中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項知識函數(shù)的整點定點定值問題(2種命題預(yù)測+5種題型專題訓(xùn)練+3種解題方法)含答案及解析

第三章函數(shù)重難點06函數(shù)的整點，定點，定值問題（2種命題預(yù)測+5種題型匯總+專題訓(xùn)練+3種解題方法）【題型匯總】類型一函數(shù)的整點問題【命題預(yù)測】若平面直角坐標系內(nèi)的P點滿足橫、縱坐標都是整數(shù)，我們把這樣的點P稱為“整點”例如點(4,1)、(3,-4)都是整點.在許多資料或考試中，有時也叫美點、好點或格點等.一般來說，“整點問題”難度較大，涉及圖像、函數(shù)、方程、不等式、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識和方法，解這類題的關(guān)鍵是掌握通法!題型01一次函數(shù)的整點問題函數(shù)已知，找整點個數(shù)根據(jù)整點情況求未知參數(shù)第一步尋找已知函數(shù)圖像上的整點作為邊界點(線)分類討論，找臨界狀態(tài)時未知參數(shù)的取值第二步準確畫圖，確定區(qū)域畫臨界狀態(tài)時的圖像找整點，再根據(jù)情況畫參數(shù)取值在臨界狀態(tài)兩側(cè)時的圖像的大致范圍，看整點情況第三步關(guān)注是否包含邊界上的整點關(guān)注是否包含邊界上的整點，確定未知參數(shù)的值或范圍注意事項規(guī)范作圖，防止畫圖錯誤導(dǎo)致點錯位的情況發(fā)生.找整點個數(shù)時的臨界狀態(tài)，若求無整點時的情況，可以找一個整點時的臨界狀態(tài).1．（2023年陜西省西安市高新一中中考六模數(shù)學(xué)試卷）已知一次函數(shù)y=2x+b，點A為其圖象第一象限上一點，過點A作AB⊥x軸于點B，點B的橫坐標為2018，若在線段AB上恰好有2018個整點(包括端點)，則b的取值范圍是（）A．?2018≤b≤?2017 B．?2019≤b≤?2018C．?2018≤b<?2017 D．?2019≤b<?20182．（四川省內(nèi)江市2020年中考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，已知直線y=tx+2t+2（t>0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個整點，則t的取值范圍是（

）A．12≤t<2 C．1<t≤2 D．12≤t≤23．（2023年湖北省武漢市青山區(qū)武鋼實驗學(xué)校中考5月模擬數(shù)學(xué)試題）若平面直角坐標系內(nèi)的點M滿足橫、縱坐標都為整數(shù)，則把點M叫做“整點”，例如：P1,0、Q2,?2都是“整點”，四邊形OABC為正方形且B點坐標為20,20，有4條直線y=knx+bnn=1,2,3,4，其中k1，kA．81個 B．80個 C．71個 D．70個4．（2023年四川省達州市開江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷6）在平面直角坐標系xOy中，直線l：y=kx?1k≠0與直線x=?k,y=?k分別交于點A，B．直線x=?k與y=?k交于點C．記線段AB，BC，AC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W；橫，縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．若區(qū)域W內(nèi)沒有整點，則k5．（2024年河北省邯鄲市第十三中學(xué)中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，平面直角坐標系中，線段MN的端點為M15,26(1)求MN所在直線的解析式；(2)設(shè)線段MN分別交x軸，y軸于A,B兩點，Pa,a+3①請判斷點P是否可能落在線段MN上?說明理由；②當(dāng)點P在△AOB的內(nèi)部（不含邊界）時，求a的取值范圍；(3)點C6,0在x軸的正半軸上，連接CP．若直線CP使線段MN（包含端點）上的整點（橫、縱坐標都是整數(shù)）分布在它的兩側(cè)，且個數(shù)相同，直接寫出滿足條件的整數(shù)a題型02反比例函數(shù)的整點問題1．（2023年四川省樂山市犍為縣九年級調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A的坐標為(?6,4)，AB⊥x軸于點B，已知雙曲線y=kx(k<0，x<0)把Rt△AOB分成W1（1）連接OC，若S△OAC=9，則點D的坐標為（2）若W1內(nèi)（不含邊界）的整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）與W2內(nèi)（不含邊界）的整點個數(shù)比為3:4，則k的取值范圍是2．（2024年河北省邯鄲市中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，雙曲線y=kx（x>0）經(jīng)過點(2,2)和點M(4,n)，經(jīng)過雙曲線上的點A且平行于OM的直線與y軸交于點B，點A在點M左上方，設(shè)G為y軸、直線AB、雙曲線y=kx（x>0）及線段（1）G內(nèi)整點的個數(shù)最多有個；（2）若G內(nèi)整點的個數(shù)為4，則點B的縱坐標m的取值范圍是．3．（2024年河南省焦作市五城區(qū)中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為n（n為正整數(shù)），點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上．若點M(x,y)在正方形OABC的邊上，且x，y均為整數(shù)，定義點M為正方形OABC的“LS點”．若某函數(shù)的圖象與正方形OABC只有兩個交點，且交點均是正方形OABC的“LS點”，定義該函數(shù)為正方形OABC的“LS函數(shù)”．例如：如圖1，當(dāng)n=2時，某函數(shù)的圖象C1經(jīng)過點0,1和2,2，則該函數(shù)是正方形OABC的“LS圖（1）

圖（2）

圖（3）(1)當(dāng)n=1時，若一次函數(shù)y=kx+t(k≠0)是正方形OABC的“LS函數(shù)”，則一次函數(shù)的表達式是______（寫出一個即可）；(2)如圖2，當(dāng)n=3時，正方形OABC的“整點函數(shù)y=mx(x>0)的圖象經(jīng)過BC邊上的點D，與邊AB相交于點E(3)當(dāng)n=4時，二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象經(jīng)過點B.若該函數(shù)是正方形OABC的“LS4．（2024年湖北省荊州市中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，直線l1:y=?12x+72與y軸交于點B，與直線l

(1)求反比例函數(shù)y=k(2)①若將直線l2射線AB方向平移，當(dāng)點A到點B時停止，則直線l2在平移過程中與②直接寫出直線l1與雙曲線y=k5．（2024年廣西南寧市第八中學(xué)六月初中畢業(yè)班適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題）生活中許多問題的解決既可以采用“代數(shù)”的方法解決．也可以從“圖形”的角度來研究．某數(shù)學(xué)建模小組在綜合實踐課上探究面積為4，周長為m的矩形問題時，發(fā)現(xiàn)矩形的面積與周長存在一定的關(guān)系．小組成員進行了如下研究：【問題探究】（1）設(shè)矩形的長和寬分別為x，y，當(dāng)m=10時，這樣的矩形存在嗎？如果存在，請你求出矩形的長與寬；如果不存在，請你說明理由．（2）從矩形的面積為4可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4xx>0，從矩形的周長為10可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為：，將滿足要求的(x,y)（3）根據(jù)上述方法請直接寫出m的取值范圍．【拓展應(yīng)用】（4）我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．如圖2，函數(shù)y=4xx>0的圖象G經(jīng)過點A(4,1)，直線l：y=14x+b與圖象G交于點B，與y軸交于點C．記圖象G在點A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．若區(qū)域題型03二次函數(shù)的整點問題1．（2024年河北省邯鄲市館陶縣中考二模數(shù)學(xué)試題）我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，如圖，拋物線C1：y=?x2+2x+4與C2:y=x?m

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024年安徽省亳州市利辛縣九年級中考二模數(shù)學(xué)試題）定義：在平面直角坐標系中，我們將橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“整點”．（1）拋物線y=x2?2x?32與x（2）若拋物線y=ax2?4ax+4a?3與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)（不包括拋物線和x軸上的點）恰好有8個“整點”，則a3．（2021年江蘇省揚州市江都區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點．若反比例函數(shù)y=kxk>0與二次函數(shù)y=?4x24．（2024年河北省石家莊市第十七中學(xué)中考二模數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x(1)當(dāng)m=?1時，①求該拋物線的頂點坐標；②求該拋物線與x軸圍成的圖形邊界上的整點數(shù)(2)若該拋物線與直線y=5圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）有4個整點，直接寫出m的取值范圍．5．（2024年河南省周口市沈丘縣2校聯(lián)考一模數(shù)學(xué)模擬試題）如圖，拋物線y=x2+bx+c的圖象交x軸于A?1,0，B兩點，交y軸于點C0(1)求拋物線的解析式；(2)點P為拋物線上一個動點，若點P與點C之間部分（含點P與點C）圖象最高點和最低點縱坐標之差等于6時，求點P的坐標；(3)連接BD，若△ABD內(nèi)部（不含邊）有7個整點（橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點），直接寫出m的取值范圍．6．（2023年安徽省合肥市廬江縣中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，直線m:y=b和直線n:y=x?b分別與y軸交于點A，點B，頂點為C的拋物線L:y=?x2+bx與x(1)若AB=8，求b的值和拋物線L的對稱軸；(2)當(dāng)點C在m下方時，求頂點C與m距離的最大值；(3)在L和n所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“整點”，求出b=2023時“整點”的個數(shù)．類型二函數(shù)的定點問題【命題預(yù)測】函數(shù)的解析式中除自變量外，還有待定的系數(shù)，此時函數(shù)的圖像會隨著待定的系數(shù)的變化而變化，圖像變化過程中,有時始終會經(jīng)過某個固定的點.定點問題常出現(xiàn)在各地考試中，難度中上，掌握好定點問題的本質(zhì)即可快速解決.解題方法（以一次函數(shù)定點問題為例）：將一次函數(shù)化成即經(jīng)過的頂點坐標為（a，b）.1．（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=kx2?x?4k（k為常數(shù)且k≠0）的圖象始終經(jīng)過第二象限內(nèi)的定點A．設(shè)點A的縱坐標為m，若該函數(shù)圖象與y=m在1<x<3內(nèi)沒有交點，則k2．（2024年云南省昆明市中考二模數(shù)學(xué)試題）如果一個點的橫、縱坐標均為常數(shù)，那么我們把這樣的點稱為確定的點，簡稱定點．比如點1,2就是一個定點．對于一次函數(shù)y=kx?k+3（k是常數(shù)，k≠0），由于y=kx?k+3=kx?1+3，當(dāng)x?1=0即x=1時，無論k為何值，y一定等于3，我們就說直線y=kx?k+3一定經(jīng)過定點1,3．設(shè)拋物線y=mx2+2?2mx+m?2（m(1)拋物線經(jīng)過的定點D的坐標是______；(2)是否存在實數(shù)m，使頂點P在x軸上？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)m=?12時，在y=kx+3的圖像上存在點Q，使得這個點到點P、點D的距離的和最短．求3．（湖北省十堰市實驗中學(xué)名校教聯(lián)體2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）材料一：經(jīng)過一點m,t的直線解析式總可以表示為：y=kx?m+t比如過一點2,3的直線解析式可以表示為：材料二：二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象若與直線y=n有兩點交點x1,n(1)由材料一：直接寫出直線y=kx+1(2)由材料二：若二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過?1,8，4,3(3)若一次函數(shù)y=kx+p與（2）中的拋物線交于點5,8，試用k4．（2024年云南省初中學(xué)業(yè)水平考試模擬數(shù)學(xué)模擬預(yù)測題（二））已知拋物線：y=m+1x2(1)已知拋物線始終過定點，求定點的坐標；(2)拋物線y=m+1x2?4m+1x+c不經(jīng)過第三象限，且經(jīng)過點?m,11m，若一元二次方程m+1x5．（2022年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點A（3，0）．(1)當(dāng)拋物線過點A時，求拋物線的解析式；(2)證明：無論m為何值，拋物線必過定點D，并求出點D的坐標；(3)在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點B，點P是拋物線上位于第一象限的點，連接AB，PD交于點M，PD與y軸交于點N．設(shè)S=S△PAM－S△BMN，問是否存在這樣的點P，使得S有最大值？若存在，請求出點P的坐標，并求出S的最大值；若不存在，請說明理由．6．（2022年四川省成都市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx?3k≠0與拋物線y=?x2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B關(guān)于y(1)當(dāng)k=2時，求A，B兩點的坐標；(2)連接OA，OB，AB'，BB'，若△B(3)試探究直線AB'是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．7．（2024年福建省三明市大田縣部分學(xué)校中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為P(1,0)，與y軸交于點C(0,?12)，以點P為頂點作(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，若PM=PN，求MN的長；(3)判斷直線MN是否經(jīng)過定點1,?2，并說明理由．8．（福建省福州市鼓樓區(qū)福州立志中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期中考模擬數(shù)學(xué)試題）已知拋物線y=ax2?2ax+c與x軸交于A?1,0、B兩點，頂點為P，與y軸交于C點，且△ABC(1)求拋物線的對稱軸和解析式；(2)平移這條拋物線，平移后的拋物線交y軸于E，頂點Q在原拋物線上，當(dāng)四邊形APQE是平行四邊形時，求平移后拋物線的表達式；(3)若過定點K2,1的直線交拋物線于M、N兩點（N在M點右側(cè)），過N點的直線y=?2x+b與拋物線交于點G，求證：直線MG必過定點．9．（2023年湖北省武漢市江漢區(qū)中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，拋物線y=ax2+bx?3a與x軸交于A?1,0，B兩點，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P在拋物線上，若tan∠PAB=13

(3)如圖，直線y=kx+k+1與拋物線交于M，N兩點，在拋物線上存在定點Q，使得任意實數(shù)k，都有∠MQN=90°，求出點Q的坐標．

類型三二次函數(shù)的定值問題【解題方法】二次函數(shù)中的定值問題常與幾何知識綜合考查，常見的有線段和(差)面積，比值等.利用二次函數(shù)求解這些幾何線段所代表的代數(shù)式定值問題屬于定量問題，一般采用參數(shù)計算法，即在圖形運動中，選取其中的變量(如線段長，點坐標)，設(shè)出參數(shù)，將要求的代數(shù)式用含參數(shù)的形式表示出來，消去參數(shù)后即得定值.1．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x2+c的圖像經(jīng)過點A?2,5，點(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線AB的上方，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D，連接AC,DQ,PQ．若x2=x(3)如圖2，點P在第二象限，x2=?2x1，若點M在直線PQ上，且橫坐標為x1?1，過點M作2．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A2,4，D6,0，點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，CF∥AO，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C?2,?4，AH⊥CH(1)求拋物線的解析式及△AOD的面積；(2)當(dāng)點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；(3)試探究FGGI3．（2022·四川巴中·中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+2x+c，交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，F(xiàn)為拋物線頂點，直線EF垂直于x軸于點E，當(dāng)y≥0(1)求拋物線的表達式；(2)點P是線段BE上的動點（除B、E外），過點P作x軸的垂線交拋物線于點D．①當(dāng)點P的橫坐標為2時，求四邊形ACFD的面積；②如圖2，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點．試問，EM+EN是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．4．（2024·黑龍江大慶·二模）已知拋物線y=ax2+bx?3a≠0與x軸交于點C?1,0(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖，若直線AB下方的拋物線上有一動點P，過點P作y軸平行線交AB于點F，過點P作AB的垂線，垂足為E，求△EFP周長的最大值；(3)將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到一個新的拋物線，問在y軸正半軸上是否存在一點M，使得當(dāng)經(jīng)過點M的任意一條直線與新拋物線交于S，T兩點時，總有1MS25．（2024·江蘇鹽城·三模）拋物線y=?x2＋2x＋3與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側(cè)），與y軸交于點C(1)直接寫出A、B、C三點坐標；(2)如圖1，若一次函數(shù)y=mx?m+154m≠0的圖像與拋物線相交與M①若m=1時，點E是直線MN上方拋物線上的一個動點，過點E作ED∥y軸交MN于點D，連接ME，NE；當(dāng)△MEN的面積最大時，試求面積的最大值；②取MN的中點P，過點P作PQ∥y軸交拋物線于點Q，試判斷PQMN

第三章函數(shù)重難點06函數(shù)的整點，定點，定值問題（2種命題預(yù)測+5種題型匯總+專題訓(xùn)練+3種解題方法）【題型匯總】類型一函數(shù)的整點問題【命題預(yù)測】若平面直角坐標系內(nèi)的P點滿足橫、縱坐標都是整數(shù)，我們把這樣的點P稱為“整點”例如點(4,1)、(3,-4)都是整點.在許多資料或考試中，有時也叫美點、好點或格點等.一般來說，“整點問題”難度較大，涉及圖像、函數(shù)、方程、不等式、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識和方法，解這類題的關(guān)鍵是掌握通法!題型01一次函數(shù)的整點問題函數(shù)已知，找整點個數(shù)根據(jù)整點情況求未知參數(shù)第一步尋找已知函數(shù)圖像上的整點作為邊界點(線)分類討論，找臨界狀態(tài)時未知參數(shù)的取值第二步準確畫圖，確定區(qū)域畫臨界狀態(tài)時的圖像找整點，再根據(jù)情況畫參數(shù)取值在臨界狀態(tài)兩側(cè)時的圖像的大致范圍，看整點情況第三步關(guān)注是否包含邊界上的整點關(guān)注是否包含邊界上的整點，確定未知參數(shù)的值或范圍注意事項規(guī)范作圖，防止畫圖錯誤導(dǎo)致點錯位的情況發(fā)生.找整點個數(shù)時的臨界狀態(tài)，若求無整點時的情況，可以找一個整點時的臨界狀態(tài).1．（2023年陜西省西安市高新一中中考六模數(shù)學(xué)試卷）已知一次函數(shù)y=2x+b，點A為其圖象第一象限上一點，過點A作AB⊥x軸于點B，點B的橫坐標為2018，若在線段AB上恰好有2018個整點(包括端點)，則b的取值范圍是（）A．?2018≤b≤?2017 B．?2019≤b≤?2018C．?2018≤b<?2017 D．?2019≤b<?2018【答案】D【分析】根據(jù)題意可以的關(guān)于b的不等式，然后根據(jù)題意即可求得b的取值范圍．【詳解】解：由題意可得，點A的橫坐標為2018，∵在線段AB上恰好有2018個整點（包括端點），∴2017≤2×2018+b<2018，解得，?2019≤b<?2018，故選：D．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用函數(shù)的思想和不等式的性質(zhì)解答．2．（四川省內(nèi)江市2020年中考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，已知直線y=tx+2t+2（t>0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個整點，則t的取值范圍是（

）A．12≤t<2 C．1<t≤2 D．12≤t≤2【答案】D【分析】畫出函數(shù)圖象，利用圖象可得t的取值范圍.【詳解】∵y=tx+2t+2，∴當(dāng)y=0時，x=?2?2∴直線y=tx+2t+2與x軸的交點坐標為（?2?2∵t>0，∴2t+2>2，當(dāng)t=12時，2t+2=3，此時?2?2t=-6，由圖象知：直線y=tx+2t+2當(dāng)t=2時，2t+2=6，此時?2?2t=-3，由圖象知：直線y=tx+2t+2（當(dāng)t=1時，2t+2=4，?2?2t=-4，由圖象知：直線y=tx+2t+2（∴12≤t≤2且故選：D.【點睛】此題考查一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標，根據(jù)t的值正確畫出圖象理解題意是解題的關(guān)鍵.3．（2023年湖北省武漢市青山區(qū)武鋼實驗學(xué)校中考5月模擬數(shù)學(xué)試題）若平面直角坐標系內(nèi)的點M滿足橫、縱坐標都為整數(shù)，則把點M叫做“整點”，例如：P1,0、Q2,?2都是“整點”，四邊形OABC為正方形且B點坐標為20,20，有4條直線y=knx+bnn=1,2,3,4，其中k1，kA．81個 B．80個 C．71個 D．70個【答案】C【分析】根據(jù)“整點”的定義可知，在正方形OABC內(nèi)（包括邊上）的整點橫坐標的取值范圍是0到20的自然數(shù)，直線y=knx+bnn=1,2,3,4在0≤x≤20范時，當(dāng)【詳解】解：由畫圖可知：

直線y=?x+20在正方形OABC內(nèi)（包括邊上）經(jīng)過的整點的個數(shù)有21個，直線y=x在正方形OABC內(nèi)（包括邊上）經(jīng)過的整點的個數(shù)有21個，直線y=10在正方形OABC內(nèi)（包括邊上）經(jīng)過的整點的個數(shù)有21個，直線y=?12x+15其中點(10,10)是四條直線的交點，故經(jīng)過的整點的個數(shù)最多是21×3+11?3=71（個）故選C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是抓住k1，k2，k34．（2023年四川省達州市開江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷6）在平面直角坐標系xOy中，直線l：y=kx?1k≠0與直線x=?k,y=?k分別交于點A，B．直線x=?k與y=?k交于點C．記線段AB，BC，AC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W；橫，縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．若區(qū)域W內(nèi)沒有整點，則k【答案】0<k≤1或k=2【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)中交點的計算，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，分類討論：當(dāng)k<0時，直線y=kx?1過第二、三、四象限，直線x=?k>0，y=?k>0；當(dāng)0<k≤1，直線y=kx?1過第一、三、四象限，直線x=?k<0，y=?k<0；由題意作圖分析即可求解．【詳解】解：當(dāng)k<0時，直線y=kx?1過第二、三、四象限，直線x=?k>0，y=?k>0，如圖所示，∴區(qū)域W內(nèi)必有原點0,0，不符合題意，舍去；當(dāng)0<k≤1，直線y=kx?1過第一、三、四象限，直線x=?k<0，y=?k<0，如圖所示，∴當(dāng)x=?k時，y=k·?k?1=?k當(dāng)y=?k時，?k=kx?1，解得，x=1?kk，即當(dāng)x=0時，y=kx?1=?1，即0,?1在直線y=kx?1的圖象上，不在區(qū)域W內(nèi)，∵C?k,?k，0<k≤1∴區(qū)域W內(nèi)，橫坐標的范圍是從?k到1?kk，不存在整點，縱坐標的范圍從?k到?當(dāng)1<k≤2時，∴?2≤?k<?1，同理，A?k,?k2?1，∴當(dāng)k=1時，A?1,?2，B0,?1，當(dāng)k=2時，A?2,?5，B?3∴當(dāng)1<k<2時，存在整點，當(dāng)k=2，不存在整點；當(dāng)k>2時，如圖所示，橫坐標為?2的邊界點為?2,?k和?2,?2k?1，線段長為k+1>3，∴區(qū)域W內(nèi)有整點，不符合題意；綜上所述，0<k≤1或k=2時，區(qū)域W內(nèi)沒有整點，故答案為：0<k≤1或k=2．5．（2024年河北省邯鄲市第十三中學(xué)中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，平面直角坐標系中，線段MN的端點為M15,26(1)求MN所在直線的解析式；(2)設(shè)線段MN分別交x軸，y軸于A,B兩點，Pa,a+3①請判斷點P是否可能落在線段MN上?說明理由；②當(dāng)點P在△AOB的內(nèi)部（不含邊界）時，求a的取值范圍；(3)點C6,0在x軸的正半軸上，連接CP．若直線CP使線段MN（包含端點）上的整點（橫、縱坐標都是整數(shù)）分布在它的兩側(cè)，且個數(shù)相同，直接寫出滿足條件的整數(shù)a【答案】(1)y=(2)①P可能落在線段MN，理由見解析；②?3<a<0(3)2或3【分析】本題主要考查了在平面直角坐標系中一次函數(shù)與線段之間的聯(lián)系；（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①把Pa，a+3②判斷得出點P在直線y=x+3上，畫出圖形，求得直線y=x+3與坐標軸的交點即可求解；（3）當(dāng)x的值為3的整數(shù)倍時，該點為整點，則整點的橫坐標為15，12，9，6，3，0，?3，?6，?9，?12共10個，CP與直線l的交點橫坐標在0～3之間（包括端點），設(shè)直線CP的解析式為y=px+q，得到0<54?36a【詳解】（1）解：∵線段MN的端點為M15,26∴15k+b=26解得：k=∴直線MN的解析式為y=4（2）解：①把Pa，a+3代入y=解得a=?9，則a+3=?6，∴當(dāng)P?9，?6時，點P②∵Pa∴點P在直線y=x+3上，當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)y=0時，x=?3；∴直線y=x+3與坐標軸的兩個交點為E0，3

∵點P在△ABO的內(nèi)部點P在線段EF上，∴?3<a<0；（3）解：對于直線y=43x+6，當(dāng)x則在線段MN上，整點的橫坐標為15，12，9，6，3，0，?3，?6，?9，?12共10個，∵CP平分這10個整點，∴CP與直線MN的交點橫坐標在0～3之間（不包括端點），設(shè)直線CP的解析式為y=px+q，則6p+q=0ap+q=a+3，解得p=∴直線CP的解析式為y=a+3解方程a+3a?6得x=54?36a∴0<54?36a當(dāng)a?33>0，即a>33，則54?36a>0且54?36a<3a?33∴a<32且當(dāng)a?33<0，即a<33，則54?36a<0，∴a>354?36a>3a?33∴a<51∵a為整數(shù)，∴a可取2或3．題型02反比例函數(shù)的整點問題1．（2023年四川省樂山市犍為縣九年級調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A的坐標為(?6,4)，AB⊥x軸于點B，已知雙曲線y=kx(k<0，x<0)把Rt△AOB分成W1（1）連接OC，若S△OAC=9，則點D的坐標為（2）若W1內(nèi)（不含邊界）的整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）與W2內(nèi)（不含邊界）的整點個數(shù)比為3:4，則k的取值范圍是【答案】?3,2?8<k<?5【分析】本題考查了反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何綜合以及圖象中的整點問題．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想．（1）由S△OAC=AC×OB2=AC×62=9，可求AC的值，進而可得點C坐標，然后將點C坐標代入求得k的值，然后可得反比例函數(shù)解析式，設(shè)直線OA的解析式為y=k1x，將點A（2）由題意知，△AOB中共有7個不含邊界的整點，分別為(?2,1),(?3,1),(?4,1),(?5,1),(?4,2),(?5,2),(?5,3)，根據(jù)題意確定W1和W2內(nèi)的點坐標，然后確定【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得AB=4,OB=6，∴S△OAC解得：AC=3，∴BC=4?3=1，∴C(?6,1)，將C(?6,1)代入y=kx得解得：k=?6，∴反比例函數(shù)解析式為y=?6設(shè)直線OA的解析式為y=k將A(?6,4)代入得4=?6k解得：k1∴直線OA的解析式為y=?2聯(lián)立兩個解析式得?6解得：x=±3，∵x<0，∴x=?3，將x=?3代入y=?6x得解得：y=2，∴D(?3,2)，故答案為：(?3,2)；（2）解：由題意知，△AOB中共有7個不含邊界的整點，分別為(?2,1),(?3,1),(?4,1),(?5,1),(?4,2),(?5,2),(?5,3)，∵W1內(nèi)（不含邊界）的整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）與W2內(nèi)（不含邊界）的整點個數(shù)比為∴W1內(nèi)點坐標為(?4,2),(?5,2),(?5,3),W2由第二象限的反比例函數(shù)圖象越靠近原點k越大可得?8<k<?5，故答案為：?8<k<?5．2．（2024年河北省邯鄲市中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，雙曲線y=kx（x>0）經(jīng)過點(2,2)和點M(4,n)，經(jīng)過雙曲線上的點A且平行于OM的直線與y軸交于點B，點A在點M左上方，設(shè)G為y軸、直線AB、雙曲線y=kx（x>0）及線段（1）G內(nèi)整點的個數(shù)最多有個；（2）若G內(nèi)整點的個數(shù)為4，則點B的縱坐標m的取值范圍是．【答案】57【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題；（1）取點C1,4（2）根據(jù)題意求得OM的解析式，根據(jù)AB平行于OM，設(shè)AB的解析式為y=14x+m，根據(jù)G內(nèi)整點的個數(shù)為4，找到特殊點C1,4，【詳解】解：（1）如圖所示，取點C1,4∵雙曲線y=kx（x>0）經(jīng)過點(2,2)點M∴k=2×2=4，反比例函數(shù)解析式為y=4∴n=1，M當(dāng)A點在C的左側(cè)時，G內(nèi)整點的個數(shù)最多有1,3,故答案為：5．（2）∵M4，1，設(shè)直線OM的解析式為∴y=1∵AB平行于OM設(shè)AB的解析式為y=若G內(nèi)整點的個數(shù)為4，則A點在C點的右側(cè)，或與C點重合，即x當(dāng)AB經(jīng)過點C1,4時，4=1當(dāng)AB經(jīng)過點1,2時，2=14∵整點有4個1,2,1,1,2,1∴7故答案為：743．（2024年河南省焦作市五城區(qū)中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為n（n為正整數(shù)），點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上．若點M(x,y)在正方形OABC的邊上，且x，y均為整數(shù)，定義點M為正方形OABC的“LS點”．若某函數(shù)的圖象與正方形OABC只有兩個交點，且交點均是正方形OABC的“LS點”，定義該函數(shù)為正方形OABC的“LS函數(shù)”．例如：如圖1，當(dāng)n=2時，某函數(shù)的圖象C1經(jīng)過點0,1和2,2，則該函數(shù)是正方形OABC的“LS圖（1）

圖（2）

圖（3）(1)當(dāng)n=1時，若一次函數(shù)y=kx+t(k≠0)是正方形OABC的“LS函數(shù)”，則一次函數(shù)的表達式是______（寫出一個即可）；(2)如圖2，當(dāng)n=3時，正方形OABC的“整點函數(shù)y=mx(x>0)的圖象經(jīng)過BC邊上的點D，與邊AB相交于點E(3)當(dāng)n=4時，二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象經(jīng)過點B.若該函數(shù)是正方形OABC的“LS【答案】(1)y=x（或y=?x+1）(2)m的值為3或6(3)0<a<1或a<0【分析】（1）當(dāng)n=1時，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，寫出一個一次函數(shù)，其圖象過O(0,0)，B(1,1)即可；（2）求出y=3x，點E的坐標為(3,1)，可知函數(shù)y=3x的圖象與正方形OABC只有兩個交點，且點D，E均是“LS點”，故函數(shù)

y=3x(x>0)

是正方形OABC的“LS函數(shù)”；求出y=6x，點E的坐標為3,2，可知函數(shù)y=6x的圖象與正方形OABC只有兩個交點，且點D，E（3）當(dāng)n=4時，把點B(4,4)代入二次函數(shù)

y=ax2+bx+4可得b=?4a，故y=ax2?4ax+4，該函數(shù)圖象的頂點坐標為(2,?4a+4)，可知點C(0,4)在函數(shù)

y=ax2+bx+4

的圖象上，①當(dāng)a>0時，拋物線頂點在x軸上方，即可得?4a+4>0，0<a<1；②當(dāng)a<0時，函數(shù)

y=ax2+bx+4圖象經(jīng)過點【詳解】（1）解：如圖：當(dāng)n=1時，A1,0，B1,1，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+t圖象過O0,0，Bt=0k+t=1解得：k=1t=0∴此時解析式為y=x，且直線y=x與正方形OABC只有兩個交點，∴一次函數(shù)y=x是正方形OABC的“LS函數(shù)”；當(dāng)一次函數(shù)y=kx+t圖象過C0,1，At=1k+t=0解得：k=?1t=1∴此時解析式為y=?x+1，且直線y=?x+1與正方形OABC只有兩個交點，∴一次函數(shù)y=?x+1是正方形OABC的“LS函數(shù)”；故答案為：y=x（或y=?x+1）；（2）解：當(dāng)點D1,3時，代入y=mx解得m=3，∴y=3把x=3代入y=3x得∴點E的坐標為(3,1)，∴函數(shù)y=3x的圖象與正方形OABC只有兩個交點，且點D，E均是“∴函數(shù)y=3xx>0是正方形OABC當(dāng)點D2,3時，代入y=mx解得m=6，∴y=6把x=3代入y=6x得∴點E的坐標為3,2，∴函數(shù)y=6x的圖象與正方形OABC只有兩個交點，且點D，E均是“∴函數(shù)y=6xx>0是正方形OABC綜上分析可知：m=3或m=6．（3）解：當(dāng)n=4時，點B的坐標為4,4，點C的坐標為0,4，把點B4,4代入二次函數(shù)

y=ax2+bx+4∴b=?4a，∴y=ax∴該函數(shù)圖象的頂點坐標為2,?4a+4，在y=ax2?4ax+4中，令x=0∴點C0,4在函數(shù)y=a函數(shù)y=ax2+bx+4

是正方形OABC的“LS函數(shù)”，其圖象經(jīng)過點B①當(dāng)a>0時，拋物線頂點在x軸上方，∴?4a+4>0，解得a<1，∴0<a<1；②當(dāng)a<0時，函數(shù)

y=ax2+bx+4圖象經(jīng)過點B，C，則函數(shù)

y=ax綜上所述，a的取值范圍為0<a<1或a<0；【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，求反比例函數(shù)、一次函數(shù)解析式，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“LS函數(shù)”的定義．4．（2024年湖北省荊州市中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，直線l1:y=?12x+72與y軸交于點B，與直線l

(1)求反比例函數(shù)y=k(2)①若將直線l2射線AB方向平移，當(dāng)點A到點B時停止，則直線l2在平移過程中與②直接寫出直線l1與雙曲線y=【答案】(1)y=(2)①?42≤x≤0；②(2,2)，4,1【分析】本題考查函數(shù)圖象的交點，待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的平移．（1）解由直線l1和l2組成的方程組，得到點A的坐標，代入反比例函數(shù)（2）①先求出直線l2平移前與x軸的交點的橫坐標．設(shè)直線l2平移后的解析式為y=112x+b，把點B②根據(jù)數(shù)形結(jié)合，求出滿足要求的整點橫坐標，即可解答．【詳解】（1）解：∵直線l1:y=?12x+∴解方程組y=?12x+∴A6,∵雙曲線y=kx(x>0)∴12=k∴反比例函數(shù)的解析式為y=3（2）①對于直線l2:y=112x∴直線l2與x軸的交點坐標為0,0對于直線l1:y=?12x+∴B設(shè)直線l2平移后的解析式為y=∵平移后的直線過點B0,∴b=7∴平移到點B時停止的直線解析式為y=1令y=0，則112x+7此時與x軸的交點為?42,0，即交點的橫坐標為?42，∴直線l2在平移過程中與x軸交點的橫坐標的取值范圍為?42≤x≤0②如圖，

解方程組y=?12x+72經(jīng)檢驗，x1=1y∴直線l1與雙曲線y=3x的交點為A∴在點C與點A之間的整數(shù)點的橫坐標為2，3，4，5，當(dāng)x=2時，直線l1：y=?12x+72上的點為此時可得整點為2,2；當(dāng)x=3時，直線l1：y=?12x+72上的點為此時不能得到整點；當(dāng)x=4時，直線l1：y=?12x+72上的點為此時可得整點為4,1，當(dāng)x=5時，直線l1：y=?12x+72上的點為此時不能得到整點．綜上，直線l1與雙曲線y=3x圍成的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影部分，不含邊界）整點的坐標為(2,2)5．（2024年廣西南寧市第八中學(xué)六月初中畢業(yè)班適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題）生活中許多問題的解決既可以采用“代數(shù)”的方法解決．也可以從“圖形”的角度來研究．某數(shù)學(xué)建模小組在綜合實踐課上探究面積為4，周長為m的矩形問題時，發(fā)現(xiàn)矩形的面積與周長存在一定的關(guān)系．小組成員進行了如下研究：【問題探究】（1）設(shè)矩形的長和寬分別為x，y，當(dāng)m=10時，這樣的矩形存在嗎？如果存在，請你求出矩形的長與寬；如果不存在，請你說明理由．（2）從矩形的面積為4可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4xx>0，從矩形的周長為10可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為：，將滿足要求的(x,y)（3）根據(jù)上述方法請直接寫出m的取值范圍．【拓展應(yīng)用】（4）我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．如圖2，函數(shù)y=4xx>0的圖象G經(jīng)過點A(4,1)，直線l：y=14x+b與圖象G交于點B，與y軸交于點C．記圖象G在點A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．若區(qū)域【答案】（1）存在，矩形的長為4，寬為1；（2）y=5?x，(1,4)或(4,1)；（3）m≥8；（4）?【分析】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的周長和面積等，畫出圖象并利用圖象解決問題是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的周長和面積可得x5?x（2）根據(jù)矩形的周長公式可得y=5?x，畫出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象即可得出答案；（3）由題意得：函數(shù)y=4x(x>0)和y=（4）畫出圖象，結(jié)合圖象即可得出答案．【詳解】解：（1）這樣的矩形存在，長為4，寬為1；理由如下：當(dāng)矩形周長m=10時，x+y=5，∴y=5?x∵矩形面積S=4，∴xy=4，∴x5?x解得：x=4或x=1（舍，不符合題意），∴y=5?4=1，∴矩形的長為4，寬為1；（2）由矩形的周長為10，得：2(x+y)=10，∴y=5?x，在同一坐標系中畫出函數(shù)y=4x(x>0)觀察圖象可知：函數(shù)y=4x(x>0)和y=5?x(0<x<5)的圖象有2個交點(1,4)故答案為：y=5?x，(1,4)或(4,1)；（3）當(dāng)矩形的面積為4，周長為m時，函數(shù)y=4x(x>0)∴4x=1∴Δ=∴m+8≥0m?8≥0，解得：或m+8≤0m?8≤0，解得：∴m≥8或m≤?8（不符合題意，舍去），故答案為：m≥8；（4）如圖2，當(dāng)直線y=14x+b經(jīng)過(0,?1)時，區(qū)域內(nèi)部有3個整數(shù)點(1,0)、(2,0)此時，b=?1，當(dāng)直線y=14x+b經(jīng)過(1,?1)時，區(qū)域內(nèi)部有4個整數(shù)點(1,0)、(2,0)、(3,0)此時，?1=1∴b=?5∴當(dāng)區(qū)域W內(nèi)恰好有4個整點時，?5故答案為：?5題型03二次函數(shù)的整點問題1．（2024年河北省邯鄲市館陶縣中考二模數(shù)學(xué)試題）我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，如圖，拋物線C1：y=?x2+2x+4與C2:y=x?m

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，圖象的平移，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．先找出符合題意的整點共計10個，再依次以y軸上整點個數(shù)分類討論，判斷y軸右側(cè)在區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)即可．【詳解】解：∵C2∴頂點在x軸上，其余部分均在x軸上方，而y=?x∴對稱軸為直線x=1，則在x軸上方且與拋物線C1圍成的整點有0,1當(dāng)封閉區(qū)域在y軸上只有整點0,3時，拋物線C2與y軸交于0,

此時2≤m∴?3則x=1時，y=1?m∴只有一個整點；當(dāng)封閉區(qū)域在y軸上只有整點0,2，0,3時，拋物線C2與y軸交于0,

此時1≤m∴?2則x=1時，y=1?m∴只有2個整點；當(dāng)封閉區(qū)域在y軸上只有整點0,2，0,3，0,1時，拋物線C2與y軸交于0,

此時0≤m∴?1<m≤0，則x=1時，y=1?m就必定包括1,4這個整點，∴不能為3個，故選：C．2．（2024年安徽省亳州市利辛縣九年級中考二模數(shù)學(xué)試題）定義：在平面直角坐標系中，我們將橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“整點”．（1）拋物線y=x2?2x?32與x（2）若拋物線y=ax2?4ax+4a?3與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)（不包括拋物線和x軸上的點）恰好有8個“整點”，則a【答案】4；1【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)二次函數(shù)與坐標軸交點問題即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖，當(dāng)x=0時，1個“整點”，當(dāng)x=1時，2個“整點”，當(dāng)x=2時，1個“整點”，∴一共有4個“整點”，故答案為：4；（2）如圖，由y=ax2?4ax+4a?3得當(dāng)x=2時，2個“整點”，當(dāng)x=1時，2個“整點”，當(dāng)x=3時，2個“整點”，若恰好有8個“整點”，則拋物線y=ax2?4ax+4a?3經(jīng)過0拋物線y=ax2?4ax+4a?3經(jīng)過?1拋物線y=ax2?4ax+4a?3經(jīng)過0∴a的取值范圍是14故答案為：143．（2021年江蘇省揚州市江都區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點．若反比例函數(shù)y=kxk>0與二次函數(shù)y=?4x2【答案】2≤k<4【分析】先求出二次函數(shù)的頂點及與x軸的交點坐標，再求出其內(nèi)部的整點為2,1，2,2，2,3，再根據(jù)反比例函數(shù)y=kxk>0【詳解】∵y=?4x∴頂點為2,4，∵y=?4x∴拋物線與x軸的交點為1,0，3,0，∴第一象限在y=?4x2+16x?12=?4x?22+4內(nèi)部的整點為∵反比例函數(shù)y=kxk>0與二次函數(shù)y=?4x2∴2,1在外面或者剛好在y=k∴2≤k<4，故答案為2≤k<4．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像的特點作圖分析求解．4．（2024年河北省石家莊市第十七中學(xué)中考二模數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x(1)當(dāng)m=?1時，①求該拋物線的頂點坐標；②求該拋物線與x軸圍成的圖形邊界上的整點數(shù)(2)若該拋物線與直線y=5圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）有4個整點，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)①1,?4；②3,0，2,0，1,0，0,0，?1,0，0,?3，1,?4，2,?3(2)5≤m<6【分析】（1）①將二次函數(shù)配成頂點式，即可得到頂點坐標；②先求出該拋物線與x軸的交點，確定x的范圍后再進行計算即可求解；（2）結(jié)合圖象確定有4個整數(shù)點時m的最大和最小值，進而確定m的范圍．【詳解】（1）①當(dāng)m=?1時，∵y=x∴拋物線頂點坐標為1,?4，②當(dāng)m=?1時，y=拋物線y=x2?2x?3與x此時拋物線y=x2?2x?3與x軸邊界有3,0，2,0，1,0，0,0，?1,0（2）∵y=∴拋物線y=x2?2x+m?2的對稱軸為直線x=1當(dāng)拋物線頂點為1,2，即m=5時，拋物線y=x2?2x+3與直線y=5所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）有1,3，0,4，1,4當(dāng)拋物線頂點為1,3，即m=6時，拋物線y=x2?2x+4與直線y=5結(jié)合圖象可知，5≤m<6．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的特征，數(shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵．5．（2024年河南省周口市沈丘縣2校聯(lián)考一模數(shù)學(xué)模擬試題）如圖，拋物線y=x2+bx+c的圖象交x軸于A?1,0，B兩點，交y軸于點C0(1)求拋物線的解析式；(2)點P為拋物線上一個動點，若點P與點C之間部分（含點P與點C）圖象最高點和最低點縱坐標之差等于6時，求點P的坐標；(3)連接BD，若△ABD內(nèi)部（不含邊）有7個整點（橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點），直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)y=x(2)P2+6,?3(3)?2【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況：點P在對稱軸的左側(cè)和點P在對稱軸的右側(cè)，根據(jù)拋物線在點P與點C之間部分（含點P和點C）最高點與最低點的縱坐標之差為6，先求出點P的縱坐標，再代入函數(shù)解析式求出點P的橫坐標即可求解；（3）由題意得：△ABD內(nèi)部（不含邊）有7個整點，這7個整點為1,?1，2,?1，3,?1，4,?1，3,?2，4,?2，4,?3，得到直線AD必經(jīng)過點2,?2或經(jīng)過2,?2與4,?3之間的點，不包括4,?3，據(jù)此求出m的取值范圍即可求解；本題考查了用待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)點的坐標特征，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解題的關(guān)鍵是準確理解二次函數(shù)的點的坐標特征，利用數(shù)形結(jié)合解決問題．【詳解】（1）解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過A∴(?1)2解得b=?4∴拋物線的解析式為y=x（2）C0,?5∵y=x∴拋物線的頂點坐標為2,?9當(dāng)點P在對稱軸的左側(cè)時，∵此拋物線在點P與點C之間部分（含點P和點C）最高點與最低點的縱坐標之差為6，此時點C是最低點，點P是最高點，∴點P的縱坐標為1，令y=1，則x解得x=2±10∴P2?當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時，∵此拋物線在點P與點C之間部分（含點P和點C）最高點與最低點的縱坐標之差為6，此時頂點2,?9是最低點，點P是最高點，∴點P的縱坐標為?3，令y=?解得x=2±6∴P2+綜上，當(dāng)此拋物線在點P與點C之間部分（含點P和點C）最高點與最低點的縱坐標之差為6時，P2+6,?3（3）解：m的取值范圍為?2由題意得：△ABD內(nèi)部（不含邊）有7個整點，如圖，則這7個整點為1,?1，2,?1，3,?1，4,?1，3,?2，4,?2，4,?3，∴直線AD必經(jīng)過點2,?2或經(jīng)過2,?2與4,?3之間的點，不包括4,?3，∴直線AD必經(jīng)過點2,?2時，2m+n=?2?m+n=0解得m=?23直線AD經(jīng)過點4,?3時，4m+n=?3?m+n=0解得m=?∴m<?3綜上，m的取值范圍為?26．（2023年安徽省合肥市廬江縣中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，直線m:y=b和直線n:y=x?b分別與y軸交于點A，點B，頂點為C的拋物線L:y=?x2+bx與x(1)若AB=8，求b的值和拋物線L的對稱軸；(2)當(dāng)點C在m下方時，求頂點C與m距離的最大值；(3)在L和n所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“整點”，求出b=2023時“整點”的個數(shù)．【答案】(1)b=4，對稱軸x=2(2)1(3)4048個【分析】（1）先求得B(0,?b)，根據(jù)AB=8即可得出b=4，然后確定拋物線L的對稱軸即可；（2）設(shè)點C與m的距離為S，求出S與b的函數(shù)關(guān)系式，即可確定頂點C與m距離的最大值；（3）求出拋物線與直線的交點，在其范圍內(nèi)，根據(jù)拋物線解析式和直線解析式的特點確定“整點”的個數(shù)．【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時，可有y=x?b=?b，∴B(0,?b)，∵AB=8，A(0,b)，∴b?(?b)=8，解得b=4，∴L:y=?x∴拋物線L的對稱軸為x=2；（2）設(shè)點C與m的距離為S，∵拋物線L:y=?x∴L的頂點C(b∵點C在m下方，∴C與m的距離為S=b?b∴當(dāng)b=2時，點C與m距離的最大值為1；（3）當(dāng)b=2023時，拋物線解析式L:y=?x直線解析式n:y=x?2023，聯(lián)立上述兩個解析式，得x1=?1，∴拋物線L與直線n的交點為(?1,?2024)和(2023,0)，∴每一個整數(shù)x的值都對應(yīng)一個整數(shù)y值，且?1和2023之間（包括?1和2023）共有2025個整數(shù)，∵所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2025個整數(shù)點，∴總計4050個點，∵這兩段圖像交點有2個點重復(fù)，∴“整點”的個數(shù)：4050?2=4048個．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義“整點”、坐標與圖形、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用等知識，理解題意，運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．類型二函數(shù)的定點問題【命題預(yù)測】函數(shù)的解析式中除自變量外，還有待定的系數(shù)，此時函數(shù)的圖像會隨著待定的系數(shù)的變化而變化，圖像變化過程中,有時始終會經(jīng)過某個固定的點.定點問題常出現(xiàn)在各地考試中，難度中上，掌握好定點問題的本質(zhì)即可快速解決.解題方法（以一次函數(shù)定點問題為例）：將一次函數(shù)化成即經(jīng)過的頂點坐標為（a，b）.1．（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=kx2?x?4k（k為常數(shù)且k≠0）的圖象始終經(jīng)過第二象限內(nèi)的定點A．設(shè)點A的縱坐標為m，若該函數(shù)圖象與y=m在1<x<3內(nèi)沒有交點，則k【答案】0<k<1或?1<k<0【分析】先計算二次函數(shù)過兩個定點，確定m=2，根據(jù)函數(shù)圖象與y=m在1<x<3內(nèi)沒有交點，分k>0和k<0兩種情況列不等式即可解答．【詳解】解：∵y=kx∴x∴x=±2，當(dāng)x=2時，y=?2，當(dāng)x=?2時，y=2，∴二次函數(shù)y=kx2?x?4k（k為常數(shù)且k≠0∴m=2，∵函數(shù)y=kx2?x?4k的圖象與y=2∴分兩種情況：①當(dāng)k>0時，x=3時，y<2，即9k?3?4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②當(dāng)k<0時，當(dāng)x=1時，y<2，即k?1?4k<2，∴k>?1，∴?1<k<0，綜上所述，k的取值范圍是0<k<1或?1<k<0，故答案為：0<k<1或?1<k<0．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是理解題意，計算定點A的坐標．2．（2024年云南省昆明市中考二模數(shù)學(xué)試題）如果一個點的橫、縱坐標均為常數(shù)，那么我們把這樣的點稱為確定的點，簡稱定點．比如點1,2就是一個定點．對于一次函數(shù)y=kx?k+3（k是常數(shù)，k≠0），由于y=kx?k+3=kx?1+3，當(dāng)x?1=0即x=1時，無論k為何值，y一定等于3，我們就說直線y=kx?k+3一定經(jīng)過定點1,3．設(shè)拋物線y=mx2+2?2mx+m?2（m(1)拋物線經(jīng)過的定點D的坐標是______；(2)是否存在實數(shù)m，使頂點P在x軸上？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)m=?12時，在y=kx+3的圖像上存在點Q，使得這個點到點P、點D的距離的和最短．求【答案】(1)1,0(2)不存在，理由見解析(3)?3≤k≤?【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，含參數(shù)的二次函數(shù)問題的求解等知識點，結(jié)合二次函數(shù)的圖像探究函數(shù)圖像經(jīng)過的定點以及定點對函數(shù)自變量取值范圍是解題的關(guān)鍵．（1）將拋物線的解析式進行整理得y=mx2+2?2mx+m?2=m（2）根據(jù)4ac?b（3）先求出P3,2，再根據(jù)y=kx+3的圖像上存在點Q，使得這個點到點P、點D的距離的和最短，得點P、Q、D三點共線，從而根據(jù)當(dāng)y=kx+3過點P3,2和y=kx+3過點D1,0，即可求解k．【詳解】（1）解：y=mx當(dāng)x?1=0，即x=1時，y=0，∴無論m為何值y一定等于0，∴拋物線一定過定點1,0．∴D1,0故答案為：1,0．（2）解：不存在，理由如下：∵拋物線y=mx2+2?2mx+m?2∴4ac?b∴不存在實數(shù)m，使頂點P在x軸上，（3）解：∵當(dāng)m=?12時，∴P3,2∵D1,0，在y=kx+3的圖像上存在點Q，使得這個點到點P、點D∴點P、Q、D三點共線，∵Q在直線y=kx+3上，∴當(dāng)y=kx+3過點P3,22=3k+3，解得k=?1當(dāng)y=kx+3過點D1,00=k+3，解得k=?3，∴k的取值范圍為?3≤k≤?13．（湖北省十堰市實驗中學(xué)名校教聯(lián)體2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）材料一：經(jīng)過一點m,t的直線解析式總可以表示為：y=kx?m+t比如過一點2,3的直線解析式可以表示為：材料二：二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象若與直線y=n有兩點交點x1,n(1)由材料一：直接寫出直線y=kx+1(2)由材料二：若二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過?1,8，4,3(3)若一次函數(shù)y=kx+p與（2）中的拋物線交于點5,8，試用k【答案】(1)?1,8(2)y=(3)k?1【分析】（1）根據(jù)材料一求解即可；（2）根據(jù)材料二求解即可；（3）首先聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）由材料一得，直線y=k∴直線y=kx+1+8經(jīng)過的定點坐標為（2）由材料二得，∵二次函數(shù)y=x2+bx+c與直線x=8交于點∴該二次函數(shù)的解析式為y=∴y=x+1（3）聯(lián)立一次函數(shù)y=kx+p和y=x∴x整理得，x∵一次函數(shù)y=kx+p與（2）中的拋物線交于點5,8∴設(shè)另一交點的橫坐標為x∴x+5=?∴x=k?1∴另一交點的橫坐標為k?1．【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)表達式，根于系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．4．（2024年云南省初中學(xué)業(yè)水平考試模擬數(shù)學(xué)模擬預(yù)測題（二））已知拋物線：y=m+1x2(1)已知拋物線始終過定點，求定點的坐標；(2)拋物線y=m+1x2?4m+1x+c不經(jīng)過第三象限，且經(jīng)過點?m,11m，若一元二次方程m+1x【答案】(1)定點的坐標為2,2(2)詳見解析【分析】（1）拋物線始終過定點，與m的取值無關(guān)，得到x2?4x+4=0，解出此時的（2）將點?m,11m代入y=m+1x2?4m+1本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根與系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)知識點．【詳解】（1）解：∵拋物線y=m+1x2若拋物線始終過定點，則此時與m的取值無關(guān)，∴x解得：x1∴當(dāng)x=2時，y=m+1故答案為：定點的坐標為2,2，（2）解：∵拋物線y=不經(jīng)過第三象限且經(jīng)過定點2,2，∴拋物線開口向上即m+1>04m>0，解得：m>0把?m,11m代入y=m+1x2∵m≠0，∴m2+5m?6=0，解得：m1∴一元二次方程為：2x∵一元二次方程m+1x2?4m+1x+c=0∴2a2?5a+4=0，a+b=∴a2=5a?42∴4==25=25×===20，2=a=a=25∴4a5．（2022年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點A（3，0）．(1)當(dāng)拋物線過點A時，求拋物線的解析式；(2)證明：無論m為何值，拋物線必過定點D，并求出點D的坐標；(3)在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點B，點P是拋物線上位于第一象限的點，連接AB，PD交于點M，PD與y軸交于點N．設(shè)S=S△PAM－S△BMN，問是否存在這樣的點P，使得S有最大值？若存在，請求出點P的坐標，并求出S的最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)證明見解析，D?(3)存在，點P的坐標是（1，4），S最大【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，從而求得m，進而求得拋物線的解析式；（2）將拋物線的解析式變形為：y=－x2+m（2x+3），進而根據(jù)2x+3=0，求得x的值，進而求得結(jié)果；（3）將S變形為：S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP－S△AOB，設(shè)P（m，-m2+2m+3），設(shè)PD的解析式為：y=kx+b，將點P和點D坐標代入，從而求得PD的解析式，進而求得點N的坐標，進而求得S關(guān)于m的解析式，進一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；（2）證明：∵y=-x2+m（2x+3），∴當(dāng)2x+3=0時，即x=?32時，∴無論m為何值，拋物線必過定點D，點D的坐標是?3（3）如圖，連接OP，設(shè)點P（m，-m2+2m+3），設(shè)PD的解析式為：y=kx+b，∴?3∴k=?1∴PD的解析式為：y＝?122m?7當(dāng)x＝0時，y＝?3∴點N的坐標是（0，?3∴ON=?3∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP-S△AOB，∵S=1當(dāng)x＝0時，y=-x2+2x+3＝3，∴點B的坐標是（0，3），OB＝3，S△AOB∴S=S四邊形AONP?S∴當(dāng)m=1時，S最大當(dāng)m=1時，?m∴點P的坐標是（1，4）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)求最值、三角形的面積等知識，解決問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和變形S，轉(zhuǎn)化為常見的面積計算．6．（2022年四川省成都市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx?3k≠0與拋物線y=?x2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B關(guān)于y(1)當(dāng)k=2時，求A，B兩點的坐標；(2)連接OA，OB，AB'，BB'，若△B(3)試探究直線AB'是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【答案】(1)點A的坐標為?3,?9，點B的坐標為1,?1(2)62或(3)是，0,3【分析】(1)解方程組y=2x?3y=?x2(2)分k＜0和k＞0，兩種情形求解．(3)設(shè)直線AB'的解析式為y=px+q，根據(jù)題意求得p，q的值，結(jié)合方程組的意義，確定與y【詳解】（1）根據(jù)題意，得y=2x?3y=?整理得到x2解方程，得x1當(dāng)x=-3時，y=-9；當(dāng)x=1時，y=-1；∵點A在點B的左側(cè)，∴點A的坐標為（-3，-9），點B的坐標為（1，-1）．（2）∵A，B是拋物線y=?x設(shè)A（m，?m2），B（n，?n2），則B'當(dāng)k＞0時，根據(jù)題意，得y=kx?3y=?整理得到x2∴m，n是x2∴m+n=?k，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點為D，則點D（0，-3）∴S△OAB=1∴32×(n?m)=12∴3=?2n×(m+n)=2nk，∴2nk=?mn，∵n≠0，∴m=?2k，n=k，∴?2k×k=?3，解得k=62或k=-6故k=62當(dāng)k＜0時，根據(jù)題意，得y=kx?3y=?整理得到x2∴m，n是x2∴m+n=?k，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點為D，則點D（0，-3）∴S△OAB=1∴32×(n?m)=12∴3=2n×(m+n)=-2nk，∴-2nk=?mn，∵n≠0，∴m=2k，n=?3k，∴2k×(?3k)=?3，解得k=-22或k=2故k=-22綜上所述，k的值為62或?（3）直線AB'∵A，B是拋物線y=?x∴設(shè)A（m，?m2），B（n，?n2），則B'根據(jù)題意，得y=kx?3y=?整理得到x2∴m，n是x2∴m+n=?k，設(shè)直線AB'的解析式為y=px+q?m解得p=n?mq=?mn∴直線AB'的解析式為y=（n-m）x-mn∵mn=-3，∴-mn=3，∴直線AB'的解析式為y=（n-m）x故直線AB'【點睛】本題考查了拋物線與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，對稱性，熟練掌握拋物線與一次函數(shù)的交點，及其根與系數(shù)關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．7．（2024年福建省三明市大田縣部分學(xué)校中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為P(1,0)，與y軸交于點C(0,?12)，以點P為頂點作(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，若PM=PN，求MN的長；(3)判斷直線MN是否經(jīng)過定點1,?2，并說明理由．【答案】(1)y=?(2)4(3)經(jīng)過，理由見解析【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)直線x=1交MN于E，由題意得M、N關(guān)于直線PE對稱，MN=2PE，設(shè)M(m,?12m（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x2+(2k?2)x+2n+1=0，利用根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=2?2k，x1x2=2n+1，作MF⊥x軸于點F【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c∴設(shè)y=a(x?1)2，把C(0,?1解得：a=?1∴y=?1∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：∵y=?1∴拋物線y=?12x2+x?如圖1，設(shè)直線x=1交MN于E，∵∠MPN=90°，PM=PN，∴M、N關(guān)于直線PE對稱，MN=2PE，設(shè)M(m,?12m∴MN=2?2m，PE=1∴2?2m=2(1解得：m=?1或m=1（舍去），∴MN=2?2×(?1)=4；（3）解：經(jīng)過定點1,?2，理由如下：設(shè)直線MN的解析式為y=kx+n，M(x1，y1)，由?12x∴x1+作MF⊥x軸于點F，NG⊥x軸于點G，∵PM⊥PN，∴∠PNG=90°?∠NPG=∠MPF，∴tan∴PGGN=MF∴(x∵y1=?∴(x∴1+1整理，得x1∴2n+1?(2?2k)+5=0，∴n=?k?2，∴直線MN的解析式可表示為y=kx?k?2，即y=k(x?1)?2，當(dāng)x=1時，y=?2，∴直線MN必經(jīng)過定點(1,?2)．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解直角三角形、根與系數(shù)關(guān)系、用軌跡相交法求點的坐標等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，解題過程較為煩瑣，涉及的知識與方法較多，難度較大，屬于考試壓軸題．8．（福建省福州市鼓樓區(qū)福州立志中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期中考模擬數(shù)學(xué)試題）已知拋物線y=ax2?2ax+c與x軸交于A?1,0、B兩點，頂點為P，與y軸交于C點，且△ABC(1)求拋物線的對稱軸和解析式；(2)平移這條拋物線，平移后的拋物線交y軸于E，頂點Q在原拋物線上，當(dāng)四邊形APQE是平行四邊形時，求平移后拋物線的表達式；(3)若過定點K2,1的直線交拋物線于M、N兩點（N在M點右側(cè)），過N點的直線y=?2x+b與拋物線交于點G，求證：直線MG必過定點．【答案】(1)直線x=1,y=?(2)y=?(3)見解析【分析】（1）拋物線的對稱軸為直線x=?b2a=??2a2a=1，可得（2）設(shè)點E0,e，由平行四邊形的性質(zhì)可得Q（3）設(shè)Mm,?m2+2m+3,Nn,?n2+2n+3，可求出直線MN的解析式；根據(jù)直線MN過定點【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的對稱軸為直線x=?∵A?1,0∴B令x=0，則y=a∴C∵△ABC的面積為6．∴12解得：c=3∴y=ax將A?1,0代入得：0=a+2a+3解得：a=?1，∴y=?（2）解：∵y=?x∴P設(shè)點E0,e∵四邊形APQE是平行四邊形，∴AP=EQ且AP∴Q0+2,e+4，即：∵頂點Q在原拋物線上，∴e+4=?2解得：e=?1∴Q∴平移后拋物線的表達式為：y=?（3）解：設(shè)Mm,?m2+2m+3,N則km+b=?m解得：k=?m?n+2b=mn+3∴直線MN的解析式為：y=?m?n+2∵直線過定點K∴1=得：mn=2m+2n?6∵直線y=?2x+b過N點，∴?n2+2n+3=?2n+b∴y=?2x?令?2x?n解得：x∴G設(shè)直線MG的解析式為：y=k則k'解得：k'∴直線MG的解析式為：y=?m+n?2∵mn=2m+2n?6，∴直線MG的解析式為：y=?m+n?2當(dāng)x=2時，y=?m+n?2∴直線MG必過定點2,5【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，涉及了函數(shù)解析式的求解，平行四邊形的性質(zhì)，函數(shù)的平移等知識點，掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．9．（2023年湖北省武漢市江漢區(qū)中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，拋物線y=ax2+bx?3a與x軸交于A?1,0，B兩點，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P在拋物線上，若tan∠PAB=13

(3)如圖，直線y=kx+k+1與拋物線交于M，N兩點，在拋物線上存在定點Q，使得任意實數(shù)k，都有∠MQN=90°，求出點Q的坐標．

【答案】(1)y=(2)P110(3)Q【分析】（1）把A、C兩點坐標代入y=ax（2）設(shè)直線AP交y軸點D，則tan∠PAB=ODOA（3）過點Q作直線l∥x軸，分別過點M，N作l的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?3a經(jīng)過C∴?3a=?3，a?b?3a=0，解得，a=1，b=?2，∴拋物線的解析式為y=（2）解：設(shè)直線AP交y軸點D，如圖所示，

則tan∠PAB=∵A?1,0∴OD=1∴D0,13當(dāng)D0,13時，設(shè)直線AP把A?1,0，D0,1解得k=1∴直線AP的解析式為y=1聯(lián)立y=x2?2x?3與y=當(dāng)x=103時，∴P10當(dāng)D0,?13時，同理可得直線AP聯(lián)立y=x2?2x?3與y=?當(dāng)x=83時，∴P8綜上，符合條件的P點的坐標為P1103（3）解：由（1）得：拋物線的解析式為y=設(shè)Mm,m2?2m?3，將直線y=kx+k+1與拋物線聯(lián)立，得x2則m，n是方程x2∴m+n=k+2，mn=?k?4，∵∠MQN=90°，過點Q作直線l∥x軸，分別過點M，N作l的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則

∴MEQF∴m2化簡，得m+q?2n+q?2∴mn+qm+n∴?k+qk+2∴q?3k+q?1∵對于任意的k都存在定點Q使等式成立，∴q=3，當(dāng)q=3時，q2∴Q3,0【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及到待定系數(shù)法求解析式、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)等，綜合性較強，靈活運用所學(xué)知識和掌握解題技巧是關(guān)鍵．類型三二次函數(shù)的定值問題【解題方法】二次函數(shù)中的定值問題常與幾何知識綜合考查，常見的有線段和(差)面積，比值等.利用二次函數(shù)求解這些幾何線段所代表的代數(shù)式定值問題屬于定量問題，一般采用參數(shù)計算法，即在圖形運動中，選取其中的變量(如線段長，點坐標)，設(shè)出參數(shù)，將要求的代數(shù)式用含參數(shù)的形式表示出來，消去參數(shù)后即得定值.1．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x2+c的圖像經(jīng)過點A?2,5，點(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線AB的上方，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D，連接AC,DQ,PQ．若x2=x(3)如圖2，點P在第二象限，x2=?2x1，若點M在直線PQ上，且橫坐標為x1?1，過點M作【答案】(1)y=?(2)為定值3，證明見解析(3)37【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線AB的解析式，Px1,?x12+9，則Qx1（3）設(shè)Px1,?x12+9，則Q【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=?x2+c∴5=?4+c，∴c=9，∴y=?x（2）當(dāng)y=0時，0=?x∴x1∴B3,0設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∴?2k+b=53k+b=0∴k=?1b=3∴y=?x+3，設(shè)Px1,?x1∴PD=?x12∴S△PDQ∴S△PDQ（3）設(shè)Px1,?設(shè)直線PQ的解析式為y=mx+n，∴mx∴m=x∴y=x當(dāng)x=xy=x∴當(dāng)x=?12時，線段MN長度的最大值【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A2,4，D6,0，點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，CF∥AO，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C?2,?4，AH⊥CH(1)求拋物線的解析式及△AOD的面積；(2)當(dāng)點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；(3)試探究FGGI【答案】(1)y=?12x(2)當(dāng)點F運動至對稱軸上時，△AFH的面積為3(3)FGGI的值是定值，定值為【分析】（1）運用待定系數(shù)法可得y=?12x2+3x．設(shè)點O到AD的距離為d，點A（2）當(dāng)點F運動至對稱軸上時，點F的橫坐標為3，可得AF=14AD．連接OC、OH，由點A與點C關(guān)于原點O對稱，可得點A、O、C三點共線，且O為AC的中點．推出HO∥AD，可得點H（3）過點A作AL⊥OD于點L，過點F作FK⊥GE于點K．運用勾股定理可得OA=AL2+OL2=25．再證得△FIK為等腰直角三角形．設(shè)【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=ax將A2,4，D6,0代入上式，得整理得2a+b=26a+b=0解得a=?1∴y=?1設(shè)點O到AD的距離為d，點A的縱坐標為yA，則d=yA∴△AOD的面積S△AOD（2）解：由（1）得拋物線的對稱軸為x=3，當(dāng)點F運動至對稱軸上時，點F的橫坐標為3，AFAD