北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題：特殊平行四邊形中的三種幾何動(dòng)點(diǎn)問題（解析版）

專題03特殊平行四邊形中的三種幾何動(dòng)點(diǎn)問題

類型一、面積問題

例.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZBCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),

以每秒3cm的速度沿折線ABC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段。。方向向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng).已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸，。同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P,。運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為心

⑴直接寫出CD的長(zhǎng)（cm）；

（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，直接寫出四邊形P2QD的周長(zhǎng)（cm）；

⑶在點(diǎn)尸、點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得V3尸。的面積為15cm2?若存在，請(qǐng)求出所有滿足

條件的r的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案］⑴16

（2）8+8713

⑶存在，滿足條件的f的值為125秒或5秒

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AM,CD于根據(jù)題意證明四邊形A8CD是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的

性質(zhì)以及勾股定理可得結(jié)果；

（2）當(dāng)四邊形尸劫女是平行四邊形，則點(diǎn)P在上，點(diǎn)。在QC上，則BP=10-3r,DQ=2t,根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)可得10-3t=2t,求解得出平行四邊形的各邊長(zhǎng)，求其周長(zhǎng)即可；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)；根據(jù)三角形面積列方程

計(jì)算即可.

【詳解】（1）解:如圖1,過(guò)點(diǎn)A作川0LCD于"，

QAM//CB,

^AB//CD,

，四邊形ABCD是平行四邊形，

/.CM=AB=10cm,

在RiADM中，AD=10cm,AM=BC=8cm,

根據(jù)勾股定理得，DM=6cm,

CD=DM+CM=16cm；

（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形，

則點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)。在QC上，

10—3,=2/,

:.t=2,

此時(shí)，BP=DQ=4,CQ=12,根據(jù)勾股定理得，BQ=4岳;

???四邊形尸的周長(zhǎng)為2（BP+a2）=8+8而；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，即：OWy1時(shí)，

25

"t=12；

②當(dāng)點(diǎn)尸在線段3C上時(shí)，即：：＜鵬6時(shí),

如圖4,

圖4

BP=3t-10,CQ=16-2t,

?,?時(shí)始=:出9。=；(310)。6-2。=15,

19

;」=5或/=?(舍)，

即：滿足條件的r的值為二25秒或5秒.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，根據(jù)相應(yīng)圖形

的性質(zhì)列出方程是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZA=ZB=90°,ZADC=120°,AD=12cm,BC=15cm,

點(diǎn)產(chǎn)自點(diǎn)A沿折線AD-DC以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。自點(diǎn)C沿向CB-3A以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P,Q

同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s).

備用圖

⑴當(dāng)尸在AD邊上，點(diǎn)。在8C邊上時(shí)，如圖1.

①用含f的代數(shù)式表示：DP=,BQ=；

②若四邊形APQB是平行四邊形，求f的值？

(2)求V8PQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間f之間的數(shù)量關(guān)系式，并寫出r的取值范圍.

【答案】⑴①DP=12—r；BQ=\5-t-②r=7.5

[-地什竺用

(f+)

22

A/3233A/3135石

(2)5=—r---------1+---------(t^.<)

442

工〃—當(dāng)—

45?(15C<1g

44

【分析】(1)①根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間列代數(shù)式即可；②AP=BQ時(shí)，四邊形APQB是平行四邊形;

(2)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，利用三角形面積公式，分情況討論即可.

【詳解】⑴解：①由題意可知AP=fcm,CQ=Zcm,

SDP=AD-AP=(12-t^cm,

BQ=BC-CQ=15-t(cm)-

②當(dāng)四邊形APQB是平行四邊形時(shí)，

AP=BQ,即/=157，

解得1=7.5.

故答案為：(12-?)cm,15-?(cm)

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DELBC于點(diǎn)E,

貝ZA=ZB=NDEB=90°,

回四邊形ABED是矩形，

SZADE=90°,BE=AD=12(cm),

0CE=BC-fiE=15-12=3(cm),

0ZAT>C=120°,

0ZCDE=ZA￡>C-ZADE=3O°,

0DC=2EC=6(cm),

SDE=-^DC'-CE1=V62-32=3A(cm),

回點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，需12秒，點(diǎn)尸到點(diǎn)C時(shí)，需18秒;點(diǎn)。從點(diǎn)C到點(diǎn)2需15秒，從點(diǎn)8到點(diǎn)A需15+3白

秒.

故分三種情況討論：

①當(dāng)0＜區(qū)12時(shí)，如圖,

②當(dāng)12<Y15時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)X,

PC=AD+DC-t=18-t(cm),

易知DE〃尸”

0NCPH=NCDE=30。，

0CH=1pC=9-1r(cm),

0PH=yjPC2-CH2=1(18—f)(cm),

iih指*33sli356

^\S=-BQPH==

442

③當(dāng)15W18時(shí),如圖，

BQ=t-BC=t-l5(cm),

BH=BC-C/7=15-^9-1r^1r+6(cm),

0S=1B2-S//=1(r-15)-(1?+6)=1/2-|r-45,

一乎什]石（0?<12）

綜上，5=，多-二耳+空8（12<35）.

442'7

13

2

_r__Z-45（15<Z<18）

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式、三角形面積公式、平行四邊形的判定、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、含30

度角的直角三角形的性質(zhì)、四邊形上的動(dòng)點(diǎn)問題等，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形ABC。中，A8=12,BC=18,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

邊做往返運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC邊向終點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)0到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)間時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接尸。，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（秒）.

⑴當(dāng)仁4時(shí)，尸。的長(zhǎng)度為一

（2）當(dāng)四邊形A8Q尸為矩形時(shí)，/的值為一

⑶設(shè)四邊形A8。尸的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑷當(dāng)PQ所在的直線將矩形ABC。分成的兩部分的面積比為102時(shí)，直接寫出f的值.

【答案】⑴10

（2）12

[8?0</9）

[-6?+216（9<Z<18）

（4）f=4或8或12

【分析】（1）當(dāng)f=4時(shí)，AP=8,PD=AD-AP=BC-AP=18-8=10；

（2）當(dāng)四邊形A2QP為矩形時(shí)，AP=B。，根據(jù)不同的時(shí)間段AP的關(guān)系式求出"直即可；

（3）由（2）中不同時(shí)間段4尸的關(guān)系式得出S的分段函數(shù)即可；

（4）尸。所在的直線將矩形ABCO分成面積比為1：2的兩部分時(shí)，可能再兩個(gè)不同的時(shí)間段存在

s四邊形A瑜和$四邊物色兩種可能,根據(jù)（3）中面積的函數(shù)關(guān)系式分段求f值即可.

S四邊形PDCQLS四邊形ABQPZ

(1)

解：當(dāng)V4時(shí)，AP=2f=8,

I2PQ=A￡)-AP=18-8=1O,

故答案為10

(2)

解：當(dāng)四邊形ABQ尸為矩形時(shí)，AP=BQ,

若0449時(shí),AP=2t,則2M

解得六0(不符合題意，舍去)；

若9c長(zhǎng)18時(shí),A尸=36-23則362=1,

解得12；

故答案為12

(3)

解：當(dāng)0〈江9時(shí)，S=；(BQ+4P),AB=1(r+2r)xl2=18r；

當(dāng)9V<18時(shí)，S=^(BQ+AP).AB=-6Z+216.

18z(0<f<9)

綜上所述，S

-6r+216(9<r<18)

(4)

WS四邊形AB0P_J_?,_1c

解：當(dāng)o<r<9時(shí),右一5，火U?四邊形ABQP="U矩形ABC。，

8四邊形PZJCQ乙3

1

ai8r=-xi2xi8,

3

解得Z=4；

若邈3=；，則電邊2/>矩形…，

S四邊形AB。尸,J

2

團(tuán)18f=-xl2xl8,

3

解得片8；

S四邊形MQp11c

當(dāng)9<C?<18時(shí)，右—5，貝US四邊形ABQP=~S矩形ABCD,

S四邊形PDCQL3

1

[?]-6r+216=-xl2xl8,

3

解得V24（舍）；

若①3=；，則，邊.叱*矩i＞，

S四邊形A5QPL3

0-6r+216=|xl2xl8,

解得r=i2；

綜上，當(dāng)f=4或8或12時(shí)，P。所在的直線將矩形ABC。分成面積比為1：2兩部分.

【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的綜合題型，涉及動(dòng)點(diǎn)問題，矩形的性質(zhì)，梯形的面積等知識(shí)點(diǎn)，會(huì)用分類

討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在44區(qū)）中，AB=AD,AO平分/A￡＞,過(guò)點(diǎn)。作AB的平行線交A。的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)C,連接3C.

⑴求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如果OA,。3（。4＞。3）的長(zhǎng)（單位：米）是f_7尤+12=0的兩根，求的長(zhǎng)以及菱形A5CD的面積；

⑶在（2）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)加從A出發(fā),，沿AC以2米/秒的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)N從8出發(fā)，

沿以1米/秒的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.若M、N同時(shí)出發(fā)，問出發(fā)

幾秒鐘后，AMON的面積為2米2

【答案】⑴見解析

⑵5米，24平方米；

（3）1秒或4秒

【分析】（1）根據(jù)題意，用"一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形"先判定平行四邊形，再用鄰邊相等

證明菱形；

（2）解方程可得OA、08的長(zhǎng)，用勾股定理可求A5,根據(jù)“菱形的面積對(duì)應(yīng)對(duì)角線積的一半”計(jì)算連線面

積;

（3）根據(jù)點(diǎn)V、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與。點(diǎn)的位置關(guān)系，分三種情況分別討論.

【詳解】（1）證明：：人。平分NB4D,AB//CD,

ZDAC=/BAC=ZDCA,

.?.△ACD是等腰三角形，AD=DC,

5L-：AB^AD,

AB-CD,

.??四邊形A3CD為平行四邊形，

又?.?AB=AD,

，四邊形ABCD是菱形；

（2）解：解方程/一7%+12=0,得，占=4,尤2=3

/.OA=4,OB—3,

利用勾股定理AB=&M2+OB2=5,AC=2OA=8,BD=2OB=6,

團(tuán)S菱形ABCD=_ACxBD=5x8x6=24平方米?

（3）解：在第⑵問的條件下，設(shè)M、N同時(shí)出發(fā)1秒鐘后，△MQN的面積2機(jī)2,

當(dāng)點(diǎn)M在。4上時(shí)，x<2,S^MON=-j-（4-2x）（3-x）=2,

解得石=1,々=4（大于2,舍去）；

當(dāng)點(diǎn)M在0c上且點(diǎn)N在上時(shí)，2（尤<3,S.”。；，=g（3—%）（2x—4）=2,

2

整理得，X2-5X+8=0,此時(shí)，A=5-4xlx8=-7<0,

團(tuán)原方程無(wú)解；

當(dāng)點(diǎn)M在0c上且點(diǎn)N在。。上時(shí)，即3<xW4,S.MON=（2x-4）（x-3）=2,

2

整理得，X-5x+4=0,解得占=4,x2=1（小于3,舍去）.

綜上所述：M,N出發(fā)1秒或4秒鐘后，AM0N的面積為27/?.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定方法，菱形的面積計(jì)算方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想.

類型二、幾何圖形存在性問題

例1.如圖，在RIAABC中，?B90?,BC=5拒,NC=30。.點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿C4方向以每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿A3方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其

中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)O,E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒?>0）.過(guò)點(diǎn)。作8±BC

于點(diǎn)尸,連接DE,EF.

⑴求AB,AC的長(zhǎng)；

(2)求證：AE=DF；

⑶當(dāng)f為何值時(shí)，ADEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴AB=5,AC=10；

(2)證明見解析

⑶當(dāng)f=g秒或4秒時(shí)，ADEF為直角三角形，理由見解析

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出方程，解方程即可；

(2)利用已知用未知數(shù)表示出。F,AF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出獨(dú)=￡)下；

(3)利用①當(dāng)/￡DF=90。時(shí)；②當(dāng)/￡>EF=90。時(shí)；③當(dāng)NEFD=90。時(shí)，分別分析得出即可.

【詳解】⑴解：設(shè)=

?.?NB=90。，NC=30。，

AC=2AB=2x.

由勾股定理得，(2x)2-/=(5百『，

解得：尤=5,

:.AB=5,AC=10；

(2)證明：由題意得AE=/,CD=2t,

貝ijAD=10-21,

在皿)尸C中，⑦DFC=90。,團(tuán)030°,DC=2t,

^\DF=-CD=t.

2

又AE=t,

.\AE=DF；

(3)解：當(dāng)r=g秒或4秒時(shí)，△/溺為直角三角形，理由如下：

分情況討論：

①回瓦甲二回。尸090。時(shí)，貝！JDE//BC,

團(tuán)她團(tuán)二團(tuán)5=90°,0ADE=團(tuán)030°,

^\AD=2AEf

mQ-2t=2tf

5

團(tuán)。=一；

②叨Eb=90°時(shí)，

財(cái)苑5C,DF^BC,

回AE||D尸.

又ME=DF,

團(tuán)四邊形AEFD為平行四邊形,

@AD"EF,

回回ADE=回。石戶=60°,

團(tuán)財(cái)皮）=30°,

^\AD=-AE

29

團(tuán)10—2t=—t

2f

回，=4；

③aEKD=90。時(shí)，此種情況不存在.

當(dāng)/="1秒或4秒時(shí)，ADE戶為直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形

的性質(zhì)等知識(shí).理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵.

例2.如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，以2cm/s的速度沿Cf￡＞方向向

點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度沿A―3方向向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，若尸、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為、.

備用圖1備用圖2

⑴連接尸。、PQ、DQ,求當(dāng)，為何值時(shí)，APQD的面積為7c/?

(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的/使得△PQD是以PD為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符

合條件的f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)1秒或29秒

⑵存在，/=§秒或(40-4)秒

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和面積公式，利用割補(bǔ)法即可求解；

(2)根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)得出一元二次方程，分情況討論以PD為腰的等腰三角形即可說(shuō)明.

【詳解】(1)解:當(dāng)尸在BC上時(shí)

如圖：根據(jù)題意，AB=BC=CD=AD=4

AQ=t,QB=4T,BP=2t,PC=4-2t,

=

S&PQDS正方形ABCZ)-S^ADQ-S/\BPQ—=7,

16-ix4xf--x2f.(4-r)——x4x(4-2。=7

222

整理，得「一2f+l=0,

解得。=才2=1.

當(dāng)尸在8上時(shí)，止匕時(shí)2v，＜4

S&P3=—(8—2z)x4=7

9

t=一

4

9

答：當(dāng)力為1秒或］秒時(shí)，△尸。。的面積為7cm2.

4

(2)①當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理，得16+(4-2，)2=16+5，

4

解得4=］，G=4(不符合題意，舍去).

②當(dāng)尸D=P。時(shí)，根據(jù)勾股定理，得

16+(4-24=(47)2+(2/)2,整理得：/+8—6=0

解得。=4&-4,t2=-4\/2-4(不符合題意，舍去).

答：存在這樣的r=3秒或(4&-4)秒，使得△PQD是以PD為一腰的等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是分類討論思想的

運(yùn)用.

例3.如圖，在四邊形ABC。中，ADSBC,02=90。，AB=8cm,AZ)=12cm,8C=18cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)

以lcm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)

P也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸，。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5

⑴從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)f取何值時(shí)，PQSCD?

(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在"直，使得四邊形尸QCD是菱形？若存在，請(qǐng)求出r值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

⑶從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)f取何值時(shí)，四邊形PQ8A是矩形？

⑷在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在"直，使得四邊形尸是正方形？若存在，請(qǐng)求出r值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】⑴4

⑵不存在，理由見解析

(3)6

⑷不存在，理由見解析

【分析】(1)利用平行四邊形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(2)利用菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(3)利用矩形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(4)利用正方形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

(1)

解：由運(yùn)動(dòng)知，AP—tcm,CQ—2tcm,

0Z)P=A￡>-AP=(12-力cm,

^\AD//BC,要PQ〃C。，

回四邊形CDPQ為平行四邊形，

^DP=CQ,

012-t=2t,

0r=4,

即，=4時(shí)，PQ//CD；

(2)

不存在，理由：

團(tuán)四邊形PQCZ)是菱形，

0C2=CD,

02r=io,

團(tuán)/=5,

此時(shí)，DP=AD-AP=12-5=7(cm),

而DPaCD,

回四邊形PQCD不可能是菱形;

(3)

如圖4,038=90。，AD//BC,

圖4

團(tuán)當(dāng)AP=8。時(shí)，四邊形A3。尸是矩形,

即f=18-It,

解得：t=6,

團(tuán)當(dāng)f=6時(shí)，四邊形PQBA是矩形;

(4)由當(dāng)f=6時(shí)，四邊形PQ54是矩形,

0Ap=6cm,

(3A8=8cm,

團(tuán)矩形PQBA不能是正方形,

即不存在時(shí)間t,使四邊形尸。54是正方形.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題.解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、菱形、矩形和正方形的判定

和性質(zhì)，確定動(dòng)點(diǎn)的位置.

例4.如圖，在菱形A8CD中，對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。，且AC=8,BD=6,現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)"，N分別

從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M沿線段A2向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿折線C-。-A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)

終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒).

BB

CA

DD

備用圖1備用圖2

⑴填空：AB=_；菱形ABCD的面積S=_；菱形的高//=

(2)若點(diǎn)M的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)N的速度為每秒。個(gè)單位(其中當(dāng)7=4時(shí)在平面內(nèi)存在點(diǎn)E使

得以A,M,N,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的。的值.

24

【答案】(1)5；24；—

(2)1.5或1.94或1.4

【分析】(1)先由菱形的性質(zhì)和勾股定理求得AB，再跟菱形面積為對(duì)角線之積的一半可得S,最后根據(jù)菱

形的面積為邊長(zhǎng)x高，由此可得高力的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)，=4,時(shí)間固定，AM的長(zhǎng)度也就固定，A、M,N、E四點(diǎn)要形成菱形，分兩大類情況，第一類以

AM為邊，這種情況可以畫兩種菱形；第二類以AM為對(duì)角線，只有一種.因此共三種情況，分別計(jì)算.

【詳解】(1)解：團(tuán)四邊形ABC。是菱形，AC與BD交于點(diǎn)O,AC=8,BD=6,

團(tuán)AO=CO=4,BO=DO=3,AC±BDf

財(cái)3=5,

設(shè)菱形的高為h,

貝！J菱形ABCD的面積為工x8x6=ABx/z=24

2

724

團(tuán)。=——

5

24

故答案為：5,24,—

(2)解：當(dāng)/=4時(shí)，AM=4,

①如圖2,四邊形4WEN為菱形，

.\AN=AM=4,

.?.A?+CD=10—4=6,

,3

二.4a=6,a--.

2

圖2

②如圖3,AENM為菱形,皿交人"于點(diǎn)R,作DP垂直3C于尸,

???菱形面積為24,

二.DP=4.8,

.-.CP=1,

?.?NMAR=/BCD,

:.ZAMR=/PDC,

.或_CP

,AM-CD'

:.AR=lA2f

AN=2.24,

a=(A?+CD)+4=(10—2.24)+4=1.94,

圖3

③如圖4,AEMN為菱形,EN交AM于點(diǎn)、T,作3S垂直CD于S,則AT=MT=2,

：.BT=NS=5-2=3,

vBS=4.8,.\CS=1.4,

..6=沖+。5=14+3=4.4,

a—CN+4=4.4+4=1.1；

E

圖4

綜上所述，。的取值有1.5或1.94或1.4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理、面積計(jì)算，分類討論等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性

和技巧性很強(qiáng)，計(jì)算量也較大，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，因此綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

類型三、直線位置關(guān)系問題

例1.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AC=5,BC=4,點(diǎn)。是邊A3的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)以

每秒1個(gè)單位的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作尸Q，AC交折線AB-3C于點(diǎn)。(點(diǎn)。不與點(diǎn)。重合)，

以尸。、。。為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PQOW,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

⑴直接寫出A3的長(zhǎng).

(2)當(dāng)點(diǎn)。落在AB邊上時(shí)，用含/的代數(shù)式表示。。的長(zhǎng).

⑶當(dāng)平行四邊形PQDM為軸對(duì)稱圖形時(shí)求t的值.

⑷連接QM,當(dāng)與RtZXABC的某條邊平行時(shí)，直接寫出/的值.

【答案】⑴3

,、35T53

(2)----1或一，——

2332

嗚、?

⑷二9或上21

205

【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求出AB的長(zhǎng)度；

（2）分類討論。在AD和上的兩種情況，-A。或DQ=AQ-AD,

（3）當(dāng)平行四邊形PQDM為菱形或矩形時(shí)即為軸對(duì)稱圖形，因?yàn)镻QLAC,所以當(dāng)。在A3上時(shí)，ZPQD

不可能為直角，平行四邊形尸QDW不可能為矩形，只存在菱形的情況，根據(jù)PQ="2建立等量解出,值；

當(dāng)。在BC上時(shí)，表示出的長(zhǎng)度較為復(fù)雜，所以可以表示出。行，利用尸建立方程解出/值;

當(dāng)。點(diǎn)在8c中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形PQDM為矩形，可直接求得/值；

（4）因?yàn)槠叫兴倪呅问?。?！钡乃膫€(gè)頂點(diǎn)順序已經(jīng)確定，所以。在過(guò)點(diǎn)。的AC平行線的下方，分類討論。

在AD上和在CN（見詳解圖）上的兩種況下平行于不同邊時(shí)的情況，注意，根據(jù)平行線的定義，當(dāng)。

在A3上時(shí)，不可能平行于A2,當(dāng)。在BC上時(shí)，Q”不可能平行于8c.

【詳解】（1）解：在RMABC中，AB2=AC2-BC2,

AB=《52-42=3；

（2）解：?.,2從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),

AP=t,

...PQLAC,

AAPQ^AABC,

??.AB:BC:AC=3:4:5,

AP:QP:AQ=3:4:5f

AQ^^AP=^t,

丁點(diǎn)。是邊A3的中點(diǎn)，

3

AAD=BD=-,

2

八八35-53

??DQ=------1或T—；

2332

（3）解：當(dāng)平行四邊形尸為菱形或矩形時(shí)即為軸對(duì)稱圖形,

PQ=DQ或平行四邊形PQDM某一內(nèi)角為90。,

①當(dāng)。在A5上時(shí)，?！斗?:”".由（1）得尸Q=1,OQ=1或《，一I,

1Q

解得心叱,

1

"f~2'

。在AB上時(shí)，NPQD不可能為90。，故不存在矩形的情況;

②如圖，當(dāng)。在BC上時(shí)，|<?<5,ACPQSACBA,

CP:QP:CQ=4:3:5,

??AP=t,

CP=5-tf

35

?.PQ=Z(5T),C<2=-(5-r),

55o

25245117

—r-----1+——

16816

當(dāng)尸。2=0。2時(shí)，平行四邊形PQDM為菱形,

2

2545117

—t2-----1+——十一）

16816

解得,=±受,

當(dāng)。點(diǎn)在8C中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形為矩形,

48

止匕時(shí)5T=2乂二二5，

解得,=117;

綜上所述：當(dāng)平行四邊形尸。?！睘檩S對(duì)稱圖形時(shí)，f的值為:、運(yùn)或

225

（4）解：???平行四邊形,

???Q在過(guò)點(diǎn)。的AC平行線的下方，

①如圖，。在AD上，04f〈工QM〃AC時(shí)，易得△。。心必04尸，

???平行四邊形尸,

4

DM=QP=-t,

35

由（1）得。。=,—§，，

3_5

.DQ2一r=5

,DM~3W，

3

9

解得"2；

②如圖，。在AD上，。加〃BC時(shí)，易得△DQMS^QPA,

3

解得F（舍）

③過(guò)點(diǎn)D的平行線交8C于點(diǎn)N,點(diǎn)。在CN上移動(dòng)才可能會(huì)出現(xiàn)平行四邊形PQDM的對(duì)角線Q"平行于

直角三角形的邊，此時(shí)（W5,如圖，當(dāng)加〃AC時(shí)，延長(zhǎng)DM交AC于點(diǎn)//,

???平行四邊形尸以加，

3

0M=PQ=z（5—）且?！癓AC,

V。河〃AC?.四邊形MQPH為矩形，

3

MH=PQ^DM=-（5-t）,

.??^（5-r）x2=DH=f,解得/=

不存在Q河〃AB的情況；

綜上所述：當(dāng)與Rt^ABC的某條邊平行時(shí)，r的值為玄9或弓21.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到相似、平行線的性質(zhì)、平行四邊形以及特殊的平行四邊形的性

質(zhì)和判定，還會(huì)用到分類討論的思想，難度較大，解決本題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確找到不同的情況并對(duì)問題進(jìn)行

分類討論.

例2.如圖，在YABCD中，NA=60。，AB6cm,連接8。，恰有？旗D90?,過(guò)點(diǎn)。作。EL3c于點(diǎn)

E.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)沿D4以Ica/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以4c〃?/s的速度沿射線

BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為小.

⑴分別求BD和BE的長(zhǎng)度；

9

（2）連接P。，當(dāng)/=《時(shí)，判斷PQ與AD是否垂直，并說(shuō)明理由;

⑶試判斷是否存在f的值，使得以P,Q,C,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出r的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑷若點(diǎn)P關(guān)于直線。。對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在直線。上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸，。之間的距離.

【答案】(1)BD=66cm,BE=9cm

⑵尸理由見詳解

⑶存在，，的值為￡或4

小3屈一3屈

(4)------cm或-----cm

22

【分析】(工)可求出加厲=30。，根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)可得4)=248=1257,

8。=退43=6限111,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得相＞〃8。，則NQBC=30。，即可得￡＞石=：2。,

BE=EDE,即可求解；

(2)先證四邊形OEQP是平行四邊形，可得四邊形。EQP是矩形，即可得出結(jié)論；

(3)分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可得AP=8Q,列出方程可求解；

(4)分兩種情況討論，由軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理可求解.

【詳解】(1),四邊形A3CD是平行四邊形，?ABD90?,ZA=60°,AB=6cm,

:.ZADB=30°,AD//BC,

AD=2AB=12cm,BD=y/3AB=66cm,ZJDBC=AADB=30°,

?/DEIBC,

:.DE=^BD=3y[3cm,BE=CDE,

/.BE=y/3DE=9cm；

(2)PQ-LAD,理由如下：

???動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿D4以lcm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)5出發(fā)，以4cm/s的速度沿射線5C

運(yùn)動(dòng),

9936

.,.當(dāng)％=三時(shí)，PD=—,BQ=—,

369

:.QE=BE-BQ=9--=-=PDf

?/AD\\BC,

???四邊形。田2P是平行四邊形，

VDE1BC,

.?.四邊形。E。尸是矩形，

PQ1AD-

(3)存在，

當(dāng)8為邊時(shí)，

??,四邊形PQC。是平行四邊形，

/.PD=CQ,

Z=12—4?,

12

■t——?

"5'

當(dāng)C。為對(duì)角線時(shí)，

四邊形PCQ。是平行四邊形，

PD=CQ,

t=4%—12,

Z=4,

綜上所述：，的值為吊或4；

:.ZQDC=ZBCD=60°,

.1△CD。是等邊三角形,

CD=CQ,

6=12—4，，

3

/.t——,

2

3

過(guò)點(diǎn)P作尸于H,則PH=DE=3辰m,EH=PD=-cm,

vZBCD=60°,CD=AB=6cm,DE^BC,

13

:.CE=-CD=3cm,:.QH=CQ-EH-CE=-cm,

在RRPQ"中，PQ=yJpH2+QH2

vZC7M=120°,二.N尸DP=60。，

??,點(diǎn)尸的對(duì)稱點(diǎn)在線段8的延長(zhǎng)線上，??.NCOQ=gNPDP=30。，

/BCD=ZCDQ+ZCQD,

ZCDQ=ZCQD=30°,:.CD=CQ=6,

9

「.30=12+6=18,.?.41=18,：.t,

2

過(guò)點(diǎn)P作尸于H,財(cái)PH=DE=3&m,EH=PD=^cm,

?.?NBCD=60。，CD=AB=6cmDELBC,:.CE=-CD=3cm,

f2

27

:.QH=CQ+EH+CE=—cm,

在RIAPQH中，PQ=^PH-+QH~=主辱cm；

綜上所述：點(diǎn)P,。之間的距離為Mem或豆曳C%.

22

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

課后訓(xùn)練

1.如圖，在四邊形A3CD中，AB//CD,ZA=90°,DC=2Acm,AB=26cm,動(dòng)點(diǎn)P從D開始沿DC邊向

C點(diǎn)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B開始沿BA向A點(diǎn)以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P,。分別從點(diǎn)。，B同

時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

（1）/為何值時(shí)，四邊形。尸3為矩形？

（2〃為何值時(shí)，四邊形PQBC為平行四邊形？

13

【答案】⑴當(dāng)t秒時(shí)，四邊形。PQA為矩形

（2）當(dāng)r=6秒時(shí)，四邊形PQBC為平行四邊形

【分析】（1）根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，得AQ=DP,求出r,即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，得PC=QB,求出入即可.

【詳解】（1）SAB//CD,

^\AQ//DP,

當(dāng)尸時(shí)，四邊形OPQA為平行四邊形，

0ZA=9O°,

團(tuán)平行四邊形DPQA為矩形，

團(tuán)動(dòng)點(diǎn)尸從￡）開始沿QC邊向C點(diǎn)以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)6開始沿3A向A點(diǎn)以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng),

0DP=fem,BQ=3tcm,

^AQ=AB-BQ=26-2>t,

Elf=26—31,

2613

解得：f=—-=—,

42

團(tuán)當(dāng)”一秒時(shí)，四邊形DPQA為矩形.

2

（2）^\AB//CD,

@QB〃PC,

當(dāng)PC=Q5時(shí)，四邊形PQ3C為平行四邊形，

團(tuán)PC=24T,

024—t=3t,

解得：t=6,

回當(dāng);6秒時(shí)，四邊形PQBC為平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)與幾何的綜合，矩形和平行四邊形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形和平行四邊形的

判定和性質(zhì).

2.如圖，在AABC中，AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)。以每秒la”的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合），

過(guò)點(diǎn)。作直線〃臺(tái)C,/BC4的外角平分線CP于點(diǎn)尸，ZACB的平分線CE于點(diǎn)E設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

發(fā)現(xiàn)：

⑴在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，0E與O尸的關(guān)系是,請(qǐng)寫出理由.

（2）當(dāng)f=2時(shí)，EF=cm.

探究：當(dāng)仁時(shí)，四邊形是矩形，并證明你的結(jié)論.

拓展：若點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使四邊形AEb是正方形，試寫出線段的長(zhǎng)度.（直接寫出結(jié)論即可）

【答案】（1）OE=OR,詳見解析

（2）8cm,探究：3,拓展：AB=10cm

【分析】⑴根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)分別得到NOEC=NACE,ZACF=ZOFC,根據(jù)等腰三

角形的判定定理得到OE=OC,OF=OC,等量代換證明結(jié)論;

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答;

探究：根據(jù)矩形的判定定理得到。4=OC時(shí)，四邊形AECF是矩形，進(jìn)而求出。I,求出入

拓展：根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角得到NACE=45。，進(jìn)而得到ZACB=90。，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得

到答案.

【詳解】（1）解:OE=OF,

理由如下：?.?CE平分N4CB,

:.ZBCE=ZACE,

-,-EF//BC,

:.NBCE=NOEC,

:.ZOEC=ZACE,

:.OE=OC,

同理可得，ZACF=NOFC,

OF=OC,

:.OE=OF,

故答案為：OE=OF；

（2）由題意得，當(dāng)f=2時(shí)，OA=2cm,

貝OC=AC—=4cm,

?：NBCE=ZACE,ZGCF=ZACF,

:.ZECF=90°,

?：OE=OF,

.?.EF=2OC=8（cm）,

故答案為：8；

探究：當(dāng)f=3時(shí)，四邊形AEb是矩形，

理由如下：?:/ECF=9。。,OE=OF,

當(dāng)。4=OC時(shí)，四邊形AECF是矩形，

此時(shí)，OA=OC=3cm,

??1=3時(shí)，四邊形AEC尸是矩形，

故答案為：3；

拓展：當(dāng)四邊形AEB是正方形時(shí)，ZACE=45°,

?.?CE平分ZACB,

:.ZACB=2ZACE=90°,

AB=ylAC2+BC2=A/62+82=10（cm）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、矩形的判定、平行線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì),

掌握矩形的判定定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8,ZA=ZB=ZC=ZD=90°.動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位速

度從點(diǎn)8出發(fā)沿線段BC方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)以每秒8個(gè)單位速度從8點(diǎn)出發(fā)沿正方形的邊

B4-AD-OC-CB方向順時(shí)針作折線運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.

圖1備用圖2

⑴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為一秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。相遇;

(2)當(dāng)8?！ㄊr(shí)，求線段。。的長(zhǎng)度;

⑶連接上4,當(dāng)AHLB和AQ/田全等時(shí)，求f的值.

【答案】⑴3.2

(2)3.2

Q

(3)t為0.8或耳

【分析】(1)先判斷出點(diǎn)尸，。相遇時(shí)，必在正方形的邊3C上，利用運(yùn)動(dòng)路程之和為正方形的正常建立方

程即可；

(2)先判斷出四邊形8QDP是平行四邊形，得出8尸=。。，進(jìn)而表示出班，DQ,用3P建立方程

求解即可；

(3)分點(diǎn)。在正方形的邊AB,AD,CD,8C上，建立方程求解即可得出結(jié)論；

【詳解】(1)解：,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2,BC=8,

，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為4,

點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為8,

???點(diǎn)Q從點(diǎn)8出發(fā)沿54-AD-DC-CB方向順時(shí)針作折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為(8+8+8)+8=3,.?.點(diǎn)尸，Q

相遇時(shí)在邊BC上，

2,+8%=4x8=32,

/.t-3.2，

故答案為3.2；

(2)解：如圖1,

圖1

-.BQ//PD,

點(diǎn)。只能在邊AD上，

四邊形ABCD是正方形，

:.AD//BC,

二四邊形是平行四邊形，

:.BP=DQ,

二.2%=2x8—8，,

t=1.6,

DQ=2x8—8/=3.2；

(3)解：①當(dāng)點(diǎn)。在邊A2上時(shí)，如圖2,

圖2

-.AB^AD,ZABP=NDAQ,要使和AQA。全等，只能是APABMAQDA,

:.BP=AQ,

A2=8-8Z,BP=2t,

8—8,=2,，

1.t—0.8,

②當(dāng)點(diǎn)。在邊4。時(shí)，不能構(gòu)成AQAD,

③當(dāng)點(diǎn)Q在邊CZ）上時(shí)，如圖3,

圖3

同①的方法得，要使ARW和AQAD全等，只能是APA2*QAD,

:.BP=DQ,

2t=8%—16,

8

..t=一,

3

④當(dāng)點(diǎn)。在邊BC時(shí)，AQA。不是直角三角形，而鉆是直角三角形，所以，不能全等；

Q

即：當(dāng)和AQA￡＞全等時(shí)，f的值為0.8或（；

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論.

4.如圖，在YABCD中，NB4c=90。，CD=3,AC=4.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD以lcm/s速度向終點(diǎn)Z）

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以4cm/s速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，

設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒（r＞。）.

（1）CB的長(zhǎng)為.

⑵用含r的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng).

（3）連接尸2,

①是否存在f的值，使得PQ與AC互相平分？若存在，求出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

②是否存在f的值，使得PQ與互相平分？若存在，求出才的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑷若點(diǎn)P關(guān)于直線A。對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在直線A3上，請(qǐng)直接寫出f的值.

【答案】⑴5

（2）es=5-4^0<r<|j^eS=4r-5^>|j

⑶①不存在，理由見解析；②存在，r的值為g

（4/的值為1■或2

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=OC=3,再根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)題意可得CQ=4t,先求出當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時(shí)，所花費(fèi)的時(shí)間，再根據(jù)題意分兩種情況討論即

可：當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)；

（3）①連接PGAQ,假設(shè)PQ與AC互相平分，則可得四邊形APCQ是平行四邊形，進(jìn)而可得AP=CQ,

解得即可到答案；

②連接尸5AQ,假設(shè)PQ與A3互相平分，則可得四邊形AMQ是平行四邊形，進(jìn)而可得AP=BQ,解得

即可到答案；

（4）根據(jù)題意分兩種情況討論即可：當(dāng)點(diǎn)尸關(guān)于直線AQ對(duì)稱的點(diǎn)落在點(diǎn)A下方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于直線A。對(duì)

稱的點(diǎn)落在點(diǎn)A上方時(shí).

【詳解】（1）團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

團(tuán)AB=DC=3,

國(guó)/BAC=90。,

^BC=\lAC2+AB2=742+32=5-

故答案為：5；

（2）在YABCD中，AD=BC,AD//BC,

由題意得，CQ=4t,

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)2重合時(shí)，4/=5,

5

團(tuán)/=—S,

4

當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，Q3=5JCQ=5-4r,

當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，QB=CQ-BC=4t-5,

綜上所述，22=5_4（0</用或?！?/p>

（3）①不存在，理由如下：

如圖，連接尸GAQ,

圖①

若PQ與AC互相平分，則四邊形APCQ是平行四邊形,

^AP=CQ,

回AP=f,CQ=4/,

回f=47,

解得t=0(不合題意)，

回不存在/的值，使得尸。與AC互相平分；

②存在，

如圖，連接尸5AQ,

圖②

若尸。與互相平分，則四邊形APBQ是平行四邊形,

團(tuán)AP=BQ,

酎=布一5,

5

團(tuán)方=-s,

3

團(tuán)當(dāng)/=；S時(shí)，PQ與A3互相平分；

(4)當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于直線A。對(duì)稱的點(diǎn)落在點(diǎn)A下方時(shí)，如圖,

圖③

由對(duì)稱得，ZPAQ=ZP'AQ,

^AD//BC,

^ZPAQ^ZAQB,

0ZP'AQ=ZAQB,即NBAQ=ZAQB,

團(tuán)BQ=AB=3,

⑦CQ=BC-BQ=2,

團(tuán)4。=2,

解得"g;

當(dāng)點(diǎn)尸關(guān)于直線A。對(duì)稱的點(diǎn)落在點(diǎn)A上方時(shí)，如圖,

由對(duì)稱得，Nl=N2,

^AD//BCf

0Z1=Z3,

團(tuán)N2=Z4

團(tuán)N3=/4,

團(tuán)BQ=AB=3,

@CQ=BC+BQ=8,

團(tuán)務(wù)=8,

解得f=2,

綜上所述，f的值為:或2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用和動(dòng)點(diǎn)問題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解

決本題的關(guān)鍵.

5.如圖，矩形ABCD中，CD=4,NCBD=30。.一動(dòng)點(diǎn)尸從B點(diǎn)出發(fā)沿對(duì)角線