2024-2025學年江蘇省南通市海安市高三上冊第二次月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年江蘇省南通市海安市高三上學期第二次月考數(shù)學檢測試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.2.復數(shù)，則z的虛部為（）A. B. C. D.3.若則（）A. B. C. D.4.已知是定義在上的偶函數(shù)，，當時，，則（）A. B. C.5 D.105.將函數(shù)圖象向右平移個單位得到奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.6.直線被函數(shù)的圖象所截得線段的最小值為，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，若，則k的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.58.設(shè)是定義在R上的兩個函數(shù)，若，有恒成立，下列四個命題正確的是（）A.若?x是奇函數(shù)，則也一定是奇函數(shù)B.若是偶函數(shù)，則?x也一定是偶函數(shù)C.若?x是周期函數(shù)，則也一定是周期函數(shù)D.若?x是R上的增函數(shù)，則在R上一定是減函數(shù)二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.假設(shè)“語文好，上本科”是真命題，那么下列命題正確是（）A語文好，不一定上本科 B.上本科，語文不一定好C.不上本科，語文一定不好 D.語文不好，一定不上本科10.已知函數(shù)的圖象過點和，則（）AB.當時，的值域1,2C.AB的最小值為D.函數(shù)有三個零點11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，若有三個零點，則的取值范圍是B.當且時，C若滿足，則D.若存在極值點，且，其中，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若存在，使得，則實數(shù)的最大值是__________.13.若，且，則的最小值為__________.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集中有且僅有2個正整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）設(shè)，求的最大值.16.四棱錐中，是矩形，.（1）證明：平面；（2）若是棱上一點，且，求與平面所成角的正弦值.17.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值.將該指標大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）若，求；（2）若，函數(shù)①求的最小值；②結(jié)合調(diào)查實際，解釋①中最小值的含義，并確定臨界值.18.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與交于兩點，且直線與的斜率互為相反數(shù)，求的中點到右焦點的距離的最小值.19.已知函數(shù).（1）若曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為，求和的值；（2）若是的極大值，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，證明：對于任意的，有.2024-2025學年江蘇省南通市海安市高三上學期第二次月考數(shù)學檢測試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式，利用列舉法寫出集合，根據(jù)交集的定義，可得答案.【詳解】由變形可得，解得，則，易知，則.故選：A.2.復數(shù)，則z的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算，化簡復數(shù)，進而可求虛部.【詳解】，故的虛部為，故選：B3.若則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)誘導公式以及二倍角公式即可代入求解.【詳解】故選：C4.已知是定義在上的偶函數(shù)，，當時，，則（）A. B. C.5 D.10【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，推得，得到是周期為4函數(shù)，結(jié)合時，函數(shù)的解析式，求得的值，進而求得的值，得到答案.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，，可得，即，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，可得，又因為當時，，可得，所以.故選：A.5.將函數(shù)圖象向右平移個單位得到奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)平移得出，再應(yīng)用函數(shù)是奇函數(shù)得出進而求出最小值即可.【詳解】根據(jù)題意可得：為奇函數(shù)，，故選：D.6.直線被函數(shù)的圖象所截得線段的最小值為，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由，得到或，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】由，得到，所以或，又直線被函數(shù)的圖象所截得線段的最小值為，顯然最小值在一個周期內(nèi)取到，不妨取，得到或，所以，解得，故選：B.7.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，若，則k的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】C【分析】列舉出，根據(jù)，和值域為，結(jié)合選項得解.【詳解】當時，在區(qū)間上的值域為；當時，在區(qū)間上的值域為；則.當時，在區(qū)間上的值域為；則.當時，在區(qū)間上的值域為；則，則，則k的最小值是4.故選：C.8.設(shè)是定義在R上的兩個函數(shù)，若，有恒成立，下列四個命題正確的是（）A.若?x是奇函數(shù)，則也一定是奇函數(shù)B.若是偶函數(shù)，則?x也一定是偶函數(shù)C.若?x是周期函數(shù)，則也一定是周期函數(shù)D.若?x是R上的增函數(shù)，則在R上一定是減函數(shù)【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件，依據(jù)函數(shù)的奇偶性，通過反例，可判斷AB；根據(jù)周期性的定義可判斷C，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷D【詳解】對于A，令，對可得；而此時不是奇函數(shù)，故錯誤；對于B，令，是偶函數(shù)，對可得，此時?x為奇函數(shù)，故錯誤；對于C，設(shè)?x的周期為，若，有恒成立，令，，則，因，所以，所以，所以函數(shù)y=gx對于D，設(shè)，?x是R上的增函數(shù)，所以，又即為即為，所以函數(shù)也都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故錯誤.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.假設(shè)“語文好，上本科”是真命題，那么下列命題正確的是（）A.語文好，不一定上本科 B.上本科，語文不一定好C.不上本科，語文一定不好 D.語文不好，一定不上本科【正確答案】BC【分析】根據(jù)已知若p,則q為真命題，再結(jié)合集合間的基本關(guān)系判斷各個選項即可.【詳解】設(shè)p:語文好，q:上本科，由題意，若p,則q為真命題，如果將語文好的學生定義為集合P,上本科的學生定義為集合Q，則是的子集，A選項錯誤；或許存在x∈Q，但不在集合內(nèi)，即上本科語文不一定好，B正確；語文不好，上本科,D錯誤；因為是的子集，則的補集是補集的子集，因此可以說不上本科的語文一定不好，C正確；故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象過點和，則（）A.B.當時，的值域1,2C.AB的最小值為D.函數(shù)有三個零點【正確答案】AD【分析】先根據(jù)點在函數(shù)上求出判斷A,應(yīng)用正弦函數(shù)圖象性質(zhì)求值域判斷B,根據(jù)兩點間距離求最值判斷C,數(shù)形結(jié)合判斷交點個數(shù)即是零點個數(shù)判斷D.【詳解】因為函數(shù)的圖象過點可得,即得,所以，A選項正確；函數(shù)，可得，所以,B選項錯誤；函數(shù)的圖象過點可得,,當,C選項錯誤；函數(shù)的零點個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)，如圖兩個函數(shù)有三個交點可得函數(shù)有三個零點，D選項正確.故選：AD.11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，若有三個零點，則的取值范圍是B.當且時，C.若滿足，則D.若存在極值點，且，其中，則【正確答案】AD【分析】對于A，將代入求導求極值，有三個零點，則令極大值大于零，極小值小于零即可；對于B，利用的性質(zhì)，得到且，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求解；對于C，根據(jù)，推斷函數(shù)的對稱性，進而可以求得，即可判斷結(jié)果；對于D，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，得到，進而可得，令，結(jié)合，再化簡即可得到答案.【詳解】對于選項A，當時，，，由，得到或，由，得到，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，；減區(qū)間為，故在處取到極大值，在處取到極小值，若有三個零點，則，得到，故選項A正確，對于選項B，當時，，又，即，由選項A知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當時，等號成立，故選項B錯誤，對于選項C，因為，即，所以關(guān)于點中心對稱，又的定義域為，所以，整理得到，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，所以，由題有，即，由，得到，令，則，又，所以，得到，整理得到，又，代入化簡得到，又，，所以，得到，即，所以選項D正確，故選：AD關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于選項D，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，得到，進而可得，再通過令，結(jié)合條件得到，再代入，化簡得到，從而解決問題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若存在，使得，則實數(shù)的最大值是__________.【正確答案】1【分析】先把存在問題轉(zhuǎn)化為最值問題使得，再應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求出最大值即可.【詳解】存在，使得，則，使得，令,函數(shù)單調(diào)遞增，所以,所以,則實數(shù)的最大值是1.故1.13.若，且，則的最小值為__________.【正確答案】6【分析】根據(jù)條件得到，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】由，得到，所以，當且僅當，即時取等號，又，所以時取等號，故答案為.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集中有且僅有2個正整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________.【正確答案】【分析】原不等式的解集有且只有兩個整數(shù)解等價于的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，利用導數(shù)討論后者的單調(diào)性后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，而的定義域為，故為上的奇函數(shù)，（不恒為零），故為上的單調(diào)減函數(shù)，又即為：，也就是，故，故的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，若，則當時，，此時不等式的解集中有無數(shù)個正整數(shù)解，不合題意；若，因為，，故的解集中不會有1,2，其解集中的正整數(shù)解必定大于等于3，不妨設(shè)，則的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，設(shè)，，故在上為增函數(shù)，由題設(shè)可得，故，故答案為.思路點睛：不等式解集中的正整數(shù)解的個數(shù)問題，可通過參變分離轉(zhuǎn)化水平的動直線與確定函數(shù)圖像的位置關(guān)系來處理.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）設(shè)，求的最大值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將等式中的邊等量代換為角，根據(jù)差角公式，可得答案；（2）利用正弦定理，構(gòu)造三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】由，根據(jù)正弦定理可得，所以，所以，所以，則，不合題意；則，可得，在中，，解得.小問2詳解】由，則，根據(jù)正弦定理，可得，，在中，，則，，在中，易知，當時，.16.四棱錐中，是矩形，.（1）證明：平面；（2）若是棱上一點，且，求與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)條件得到面，從而有，再通過計算得到，從而有，由線面垂直的判斷定理，即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和的方向向量，利用線面角的向量法，即可求解.【小問1詳解】因為是矩形，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又，所以，又，所以，即，又，面，所以平面.【小問2詳解】由（1）可建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，又，由，得到，所以，得到，易知，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，即，又，設(shè)與平面所成角為，則.17.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值.將該指標大于人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）若，求；（2）若，函數(shù).①求的最小值；②結(jié)合調(diào)查實際，解釋①中最小值的含義，并確定臨界值.【正確答案】（1）（2）①②說明見解析；.【分析】（1）用頻率分布直方圖，結(jié)合的意義列不等式可解；（2）①分情況討論，得到分段函數(shù)，再求值域即可;②結(jié)合調(diào)查實際取最小值時說明檢測標準效果最有效，確定檢測標準臨界值.【小問1詳解】依題可知，右邊圖形最后一個小矩形的面積為，所以．當時，，解得．此時．【小問2詳解】①當時，．當時，．因為，所以在區(qū)間，當時取最小值為0.02．②函數(shù)表示漏診率與誤診率的和，取最小值時說明檢測標準效果最有效，檢測標準臨界值.18.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與交于兩點，且直線與的斜率互為相反數(shù)，求的中點到右焦點的距離的最小值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)點在