制和弧度制的互化：18O0=^rad,l0=^-rad,IradJ'。

180n

(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：/=|葉r,扇形的面積公式：S=|zr=||a|-r2.

3、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x,y)時(shí)，則sina=y,cosa=x,tancr=—(x^O).

x

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)PP{x,y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到原

點(diǎn)。的距離為r,貝!|sina=2,cosa=—,tana=—(%^0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號(hào)符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sinaR++一一

cosaR+一一+

JI

tana\a\a^kn——,keZ}+—+—

2

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4、三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過P作PMlx軸，垂足為過A(1,0)作單位圓的切

線與a的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.

【診斷自測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于|■的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的

角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

知識(shí)點(diǎn)2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2tz=l.

(2)商數(shù)關(guān)系：sina=tana(a*工+fcr)；

cosa2

【診斷自測(cè)】(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非

負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(3,4),則sin“+2cos"=()

coscr-sincr

A.11B.-10C.10D.-11

知識(shí)點(diǎn)3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式—三四五六

7171

角2左"+a(kGZ)〃+a—ccn-a-----a----FCC

22

正弦sina—sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作“?工土a；

2

（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷〃?三士。所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）

2

當(dāng)〃為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

【診斷自測(cè)】（2024.河南信陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）若sin[a+mj=：,則85卜+m）=（）

叵

A.B.c

44-4

解題方法總結(jié)

1、利用sin2a+cos2e=l可以實(shí)現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用2!吧=tana可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切

cosa

互化.

2、44sin6Z+cosa,sinacosa,sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2。

(sina-cosa)2=sin2a+cos2a—Ismacosa=1—sin2a

(sina+cosa)2+(sina—cosa)2=2

題型洞察

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

【典例1-1]集合A={al<z=—2024。+Q180。,左€2}中的最大負(fù)角。為（）v

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24(

【典例1-2】(2024.湖北?模擬預(yù)測(cè))若角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線

y=A上，則角。的取值集合是()

A.\a\a=2fai+y,^ezjB.+EZ：

C.卜+■，&eD.ja|a=fc7t+y,Z:eZ>

【方法技巧】

(1)終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決.

(2)注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳

角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角.

C.|---^-+2kn<a<{2k-\)n,keD.|-^+2kn<a<2kn,keZj

【變式1-2】用弧度制分別表示每個(gè)圖中頂點(diǎn)在原點(diǎn)、始邊重合于x軸的非負(fù)半軸、終邊落在陰影部分內(nèi)

(包括邊界)的角的集合.

【變式1-3】已知角a的集合為"={00=30。+入90o/eZ},回答下列問題:

(1)集合M中有幾類終邊不相同的角？

(2)集合M中大于一360。且小于360。的角是哪幾個(gè)？

(3)求集合M中的第二象限角B.

題型二：等分角的象限問題

【典例2-1】已知。是第二象限角，則（）

A.合是第一象限角B.sin—>0

2

C.sin2a<0D.2a是第三或第四象限角

【典例2-2】（2024?高三.湖北黃岡?期中）若角a滿足。=當(dāng)+?。?^@,則a的終邊一定在（）

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D.第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

【方法技巧】

先從a的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）日的象限分布圖示.

n

【變式2-1］已知sina>0,cos（z<0,則彳的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【變式2-2】若角a是第二象限角，則角2a的終邊不可能在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限

（7（yzy

【變式2-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知角a第二象限角，且cos'ucos,,則角￡是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算

【典例3-1］（2024.內(nèi)蒙古呼和浩特.一模）用一個(gè)圓心角為120。，面積為3萬(wàn)的扇形OMN（。為圓心）用

成一個(gè)圓錐（點(diǎn)",N恰好重合），該圓錐頂點(diǎn)為尸，底面圓的直徑為A3,貝Ucos/APB的值為—.

【典例3-2】若扇形的周長(zhǎng)為18,則扇形面積取得最大值時(shí)，扇形圓心角的弧度數(shù)是

【方法技巧】

應(yīng)用弧度制解決問題的方法

（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

（2）求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

（3）在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【變式3-1】已知扇形的周長(zhǎng)為20cm,則當(dāng)扇形的圓心角。=扇形面積最大.

【變式3-2]（2024.黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè)）下圖是第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)

ABCD.已知AB=2兀，AD=3.且該扇環(huán)A3CD的面積為9兀，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，則該圓

19thAsianGames

【變式3-3]（2024?廣東?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中放置著一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形皿，

且滿足尸3與x軸平行，點(diǎn)A在x軸上.現(xiàn)將三角形R1B沿x軸在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)

P（x,y）的軌跡方程是y=f[x）,則/（尤）的最小正周期為—；y=f[x）在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與X軸

【變式3-4】建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我

國(guó)古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)成墻精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚

雕，可視為扇形。截去同心扇形0AB所得部分，己知4）=lm，弧AB=1m,弧CD=^m,則此扇

環(huán)形磚雕的面積為—m2.

題型四：割圓術(shù)問題

【典例44】（2024.貴州銅仁.模擬預(yù)測(cè)）魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周

率兀約等于和兀相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破.若已知兀的近似值

113

71^16-712

還可以表示成4sin52。，則8s43.5』以3.5。出的值約為（)

4

A.—32B.-----C.32D.—

3232

【典例4-2】我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正〃邊形隨著邊數(shù)〃

的無限增大，圓的內(nèi)接正〃邊形的周長(zhǎng)就無限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率兀的近似值.如圖當(dāng)〃=6

兀。工，即乃，3.運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（）

時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為6廠，故

2r

B.〃=12時(shí)，兀a6sinl5

C.〃=12時(shí)，7i?12cosl5D.九二12時(shí)，兀亡24cos15

【方法技巧】

割圓術(shù)是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的方法，用于計(jì)算圓周率。其核心思想是通過不斷倍增圓內(nèi)接正多

邊形的邊數(shù)，使正多邊形的周長(zhǎng)無限接近圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而求得較為精確的圓周率。這一方法體現(xiàn)了極限思

想，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。具體操作為：從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐步分割成正十二邊形、

正二十四邊形等，直至邊數(shù)無法再增，此時(shí)正多邊形的周長(zhǎng)即接近圓周率與直徑的乘積。

【變式4-1]（2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，“割之彌細(xì),

所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直

分割到圓內(nèi)接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內(nèi)接正”邊形與圓內(nèi)接正

2〃邊形分別計(jì)算出的圓周率的比值為（）

【變式4-2]在3世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌

少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以

視為將一個(gè)圓內(nèi)接正“邊形等分成“個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)"越大，等腰三角形的面積之和越近似

等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin5。的近似值為（

題型五：三角函數(shù)的定義

【典例5-1］（2024?江西?二模）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)二（虛,1）,則cosa=

V3

V6C.V2

【典例5-2】（2024.北京房山.一模）已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,把角a的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)|■得

到角夕的終邊，則sin^=（）

A.-tB.1C.-3D.。

5555

【方法技巧】

（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角a終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)可求a的三角函數(shù)值；已知角a的三角函

數(shù)值，也可以求出角a終邊的位置.

（2）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符

號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

【變式5-1］（2024?北京通州三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與無軸的非

4_3

,貝（］cos（兀一2a）=

負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P5，-5

9

25

【變式5-2】已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（l,2sina）,貝ljsina的值不可能是（

【變式5-3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)「、。從點(diǎn)4（1,0）出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按

逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)二弧度，點(diǎn)。按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)坐弧度，則P、。兩點(diǎn)在第1804次相遇時(shí)，點(diǎn)

P的坐標(biāo)是（）

【變式5-4］（2024?山東濟(jì)南.二模）質(zhì)點(diǎn)P和。在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓。上逆時(shí)針作勻速

圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).P的角速度大小為2rad/s,起點(diǎn)為圓。與x軸正半軸的交點(diǎn)；。的角速度大小為

5rad/s,起點(diǎn)為圓。與射線y=-&（xNO）的交點(diǎn).則當(dāng)。與尸第2024次重合時(shí)，P的坐標(biāo)為（）

「2兀.2兀\（5兀.5兀、（兀.兀、（7i.71

A.cos—,sin—B.I-cos—,—sin—IC.cos—,—sin—ID.-cos—,sin一

（99j（99J1^99）99

題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

【典例6-1】（2024?北京海淀?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a以圓為始邊，終邊在第三象限.則

（）

A.sine—cosaWtanaB.sina—cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

【典例6-2］若。是第二象限角,則（）

A.cos（-a）>0B.tan—>0

2

C.sin（兀+a）>0D.cos（兀-a）<0

【方法技巧】

正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；.

余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；.

正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù).

【變式6-1】已知sine-tandc。，且cos"sine<0,則一為（）

2

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四

象限角

sin—2cos—3tan—

777

【變式6-2］（多選題）若角a的終邊在第三象限，則^—J+?—4——券的值可能為（）

sin—cos—tan—

A.0B.2C.4D.-4

【變式6-3］（2024?高三.海南?期末）已知a,尸都是第二象限角，貝廠sin（a-/）<0”是“tanavtan^”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

題型七：弦切互化求值

【典例7-1】（2024?高三?福建泉州?期末）已知eaO.Ti）sineucos，，貝1!sin6tos。=（）

A.-5/2B.--C.yD.y/2

2乙

【典例7-2】已知$吊。+以）$。=385。1411。，則cos2&tana=（）

【方法技巧】

（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函

數(shù)值.

（2）若無象限條件，一般“弦化切”.

【變式7?1］若tan支=2,貝！JsinM（cos，一sin，）=.

sin6—2cos夕則sin%+cos。

【變式7?2】（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知=2,

sin6+cos。2sin6+cos%

【變式7-3］已知tamz=2,則竺（兀-。）空叱=___.

4cosa-sin。

【變式7-4］（多選題）已知sintz-cosa=",0<a<7t,則下列選項(xiàng)中正確的有（）

5

_2_3A/5

A.sinacosa-B.sina+cosa

55

1_5,小

C.tanaH--------D.sina=——

tancr35

【變式7-5］（多選題）已知&7（0,兀）,sina+cosa=—1，則下列結(jié)論中正確的是（）

B.os?-sin?=^

A.sin2a=--C

55

C.cos2a=3

D.tana=-3

5

題型八：誘導(dǎo)求值與變形

【典例8-1】已知cos[a+即=[,則sin[a+^]=()

4334

A.B.D.

555?

【典例8?2】(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知O,5則cosa+)

A.-半27211

D.

丁33

【方法技巧】

(1)誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與工整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任

2

意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù).

(2)通過±2肛土肛士工等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù).

2

(3)a+j3=±2肛±肛±1等可利用誘導(dǎo)公式把?,(5的三角函數(shù)化

【變式8-1](2024?高三?廣東深圳?期中)已知sin1+5)=g,則cos[af=()

43-43

A.——B.--C.一D.-

5555

【變式8-2]若sin]'兀)1則cos(2+tz]等于()

A.一正B.受

C.--D.-

3333

【變式(?江西九江?三模)若卜；則卜(

8-3]20242sin[a+gcos[a-)

A.-4-73B.-4+73C.4-73D.4+73

題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

.|5兀)(371Y2/

sin-a-----icosi------\-aItan(兀一a

2

【典例9-1】已知——-

71

COS-—CCsin(兀+a)

⑴化簡(jiǎn)7(0；

(2)若/(a)=2,求sin2a-3sinacosa的值；

⑶若/a+f]=3,求sin(a-g)的值.

【典例9-2]已矢口(：05(0+3兀)+2sin(a+6兀)=0.

⑴求tana的值；

.2(3兀)

sina+5ccosa-\-----cosa_

(2)求I2J的值.

2+2cos2a

【方法技巧】

（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使

用公式進(jìn)行變形.

（2）注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響.

【變式9-1】已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（3,y）,且tane=-g.

(1)求sina+cosa的值;

sin(7i-cr)+2cos(7i+cr)

(2)求.(3f3的值.

sin-Tt-a-cos—n+a

UJUJ

兀

［變式9-2】已知janm+")c°s(2"-a)sin1+①

cos(7i-6z)tan(-6z)

(1)化簡(jiǎn)/(a)

(2)若ae(0,2n),且/(夕)=-咚，求。的值.

(3)若a是第三象限角，且sin(7r+c)=|,求/(兀-⑶的值.

【變式9-3］在單位圓中，銳角a的終邊與單位圓相交于點(diǎn)尸加,,連接圓心0和尸得到射線。尸，將

射線0P繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。后與單位圓相交于點(diǎn)B,其中。e

4sin31a+—I+2sin21--a|-4cos(a+n)

⑴求I2)(2J,'的值；

2+2cos2(5兀+a)+cos(-a)

⑵記點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為〃e),若求儂,-其+3,-?勺值.

【變式9-4］在平面直角坐標(biāo)系中，銳角a,夕均以O(shè)x為始邊，終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A,B,已知點(diǎn)

,一35

A的縱坐標(biāo)為三，點(diǎn)、B的橫坐標(biāo)為—.

（1）直接寫出tana和sinp的值，并求tan（a-6）的值;

兀

2sin(7i-a)+sin(—+a)

⑵求的值;

cos(B-a)-cos(37i+a)

JT

⑶將點(diǎn)A繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/導(dǎo)到點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

3

1.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)甲：sin2a+sin2/7=l,乙：sina+cos^=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

2.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了

計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是A3的中點(diǎn)，D在AB上，

CD1

“會(huì)圓術(shù)”給出AB的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+寡■.當(dāng)。4=2,ZAO8=60。時(shí)，

s=()

O

A11-373口11-4百「9-3巾n9-4^

2222

3.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)xeR,則“sinx=l”是，cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式-720。4尸4360。的元素夕:

（1）130318';

（2）-225.

2.每人準(zhǔn)備一把扇形的扇子，然后與本小組其他同學(xué)的對(duì)比，從中選出一把展開后看上去形狀較為美觀

的扇子，并用計(jì)算工具算出它的面積》.

（1）假設(shè)這把扇子是從一個(gè)圓面中剪下的，而剩余部分的面積為S2,求&與邑的比值；

（2）要使y與S,的比值為0.618,則扇子的圓心角應(yīng)為幾度（精確到1。）?

3.（1）時(shí)間經(jīng)過4〃（時(shí)），時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？各等于多少弧度？

（2）有人說，鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)會(huì)重合24次。你認(rèn)為這種說法是否正確？請(qǐng)說明理由.

（提示：從午夜零時(shí)算起，假設(shè)分針走了〃"譏會(huì)與時(shí)針重合，一天內(nèi)分針和時(shí)針會(huì)重合”次，建立f關(guān)于

〃的函數(shù)解析式，并畫出其圖象，然后求出每次重合的時(shí)間）

4.已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒.

（1）當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，求小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；

（2）如果大輪的轉(zhuǎn)速為180r/min（轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10.5cm,那么小輪周上一點(diǎn)每Is轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是

多少？

5.化簡(jiǎn)J罟電4pz包吧,其中a為第二象限角.

V1-sinerV1+sin67

6.(1)分別計(jì)算sin,三-cos］和sin2g_cos2g的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(2)任取一個(gè)。的值，分別計(jì)算sin%-cos,a,sir??！猚os?戊，你又有什么發(fā)現(xiàn)?

(3)證明：VxeR,sin2x-cos2x=sin4x-cos4x.

㈤6

〃易錯(cuò)分析?答題模板\\

易錯(cuò)點(diǎn)：不能理解三角函數(shù)的定義

易錯(cuò)分析：利用定義求任意角的三角函數(shù)時(shí)，要根據(jù)條件選擇不同的解法，看所給的條件是終邊與單

位圓的交點(diǎn)還是終邊上的任意一點(diǎn).

【易錯(cuò)題1】(2024?山東青島?一模)已知角，終邊上有一點(diǎn)尸［tan：兀,2sing17

—71，貝1Jcose的值為()

A—c

,2B-4--f

【易錯(cuò)題2】(多選題)若角。的終邊上有一點(diǎn)尸(-4M),且sina.cosa=3,則。的值為()

4

4石

A.4^3C.-473D.

第01講三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：三角函數(shù)基本概念......................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系..................................................5

知識(shí)點(diǎn)3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式......................................................6

解題方法總結(jié)....................................................................6

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別.........................................6

題型二：等分角的象限問題........................................................8

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算...............................................8

題型四：割圓術(shù)問題.............................................................10

題型五：三角函數(shù)的定義.........................................................11

題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值........................................12

題型七：弦切互化求值...........................................................13

題型八：誘導(dǎo)求值與變形.........................................................14

題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用............................15

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................17

05課本典例?高考素材............................................................18

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................19

易錯(cuò)點(diǎn)：不能理解三角函數(shù)的定義................................................19

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)此也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考

(1)三角函數(shù)基本概念

2023年甲卷第14題，5分查，將三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)

(2)任意角的三角函數(shù)

2022年浙江卷第13題，5分系式和誘導(dǎo)公式綜合起來考查，且考查得

(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)

2021年甲卷第8題，5分較為靈活，需要深入理解概念、熟練運(yùn)用

系

公式.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.

(2)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin'a+cos2a=1,^^=tana.

cosa

(3)掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

角可以看成平面內(nèi)一

條射線繞著端點(diǎn)從一

個(gè)位置旋踏到另一個(gè)

位置所成的圖形

歌限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)量合，角的始邊

與X軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的底邊在

第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果

角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于浮動(dòng)主題）

任何一個(gè)象限.