選擇必修第二冊 第五章 5.3.2 函數(shù)的極值與最大（?。┲?3.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的綜合應(yīng)用 課件-高中選擇性必修第二冊（人教A版）

選擇必修

第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)的在研究函數(shù)中的應(yīng)用

5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲?.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的綜合應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.會用導(dǎo)數(shù)求解含參函數(shù)的最值．1.邏輯思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.會用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．2.邏輯思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).3.會用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題．3.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯思維素養(yǎng).溫故知新1.求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：2.幾個(gè)重要不等式

⑵將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.⑴求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值；

知新探究【例1】已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x.求函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的最小值．解：∴f(x)min＝f(a)＝-a3.∵f′(x)＝3x2-2ax-a2＝(3x＋a)(x-a)，

②當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，①當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(0)＝0.

初試身手1.若函數(shù)f(x)＝3x-x3在區(qū)間(a2-12，a)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-1，+∞) B.(-1,4)C.(-1,2] D.(-1,2)∵f′(x)=3-3x2.令f′(x)=0，解得x=±1，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)令的變化情況如下表所示.x(-∞,-1)-1(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘-2↗2↘

又當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),單調(diào)遞減f(x)，且當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)＝-2.∴a≤2.解：綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1<a≤2.故選C.知新探究

解：

∴y＝f(x)在x∈R上單調(diào)遞增，

即a>b>c,故選D.D知新探究

解：⑵設(shè)h(x)＝f(x)－x3，則h′(x)＝f′(x)－3x2>0，∴h(x)在x∈R上單調(diào)遞增，又h(1)＝f(1)－13＝2024，由于f(x)<x3＋2024?f(x)－x3<h(1)，即h(x)<h(1)，C∴x<1，故選C.初試身手設(shè)h(x)=f(x)+x,依題意可知2.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=0,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)+1<0,則不等式f(lnx)+lnx>1的解集為

.

解：h'(x)=f'(x)+1<0,∴不等式f(ln

x)+ln

x>1可轉(zhuǎn)化為h(ln

x)>h(1),∴l(xiāng)n

x<1,解得0<x<e.即不等式f(ln

x)+ln

x>1的解集為(0,e).∴函數(shù)h(x)在R上是單調(diào)遞減,且h(1)=f(1)+1=1,(0,e)知新探究【例3】

給定函數(shù)f(x)=(x+1)ex.

⑴判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的極值；解：⑴∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，∴f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，令f'(x)=0，解得x=-2,f'(x)，f(x)的變化情況如下表所示，∴f(x)在區(qū)間(-∞,-2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-2,+∞)上單調(diào)遞增.x(-∞,-2)-2(-2,+∞)f'(x)-0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

知新探究【例3】

給定函數(shù)f(x)=(x+1)ex.

⑵畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；解：⑵令f(x)=0，解得x=-1，當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>-2時(shí)，f(x)>0.

當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，f'(x)→+∞.根據(jù)以上信息，我們畫出f(x)的大致圖象如圖所示.知新探究【例3】

給定函數(shù)f(x)=(x+1)ex.

⑶求出方程f(x)=a(a∈R)的解的個(gè)數(shù).解：⑶方程f(x)=a(a∈R)的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，∴關(guān)于方程f(x)=a(a∈R)的解的個(gè)數(shù)有如下結(jié)論：

知新探究由上例可見，函數(shù)f(x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f(x)的性質(zhì).通常，可以按如下步驟畫出函數(shù)f(x)的大致圖象：⑴求出函數(shù)f(x)的定義域；⑵求導(dǎo)數(shù)f'(x)及函數(shù)f'(x)的零點(diǎn)；⑶用f'(x)的零點(diǎn)將的f(x)域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)的單調(diào)性與極值；⑷確定f(x)的圖象所經(jīng)過的一些特殊點(diǎn)，以及圖象的變化趨勢；⑸畫出f(x)的大致圖象.初試身手⑴∵f′(x)=3x2-6=3(x2-2),3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3-6x＋5，x∈R.⑴求f(x)的極值點(diǎn)；

⑵若關(guān)于x的方程f(x)＝a有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；⑶已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)≥k(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：

⑵由⑴的分析可知y＝f(x)圖象的大致形狀及走向如圖所示．

初試身手⑶方法1：f(x)≥k(x-1)恒成立，即(x-1)(x2＋x-5)≥k(x-1),3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3-6x＋5，x∈R.⑴求f(x)的極值點(diǎn)；

⑵若關(guān)于x的方程f(x)＝a有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；⑶已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)≥k(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：因?yàn)閤>1，所以k≤x2＋x-5在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2＋x-5，由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，故所求k的取值范圍是為(－∞，－3]．∴g(x)>g(1)＝-3，所求k的取值范圍是為(－∞，－3]．方法2：直線y＝k(x-1)過定點(diǎn)(1,0)且f(1)＝0，曲線f(x)在點(diǎn)(1,0)處切線斜率f′(1)＝－3，由⑵中草圖知要使x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.知新探究問題

飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響⑴你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎？⑵是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？

知新探究

解：由題意可知，每瓶飲料的利潤是

令f′(r)=0，解得r=2.當(dāng)r∈(0,2)時(shí)，f′(r)<0；當(dāng)r∈(2,+∞)時(shí)，f′(r)>0.知新探究

解：因此，當(dāng)半徑r>2時(shí)，f′(r)>0,f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑r<2時(shí)，f′(r)<0,f(r)單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低.⑴半徑為6cm時(shí)，利潤最大.⑵半徑為2cm時(shí)，利潤最小，這時(shí)f(2)<0，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤是負(fù)值.知新探究

換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)f(r)的圖象(如下圖所示)上觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

從圖象上容易看出，當(dāng)r=3時(shí)，f(3)=0，即瓶子的半徑是3cm時(shí)，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)r>0時(shí)，利潤才為正值.

當(dāng)r∈(0,2)時(shí)，f(r)單調(diào)遞減，你能解釋它的實(shí)際意義嗎？

通過此問題的解決，我們很容易回答開始時(shí)的問題.請同學(xué)們自己作出回答.初試身手

初試身手⑴由題意得,本年度每輛車的投入成本為10×(1＋x)；出廠價(jià)為13×(1＋0.7x)，年銷售量為5000×(1＋0.4x)．解：∴本年度的年利潤p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－