北師大版八年級數(shù)學專項復習：勾股定理的應用（原卷版）

第03講勾股定理的應用

學^目標彳

1.利用勾股定理及逆定理解決生活中的實際問題。

2.通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學生的空間觀念.

|磨基礎(chǔ)知￡

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知識點1:勾股定理應用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角

形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方

進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的

結(jié)論.本專題分類進行鞏固解決以下生活實際問題

類型一、應用勾股定理解決梯子滑落高度問題

類型二'應用勾股定理解決旗桿高度

類型三、應用勾股定理解決小鳥飛行的距離

類型四、應用勾股定理解決大樹折斷前的高度

類型五'應用勾股定理解決水杯中的筷子問題

類型六'應用勾股定理解決航海問題

類型七、應用勾股定理解決河的寬度

類型八、應用勾股定理解決汽車是否超速問題

類型九、應用勾股定理解決是否受臺風影響問題

類型十、應用勾股定理解決選扯距離相離問題

類型十一、應用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題

知識點2：平面展開圖-最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下：

B

甲乙丙

長方體

基本思路：將立體圖形展開成平面圖形,利用兩點之間線段最短確定最短路

線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解

考點剖析

考點一：應用勾股定理解決梯子滑落高度問題

1.（2023春?潮陽區(qū)校級期中）如圖，一架長10米的梯子AB,斜靠在豎直的墻

上，這時梯子底端離墻（BO）6米

(1)此時梯子頂端A離地面多少米?

(2)若梯子頂端A下滑3米到C處，那么梯子底端B將向左滑動多少米到D處?

【變式1】（2023春?北辰區(qū)期中）如圖梯子斜靠在豎直的墻AO,A。長為24dm,OB為1dm.

（1）求梯子AB的長；

（2）梯子的頂端A沿墻下滑4曲z到點C,梯子底端2外移到點求8。的長.

考點二：應用勾股定理解決旗桿高度

rAo例2.八（2）班數(shù)學課外活動小組的同學測量學校旗桿的高度

I——I時，發(fā)現(xiàn)升旗的繩子垂到地面要多1米，當他們把繩子的下端拉

開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面.你能將旗桿的高度求出

【變式2-1】如圖，學校要測量旗桿的高度，同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多

出一段（如圖1）,同學們首先測量了多出的這段繩子長度為1米，再將繩子拉直（如圖

2）,測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度.

圖1圖2

【變式2-2］數(shù)學綜合實驗課上，同學們在測量學校旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用

的繩子垂到地面還多2米；當把繩子的下端拉開8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以

上數(shù)據(jù)，同學們準確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計算出來的嗎？

考點三：應用勾股定理解決小鳥飛行的距離

例3.如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路

?二」程是多少米？（先畫出示意圖，然后再求解）.

【變式3］（2020秋?亭湖區(qū)校級期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵

高6米，兩樹相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小

鳥至少飛行多少米.

考點四：應用勾股定理解決大樹折斷前的高度

4.“風吹樹折”問題又稱為“折竹抵地”，源自《九章算術(shù)》，原文為：“今

有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問折者高幾何?”意思是：一根竹子，原高一

丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠，則折斷

后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）

【變式4-1］（2023春?沙河口區(qū)期中）如圖，一木桿在離地面3相處折斷，木桿頂端落在

離木桿底端4機處，則木桿折斷之前的高度是（）

【變式4-2］（2021秋?廣南縣期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹

子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米.求竹子折斷

處與根部的距離CB.

考點五：應用勾股定理解決水杯中的筷子問題

5.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，水池中離岸邊。點4米的C處，直立長

著一根蘆葦，出水部分的長是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端2恰好落到。點,

則水池的深度AC為多少米.

【變式5-1]（2022秋?任城區(qū)期中）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅

蓮，它高出水面30cm.突然一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，

如果知道紅蓮移動的水平距離為6Qcm,求水深是多少cm?

【變式5-2】小芳在喝易拉罐飲料的時候，發(fā)現(xiàn)如果沿著罐內(nèi)壁豎直放置吸管，露在外

面部分BD=2厘米；如果盡最大長度往里放置，吸管正好和罐頂持平，已知易拉罐的底部

是直徑（AC）為8厘米的圓，請你求出吸管的長度.

考點六：應用勾股定理解決航海問題

6.（2023春?思明區(qū)校級期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16

海里/時的速度向北偏東40°航行，乙船以30海里/時的速度航行，半小時后，甲船到達

C島，乙船到達8島，若C、B兩島相距17海里，求乙船的航行方向？

北

【變式6-1］（2023春?蔡甸區(qū)期中）如圖，某港口尸位于東西方向的海岸線上，“遠航”

號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16

海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口2小時后分別位于。、R處，且相

距40海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？

【變式6-2］（2023?浦橋區(qū)校級模擬）如圖，海中有一小島尸，它的周圍12海里內(nèi)有暗礁,

漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測得小島P在北偏東60°方向上，航行16海里到

N處，這時測得小島尸在北偏東30°方向上.如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否

有觸礁危險，并說明理由.

考點七：應用勾股定理解決河的寬度

在1例7.（2022春?蘭山區(qū)期末）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C,河

邊原有兩個取水點A,B,其中A3=AC,由于某種原由，。到A的路現(xiàn)在已

經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A,H,B在一

條直線上），并新修一條路CH,測得C3=3左加，CH=2Akm,BH=1.8km.求

原來的路線AC的長.

【變式7】如圖，點A是華清池景點所在位置，游客可以在游客觀光車站3或C

處乘車前往，且A3=BC,因道路施工，點C到點A段現(xiàn)暫時封閉，為方便

出行，在3c這條路上的。處修建了一個臨時車站，由。處亦可直達A處，

若AC=1左機,AD=0.8km,CD=0.6km.

(1)判斷△ACD的形狀，并說明理由;

(2)求路線A3的長.

考點八：應用勾股定理解決汽車是否超速問題

在21例8-(2021八上?葉縣期末)某條道路限速70km",如圖，一輛小汽車在這

條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30771的C處,

過了2s后，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速測檢測儀間的距離為1,0口m小，這輛

小汽車超速了嗎?

小汽車小汽車

B”

檢測儀

【變式8]"某市道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過60千

米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速

檢測儀A正前方24米的C處，過了1.5秒后到達B處（BCLAC）,測得小汽車與車速

檢測儀間的距離AB為40米，請問這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？

---------------F

A

觀測點

考點九：應用勾股定理解決是否受臺風影響問題

d]例9.（2022秋?慶云縣期中）如圖，是一條鐵路，點A是居民區(qū)，火

車位于P處時，測得居民區(qū)A位于P的北偏西30°方向上，火車行駛200米

到達點。，此時測得居民區(qū)A位于Q的北偏西60°方向上.

（1）求火車在。處時距離居民區(qū)A的距離？

（2）若200米范圍內(nèi)，會對居民區(qū)有噪音影響，求如果火車的行駛速度是

12km/h,求居民區(qū)受影響的時間是多少秒？

【變式9】（2023春?渝北區(qū)月考）如圖，在甲村至乙村的公路旁有一塊山地需要開發(fā)，現(xiàn)

有一C處需要爆破，已知點C與公路上的?？奎cA的距離為300米，與公路上另一停靠

點B的距離為400米，且為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)受

會有危險.請通過計算判斷在公路AB上行駛時是否會遇到危險？若無，請說明理由，若

有危險請求出危險路段的長度.

考點十：應用勾股定理解決選扯距離相離問題

10.（2023春?惠陽區(qū)校級期中）如圖，鐵路上A,B兩點相距255?，C,。為兩

村莊，于點A,CB_L4B于點已知D4=15h〃，CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路

AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C,。兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A

站多少km處?

【變式10】（2023春?渦陽縣期中）一條東西走向的公路上有A,B兩個站點（視為直線上

的兩點）相距30初1,C,。為兩村莊（視為兩個點），于點A,CBLAB于點8

（如圖），已知D4=12初1,CB=2Qkm,現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)儲藏倉庫P,

使得C,￡＞兩村莊到儲藏倉庫P的直線距離相等，請求出儲藏倉庫P到A站點的距離.（精

確到1km）

考點十一：應用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題

（2020春?西城區(qū)校級期中）如圖，長方形ABC。中，AB=8,BC=10,在

邊CD上取一點E,將△ADE折疊后點。恰好落在BC邊上的點F處

（1）求CE的長；

（2）在（1）的條件下，BC邊上是否存在一點P,使得雨+PE值最??？若存在，請求出最

小值：若不存在，請說明理由.

【變式11］如圖所示，折疊長方形一邊AD,點。落在BC邊的點尸處，已知BC=10厘米,

AB=8厘米.

（1）求與尸C的長.

（2）求EC的長.

4-_____________________

S

BpC

考點十二：平面圖形-最短路徑問題

例12.（2023春?南崗區(qū)校級月考）如圖，長方體的長，寬，高分別為2cm,1cm,

4cm,螞蟻在長方體表面爬行，從點A爬到點8的最短路程是（）

B

/Z|

4cm?

>------J

-----^cm

2cm

A.5B.V29C.V37D.7

【變式12-1］（2022?陜西）如圖，是一個棱長為1的正方體紙盒.若一只螞蟻要沿著正方

體紙盒的表面，從頂點A爬到頂點2去覓食，則需要爬行的最短路程是（）

B.2C.V5D.3

【變式12-2】（2023春?靈丘縣月考）如圖，正方體的棱長為30〃，已知點B與點C之間的

距離為1cm，一只螞蟻沿著正方體的表面從點A爬到點C,需要爬行的最短距離為（）

B.5cmC.4cmD.y/10cir

（2023春?東港區(qū)校級月考）如圖所示，已知圓柱的底面周長為36,高48

=5,P點位于圓周頂面工處，小蟲在圓柱側(cè)面爬行，從A點爬到尸點，然后再爬回C點,

3

則小蟲爬行的最短路程為（）

B.13+屈C.13衣D.2A/61

【變式13-1】（2023春?富順縣校級月考）如圖，一個底面圓周長為24c高為9cm的圓

柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點A沿側(cè)面爬行到相對的底面上的點B所經(jīng)過的最

短路線長為（）

A.4V13cmB.15cmC.14cmD.13cm

【變式13-2]（2022秋?競秀區(qū)期末）如圖，有一個圓柱形油罐，其底面周長是12m,高

AB為5m,現(xiàn)在要以點A為起點環(huán)繞油罐表面建梯子，終點正好建在點A的正上方的點

8處，則梯子最短需要（）

B.11米C.12米D.13米

真題演練

illllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

1.（2020?巴中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一個“折竹抵地”問題:

“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高

一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹

子根部三尺遠，問：原處還有多高的竹子？（）

C.5尺D.5.55尺

2.（2020?廣西）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學代表作，書中記載：今有開門去畫（讀k€in,

門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平

面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1

尺（1尺=10寸），則AB的長是（）

D.104寸

3.（長沙）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問

有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這

道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積

有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米

C.75平方千米D.750平方千米

4.（浙江）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角

的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻

時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）

5.（荊州）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問

折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹

梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地

面的高度為x尺，則可列方程為（）

A.x2-6=（10-%）2B.%2-62=（10-%）2

C.?+6=（10-x）2D.?+62=（10-%）2

6.（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為A3高為AC,一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)

面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線,

正確的是（

A

7.（2021?玉林）如圖，某港口尸位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口,

各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分

別位于點A,B處,且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，則乙船沿

方向航行.

8.（2021?宿遷）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面

是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分為1尺，如

果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的。處（如

圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是一尺.

9.（黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為140",底面周長為32aw,在杯內(nèi)壁離杯底5aw的點

8處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3c%與蜂蜜相對的點A處，則

螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁8處的最短距離為—cm（杯壁厚度不計）.

10.（湘潭）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學著作之一，在“勾股”章中記載了一道

“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成

數(shù)學問題是：如圖所示，△ABC中，ZACB=90°,AC+AB=\Q,BC=3,求AC的長，

如果設(shè)AC=x,則可列方程為.

11.（東營）我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛

藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作

一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處

纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是一尺.

12.（2023?夏津縣一模）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體

的兩個側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學過的數(shù)學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最

13.（大慶）如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10初1至8港，然后再沿北偏西

300方向航行10加至C港.

（1）求4,C兩港之間的距離（結(jié)果保留到O.lkw,參考數(shù)據(jù)：72^1.414,73^1,732）；

（2）確定C港在A港的什么方向.

北

C

P

晨

14.（南通）如圖，沿AC方向開山修路.為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工,

從AC上的一點8取NABO=120°,BD=520m,ZD=30°.那么另一邊開挖點E離。

多遠正好使A,C,E三點在一直線上（?取1.732,結(jié)果取整數(shù)）？

l］晝過關(guān)檢

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1.（2023春?沙河口區(qū)期中）如圖，一木桿在離地面3根處折斷，木桿頂端落在離木桿底端

4能處，則木桿折斷之前的高度是（）

C.8mD.9m

2.（2023春?新市區(qū)期中）如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表

面鋪地毯，地毯的長度至少為（）

A.4米B.7米C.8米D.9米

3.（2023春?興寧區(qū)校級期中）如圖是一圓柱玻璃杯，從內(nèi)部測得底面半徑為6cm,高為

16cm,現(xiàn)有一根長為25cm的吸管任意放入杯中，則吸管落在杯口外的長度最少是（）

B.（25-2^73）cmC.9cmD.5cm

4.（2023春?西城區(qū)校級期中）如圖，一棵大樹在一次強臺風中距地面5相處折斷，倒下后

樹頂端著地點A距樹底端B的距離為12m,這棵大樹在折斷前的高度為（）

BA

A.10mB.17mC.18mD.20m

5.（2023春?洪山區(qū)校級月考）如圖，一架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻上,

這時梯足8到墻底端。的距離為0.7米，若梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將外

A.1.5B.0.9C.0.8D.0.4

6.（2022秋?阜平縣期末）如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊在某海域巡邏，上午某一

時亥IJ在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離Unmile的B處有一艘捕魚船，正在

沿南偏東75°方向以IQnmile/h的速度航行，稽查隊員立即乘坐巡邏船以14nmile/h的速

度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚船，則巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船

A.I/?B.2hC.3hD.4h

7.（2023春?海淀區(qū)校級期中）如圖，一只螞蟻從點A