2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（測(cè)試）（學(xué)生版+解析）

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知函數(shù)“無(wú)）=爐+工，則蛔/（1+；：）_川）=（）

X2Ax

A.1B.3C.2D.4

2

2.曲線/（x）=e'-3x在點(diǎn)（0J（0））處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）

A.-B.-C.—D.一

8643

3.若函數(shù)/（力=1叱（a-1"+1]在（2,3）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（一卬）B.[|,1]C.團(tuán)D.[加

4.已知函數(shù)/（%）=*—lnx,a>0若為e（1,2）,對(duì)J（x）,則（）

A.l<ea<V2B.a<e-a<-Jia

C.\[2a<e~a<\[2aD.a<e~a<2a

5.已知函數(shù)/（x）=lnx-d,則函數(shù)（）

A.既有極大值也有極小值B.有極大值無(wú)極小值

C.有極小值無(wú)極大值D.既無(wú)極大值也無(wú)極小值

6.已知函數(shù)/⑺的導(dǎo)函數(shù)為/'（%）,且/（l）=e,當(dāng)x>0時(shí)，r（x）<l+e\則不等式〉>）7nx>1的

解集為（）

A.（0,1）B.（0,+e）C.（1,+8）D.（0,l）u（l,+<x））

7.若函數(shù)/（6=/-x+mnx有極值，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

A。,JB.C.jD.K

8.函數(shù)/。）=盧，若關(guān)于'的不等式"（勸]2-4。）4。（。右2有且僅有三個(gè)整數(shù)解，貝網(wǎng)的取值范圍是

Inx

(

2525

h2'ta5耘，而

35

而，而

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等

式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)〃力在(。⑼上的導(dǎo)函數(shù)為/'(X),/'(x)在(。⑼上的導(dǎo)函數(shù)為

若在(a,。)上/(x)<0恒成立,則稱函數(shù)/(x)在⑼上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在(。與上是

凸函數(shù)的是()

A./(x)=sinx+cos^B./(x)=lnx-2x

C.=+2x-lD.f=-xe~x

10.已矢口函數(shù)/(x)=2f—6x+l,貝U()

A.g(x)=〃x)T為奇函數(shù)

B./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(Tl)

C.的極小值為-3

D.若關(guān)于x的方程/(x)-〃z=0恰有3個(gè)不等的實(shí)根，則加的取值范圍為(-3,5)

11.已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,若“X)是奇函數(shù)，滿足〃2)=-/⑴/0,且對(duì)任

意X，yeR,f(x+y)^f(x)f(y)+fr(x)f(y),貝ij()

A.r(l)=4B.A9)=0C.￡/W=-lD.，1伏)=-l

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.燒水時(shí)，水溫隨著時(shí)間的推移而變化.假設(shè)水的初始溫度為20。。，加熱后的溫度函數(shù)7(。=100-在《上

(女是常數(shù)，，表示加熱的時(shí)間，單位：min),加熱到第lOmin時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是℃/min.

2xH—.x>0_

13.已知函數(shù)/(x)=x,若函數(shù)g(尤)=/(尤)-x+加(meR)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則加的取值范圍

e”,尤<0

14.已知2>0,對(duì)任意的x>l,不等式e?"20恒成立，則4的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

已知=+x+21nx.

⑴求r⑴并寫出/(x)的表達(dá)式;

(2)證明：f(x)<x-l.

16.(15分)

某種兒童適用型防蚊液儲(chǔ)存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成(其中上半球是容器的

蓋子，防蚊液儲(chǔ)存在下半球及圓柱中)，容器軸截面如題圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形ABCD,

其外周長(zhǎng)為100毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個(gè)半球體積之和.假設(shè)AD的長(zhǎng)為2x毫米.

(1)求容器中防蚊液的體積(單位：立方毫米)》關(guān)于二的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如何設(shè)計(jì)AD與A3的長(zhǎng)度，使得V最大？

17.(15分)

已知函數(shù)/>0)=(尤2-2x+a)e*,aeR.

(1)若a=1,求函數(shù)/(-v)在尤e[0,3]上的最大值和最小值；

(2)討論函數(shù)/a)的單調(diào)性.

18.（17分）

已知，（x）=e"-m一1,aeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)y=/（x）的極值；

（2）若關(guān)于x的方程/（力+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求。的取值范圍；

（3）當(dāng)a>0時(shí),若滿足/（石）=/（%2）（%<%），求證:占+9<21na.

19.（17分）

對(duì)給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)/（力，若對(duì)在/（x）定義域內(nèi)的給定常數(shù)。，存在數(shù)列

｛%｝滿足/在“X）的定義域內(nèi)且4>。，且對(duì)V"22,〃eN*,y=/（x）在區(qū)間（a,a,-）的圖象上有且僅有在

x=4一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于,工⑷）和的連線，則稱數(shù)列｛%｝為函數(shù)/⑺的“。關(guān)聯(lián)切線

伴隨數(shù)列”.

⑴若函數(shù)〃x）=f,證明：VaeRJ（x）都存在“。關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；

⑵若函數(shù)g（x）=（尤-以，數(shù)列｛為｝為函數(shù)g（x）的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列"，且q=百+1,求｛%｝的通

項(xiàng)公式；

（3）若函數(shù)//（xb^+Gsinx,數(shù)列也,｝為函數(shù)力（"的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列也,｝的前“項(xiàng)和為

S",證明：當(dāng)機(jī)21,小20時(shí)，S"+b“N（n-l）b+2bl.

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知函數(shù)〃無(wú)）=/+工，則丁/（1+弋）一/（1）=（）

X—02Ax

A.1B.yC.2D.4

【答案】B

【解析】由題意知，f\x）=2x-,貝⑴=1.

/(1+Ax)-/⑴/(l+Ar)-/(l)J_j_

所以9嗎=-lim=Jf(1

Ax->02Ax2-Ax~2~2'

故選：B

2.曲線/（x）=e*-3x在點(diǎn)（O"（O））處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）

11

AB.-C.-D.

-I643

【答案】C

【解析】由/⑺=e-3%,得廣⑺=e-3,則”0）=1,/（0）=-2,

所以曲線/（x）=e-3x在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程為y=-2%+1.

令y=。，得x=L令x=0,得y=l,

2

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為gx；xl=；.

故選:C

3.若函數(shù)〃司=1叱（4-1卜+1］在（2,3）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-,1）B.即C.即D.停“

【答案】B

【解析】易知函數(shù)y=ln無(wú)在。+8）上單調(diào)遞增，又函數(shù)/⑴在（2,3）上單調(diào)遞減，

9

所以(°-1)<0且(a-l)x3+l>0,解得

2

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為寧,1）

故選：B

4.已知函數(shù)/(力=6口-1!]%,4>0.若切?1,2),對(duì)Vxe(l,2)J(飛則()

A.1<ea<V2B.a<e~a<yl2a

C.V2a<&a<D.a<ea<2a

【答案】B

【解析】r（x）=?em-p由條件可知人處在。,2）有極小值點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得:

且/'(2)>0,即然"<1且ae2"><,所以病。

故選：B

5.已知函數(shù)/(x)=lnx-f,則函數(shù)〃x)()

A.既有極大值也有極小值B.有極大值無(wú)極小值

C.有極小值無(wú)極大值D.既無(wú)極大值也無(wú)極小值

【答案】B

【解析】函數(shù)〃x)=lnxr2的定義域?yàn)?0,+巧，

旦f(x)=l-2x=1*=(1+缶一甸,

XXX

當(dāng)0<x<曰時(shí)用x)>0,當(dāng)尤>孝時(shí)門力<0,

所以“X)在，，日)上單調(diào)遞增，在［孝，+8上單調(diào)遞減，

所以/⑺在戶日處取得極大值，無(wú)極小值.

故選：B

6.已知函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，且/(l)=e,當(dāng)x>。時(shí)，r(x)<-+e\則不等式小)：—>1的

%e

解集為()

A.(0,1)B.(0,+“)C.(1,+8)D.(0,l)u(l,+o))

【答案】A

【解析】不等式―叫〉1等價(jià)于/(x)>ex+lnx,即/(x)-ex+lnx>0,

ex

構(gòu)造函數(shù)g(%)=/(x)-ex+lnx,x>0,所以g'O)=/r(x)-ex--,

因?yàn)橛?gt;0時(shí)，f'(x}<-+ex,所以g'(無(wú))<0對(duì)Vxe(0,+oo)恒成立,

X

所以g(x)在(。，+◎單調(diào)遞減，

又因?yàn)間(l)=/(l)-e-lnl=0,

所以不等式/(x)-e*+lnx>0等價(jià)于g(x)>g⑴,所以。<*<1,

即>1的解集為Qi).

e

故選：A.

7.若函數(shù)=x+alnx有極值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

ab

-H]-H)c.DD.；

【答案】C

【解析】函數(shù)〃x)=x2r+alnx的定義域?yàn)?0,+巧，且尸兇=2工-1+4="上^

XX

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)有極值，所以廣⑺在(O，+e)上有變號(hào)零點(diǎn)，

即2f-尤+°=0在(。,+巧上有解(若有兩個(gè)解，則兩個(gè)解不能相等)，

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=2/-x+°的對(duì)稱軸為x=《，開口向上，

1即實(shí)數(shù)。的取值范圍是卜a1

所以只需A=(—l)9—8a>0,解得〃

o

故選：C

8.函數(shù)“，)=嬴’若關(guān)于x的不等式"(x)?4(x)V0(aeR)有且僅有三個(gè)整數(shù)解,則〃的取值范圍是

()

「25、(25-

A

-[ini'lnijB.[1np版

「351(5_

Ck?而JD?卜而_

【答案】A

【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得((x)=2W，令/'(x)>0,解得x>e,令/'(x)<0,解得0<x<e,又

(Inx)

Inx=0時(shí)，x=l,

所以一(X)的遞增區(qū)間為(e,+8),遞減區(qū)間為(0,1)和(1,e),

作出圖象如圖所示：

當(dāng).<0時(shí)，由"(x)『-W(x)40,可得a4/(元)40,

由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，

當(dāng)a=0時(shí)，由"(x)f—40,可得/(x)=0,

由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，

當(dāng)。>0時(shí)，由[/(X)]2-^(X)40,可得0W/(x)Wa,

244

又〃2)=布=彳，"4)=加

由于⑺的遞增區(qū)間為(e,+8),所以〃2)=/(4)</(5),

25

所以要使。"他。有三個(gè)整數(shù)解，則布會(huì)(啟,

所以關(guān)于龍的不等式[/(x)]2-4(x)<0(。eR)有且僅有三個(gè)整數(shù)解,

25

則”的取值范圍為百,指).

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等

式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)“X)在(4,6)上的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),「(力在上的導(dǎo)函數(shù)為

/⑺，若在(。力)上/(“<0恒成立，則稱函數(shù)〃力在(〃力)上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在(0$上是

凸函數(shù)的是()

A./(x)=sinx+cosxB./(x)=lnx-2x

C./(J;)=-X3+2X-1D./(x)=-xe-x

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,由/(x)=sinx+cosx,得/'(x)=cos%-sinx,則/"(%)=-sinx-cosx=-(sinx+cosx),因?yàn)?/p>

xe(0,y),所以sinx>0,cosx>0j"(x)=-(sinx+cosx)<0,所以此函數(shù)是凸函數(shù)；

對(duì)于B,由〃x)=lnx-2x,得廣⑺=l-2,貝4"(何=-4，因?yàn)閤e(0,卞,所以/(尤)=-4<0,所

以此函數(shù)是凸函數(shù)；

對(duì)于c,^/(X)=-X3+2X-1,得八力=-3犬+2,則/"(x)=-6x,因?yàn)閤e(0,/),所以尸(x)=-6尤<0,

所以此函數(shù)是凸函數(shù)；

對(duì)于D,由“x)=-xeT,得/'(%)=-廠+朧，則/"(力=。+r-屁7=(2—x)e\因?yàn)閤e(0,‘，所以

rW=(2-x)e-t>0,所以此函數(shù)不是凸函數(shù)，

故選：ABC

10.已知函數(shù)/(x)=2/—6x+l,貝I()

A.g(x)=/(x)-l為奇函數(shù)

B./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-M)

c./(x)的極小值為-3

D.若關(guān)于左的方程/(x)=0恰有3個(gè)不等的實(shí)根，則〃z的取值范圍為(-3,5)

【答案】ACD

【解析】由函數(shù)［(x)=2/—6x+l,可得尸(力=61-6=6。-1)(尤+1),

對(duì)于A中，由g(x)=/(x)-1=2/_6X,定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且g(-x)=2(-x)3-6(-x)=—2x3+6x=-g(x),所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，所以A正確；

對(duì)于B中，由/'(x)=6(x—l)(x+l)>0,解得x<-L或x>l,

即函數(shù)的遞增區(qū)間為(―,-1),(1,+8),所以B不正確；

對(duì)于C中，由/'(x)<0,解得-1<彳<1,所以函數(shù)的遞減區(qū)間為(-M),

所以，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)“X)取得極小值，極小值為〃1)=-3,所以C正確；

對(duì)于D中，由函數(shù)/(%)在(f,T)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-M)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+?)上單調(diào)遞增，所

以極大值為〃T)=5,極小值為了⑴=-3,

且X--8時(shí)，/(X)f-OO;X->+8時(shí)，/(xjf+oo；

又由關(guān)于X的方程/(x)-機(jī)=0恰有3個(gè)不等的實(shí)根，

即函數(shù)丁=/(力與丁=根的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，可得-3〈租<5,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-3,5),所以D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù)/⑺的定義域均為R，若“X)是奇函數(shù)，滿足〃2)=-〃1)工0,且對(duì)任

意X,yeR,/(x+^)=f(x)f,(y)+/,(x)f(y),則()

i2020

A.r(l)=4B.A9)=0C.X/(%)=TD.Xr⑹=-1

2k=lk=\

【答案】BD

【解析】對(duì)于A中，令x=y=i,可得〃2)=〃i)r(i)+r(i)〃i)=2/(i)r(i),

因?yàn)?(2)=-/(1)NO,所以:⑴=《，所以A不正確；

對(duì)于B中，令y=l,可得〃x+l)"(x)/")+廣⑺/⑴,

所以/(l-X)=〃T)r(l)+r(T)/(l),

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)為奇函數(shù)，則/'(X)為偶函數(shù)，

所以〃lr)=-/(x)尸⑴+八力/(1),

聯(lián)立可得/(x+l)=2/(x)r⑴+〃1)=-/(-1),

即仆+2)=-仆+1)-〃x),

所以/(x+3)=—/(x+2)—/(x+l)=/(x+l)+/(x)—/(x+l)=/(x),

所以函數(shù)/(元)是周期為3的函數(shù)，所以〃9)=〃0)=0,所以B正確；

對(duì)于C中，由/(x+2)=_/(x+l)―/(x),可得/(1)+/(2)+/(3)=0,

且〃1)+〃2)=0,因?yàn)閿?shù)〃x)是周期為3的函數(shù)，

20

可得￡/伏)="⑴+〃2)+〃3)]X6+"(1)+〃2)]=0,所以C錯(cuò)誤；

k=i

對(duì)于D中，由/(x+2)=—/(x+1)—/(x),可得/'(x+2)=—/'(x+1)—/'(x)

令x=0,可得4(2)=--⑴-/(0),所以廣(0)+尸⑴+尸(2)=0,

因?yàn)楹瘮?shù)”X)周期為3的函數(shù)，即〃x+3)=〃x),可得/(x+3)=/'(x)

所以函數(shù)廣⑺是周期為3的函數(shù)，可得/'(0)=/'(3),所以/'。)+/'(2)+/'(3)=0,

令x=0,可得/⑴=/(0)/'。)+/'(0)/(1),所以-(0)=1,

所以「⑵二一尸⑴一尸(0)=；-1=一;，可得/?”)+-(2)=-1

20

所以，(⑹="'⑴+/(2)+尸(3)]X6+"'(1)+〃2)]=-1,所以D正確.

k=l

故選：BD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.燒水時(shí)，水溫隨著時(shí)間的推移而變化.假設(shè)水的初始溫度為2(TC,加熱后的溫度函數(shù)7(。=100-如

(%是常數(shù)，1表示加熱的時(shí)間，單位：min),加熱到第lOmin時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是℃/min.

Q

【答案】-

e

【解析】因?yàn)樗某跏紲囟葹槭肌,所以7(0)=100—左=20,解得左=80,所以析(。=8短叫

QO

貝|JT'(1O)=-,所以加熱到第lOmin時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是2℃/min.

ee

故答案為：-

e

2x4—.%>0

13.已知函數(shù)/(尤)=，x，若函數(shù)g(x)=/(x)-x+m(meR)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍

ex,x<0

是.

【答案】

【解析】f{x)-x=\X,

ex—x,x<0

由于y=x+?x>0)為對(duì)勾函數(shù)，最小值為2,My=ex-x(x<O),y=ev-l<0,所以y=e*-x在(-e,0)

單調(diào)遞減，

故e*-尤VI,作出/(x)-x的大致圖象如下：

故要使g(x)=f(x)-x+m(meR)恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需要f{x)-x=-%只有一個(gè)交點(diǎn),

故1W-m<2,BP—2<m<—1,

故答案為：-2<m<-l

14.已知幾>0,對(duì)任意的x>l,不等式e2z，-磬20恒成立，則2的取值范圍為___.

24

【答案】?,+?

【解析】由題意4>0,不等式即2加2^21IU，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為2_Ue2"z(lrLv)e向,

令g(x)=xe"貝!]g'(x)=(x+l)e”,

當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增.

則不等式等價(jià)于g(2Xx)之g(lnx)恒成立.

因?yàn)樗?/lx>0,lnx>0,

InV

所以對(duì)任意%>1恒成立，即”2——恒成立.

設(shè)>i),可得〃(f)=g^,

當(dāng)l</<e時(shí)，”⑺〉0,力⑺單調(diào)遞增，當(dāng)，>e時(shí)，”⑺<0,/z⑺單調(diào)遞減.

所以r=e時(shí)，〃?)有最大值/?(e)=：,于是242：,解得彳之點(diǎn).

故答案為：13,

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

已知/(x)=(1)x2+x+21nx.

⑴求廣⑴并寫出了(%)的表達(dá)式；

(2)證明：f(x)<x-l.

9

【解析】(1)由/(%)=—/⑴%2+X+21H%有:(%)=—2/⑴x+l+—,取％=1得到

x

/(1)=-2/(1)+1+2,解得廣(1)=1.

將/'(1)=1代入/(%)=-711卜2+X+2111%可得/(%)=-九2+x+21nx.(6分)

(2)設(shè)g(/)=r—lnr,則g〈r)=i一;=?,故當(dāng)0<f<i時(shí)g'⑺<0,當(dāng)"1時(shí)g'?)>0.

所以g(。在(。,1)上遞減，在(1,內(nèi))上遞增，故g(/)2g⑴=1.

從而/(x)=-x2+x+21nx=-x2+x+ln(x2)=vx-1,(13分)

16.（15分）

某種兒童適用型防蚊液儲(chǔ)存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成（其中上半球是容器的

蓋子，防蚊液儲(chǔ)存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形ABCD,

其外周長(zhǎng)為100毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個(gè)半球體積之和.假設(shè)A。的長(zhǎng)為2x毫米.

（1）求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）》關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）如何設(shè)計(jì)A￡）與A3的長(zhǎng)度，使得》最大？

【解析】（1）由2AS+2TCC=100得45=50-口，

由AB>0且x>0得—

所以防蚊液的體積y=gxgra：3+7tx2（50-心）=（1.無(wú)一無(wú)2］丁+50存2,（6分）

（2）由y=兀-兀+50Kx2,xe^O,—J.

所以y'=2TLX2-3兀242+100也,

人，八用八100人,c/口10050

3K-23兀-27i

所以y在（。，*』上單調(diào)遞增，在（產(chǎn)笆〕上單調(diào)遞減，（9分）

V371-2J13兀一271）

100,、，—目?,c200“c5O7T-1OO

所以當(dāng)龍=；；---^時(shí)n，》有取大值，此n時(shí)A￡>=2x=^-----,AB=-----,

3兀一23TI-23無(wú)一2

所以當(dāng)AD為毫米，AB為個(gè)一產(chǎn)毫米時(shí),防蚊液的體積有最大值.(13分)

3兀一23元-2

17.(15分)

已知函數(shù)/'(x)=(x2-2x+a)e*,aeR.

(1)若。=1,求函數(shù)Ax)在尤e[0,3]上的最大值和最小值；

(2)討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性.

【解析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x2-2x+l)e\則八尤)=(尤2_i)e"

令/'(x)=(--[e*=0,得x=l或x=-l,

由于xe[0,3],

所以當(dāng)xe(O,l),/V)<0,/⑺在(0,1)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xe(1,3),r(x)>0,/(x)在(1,3)單調(diào)遞增，

所以/(X)在x=l時(shí)取到極小值，且〃1)=0,(3分)

又因?yàn)?(0)=1,/(3)=4e3,

綜上，函數(shù)在無(wú)e[0,3]上的最大值為4^,最小值為0.(6分)

(2)因?yàn)?(x)=(尤2—2x+a)e0awR,所以f'(x)=(尤?+a—2)e*,aeR,

當(dāng)a-220,即a22時(shí)，f'(x)-^x2+a-2^ex>0,

f(x)在(-8,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)〃一2<0,即〃<2時(shí)，

令((⑷=卜2+。-2)1=0,則苫=±7^，(9分)

所以當(dāng)工4一次一萬(wàn)可，f\x)>Q,Ax)在卜s,一萬(wàn)石)單調(diào)遞增，

當(dāng)無(wú)€卜，2-〃,f'(x)<0,—在卜j2-a,j2-a)單調(diào)遞減,(12分)

當(dāng)無(wú)e(j2-a,+oo),((》)>0,/(x)在(j2-a,+s)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)。22時(shí)，/(X)在(-8,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)a<2時(shí)，/(x)在卜8,—J2—。卜(J2-凡+oo)單調(diào)遞增,在(—j2-a,12-a)單調(diào)遞減.(15分)

18.(17分)

已知〃x)=e，-G—l,aeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)y=/(x)的極值；

(2)若關(guān)于*的方程/(x)+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，若滿足/(%)=/(%2)(王<9)，求證：石+無(wú)2<21n〃.

【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=eJ-x-l,定義域?yàn)镽,求導(dǎo)可得尸(x)=e=l,

令/'("=。，得x=0，

當(dāng)尤<0時(shí)，函數(shù)“X)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，尸(尤)>0,函數(shù)在區(qū)間(0,+力)上單調(diào)遞增，

所以y=/(x)在X=。處取到極小值為0,無(wú)極大值.(4分)

(2)方程/(x)+l=e*-ov=。,

當(dāng)尤=0時(shí)，顯然方程不成立，

所以xwO,則a=0，

方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即y=。與g(x)=亍有2個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)x<0或0<x<l時(shí)，g'(x)<0,

g(X)在區(qū)間(-8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，

并且X€(-oo,0)時(shí)，g(x)<0,當(dāng)xe(o,l)時(shí)，g(x)>0,

當(dāng)X>1時(shí)，g'(x)>o,g(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增,

尤>0時(shí)，當(dāng)>=1時(shí),g(x)取得最小值,g(l)=e,(8分)

作出函數(shù)y=g(x)的圖象，如圖所示：

產(chǎn)g(x)

因此y=a與g(x)=(有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a>e,

故。的取值范圍為(e,+8).(10分)

(3)證明：a>0,由/''(x)=e*-a=0,得x=lna,

所以函數(shù)y=/(x)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，在(ina,+8)上單調(diào)遞增.

由題意為<々，且/(%)=/優(yōu))，則％e(-8,lna),x,G(intz,+?).

要證尤[+尤2<21na,只需證不〈Zina-%,

而可<21na-無(wú)2<ln。,且函數(shù)/(x)在(-8,In上單調(diào)遞減，

故只需證/(不)>/(21na-

又/(%)=/(%)，所以只需證/(9)>/(21na—電)，(12分)

即證/(彳2)_/(2歷4_%)>0，

令/i(x)=/(%)-f(21na-x),

即h(x)=e*—ax—1—[e"11"-*—a(21na—x)—1]=eA—a2e_x—2ax+2alna,

h'(x)=e'+a%-*-2a,

由均值不等式可得〃(x)=e*+a2e-x-2a>2拈"-，-2a=0,

當(dāng)且僅當(dāng)e*=4%-*，即x=lna時(shí)，等號(hào)成立.

所以函數(shù)Mx)在R上單調(diào)遞增.(15分)

由尤2>lna,可得/z(%2)>/z(1n。)=°，即/(%)—〃21na—x?)>0,

所以/(石)>/(21na-X2),

又函數(shù)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，

所以Xi<21na—%，即尤1+尤2<21n”得證.(17分)

19.(17分)

對(duì)給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)/'(x),若對(duì)在/(x)定義域內(nèi)的給定常數(shù)。，存在數(shù)列

｛4｝滿足外在/(x)的定義域內(nèi)且4>a,且對(duì)V〃22,"eN*,y=/(x)在區(qū)間(a,aa_J的圖象上有且僅有在

x=6一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于(。,〃明和