【滬科】第一次月考卷【16.1~17.4】

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考卷（本試卷共23題，測(cè)試時(shí)間100分鐘，測(cè)試范圍：二次根式、一元二次方程的概念與解法）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．若成立，則滿足得條件A． B． C． D．2．計(jì)算的結(jié)果是A． B．3 C． D．3．祁縣是“中國(guó)酥梨之鄉(xiāng)”，某超市將進(jìn)價(jià)為每千克5元的酥梨按每千克8元賣出，平均一天能賣出50千克，為了盡快減少庫(kù)存并且讓利顧客，決定降價(jià)銷售，超市發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價(jià)每千克下降1元時(shí)，其日銷售量就增加10千克，設(shè)售價(jià)下降元，超市每天銷售酥梨的利潤(rùn)為120元，則可列方程為A． B． C． D．4．下列根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．5．下列各數(shù)中是一元二次方程的解的是A． B． C． D．6．下列運(yùn)算中正確的是A． B． C． D．7．若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為A．5 B． C． D．108．如果成立，那么A．1 B．2 C．9 D．169．若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是A．2 B． C． D．10．將方程化為的形式，則的值為A． B． C．5 D．11二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）11．若與是可以合并的二次根式，則這兩個(gè)二次根式的和是．12．關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．14．已知代數(shù)式和．（1）無(wú)論為何值，代數(shù)式的值較大的代數(shù)式是；（2）若這兩個(gè)代數(shù)式的和為5，則的值為．三、解答題（共9小題，滿分54分）15．計(jì)算：．16．已知關(guān)于的方程，當(dāng)為何值時(shí)，此方程是一元二次方程，并求出此時(shí)方程的解？17．（1）一元二次方程的兩根為、，求代數(shù)式的值．（2）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，求的值及方程的另一個(gè)根．18．已知，．求下列各式的值．（1）；（2）．19．觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；根據(jù)上述規(guī)律，解答下面的問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫出第4個(gè)等式；（2）請(qǐng)寫出第個(gè)等式是正整數(shù)，用含的式子表示），并證明．20．下面是小明解一元二次方程的過(guò)程：解：原方程可化為，第一步方程兩邊同除以得，，第二步系數(shù)化為1得．小明的解答是否正確？若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)指出從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，分析出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，并寫出正確的解答過(guò)程．21．某小區(qū)準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為的花壇，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)給出如下兩個(gè)施工方案．甲：花壇為長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)與寬的比為．乙：花壇為正方形．（1）求長(zhǎng)方形花壇的寬．（2）嘉淇說(shuō)：“正方形花壇的邊長(zhǎng)肯定比長(zhǎng)方形花壇的寬長(zhǎng)．”請(qǐng)你判斷嘉淇的說(shuō)法是否正確，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．22．已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，而這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)．①求的值；②求的周長(zhǎng)．23．閱讀材料，解決問(wèn)題．材料1：我們規(guī)定：如果兩個(gè)含有二次根式的因式的積中不含根號(hào)，那么就稱這兩個(gè)因式互為有理化因式．如，我們稱與互為有理化因式．材料2：利用分式的基本性質(zhì)和二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，可以對(duì)進(jìn)行如下的化簡(jiǎn)：，從而把分母中的根號(hào)化去，我們把這樣的化簡(jiǎn)稱為“分母有理化”．問(wèn)題：（1）與是否是互為有理化因式？并說(shuō)明理由；（2）分母有理化：；（3）化簡(jiǎn)．

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考卷（本試卷共23題，測(cè)試時(shí)間100分鐘，測(cè)試范圍：二次根式、一元二次方程的概念與解法）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．若成立，則滿足得條件A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性質(zhì)得到，利用絕對(duì)值的意義得到，然后解不等式即可．【解答】解：，，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．2．計(jì)算的結(jié)果是A． B．3 C． D．【分析】把式子變形后先用平方差公式計(jì)算，再算乘方和乘法【解答】解：原式；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和冪的乘方、積的乘方公式的應(yīng)用．3．祁縣是“中國(guó)酥梨之鄉(xiāng)”，某超市將進(jìn)價(jià)為每千克5元的酥梨按每千克8元賣出，平均一天能賣出50千克，為了盡快減少庫(kù)存并且讓利顧客，決定降價(jià)銷售，超市發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價(jià)每千克下降1元時(shí)，其日銷售量就增加10千克，設(shè)售價(jià)下降元，超市每天銷售酥梨的利潤(rùn)為120元，則可列方程為A． B． C． D．【分析】當(dāng)售價(jià)下降元時(shí)，每千克酥梨的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為千克，利用超市每天銷售酥梨獲得的利潤(rùn)每千克的銷售利潤(rùn)平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：當(dāng)售價(jià)下降元時(shí)，每千克酥梨的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為千克，依題意得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．下列根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐一判斷即可．【解答】解：，是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；，，被開(kāi)方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；，，被開(kāi)方數(shù)含有開(kāi)的盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；，，被開(kāi)方數(shù)含有開(kāi)的盡方的因數(shù)和因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟記最簡(jiǎn)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．5．下列各數(shù)中是一元二次方程的解的是A． B． C． D．【分析】利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解一次方程后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：，，或，所以，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了一元二次方程的解．6．下列運(yùn)算中正確的是A． B．C． D．【分析】計(jì)算出各個(gè)選項(xiàng)中式子的正確結(jié)果，即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．【解答】解：，故選項(xiàng)正確，符合題意；不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．7．若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為A．5 B． C． D．10【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值得出，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和二次根式的性質(zhì)，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．8．如果成立，那么A．1 B．2 C．9 D．16【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性得出方程組，求出方程組的解，最后代入求出答案即可．【解答】解：，且，即，解得：，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性，解二元一次方程組，求代數(shù)式的值等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于、的方程組是解此題的關(guān)鍵．9．若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是A．2 B． C． D．【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得出△，解關(guān)于的方程，即可得出答案．【解答】解：一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△，解得：，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)△時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，△時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解，△時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．10．將方程化為的形式，則的值為A． B． C．5 D．11【分析】利用完全平方公式整理后得，即可求出與的值．【解答】解：方程，變形得：，配方得：，即，則，，故，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程—配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）11．若與是可以合并的二次根式，則這兩個(gè)二次根式的和是．【分析】根據(jù)二次根式的定義、二次根式有意義的條件求出的值，根據(jù)二次根式的加法法則計(jì)算即可．【解答】解：是二次根式，，，解得：，則，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類二次根式、二次根式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的定義、二次根式有意義的條件求出的值是解題的關(guān)鍵．12．關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程），求的值，注意二次項(xiàng)的系數(shù)不為0．【解答】解：是一元二次方程，解得：，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】題目主要考查一元二次方程的定義及解一元二次方程，理解一元二次方程的定義是解題關(guān)鍵．13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【分析】根據(jù)完全平方公式配方，然后再把3寫成利用平方差公式繼續(xù)分解因式．【解答】解：，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，主要利用了完全平方公式以及平方差公式，把3寫成的形式是解題的關(guān)鍵．14．已知代數(shù)式和．（1）無(wú)論為何值，代數(shù)式的值較大的代數(shù)式是；（2）若這兩個(gè)代數(shù)式的和為5，則的值為．【分析】（1）利用作差法比較大??；（2）根據(jù)題意列方程求解．【解答】解：（1），，故答案為：；（2），解得：或，故答案為：1或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，掌握配方法和方程思想是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共9小題，滿分54分）15．計(jì)算：．【分析】先算乘除，再合并同類二次根式即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16．已知關(guān)于的方程，當(dāng)為何值時(shí)，此方程是一元二次方程，并求出此時(shí)方程的解？【分析】直接利用一元二次方程的定義得出最高次數(shù)為2，最高次項(xiàng)系數(shù)不為0進(jìn)而求出即可．【解答】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，且，解得：，則方程為：，即，，解得，．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握次數(shù)與系數(shù)是解題關(guān)鍵．17．（1）一元二次方程的兩根為、，求代數(shù)式的值．（2）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，求的值及方程的另一個(gè)根．【分析】（1）先利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，再通分得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算；（2）設(shè)方程的另一個(gè)根為，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，然后解方程組即可．【解答】解：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以；（2）設(shè)方程的另一個(gè)根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，解得，，所以的值為，方程的另一個(gè)根為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．18．已知，．求下列各式的值．（1）；（2）．【分析】先利用、的值分別計(jì)算出，，的值，再利用乘法公式變形得到（1）；（2），然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：，，，，，（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．19．觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；根據(jù)上述規(guī)律，解答下面的問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫出第4個(gè)等式；（2）請(qǐng)寫出第個(gè)等式是正整數(shù)，用含的式子表示），并證明．【分析】（1）根據(jù)規(guī)律求解；（2）根據(jù)規(guī)律寫出等式，再利用二次根式的性質(zhì)證明．【解答】解：（1）第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式為：，即；（2）由（1）可得：第個(gè)等式為：，證明：左邊，左邊右邊，等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字類規(guī)律探索，分式的加減運(yùn)算和二次根式的化簡(jiǎn)，理解題意發(fā)現(xiàn)數(shù)字間的規(guī)律是解題關(guān)鍵．20．下面是小明解一元二次方程的過(guò)程：解：原方程可化為，第一步方程兩邊同除以得，，第二步系數(shù)化為1得．小明的解答是否正確？若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)指出從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，分析出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，并寫出正確的解答過(guò)程．【分析】先移項(xiàng)，再提取公因式分解因式，即可得到兩個(gè)一元一次方程的積，再解一元一次方程即可．【解答】解：從第二步開(kāi)始出現(xiàn)的錯(cuò)誤，其錯(cuò)誤原因是等式的性質(zhì)2用錯(cuò)，正確的解答過(guò)程如下：，，，則或，解得：、．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．21．某小區(qū)準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為的花壇，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)給出如下兩個(gè)施工方案．甲：花壇為長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)與寬的比為．乙：花壇為正方形．（1）求長(zhǎng)方形花壇的寬．（2）嘉淇說(shuō)：“正方形花壇的邊長(zhǎng)肯定比長(zhǎng)方形花壇的寬長(zhǎng)．”請(qǐng)你判斷嘉淇的說(shuō)法是否正確，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【分析】（1）設(shè)長(zhǎng)方形花壇的寬為，則長(zhǎng)為，利用面積公式列出等式，再利用算術(shù)平方根求解；（2）假設(shè)嘉淇的說(shuō)法正確，計(jì)算出正方形的面積，與花壇的面積比較即可．【解答】解：（1）設(shè)長(zhǎng)方形花壇的寬為，則長(zhǎng)為，由題意得，因此，即長(zhǎng)方形花壇的寬為．（2）嘉淇的說(shuō)法錯(cuò)誤，理由如下：由（1）知長(zhǎng)方形花壇的寬為5米，若嘉淇的說(shuō)法正確，正方形花壇的邊長(zhǎng)為：，則正方形花壇的面積為：，因此假設(shè)不成立，即嘉淇的說(shuō)法錯(cuò)誤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，利用算術(shù)平方根的定義解方程等，理解題意，準(zhǔn)確列出方程是解題的關(guān)鍵．22．已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，而這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)．①求的值；②求