2024-2025學年河北省邢臺市高三上冊第一次聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年河北省邢臺市高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學檢測試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知，則（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列an，，且，則（

）A． B．2 C．?2 D．3．已知向量，，則在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知，，則（

）A． B． C． D．5．據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當．即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方式任意表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數(shù)不小于50的概率為（

）A． B． C． D．6．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知拋物線，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，則的值為（

）A．0 B．1 C．-2 D．-18．已知函數(shù)在內(nèi)有最小值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知復數(shù)z滿足，則下列說法正確的是（

）A．z的虛部為iB．C．若復數(shù)，滿足，且，則D．若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點構成圖形的面積為2π10．設都是定義在上的奇函數(shù)，且為單調函數(shù)，，若對任意有(為常數(shù))，，則（

）A． B．C．為周期函數(shù) D．11．在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（

）A．若∥平面，則動點的軌跡是一條長為的線段B．存在點，使得⊥平面C．三棱錐的最大體積為D．若，且與平面所成的角為，則的最大值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．若，則．13．已知點是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左支上一點是雙曲線的左、右兩個焦點，且與兩條漸近線相交于14．若函數(shù)在上有兩個零點，則m的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）數(shù)列滿足：，；設(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求的前項和.16.（本小題15分）2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎正式開幕.人們在觀看奧運比賽的同時，開始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機從抽取200人進行調查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時長合計周平均鍛煉時間少于4小時周平均鍛煉時間不少于4小時50歲以下406010050歲以上（含50）2575100合計65135200(1)試根據(jù)的獨立性檢驗，分析周平均鍛煉時長是否與年齡有關？精確到0.001；(2)現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于4小時，用分層隨機抽樣法抽取5人做進一步訪談，再從這5人中隨機抽取3人填寫調查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于4小時的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.17.（本小題15分）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；(2)若點T是的中點，點M是的中點，求點P到平面的距離．(3)點是線段CD上的動點，上是否存在一點M，使平面，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．18.（本小題17分）已知橢圓的右焦點為，離心率為，直線經(jīng)過點，且與相交于，兩點，記的傾斜角為.(1)求的方程；(2)求弦的長（用表示）；(3)若直線也經(jīng)過點，且傾斜角比的傾斜角大，求四邊形面積的最小值.19.（本小題17分）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)有唯一的極值點.①求實數(shù)取值范圍；②證明.2024-2025學年河北省邢臺市高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學檢測試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】由，所以，所以，故選：A2．已知數(shù)列an，，且，則（

）A． B．2 C．?2 D．【正確答案】A【詳解】根據(jù)題意，，則，所以數(shù)列an是周期為的數(shù)列，則.故選：A3．已知向量，，則在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：A.4．已知，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】，即，即，即，即，即，即，又，解得：，(舍)，.故選：B.5．據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當．即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方式任意表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數(shù)不小于50的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】根據(jù)題意可知：一共6根算籌，十位和個位上可用的算籌可以分為一共五類情況；第一類：，即十位用5根算籌，個位用1根算籌，那十位可能是5或者9，個位為1，則兩位數(shù)為51或者91；第二類：，即十位用4根算籌，個位用2根算籌，那十位可能是4或者8，個位可能為2或者6，故兩位數(shù)可能42，46，82，86；第三類：，即十位用3根算籌，個位用3根算籌，那么十位可能是3或者7，個位可能為3或者7，故兩位數(shù)可能是33，37，73，77；第四類：，即十位用2根算籌，個位用4根算籌，那么十位為2或6，個位可能為4或者8，則該兩位數(shù)為24或者28或者64或者68，第五類：，即十位用1根算籌，個位用5根算籌，那十位是1，個位為5或者9，則兩位數(shù)為15或者19；綜上可知：用6根算籌組成的滿足題意的所有的兩位數(shù)有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共計16個，則不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共計8個，故概率為，故選：B.6．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】，法一：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時，的最小值為.故選：A.法二：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時，的最小值為.故選：A.7．已知拋物線，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，則的值為（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【正確答案】A【詳解】設，由求導得，則直線方程為，即，同理可得直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，由點在直線上，得，即故選：A．8．已知函數(shù)在內(nèi)有最小值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，可得或（舍），當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值，即最小值，又因為函在內(nèi)有最小值，故，解得，所以的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知復數(shù)z滿足，則下列說法正確的是（

）A．z的虛部為iB．C．若復數(shù)，滿足，且，則D．若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點構成圖形的面積為2π【正確答案】BD【詳解】，虛部為1，選項A不正確；，，∴選項B正確；，則，設，則，∴，∴選項C錯誤；∵，∴在復平面內(nèi)對應的點是以在復平面內(nèi)對應的點為圓心，半徑的圓，∴在復平面內(nèi)對應的點構成圖形的面積為2π，選項D正確.故選：BD10．設都是定義在上的奇函數(shù)，且為單調函數(shù)，，若對任意有(為常數(shù))，，則（

）A． B．C．為周期函數(shù) D．【正確答案】BCD【詳解】對于A，在中，且，都是定義在上的奇函數(shù)，令得，則，又為單調函數(shù)，則有，即，所以，所以，所以A錯誤；對于B，由，且得，所以B正確；對于C，設，則由，可得，所以，所以，即為周期函數(shù)，所以C正確；對于D，由，得，即，所以為等差數(shù)列，且，即，故，從而.所以D正確.故選：BCD.11．在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（

）A．若∥平面，則動點的軌跡是一條長為的線段B．存在點，使得⊥平面C．三棱錐的最大體積為D．若，且與平面所成的角為，則的最大值為【正確答案】ACD【詳解】對于A中，如圖所示，分別在取點，使得，可得，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，又由，且平面，平面，所以平面，又因為，且平面，所以平面平面，且平面平面，若平面，則動點的軌跡為線段，且，所以A正確；對于B中，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，設，可得，設是平面的一個法向量，則，取，可得，所以，若平面，則，所以存在，使得，則，所以不存在點，使得平面，所以B錯誤；對于C中，由，可得，則，所以，所以,要使得三棱錐的體積最大，只需點到平面的距離最大，由，可得點到平面的距離，因為，所以當時，即點與點重合時，可得，所以三棱錐的最大體積為，所以C正確；對于D中，在正方體中，可得平面，且平面，所以，則，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，則，所以，即，又由，設與平面所成的角，所以，因為，可得，當且僅當時，等號成立，所以，即時，與平面所成的角最大值，的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．若，則．【正確答案】240【詳解】設，則.令得.故24013．已知點是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左支上一點是雙曲線的左、右兩個焦點，且與兩條漸近線相交于【正確答案】【詳解】因為是中點，即是的中位線，則，可得，，又因為，則，，關系則，所以雙曲線的離心率是.故答案為.14．若函數(shù)在上有兩個零點，則m的取值范圍是．【正確答案】【詳解】令函數(shù)，由，得，當，即時，函數(shù)單調遞增，函數(shù)值從增大到，當，即時，函數(shù)單調遞減，函數(shù)值從減小到，由，得，函數(shù)有兩個零點，即直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，則，所以m的取值范圍是.故四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）數(shù)列滿足：，；設(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求的前項和.【正確答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）由題意知，則，即，又，則，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故，即；（2）由于，故.16.（本小題15分）2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎正式開幕.人們在觀看奧運比賽的同時，開始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機從抽取200人進行調查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時長合計周平均鍛煉時間少于4小時周平均鍛煉時間不少于4小時50歲以下406010050歲以上（含50）2575100合計65135200(1)試根據(jù)的獨立性檢驗，分析周平均鍛煉時長是否與年齡有關？精確到0.001；(2)現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于4小時，用分層隨機抽樣法抽取5人做進一步訪談，再從這5人中隨機抽取3人填寫調查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于4小時的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.【正確答案】(1)有關聯(lián)(2)分布列見解析，【詳解】（1）零假設：周平均鍛煉時長與年齡無關聯(lián).由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為周平均鍛煉時長與年齡有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.所以50歲以下和50歲以上（含50）周平均鍛煉時長有差異.（2）抽取的5人中，周平均鍛煉時長少于4小時的有人，不少于4小時的有人，所以所有可能的取值為，所以，，，所以隨機變量的分布列為：123隨機變量的數(shù)學期望17.（本小題15分）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；(2)若點T是的中點，點M是的中點，求點P到平面的距離．(3)點是線段CD上的動點，上是否存在一點M，使平面，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．【正確答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【詳解】（1）由平面，平面，平面，得，，與底面所成角為．所以三角形為等腰直角三角形，．又由四邊形是直角梯形，，可知，所以為等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，過C作，垂足為E，則四邊形為正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．則有，所以．又因為，，平面，平面．所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以A為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因為T是的中點，點M是的中點，所以，．設平面的法向量為，，，則，得，取，則，得平面的一個法向量為，而,所以點P到平面的距離為．（3）設，注意到A0,0,0，所以，所以，設，注意到P0,0,1，所以，因為A0,0,0，B1,0,0，所以若平面，則當且僅當，即當且僅當，此時，綜上所述，當且僅當重合，此時存在，使平面.18.（本小題17分）已知橢圓的右焦點為，離心率為，直線經(jīng)過點，且與相交于，兩點，記的傾斜角為.(1)求的方程；(2)求弦的長（用表示）；(3)若直線也經(jīng)過點，且傾斜角比的傾斜角大，求四邊形面積的最小值.【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)【詳解