北師大版七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重難點(diǎn)壓軸題突破專練：同底數(shù)冪的乘法（三大題型30題）（解析版）

專題01同底數(shù)嘉的乘法（乘法、塞的乘方、積的乘方30題）

目錄

一、同底數(shù)塞的乘法，15題，難度四星.........................................................1

二、事的乘方與積的乘方，15題，難度四星.....................................................5

一、同底數(shù)塞的乘法，15題，難度四星

1.（2023下?浙江?七年級名校名卷）觀察等式：2+22=23-2;2+22+23-24-2;

2+22+23+24=25-2;…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù):2叫2嗎2叱，浮爐。,若*=用含S

的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（）

A.2S2-SB.2S2+SC.2s2-25D.2s2-2S-2

【答案】A

【分析】由題意得出*°+2⑼+2叨++2199+2200=2100（1+2++2"+2100）,再利用整體代入思想即可得

出答案.

【詳解】解：由題意得：這組數(shù)據(jù)的和為：

2100+2101+2102+,+2199+2200

=2100（1+2++2"+2100）

=2100（2100x2-l）

21°°=S,

；?原式=S（Sx2-1）=2S2-S,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型問題：數(shù)字變化，列代數(shù)式，整體代入思想，同底數(shù)幕的乘法的逆用，解題的

關(guān)鍵是正確找到本題的規(guī)律：2+22+23+.+2”T+2"=2向-2,學(xué)會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬

于中考填空題中的壓軸題.

2.（2024.上海浦東新?七年級校考期末）已知丁=3,2>=6,2,=12,則下列給出％V*之間的數(shù)量關(guān)系式

中，錯(cuò)誤的是（）

A.尤+z=2yB.x+y+3=2zC.4x=zD.x+l=y

【答案】C

【分析】本題主要考查了同底數(shù)塞乘法計(jì)算，根據(jù)已知條件式得到2,x2=2>2"x2=2"進(jìn)而推出

2l+1=2y,2y+l=T,則x+l=y,z=y+l,據(jù)此逐一判斷即可.

【詳解】解:1?,2工=3,2〉=62=12,

；?2l'x2=2v,2yx2=2%

/.2Y+1=2>2向=2",

x+l=y,z=y+1,

/?z=x+l+l=x+2,x+z+l=y+y+l,

x+z=2y,x+y+3=x+z-l+3=2x+4=2(x+2)=2z,

???四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)的關(guān)系式錯(cuò)誤，符合題意；

故選C.

3.(2023下?江蘇鎮(zhèn)江?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))現(xiàn)有若干張卡片，分別寫有1,-2,4,-8,16,

-32,……，小明從中取出三張卡片，要滿足三張卡片上的數(shù)字乘積為限°°，其中三數(shù)之和的最大值記為

A,最小值記為則A+3-4的值等于.

【答案】-298

【分析】由題意知，卡片數(shù)字為(-2)°,(-2)1,(-2)二(-2「(—2『，(-2『，……，則使三數(shù)之和最

大的三個(gè)數(shù)為(-2)°,(-2)1(-2f,gpA=(-2)0+(-2)2+(-2)98,使三數(shù)之和最小的三個(gè)數(shù)為(-2)°,

(-2)，(-2)",IP5=(-2)°+(-2y+(-2)",然后代入計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知，卡片數(shù)字為(-2)°,(-2),,(-2)2,(-2))(—2；(-2)5,……

???三張卡片上的數(shù)字乘積為2M，

使三數(shù)之和最大的三個(gè)數(shù)為(-2)°,(-2/，(-2)98,

/.A=(-2)°+(-2)2+(-2)98,

使三數(shù)之和最小的三個(gè)數(shù)為(-2)°,(-2)1,(-2)",

/.B=(-2)°+(-2)1+(-2)",

/.A+B-4=(-2)°+(-2)2+(-2)98+(-2)°+(-2)'+(-2)"-4

=1+4+298+1-2-2"-4

=298(1-2)

故答案為：-298.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，有理數(shù)的加減運(yùn)算.解題的關(guān)鍵在于確定使三數(shù)之和最大的三個(gè)

數(shù)于使三數(shù)之和最小的三個(gè)數(shù).

4.（2023下?七年級課時(shí)練習(xí)）已知丁=3,2、6,272,現(xiàn)給出3個(gè)數(shù)a,b,c之間的四個(gè)關(guān)系式：①

a+c=2b；②a+6=2c-3；@b+c=2a+3；@b=a+2.其中，正確的關(guān)系式是___（填序號）.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)同底數(shù)哥的乘法法則即可求出。、氏c的關(guān)系，代入各式驗(yàn)證即可.

【詳解】解：：2"=3,2^=6,2°=12.

2"X22=3X4=12,2*X2=6X2=12,2°=12，

/.a+2=b+l=c,

即b—a+1,c—b+1,c—a+2,

于是有：①a+c=a+a+2=2a+2,2b=2a+2,

所以a+c=2b,因此①正確；

②a+6=a+a+l=2a+l,2c-3=2a+4-3=2a+l,

所以a+b=2c-3,因此②正確；

③6+c=a+l+a+2=2a+3,因此③正確；

④b=a+l,因此④不正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③三個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)幕的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)幕的乘法法則，得出人Ac的關(guān)系.

5.（2023下?七年級名校名卷）觀察等式：2+22=23-2;2+22+23-24-2;按一定規(guī)律排列的一組

數(shù)：250+251+252++299+2100＞若25°=a,則用含a的代數(shù)式表示下列這組數(shù)2$°+2$1+2,2+..…2"+2100

的和.

【答案】2a2-a

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用規(guī)律完成問題.

【詳解】觀察2+22=23-2、2+2?+23=24-2發(fā)現(xiàn)2+22+2^++2n=2n+l-2

:.250+251+252++2"+2100

=25。+25。（2+2?++249+250）

=25。+25。(25。*2-2)(把25°=a代入)

=a+a(2a-2)

=2a2-a-

故答案為：2a2-a.

【點(diǎn)睛】此題考查乘方運(yùn)算，其關(guān)鍵是要?dú)w納出規(guī)律2+2?+23++2。=2間-2并運(yùn)用之.

6.（2024下?全國?七年級假期作業(yè)）已知2"=2，4=6,2。=3,則

【答案】36

【分析】由同底數(shù)事乘法的逆用可知2"+%=2"2〃？。，再代入對應(yīng)的值即可求解.

【詳解】解：：2"=2，?=6,2。=3,

=2"-2"?2。=2x6x3=36,

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)幕乘法的逆用，掌握同底數(shù)暴乘法是解決問題的關(guān)鍵.

7.（2023?湖北武漢?七年級校聯(lián)考期中）已知

2024

,一1|+(尤2-2『+1三一3|+(三-4)“+…+2m3—2023|+(x20M-2O24)=0,貝!J

2國_2巧_2為—_^^2023+z924

【答案】6

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，同底數(shù)塞的乘法.根據(jù)絕對值和偶次方的非負(fù)性，得出玉=1,

x2=2,X3=3,...,x2O23=2023,三024=2024,代入計(jì)算即可得到答案，利用換元法解決問題是解題關(guān)鍵

【詳解］解：—1|+(^x2—2)+1—3|+(x4—4)+...+1^2023—2023|+(^024—2024)=0,

二.％—1=0,X)—2—0f-3=0,%2023—2023=0,入2。24—2024=0,

=

X)=1,X?=2,%=3,...,x2023—2023,^20242024,

?2再__2向_?—2巧°23_|_^-*2024

I23420232024

=2-2-2-2--2+2

=2-2(2'+22+23+24++22022)+22024

<a=21+22+23+24+—+22022,則2。=2?+2^+2*+2$.+2叫

.?.4=2?！?=22°23一2,

.?.M^=2-2X(22023-2)+22024=2-22024+4+22024=6,

故答案為：6.

8.（2023?上海?七年級校考期中）計(jì)算：”（_4.（_譚.（_°）4.（_4=.（結(jié)果用幕的形式表

示）

【答案】（-。廣

【分析】本題考查了同底數(shù)基的乘法，根據(jù)同底數(shù)嘉的乘法法則計(jì)算即可得.

【詳解】解：原式=（-。）""4’5

=（-0）'5-

故答案為：（-4『.

二、塞的乘方與積的乘方，15題，難度四星

9.（2023下?廣東揭陽?七年級惠來縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算（-。.125）期。x（2嚴(yán)6。的結(jié)果是（）

A.1B.—1C.8D.—8

【答案】A

【分析】將（2）6.化為（8嚴(yán)2。使兩個(gè)暴的指數(shù)相同，再利用積的乘方逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.

060

【詳解】（一O.lZS>ozOxQ）'=（-0.125）2°2°X（8）為2°=（-0.125x8）202°=1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查幕的乘方逆運(yùn)算，積的乘方逆運(yùn)算，熟記公式是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?全國?七年級競賽）若/〃，=3,""=2,則吁一僅2“y=（）

A.23B.25C.27D.29

【答案】A

【分析】本題考查了哥的乘方的化簡求值，熟練掌握塞的乘方的法則是解答本題的關(guān)鍵，先計(jì)算嘉的乘

方，再將/',=3,戶”=2代入計(jì)算，即得答案.

【詳解】當(dāng)〃場=3,bin=2,時(shí)，

（優(yōu)"J一伊"）3=（/'"）3-（/?3"）2=33-22=27-4=23.

故選：A.

11.（2024下?全國?七年級假期作業(yè)）若代數(shù)式3（如2+尤-耳-2（3*2-3m+力的值與無的取值無關(guān)，則

根2023/024的值為（）

A.2B.—2C.—D.—

22

【答案】C

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，先化簡整式，根據(jù)代數(shù)式的值與元無關(guān)，求出機(jī)、〃得值，再逆用

積的乘方法則和同底數(shù)新公式求出代數(shù)式的值.

【詳解】解：原式=3蛆2+3%一3,一6X2+6心一2/

=(3m-6)x2+(3+6ri)x—3y—2y2.

代數(shù)式3(m%2+%_y)_2(3尤2_3依+,2)的值與1的取值無關(guān)，

/.3m-6=0,3+6〃=0.

：.m=2,n=——.

2

20232024

?m^

=(mn)2023xn

2

故選：C.

12.(2024?湖北武漢?七年級?？茧A段練習(xí))已知8.622=74.13,若f=0.7413,則x的值()

A.86.2B.0.862C.±0.862D.±86.2

【答案】C

【分析】由空=32=0.7413,可得［土咨］=0.7413,然后判斷作答即可.

10010010J

?、斗區(qū).8.62274.13

【詳解】解：?----=-----=0.7413,

100100

10

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方的逆運(yùn)算.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

13.(2024下?全國?七年級假期作業(yè))若"為正整數(shù).且4,則(2叫2-4(〃廣的值為()

A.4B.16C.64D.192

【答案】D

【分析】根據(jù)積的乘方以及逆運(yùn)算對式子進(jìn)行化簡求解即可.

【詳解】解析：(2產(chǎn)『-4(/廣=4i-4，"

232n232

=4(a")-4(a)=4x4-4x4

=4X(43-42)=4X48=192,

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查了塞的有關(guān)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握哥的有關(guān)運(yùn)算法則.同底數(shù)幕相乘(除)，底

數(shù)不變，指數(shù)相加(減)；塞的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，把每個(gè)因式分別乘方.

14.(2023?四川眉山?七年級統(tǒng)考期末)閱讀材料，回答下列問題：

材料一：積的乘方，把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的事相乘.

即：(ab)"=a"b".

材料二：等式［2+22+32+…+/2="5+1)⑵7+1),Mw+l)="+〃成立

6

試求：(1)22+42+62+-+102=.

(2)Ix2+2x3+3x4+…+99x100=.

【答案】220333300

【分析】(1)W(ab)"=a"b"W22+42+62+???+102^^>922x(l2+22+32+???+52),再利用

12+22+32+..?+/=”(〃+1)(2"+1)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案;

6

(2)先利用〃(〃+1)=?+"將ix2+2x3+3x4+…+99x100變形為

仔+22+32+…+992+1+2+3+…+99,再利用1+2?+3?+…+/="("+D(2”+1)進(jìn)行計(jì)算即可得到答

6

案.

【詳解】解：(1)⑻=a"b",

22+42+62+—+102

=(2xl)2+(2x2)2+(2x3)2+-+(2x5)2

=22X12+22X22+22X32+--+22X52

=22X(12+22+32+---+52),

2222,7,7+12,7+1

l+2+3+—+n=()()

6

；?原式=4產(chǎn)(5+1)35+1)

6

=220,

故答案為：220；

(2)〃("+1)=〃2+幾,

/.Ix2+2x3+3x4+...+99x100

=lx(l+l)+2(2+l)+3(3+l)+-+99x(99+1)

=l2+l+22+2+32+3+—+992+99

=l2+22+32+—+992+l+2+3+―+99

f+22+32+—+〃2=KMQM,

6

?rs-e_99x(99+1)(2x99+1)99x(99+1)

62

=32850+4950

=333300,

故答案為：333300.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方，熟練掌握的積的乘方的運(yùn)算法則，能準(zhǔn)確利用題中所給的公式是解

題的關(guān)鍵.

15.（2023下?江蘇?七年級名校名卷）已知5,=160,32,=160,貝心一2022）＜1＞（1）一=.

【答案】1

【分析】本題的思路是將等式兩邊化成同底數(shù)累，推出指數(shù)相等.由于5x32=160,因此對等式5，=160

兩邊同時(shí)取y次方，可以得到59=160%再把160換成5x32得到5"=5〃32，，接著把32y換成5工（都等

于160）得到5孫=5心，從而推出孫=彳++最后對中的指數(shù)去括號，整體代入可得結(jié)

果.

【詳解】解：：5,=160,

（5r）v=160\

/.5^=（5x32）v=5yx32v

：5工=160,32v=160,

/.5盯=5>xl60=5'x5'=5",

;.xy=x+y,

：.(-2022)(JC-1X3，-1)-1=(一2022).r-y+iT=(—2022)孫=(-2022)°=1.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)塞的乘法，積的乘方，幕的乘方，將等式兩邊化成同底數(shù)幕，推出指數(shù)相等是

解題的關(guān)鍵.

16.（2023下?七年級名校名卷）比較大?。?3034°（填“或

【答案】<

【分析】根據(jù)幕的乘方，底數(shù)大于1時(shí)，根據(jù)指數(shù)越大幕越大，可得答案.

【詳解】解：430=（43）10=6410,340=（34）10=8110,

V64<81,

A6410<8110）

即43°VS?,

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查了募的乘方與積的乘方，利用塞的乘方化成同指數(shù)的暴是解題關(guān)鍵.

17.（2023下?浙江寧波?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知2。=3,3〃=2,貝U1+1二=.

【答案】1.

【分析】利用募的乘方與同底數(shù)累相乘，得至2a+'=2ax2=6,3b+'=3bx3=6,進(jìn)而得到

62,6人=6高+言=6，求出答案即可.

【詳解】解：：2a+/=2ax2=3x2=6,

3b+/=36x3=2x3=6,

.J_J_11

:?（2。+1產(chǎn)=6商=2，（3加1）麗=6麗=3，

._i_j_j___1

*?6^?6而=6商+而=2x3=6'

Q+1Z?+1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查幕的乘方與同底數(shù)募相乘，掌握累的乘方與同底數(shù)累相乘的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

18.（2023下?全國?七年級名校名卷）如果x"=y,那么我們規(guī)定（無,H=〃.例如：因?yàn)??=16,所以

（4,16]=2.

⑴（一2,16]=；若（2,y]=6,貝”=；

（2）已知（4,12]=a,（4,5]=匕，（4,y\=c,若a+Z;=c,求V的值；

（3）若（5,10]=。，（2,10]=。，令”言.

①求備的值；

②求,的值.

【答案】（1）4,64

⑵y=60

a

⑶①7多5=—1;@t=2

16〃100

【分析】（1）由（一2）4=1,可直接得出（一2,16]=4；由2$=64,可得出＞=64；

（2）由題意可得出4"=12，,=5,4c=y.根據(jù)a+/?=c,得出4"+"=4'，即4嘰4"=半，進(jìn)而即可求

出,=12x5=60；

（3）①由題意可得出5"=10，2〃=10,再根據(jù)25"=（52）"=（5"『=100,16fc=（24）'=（2fc）4=10000,即

可求出言=擊；②根據(jù)（5〃）〃=ioJ即得出5"=10J結(jié)合題意可得出（5,101=必.由①知

5"=2'=10,即得出5"+）=5"?5"=2〃義5〃=10）,進(jìn)而得出（5,1。"]=a+6,即說明位＞=a+Z?,代入

/=當(dāng)中求值即可.

【詳解】（1）解：（-2）4=16,

.?.（—2,16]=4；

（2,y]=6,且26=64,

y=64.

故答案為：4,64；

（2）解：（4,12]=61,（4,5]=/?,（4,y]=c9若a+b=c,

.?.￥=12，4'=5,4c=y.

a+b=c,

4a+b=4C，BP4a.4b=4C,

二.y=12x5=60；

（3）解：①?（5,10]=。，（2,10]=&,

.?5=10,2"=10,

25"=（52）"=（5"）2=102=100,16fc=（24）"=（2fc）4=（10）4=10000,

,25"1001

"167-10000~100；

②(5")“=10",

5ab=10J

.?.(5,101=M.

由①知：5"=2〃=10,

：.5a+b=5a-5h=2bx5h=10b,

.?.(5,101=a+b,

:.ab=a+b,

2ab

：.t=------=2.

a+b

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，積的乘方與其逆用，塞的乘方與其逆用.熟練掌握各運(yùn)算法則是解題

關(guān)鍵.

19.(2023下?江蘇?七年級名校名卷)如果10)=〃,那么6為”的“勞格數(shù)”，記為b=d(n).由定義可知:

lQb=n馬b=d(〃)表示6、”兩個(gè)量之間的同一關(guān)系.

(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d(10)=,d(IO=)=.

⑵“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：

若機(jī)、〃為正數(shù)，則d(mn)=dGn)+d(n),d(—)=d(m)-d(〃)；根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：)

na(a)

=.(。為正數(shù))

(3)若d(2)=0.3010,分別計(jì)算d(4)；d(5).

【答案】(1)1,-2

(2)3

(3)0.6020,0.699.

【分析】(1)由“勞格數(shù)”的定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)暴解答即可；

(2)根據(jù)幕的乘方公式轉(zhuǎn)化求解即可；

(3)根據(jù)積的乘方公式、募的乘方轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】⑴解：：106=10,

：.d(10)=1；

106=10-2,:加=-2,

：.d(10-=-2；

故答案為1,-2；

m

(2)解：,：d(m〃)=d(m)+d(n),d(一)=d(m)-d(〃)

n

.d(a3)3d(a)

.?----------j

d(a)d(。)

故答案為3；

(3)解：?.解(2)=0.3010,

：.d(4)=2d(2)=0.6020,

d(5)=d(—)=d(10)-d(2)=1-0.3010=0.699.

2

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，有理數(shù)的運(yùn)算；理解題意，將新定義轉(zhuǎn)化為同底數(shù)塞的乘除法、塞的乘方與

積的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

20.(2023下?七年級課時(shí)練習(xí))已知2"=5〃=10,判斷a+b和仍的大小關(guān)系.

【答案】a+b=ab.

【分析】利用幕的乘方和積的乘方將式子化簡得到：(2。丫=2"=10〃，(5〃)"=5。"=10",

10"x10〃=10“+"=5"x2妨=(5x2)"=10%即可求出a+6和ab的大小關(guān)系.

【詳解】解：：2"=5"=10,

(2")"=Tb=10〃，(5&=5ab=10a,

.?.10"x10"=10"+'=5abx2ab=(5x2戶=10afc,

a+b=ab.

【點(diǎn)睛】本題考查累的乘方和積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幕的乘方和積的乘方，求出

10°X10"=10*=5abX2ab=(5x2)"=10afc.

21.(2023下?江蘇?七年級名校名卷)規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算，記作(a,b)：如果ac=b,那么

(a,b)=c.例如：因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(5,25)=,(2,1)=,(3,[)=

(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：(3%4w)=(3,4),并作出了如下的證明：

設(shè)(3〃，4〃)=羽貝!J(3n)x=4〃，即(3x)〃=4〃.

所以3元=4,即(3,4)=x,

所以(3〃，4〃)=(3,4).

試解決下列問題：

①計(jì)算(8,1000)-(32,100000)；

②請你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：(3,2)+(3,5)=(3,10).

【答案】⑴2,0,-2

⑵①0;②見解析

【分析】(1)根據(jù)題中規(guī)定及暴的乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)題中規(guī)定及塞的乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：52=25,

(5,25)=2；

\'20=1,

：.(2,1)=0；

故答案為：2,0,-2；

(2)①(8,1000)-(32,100000)

=(23,103)-(25,