2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：一元二次不等式與其他常見不等式解法（十大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次不等式.......................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：分式不等式...........................................................................4

知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值不等式.........................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法..........................................................6

題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法............................................................7

題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系....................................................................8

題型四：分式不等式以及高次不等式的解法........................................................9

題型五：絕對(duì)值不等式的解法....................................................................9

題型六：二次函數(shù)根的分布問凡................................................................10

題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題.......................................................11

題型八：解含參型絕對(duì)值不等式.................................................................12

題型九：解不等式組型求參數(shù)問題...............................................................12

題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題.............................................................13

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................32

05課本典例?高考素材...........................................................33

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................14

易錯(cuò)點(diǎn)：解含參數(shù)不等式時(shí)分類討論不恰當(dāng).......................................................14

答題模板：一元二次不等式恒成立問題...........................................................15

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一

元二次不等式.

從近幾年高考命題來(lái)看，三個(gè)“二次”

(2)結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判

的關(guān)系是必考內(nèi)容，單獨(dú)考查的頻率很低，

斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以2020年I卷第1題，5分

偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點(diǎn)

及解一元二次不等式.

的題目中.

(3)了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值

不等式的解法.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題.

2、會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的分布問題.

3、能借助二次函數(shù)求解二次不等式，類比會(huì)求高次方程和絕對(duì)值不等式.

老占突曲?題理探密

-----H-H-c

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:一元二次不等式

一元二次不等式利2+力％+。＞0(。。0),其中A=Z?2—4ac,玉,％2是方程辦2+》x+c＞0(aw0)的

兩個(gè)根，且不＜%2

(1)當(dāng)。＞0時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上.

(2)①若A＞0,解集為｛%|%〉%或^＜七｝.

②若A=0,解集為卜|xeR且xw一^"｝.

③若△＜(),解集為A.

(2)當(dāng)。＜0時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下.

①若△＞€),解集為｛x|x1cx＜/｝

②若AWO,解集為0

【診斷自測(cè)】不等式/+法一3＜0的解集是(十,1)53,內(nèi))，貝8-a的值是()

A.-3B.3C.-5D.5

知識(shí)點(diǎn)2：分式不等式

（1）y〉（）o/（x）?g（x）〉0

g（x）

⑵用＜0=/（x）.g（x）＜0

g（x）

F（x）＞cCAg（xR°

（3）-----之UO＜

g（x）〔g（x）豐0

/(x)?g(x)<0

(4)

g(x)g(x)豐0

【診斷自測(cè)】不等式(X+3)(X-2)N。的解集為()

x-1

A.[-3,1)32,內(nèi))B.(9,-3]U(l，2]C.[-3,l)U(l,2]

D.(TO,-3]。[2,+oo)

知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值不等式

(I)\f(x)\>|g(x>o[/(x)]2>[g(x)]2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或f(x)<-g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)<f(x)<g(x);

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式，可用圖象法和零點(diǎn)分段法求解.

【診斷自測(cè)】(2024.高三?山西忻州?期末)不等式|尤|>」的解集是.

解題方法總結(jié)

1、已知關(guān)于X的不等式以2+區(qū)+°>0的解集為(冽，〃)，解關(guān)于X的不等式以2+版+〃(0.

由蘇+bx+c>0的解集為(加，ri),得：〃山2+/+C40的解集為(-8,-]U[―，+8)即關(guān)于1的不

xxnm

等式以之+"+〃<()的角尾集為(一8,—]U[―,+8).

nm

2、已知關(guān)于X的不等式G?+/zx+c>0的解集為(形，九)(其中6〃>。)，解關(guān)于x的不等式

CX1+Z?X+6Z>0.

由ox?+法+。>。的解集為(形，〃)，得：〃(J_)2+人1+。>0的解集為(J_,,即關(guān)于％的不等式

xxnm

CX?+"+〃>()的解集為(J_,—).

nm

3、已知關(guān)于x的不等式ox?+區(qū)+0>0的解集為(加，ri),解關(guān)于x的不等式ci一區(qū)+a<0.

由g?+打+。>0的解集為（機(jī)，n）,得：〃（J_）2一人工+。40的解集為（一②，一_十與即關(guān)于1

xxmn

的不等式“2—法+QWO的解集為（_8,-1]U[--,+00）,以此類推.

mn

4、已知關(guān)于x的不等式公N+b%+c>o的解集為（加，〃）（其中冏〉相>0）,解關(guān)于％的不等式

ex1—Zzx+Q>0.

由O?+6x+C>0的解集為（如77）,得：“d）2-/+c>0的解集為（_匕」）即關(guān)于X的不等式

xxmn

o?_法+4>0的解集為（,--）.

mn

5、已知關(guān)于x的一元二次不等式62+桁+。>0的解集為R,則一定滿足[">°；

[A<0

6、已知關(guān)于x的一元二次不等式"2+bx+c>0的解集為0,則一定滿足]；：：；

7、已知關(guān)于x的一元二次不等式aE+fcv+c<0的解集為R,則一定滿足f<°；

[A<0

8、己知關(guān)于x的一元二次不等式辦2+法+。<。的解集為“，則一定滿足

題型洞察

題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法

【典例1-11（2024?上海嘉定?一模）不等式d—x-6<0的解集為.

【典例1-2】不等式辦2+云+°>0的解集是（1,2）,則不等式52+法+。>0的解集是（用集合表

【方法技巧】

解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在軸上，結(jié)合圖象，寫出其解集.

【變式1-1】不等式爐-3彳-18>0的解集是—.

【變式1-2）一元二次不等式-d+2尤+3<0的解集為.

題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法

【典例2-1］設(shè)函數(shù)/(尤)=加+(1-。)》+。-2(。€1<)

(1)若不等式/(x)2-2對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍;

(2)解關(guān)于尤的不等式：/(x)<a-l.

【典例2-2】已知關(guān)于x的一元二次不等式加+x+6>0的解集為(—,-2)U(l,s).

(1)求。和6的值；

(2)求不等式GT—(2(z+b+2)x+l—c~<0的解集.

【方法技巧】

⑴根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類討論.

⑵根據(jù)判別式A與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合處理.

(3)有兩個(gè)根時(shí)，還需要根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論，注意分類討論.

【變式2-1］已知函數(shù)/(x)=f—2依+3.

(1)若關(guān)于%的不等式之0的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)解關(guān)于x的不等式/(x)<0.

【變式2-2］解關(guān)于實(shí)數(shù)了的不等式：x2-ax+l<0.

【變式2-3］設(shè)函數(shù)f（x）="丘-依，其中。>0.解不等式/（x）41;

題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系

【典例3-1］（2024?高三?云南德宏?期末）已知關(guān)于x的不等式尤2一辦+640的解集為{x|2Wx<3},

則關(guān)于x的不等式尤2一法+。<0的解集為（）

A.1x|2<x<3}B.卜|1<》<3}

C.國(guó)2〈尤<5}D.{x［l<x<5}

【典例3-2］已知6a2+fox+c>0的解集為{x［T<x<2},貝I］不等式。（公+l）+6（x-l）+c<2ta的解集

為（）

A.{x|0<x<3}B.{x|x>0}

C.{%|尤<0或x〉3}D.[x\x>3]

【方法技巧】

1、一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì).

2、含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換.

【變式3-1］若不等式o?+2x+c<0的解集是（f,-；）u（g,+8）,則不等式cf—Zx+aWO的解集是

）

D.[-3,2]

【變式3-2］（多選題）不等式x2+ax+6W0（a,6eR）的解集為{幻占644},且聞+|司42.以下結(jié)論

錯(cuò)誤的是（）

A.|tz+2Z?|>2B.\a+2b\<2C.|a|>lD.b<\

【變式3-3］（多選題）已知關(guān)于x的不等式的解集是{如<%<3},貝I（）

A.av0

B.a+b+c=O

C.4a+2b+cv0

D.不等式cf-bx+avO的解集是{+x<-l或尤>-g}

題型四：分式不等式以及高次不等式的解法

【典例4-1]（2024?高三?上海楊浦?期中）關(guān)于尤的不等式-20的解集是.

X

y2-?r-3

【典例4-2】已知關(guān)于x的不等式————7＜。的解集是（F,-1）U（3,+O））,則實(shí)數(shù)加的

mx+2（m+l）x+9m+4

取值范圍是.

【方法技巧】

分式不等式化為二次或高次不等式處理.

【變式4-1]（2024?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè)）不等式3r義+5?Nx的解集是_____

x-1

【變式4-2]（2024?上海青浦?二模）已知函數(shù)＞=依2+法+。的圖像如圖所示，則不等式

（ra+b）（fer+c）（cx+a）＜0的解集是.

【變式4-3】不等式x+三20的解集是

題型五：絕對(duì)值不等式的解法

【典例5-1】（2024?高三?上海長(zhǎng)寧?期中）不等式（國(guó)-1）（尤+2）＜。的解集為.

【典例5-2](2024?上海青浦?二模)不等式Ix-2|>1的解集為.

【方法技巧】

<1)|/W|>|g(x)|O"(X)F>[g(x)]2

⑵|/(x)|>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或/1(x)<-g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o—g(x)<f(x)<g(x);

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解

【變式5-1](2024?上海虹口?模擬預(yù)測(cè))不等式W+|2023r<2023的解集為

【變式5-2】不等式產(chǎn)-2M>4的解集是_.

題型六：二次函數(shù)根的分布問題

、1

【典例6-1】已知函數(shù)/(力=二關(guān)于龍的方程，(尤)-而y=m有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍是.

【典例6-2]若關(guān)于x的一元二次方程f+(3a-1卜+。+8=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根玉,馬，且

%1<l,x2>1.則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【方法技巧】

解決一元二次方程的根的分布時(shí)，常需考慮：判別式，對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，區(qū)間端點(diǎn)處函

數(shù)值的符號(hào)，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向.

【變式6-1】已知一元三次方程〃吠+1=。的兩根都在(0,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.B.C.(-R,-2]U2,g)D.

【變式6-2]已知函數(shù)〃x)=J,若關(guān)于天的方程/⑴-時(shí)⑺-機(jī)+1=0恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則實(shí)數(shù)力的取值范圍是()

e2+1￡±11

x

B.C.D.2，

e+e

【變式6-3】已知關(guān)于尤的方程尤2+x+機(jī)=。在區(qū)間(1,2)內(nèi)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.[-6,-2]B.(-6,-2)C.(^x),-6]u[-2,+oo)D.(-00,-6)U(-2,+oo)

題型七：一元二次不等式恒(能)成立問題

【典例7-1】已知關(guān)于尤的不等式2尤-1>雙尤2_i).

(1)是否存在實(shí)數(shù)加，使不等式對(duì)任意尤eR恒成立，并說明理由；

(2)若不等式對(duì)于加4-2,2卜亙成立，求實(shí)數(shù)》的取值范圍；

(3)若不等式對(duì)了?⑵+勸有解，求加的取值范圍.

【典例7-2】(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))當(dāng)1VXV2時(shí)，不等式V-辦+140恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取

值范圍是.

【方法技巧】

恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略

(1)弄清楚自變量與參數(shù).

(2)一元二次不等式在R上恒(能)成立，可用判別式△,一元二次不等式在給定的某個(gè)區(qū)間上恒

(能)成立，不能用判別式△,一般分離參數(shù)求最值或分類討論處理.

【變式7-1】當(dāng)尤￡(-1,1)時(shí)，不等式2履2—日—<。恒成立，則左的取值范圍是()

O

A.(-3,0)B.[-3,0)

【變式7-2]已知函數(shù)/(x)=2x?—冰+。2—4,g(x)=%2—..-,(awR)

⑴當(dāng)0=1時(shí)，解不等式/(x)>g(x)；

(2)若任意尤>0,都有/(x)>g(x)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶若％3x2e[0,l],使得不等式/&)>8值)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式7-3]若存在實(shí)數(shù)6,對(duì)任意實(shí)數(shù)xe[O,l],不等式式一根46+匕4尤2恒成立，則實(shí)數(shù)相的取

值范圍是—.

【變式7-4】已知函數(shù)〃尤）=f+6+6,若對(duì)任意無(wú)?1,5],|/（到42,則所有滿足條件的有序數(shù)對(duì)

（a,b）是.

題型八：解含參型絕對(duì)值不等式

【典例8-1】已知關(guān)于x的不等式|x-2|+,+2區(qū)。2一3。有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【典例8-2]若存在實(shí)數(shù)x使得不等式|x+l|+|x-a|<2成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【方法技巧】

含參型絕對(duì)值不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解.

【變式8-1]若關(guān)于x的不等式歸+1|<6-歸-7司的解集為0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【變式8-2]（2024?上海長(zhǎng)寧?二模）若對(duì)任意xe[l,2],均有k2_4+|》+0=卜2+耳，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為

題型九：解不等式組型求參數(shù)問題

x2-ax+4<0

【典例94】設(shè)集合A={%|1<%<3},集合6為關(guān)于％的不等式組20[2"/八的解集，

X-（2/?+3）x+Z?+3Z?<0

若則Q+6的最小值為（）

1613

A.6B.—C.5D.—

33

lx2-4x+3<0

【典例9-2]（2024?高三?山東荷澤?期中）已知不等式組人6升8<。的解集是關(guān)于“的不等式

d-3x+a<0的解集的子集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.tz<0B.a<0C.a<-lD.a<-2

【方法技巧】

求不等式（組）參數(shù)的問題，往往要利用不等式的性質(zhì)、不等式（組）的解集，建立對(duì)應(yīng)關(guān)系后求解.

x~—2尤一340

【變式9-1］（2024?高三?山西呂梁?開學(xué)考試）若不等式組2,,八的解集是空集，則

元2+4x-（l+a）V0

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

x21—2x-3W0

【變式9-2］若不等式組的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

+4x-(1+a)V0

A.(-co,-4]B.H+oo)C.1,20]D.[-40,20)

題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題

—x?+4JC+5<0

【典例10-1】已知關(guān)于尤的不等式組的解集中存在整數(shù)解且只有一個(gè)整數(shù)解,

2x2+5x<-(2x+5)左

則上的取值范圍為.

【典例10-2］關(guān)于x的不等式（ox-l）2<Y恰有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是)

<_3_4~

A.-T2B.D

12,I2,~3__32)

'3J\3、(34、3、

c.一,-l1,-D.一—

<2」_2；I23>

【方法技巧】

不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題通常使用分類討論與數(shù)形結(jié)合處理.

【變式10-1］已知關(guān)于X的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則上的取值范圍為（）

［2x2+（2k+l）x+lk<0

A.{%|-5vxv3或4Vx<5}B.{1-5K%v3或4<xV5}

C.{x|-5<x<3^4<x<5}D.{x|-5<x<3^4<x<5}

⑴Jx2-4x+9；

（2）V-2X2+12X-18-

3.如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45。方向600Qw處的熱帶風(fēng)暴中心正以20hw//z的速

度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450hw以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.據(jù)以上預(yù)報(bào)估計(jì)，從碼頭現(xiàn)在起多長(zhǎng)時(shí)間

后，該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴的影響，影響時(shí)間大約為多長(zhǎng)（精確到01〃）？

4.一名同學(xué)以初速度%=12%/s豎直上拋一排球，排球能夠在拋出點(diǎn)以上的位置最多停留多長(zhǎng)時(shí)

間（精確到0.01s）?

㈤6

〃易錯(cuò)分析?答題模板\\

易錯(cuò)點(diǎn)：解含參數(shù)不等式時(shí)分類討論不恰當(dāng)

易錯(cuò)分析：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點(diǎn).解此類不等式時(shí)一定要注意對(duì)字母分類討論,

討論時(shí)要做到不重不漏，分類解決后，要對(duì)各個(gè)部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進(jìn)行整合.

【易錯(cuò)題1］當(dāng)°<1時(shí)，解關(guān)于X的不等式（辦-1）（無(wú)T）<0.

【易錯(cuò)題2]解關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式：x2-(a+l)x+a<0.

答題模板：一元二次不等式恒成立問題

1、模板解決思路

結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合羅列關(guān)于參數(shù)的不等式.對(duì)于在定區(qū)間上恒成立的問題，可以分

離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，不要漏掉考慮函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系.

2、模板解決步驟

第一步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的問題.

第二步：列出不等式(組)，一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)如果含參數(shù)時(shí)就需要進(jìn)行分類討論.

第三步：解不等式求解參數(shù)的范圍.

【典例1】已知函數(shù)/(到二％2-2依一。-1,aeR.

⑴當(dāng)a=1時(shí)，解不等式6；

(2)若土0no,2],使得求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【典例2](1)若WxeR,狽+i>o，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若,ax2-ax+\>0求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1:一元二次不等式.......................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:分式不等式...........................................................................4

知識(shí)點(diǎn)3:絕對(duì)值不等式.........................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法..........................................................6

題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法............................................................7

題型三：三個(gè)二次之間的關(guān)系....................................................................8

題型四：分式不等式以及高次不等式的解法........................................................9

題型五：絕對(duì)值不等式的解法....................................................................9

題型六：二次函數(shù)根的分布問題.................................................................10

題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題.......................................................11

題型八：解含參型絕對(duì)值不等式.................................................................12

題型九：解不等式組型求參數(shù)問題...............................................................12

題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題.............................................................13

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................32

05課本典例高考素材............................................................33

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................14

易錯(cuò)點(diǎn)：解含參數(shù)不等式時(shí)分類討論不恰當(dāng).......................................................14

答題模板：一元二次不等式恒成立問題...........................................................15

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一

元二次不等式.

從近幾年高考命題來(lái)看，三個(gè)“二次”

(2)結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判

的關(guān)系是必考內(nèi)容，單獨(dú)考查的頻率很低，

斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以2020年I卷第1題，5分

偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點(diǎn)

及解一元二次不等式.

的題目中.

(3)了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值

不等式的解法.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題.

2、會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的分布問題.

3、能借助二次函數(shù)求解二次不等式，類比會(huì)求高次方程和絕對(duì)值不等式.

考點(diǎn)突破■題型探究

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:一元二次不等式

一元二次不等式av?+。尤+，>0（。H0）,其中△="—4ac,玉,％2是方程+bx+c〉0（aw0）的

兩個(gè)根，且石<%2

（1）當(dāng)。>0時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上.

（2）①若A>0,解集為｛x|%>%或￥<玉｝.

②若A=0,解集為卜|xeR且xw一（｝.

③若△<€）,解集為R.

（2）當(dāng)。<0時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下.

①若△>€）,解集為卜|周（xc9｝

②若AW0,解集為0

【診斷自測(cè)】不等式以2+法一3<0的解集是（一通1）53，z），貝。的值是（）

A.—3B.3C.—5D.5

【答案】D

【解析】因?yàn)椴坏仁郊?6元-3<0的解集是（f』）u（3,y）,

所以a<0,x=l和x=3是方程辦2+法-3=0的根，

1+3=--

所以；,即。=—1,6=4,貝ljb-a=5.

1x3=——

Ia

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)2：分式不等式

⑴用〉0o/(x).g(x)〉0

g(x)

⑵普<0o〃x)?g(x)<0

g(x)

(3)------>(JO<

g(x)[g(x)H。

(4)Z^<O?F(^(X)-0

g(x)[g(x)H0

【診斷自測(cè)】不等式(X+3)(X-2)力。的解集為()

x—\

A.[-3,1)32,內(nèi))B.(9,-3]U(l,2]C.[-3,l)U(l,2]

D.(-oo,-3]u[2,+oo)

【答案】A

【解析】不等式(X+3)(X-2)20,等價(jià)于1(1))，1，,

x-l[x-l>0[%-1<0

解得xN2或W

即不等式0+3(—2)的解集為[_3J)32,E).

x-1

故選：A

知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值不等式

(1)\f(x)\>|g(x)|o[/(x)]2>[g(x)]2

⑵|/(x)|>g(x)(g(x)>。)o/(x)>g(x)W(x)<—g(x)；

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)<f(x)<g(x);

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式，可用圖象法和零點(diǎn)分段法求解.

【診斷自測(cè)】(2024.高三.山西忻州.期末)不等式|x|>L的解集是.

X

【答案】(TO,。)—(L+°°)

x>0fx<0

【解析】原不等式可變形為1或1

X>——X>一

、XIX

x>0x<0

由41.解得X>1;由<1，解得尤V。,

X>—-x>—

、X

所以原不等式的解集為（-8,0）51,+8）.

故答案為：（-8,0）51+8）.

解題方法總結(jié)

1、已知關(guān)于X的不等式依2+bx+c>0的解集為（加，力，解關(guān)于兄的不等式c%2+版+〃40.

由蘇+Z?x+c>0的解集為（加，ri）,得：〃d）2+/+CW0的解集為（-8,—]U[―，+8）即關(guān)于無(wú)的不

xxnm

等式C%2+法+。40的解集為（_oo,—]U[―,+8）.

nm

2、已知關(guān)于x的不等式ox?+b%+c>。的解集為（形，〃）（其中加〃>0）,解關(guān)于x的不等式

ex2+bx+a>0.

由蘇+Zzr+C>0的解集為（加，〃），得：〃d）2+/+c>0的解集為（L」），即關(guān)于x的不等式

xxnm

ex2+bx+a>0的解集為d，-）.

nm

3、已知關(guān)于x的不等式or?+bx+c>o的解集為（形，〃），解關(guān)于工的不等式以2-bx+awo.

由ox?+bx+c>0的解集為（機(jī)，ri）,得：[（1）2-/+c40的解集為（一8,--]U[-—，+8）即關(guān)于x

xxmn

的不等式無(wú)+oV0的解集為（-oo,-工山[-[，+oo）,以此類推.

mn

4、已知關(guān)于%的不等式ox?+Zzx+c>0的解集為（加，〃）（其中冏〉相>0）,解關(guān)于兄的不等式

ex2-bx+a>0.

由蘇+Z?x+c>0的解集為（加，ri）,得：〃（工）2-/+c>0的解集為（--,-,）即關(guān)于x的不等式

xxmn

62_"+〃>0的解集為（__L,-J-）.

mn

5、已知關(guān)于x的一元二次不等式依2+法+。>0的解集為火，則一定滿足°；

[A<0

6、已知關(guān)于x的一元二次不等式ox?+區(qū)+。>。的解集為。，則一定滿足1八<0

7、己知關(guān)于x的一元二次不等式依2+笈+c<0的解集為火，則一定滿足F<°

[A<0

8、已知關(guān)于x的一元二次不等式辦2+6尤+。<0的解集為。，則一定滿足

題型洞察

題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法

【典例1-1】(2024.上海嘉定.一模)不等式--x-6<0的解集為.

【答案】(一2,3)

【解析】由不等式￡_工-6<0,可得(x-3)(x+2)<0,解得-2Vx<3,

所以不等式的解集為(-2,3).

故答案為:(-2,3).

【典例1-2】不等式以2+法+00的解集是(1,2),則不等式cY+法+。>。的解集是(用集合表

示)_.

【答案】|x||<X<l!

【解析】不等式以2+fer+c>0的解集為(1,2),

**?a<0,且1,2是方程ox?+法+o=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

1+2=--

二?<",解得b=—3。，c=2a,其中a<0；

1x2，

、a

二?不等式ex2+法+a>0化為2ax2—3ax+a>0,

即2X2-3X+1<0，解得

因此所求不等式的解集為卜.

故答案為：

【方法技巧】

解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在軸上，結(jié)合圖象，寫出其解集.

【變式1-11不等式尤2-3x-18>0的解集是—.

【答案】(力,一3)3(6,包)

【解析】由題意d-3x-18>0n(x—6)(x+3)>0,解得x<—3或x>6,

所以不等式/-3尤-18>0的解集是(-8,-3)56,+?).

故答案為：3)u(6,+oo).

【變式1-21一元二次不等式-犬+2苫+3<0的解集為.

【答案】y,T)u(3*)

【解析】由一尤2+2x+3<0可得/一2無(wú)一3>0，

即(x-3)(x+l)>0,

解得了>3或xv-l,

所以不等式的解集為(―,-1)53,口).

故答案為：1)53,小)

題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法

【典例2-1】設(shè)函數(shù)/(x)=ox2+(1-a)x+a-2(aGR)

⑴若不等式/W>-2對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；

⑵解關(guān)于1的不等式：

【解析】(1)/(x)之-2對(duì)一切實(shí)數(shù)入恒成立，等價(jià)于VxsR,。/+Q—+恒成立.

當(dāng)々=0時(shí)，不等式可化為％之0,不滿足題意.

。>0\a>0

當(dāng)有即I2解得a-~^

A<03/+2。-120

所以“的取值范圍是4,+9).

(2)依題意，等價(jià)于+(1一。)%一1<0,

當(dāng)。=0時(shí)，不等式可化為了<1,所以不等式的解集為｛⑷尤

當(dāng)。>0時(shí)，不等式化為(6+1)(》-1)<0,此時(shí)-L<1,所以不等式的解集為｛x|-U<x<l｝.

aa

當(dāng)〃<0時(shí)，不等式化為(如+1)(X-1)<0,

①當(dāng)。=—1時(shí)，-1=1,不等式的解集為&I尤K1｝;

a

②當(dāng)—1VQV。時(shí)，>1,不等式的解集為｛%1%>或X<1｝；

aa

③當(dāng)av—1時(shí)，—，vl,不等式的解集為｛元|九〉1或％<-3；

aa

綜上，當(dāng)QV-1時(shí)，原不等式的解集為｛%|%>1或無(wú)<-'｝

a

當(dāng)。=-1時(shí)，原不等式的解集為

當(dāng)-1<”0時(shí)，原不等式的解集為｛x|x>--或r<l｝；

當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為尤<1｝；

當(dāng)。>0時(shí)，原不等式的解集為

【典例2-2】已知關(guān)于尤的一元二次不等式尤+6>0的解集為(e,-2)U(L”).

⑴求。和6的值；

(2)求不等式依2—(2a+b+2)x+l—/<。的解集.

【解析】(1)由題意知-2和1是方程辦2+x+6=o的兩個(gè)根且。>0,

-2+1=--

Z7rCl—1

由根與系數(shù)的關(guān)系得，，解得，.；

A,b\b=-2

(2)由a=l、b=-2,不等式可化為％2_2%+1一/<o,

即+<0,則該不等式對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為1+C和1-c.

當(dāng)c>0時(shí)，1+ol-c,解得l-c<x<l+c,即不等式的解集為(1-C,1+C),

當(dāng)c=0時(shí)，l+c=l-c,不等式的解集為空集，

當(dāng)c<0時(shí)，l+c<l-c,解得1+C<X<1—C,即不等式的解集為(1+C,1—C),

綜上：當(dāng)c>0時(shí)，解集為(l—c,l+c),

當(dāng)c=0時(shí)，解集為空集，

當(dāng)c<0時(shí)，解集為(1+G1-c).

【方法技巧】

⑴根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類討論.

⑵根據(jù)判別式A與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合處理.

(3)有兩個(gè)根時(shí)，還需要根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論，注意分類討論.

【變式2-1］已知函數(shù)/(x)=*—2依+3.

(1)若關(guān)于x的不等式/(x)NO的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵解關(guān)于x的不等式〃x)<0.

【解析】(1)若不等式V-2辦+320的解集為R,

貝必=(-2。)2-1240,

解得-百，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍［-73,6］;

(2)不等式%?—2改+3v0,

①當(dāng)AWO時(shí)，即百時(shí)，不等式的解集為0,

②當(dāng)A)。時(shí)，即〃<-君或a>石時(shí)，

由k—2ax+3=0,解得x=a-Qa2-3或％=a+yja2-