四川省德陽市2024屆高三下學(xué)期高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（含答案解析）

高中2021級高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1—2頁，第Ⅱ卷3—4頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．2．本試卷滿分150分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解不含參的一元二次不等式求出全集U，再結(jié)合補集與交集的概念求答案即可.【詳解】由可得，所以，又因為，所以，所以，故選：C.2.若，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：由公式可得結(jié)果.詳解：故選B.點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.3.的展開式中，常數(shù)項為（）A.60 B. C.120 D.【答案】A【解析】【分析】先求出展開式的通項，令即得解.【詳解】的展開式的通項為令，解得，所以的展開式中的常數(shù)項為.故選：A4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.2π B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直觀圖是圓柱的上半部分被斜切去掉一半剩下的部分，利用割補法結(jié)合體積公式求解.【詳解】該幾何體的直觀圖是圓柱的上半部分被斜切去掉一半剩下的部分，則該幾何體的體積.故選：C5.已知過坐標(biāo)原點O作的兩條切線，切點為A、B，則四邊形的面積為（）A.1 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出⊙C圓心坐標(biāo)，半徑，，求出和，求出四邊形的面積.【詳解】由題意得⊙C圓心為，半徑，，則，則四邊形的面積.故選：B.6.甲乙等6名數(shù)學(xué)競賽國家集訓(xùn)隊隊員站成一排合影，若甲乙兩名同學(xué)中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為（）A.144 B.192 C.360 D.480【答案】B【解析】【分析】分2步進行分析：①其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間；②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，由分步計數(shù)原理計算即可．【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間，有種情況；②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，有種排法；則有種不同的站法．故選：B7.把函數(shù)圖象上所有點先向左平移個單位長度，再將所得曲線圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的平移變換和伸縮變換即可求解.【詳解】函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將所得曲線圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.故選：D.8.若復(fù)數(shù)z滿足(其中是虛數(shù)單位，)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運算結(jié)合模長公式求出，再由充分必要條件定義判斷.【詳解】由得，，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B9.在△ABC中，點D在邊BC上，且E為AD的中點，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由及向量的加減運算即可解．【詳解】如圖所示：因為，所以，得，得，得，故選：C10.已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點，若則E的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.[3，2]【答案】A【解析】【分析】首先求出，再結(jié)合題干中的條件可知，通過解不等式可得的取值范圍，結(jié)合雙曲線的離心率公式可得答案.【詳解】由題意得，漸近線,將代入得坐標(biāo)為,所以,因為軸，所以,由已知可得,兩邊同時除以得,所以，即，解得,所以，而雙曲線的離心率，故選：A.11.已知函數(shù)的定義域為，且，則（）A.0 B.1 C.2024 D.2025【答案】D【解析】【分析】利用賦值法，先令求出，再令x=0，結(jié)合方程組法可求解析式，則答案可得.【詳解】令可得，所以，再令x=0可得，即①，將上式中的全部換成可得②，聯(lián)立①②可得,所以，故選：D12.圓錐的表面積為，其內(nèi)切球的表面積為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】選擇（角）與內(nèi)切球半徑為變量，可表示出圓錐底面半徑和母線，由圓錐和球的表面積公式可得，再由換元，轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)值域，進而得的取值范圍.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐內(nèi)切球半徑為，如圖作出圓錐的軸截面，其中設(shè)為外接圓圓心，為切點，為圓錐母線，連接.設(shè)，，.，，，又，，，，則圓錐表面積，圓錐內(nèi)切球表面積，所求比值為，令，則，則，且當(dāng)時，取得最大值，故，即的取值范圍是.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解立體幾何中的最值問題一般方法有兩類，一是設(shè)變量（可以是坐標(biāo)，也可以是關(guān)鍵線段或關(guān)鍵角）將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值；二是幾何法，利用圖形的幾何性質(zhì)，將空間問題平面化，將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題來研究，以平面幾何中的公理、定義、定理為依據(jù)，以幾何直觀為主要手段直接推理出最值狀態(tài)何時取到，再加以求解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡上．13.若、滿足約束條件，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線的斜截式，利用數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求解.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示由，得，所以直線表示直線的斜率為，在軸上的截距為，作出直線，然后把直線向可行域平移，結(jié)合圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過時，直線在軸上的截距最大，此時最大，由，解得，所以，所以當(dāng)時，.故答案為：.14.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義及指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，解得，所以的定義域為，因為，所以，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得.故答案為：.15.如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，若為棱的中點，則直線與直線所成的角為_________．【答案】##【解析】【分析】利用三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合異面直線所成角的定義及勾股定理和逆定理即可求解.【詳解】設(shè)分別為棱的中點，連接，,如圖所示，因為分別為棱的中點，所以,又因為為棱的中點，，為棱的中點，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以,所以為直線與直線所成的角（或其補角）.設(shè)正三棱柱的棱長為，則，，，,所以，即,所以，故直線與直線所成的角為.故答案為：.16.已知直線與橢圓交于P、Q兩點，直線l與x軸、y軸分別交于點M、N，若點M、N恰好是線段PQ的兩個三等分點，則______【答案】【解析】【分析】將直線與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出中點坐標(biāo)及弦長PQ，由題意知MN的坐標(biāo)及中點與PQ的中點相同求出的值，再由M，N三等分線段PQ，則，求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程整理得：，Δ=64解得，，所以中點，由題意得，點M，N三等分線段PQ，所以MN的中點也為H，所以，由題意，所以可得：；所以弦長，由題意得，由題意，所以，代入可得，所以：，故答案為：.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.我市某旅行社對旅游市場進行調(diào)研，以更好的對產(chǎn)品進行優(yōu)化，他們將所有國內(nèi)旅行團產(chǎn)數(shù)學(xué)高考品分為北方旅行團和南方旅行團兩類，公司市場調(diào)研人員統(tǒng)計了2023年1月到5月參加該旅行社所有國內(nèi)旅行團人數(shù)，其中，參加該旅行社南方旅行團的游客人數(shù)，數(shù)據(jù)如下：月份x12345南方旅行團人數(shù)y1201051009085（1）請利用所給數(shù)據(jù)建立該旅行社參加南方旅行團人數(shù)y與月份x之間的線性回歸方程；（2）公司市場調(diào)研人員從這5個月內(nèi)參加旅行社所有國內(nèi)旅游團人員中隨機抽查了50人，研究參加旅行社兩類旅行團游客人數(shù)與性別的關(guān)系，并得到如下2×2列聯(lián)表：參加南方旅行團參加北方旅行團合計女性22830男性81220合計302050判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為選擇旅行團與性別有關(guān)？附注：參考數(shù)據(jù)：參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：P(K2≥k)0.1000.0250.0100.0050.001k2.7065.0246.6357.87910.828【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求出的值，從而得出所求方程；（2）計算卡方，與臨界值比較即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，..所求的回歸直線方程為.【小問2詳解】零假設(shè)選擇旅行團與性別無關(guān)，由題表中的數(shù)據(jù)，得根據(jù)小概率的獨立性檢驗,我們推斷不成立，即有的把握認(rèn)為選擇旅行團與性別有關(guān).18.已知等差數(shù)列的前項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式構(gòu)成方程組即可求得的通項公式；（2）將原式變形為，再利用裂項相消法即可求得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為．因為，，所以，化簡得，所以，所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】，整理得，所以，整理得.19.如圖，在四棱錐中，，E為AD的中點，．（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】(1)連接BD，先證，，由線面垂直判定定理得平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理可得平面平面；(2)利用空間向量研究線面角,先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)列各點坐標(biāo),利用方程組求平面一個法向量,再利用向量數(shù)量積求直線方向向量與法向量夾角余弦值,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系確定直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接BD，由已知，，，即，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面.又平面，所以，由于，E為AD的中點，且，所以四邊形為正方形，即，又可得為平行四邊形，所以，，平面，∴平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】∵平面，∴為二面角的平面角，從而.如圖所示，在平面內(nèi)，作，以A為原點，分別以所在直線為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，∴，設(shè)平面的法向量，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20.點M是直線x=-1上的動點，O為坐標(biāo)原點，過點M作y軸的垂線l，過點O作直線OM的垂線交直線l于點P.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）過曲線C上的一點P（異于原點O）作曲線C的切線交橢圓于A、B兩點，求面積的最大值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系寫出對應(yīng)向量關(guān)系式，由此可得軌跡的方程；（2）設(shè)出直線的方程，根據(jù)直線與曲線相切得到關(guān)于的表達式，然后通過聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理以及弦長公式表示出的面積，最后利用基本不等式求解出最大值.【小問1詳解】設(shè)Px,y，則，所以，因為，所以，所以P點到軌跡為；【小問2詳解】設(shè)Ax1,因為為曲線的切線，聯(lián)立可得，所以，由可得，所以，且Δ=6mn2所以，又因為原點O到AB的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時等號成立（此時滿足），綜上可知面積的最大值為3.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中求解三角形面積的常用方法：（1）利用弦長以及點到直線的距離公式，結(jié)合底高，表示出三角形的面積；（2）根據(jù)直線與圓錐曲線的交點，利用公共底或者公共高的情況，將三角形的面積表示為或；（3）借助三角形內(nèi)切圓的半徑，將三角形面積表示為（r為內(nèi)切圓半徑）.21.已知，函數(shù)，．（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；（2）求證：若函數(shù)有極大值點，則．【答案】（1）1（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）把代入，借助導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，分析求解；（2）求導(dǎo)，分、和三種情況，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值點，進而可得結(jié)果.【小問1詳解】若，則，可得，設(shè)，則，可知在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；可知在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的零點個數(shù)為1.【小問2詳解】函數(shù)，其定義域為，則，由（1）可知上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，；且，令，解得或，若，即，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點，不符合題意；若，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則是的極大值點，且，又因為，則，所以；若，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可知上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則是的極大值點，可得；綜上所述，函數(shù)存在極大值點，且.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值．（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．請考生在22、23二題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù))，是曲線上的點，所對應(yīng)的參數(shù)分別為和；以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求點的直角坐標(biāo)，并求出間的距離；（2）若點在曲線上，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（