高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練6

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)

[考情分析]1.此部分內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.在選擇題、填空題中多考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、

幾何意義，難度較小.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難

度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題.

【練前疑難講解】

一、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義

1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(i)(/(x)士g(x)r=f(x)+g'(X).

(2)1/(尤)-g(x)]'=f(x)g(x)+j[x)g'(x).

⑶陷，八)g(W(x)

Lg(x)」[g(x)r

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1產(chǎn)(xo)的幾何意義：曲線y=/(x)在點(diǎn)(xo,兀陶)處的切線的斜率，該切線的方程為y—曲)

—f'(尤0)?(尤一xo).

(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y=/(x)上；②在切線上.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求導(dǎo)函數(shù)/(x)；

(3)由-(x)>0的解集確定函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，由/'(x)<0的解集確定函數(shù)的單調(diào)

遞減區(qū)間.

三、由單調(diào)性求參數(shù)范圍

由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

(1)若可導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則/(尤)》0。^跖恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間

M上單調(diào)遞減，則尸(尤)W0(尤恒成立；

(2)若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，則(x)>0(或(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；

(3)若已知/(x)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出段)的單調(diào)區(qū)間，則/是

其單調(diào)區(qū)間的子集.

一、單選題

1.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)〃x)=ln(e2"+l)-依是偶函數(shù)，則曲線y=/(x)在尤=0

處的切線斜率為()

12

A.B.0C2D.

22

2.(24-25高三上?安徽?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)Ax)=Y一ah》的圖象在點(diǎn)(1,川))處的切線方

程為＞貝丑=()

1

A.-2B.-1C.-D.1

2

3.(2023?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(x)=ln尤+M-依在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.1)B.卜8,2A/^]C.(-oo,2]D.[1,+oo)

4.(2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)〃x)=ax2+cosx-1在(0,+e)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為()

A.3'+°0]B.C.[1,+℃)D.(1,+℃)

二、解答題

5.(2024?浙江金華,一模)已知函數(shù)〃x)=；x2-alm:+(l-q)x,(a＞0).

(1)若a=l,求的單調(diào)區(qū)間；

2

⑵若〃司2-e5,求。的取值范圍.

6.(2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃無(wú))=-alnx+(2a+l)x-無(wú)立

(1)若。=；,求A》)在(1J(D)處的切線方程.

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

⑶求證：若。＞0,/'(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))設(shè)〃x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且1汕/⑴一"1+2.)=_2,

則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J。))處的切線斜率為()

1

2.(2023?河南鄭州?二模)已知曲線y=xlnx+aeT在點(diǎn)1=1處的切線方程為2x-y+b=。,

貝()

A.-1B.-2C.—3D.0

3.（2023?山東?二模）已知直線"％-1與曲線產(chǎn)產(chǎn)。相切，則實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（2023?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若〃x）=，lnx+"2+x在％=1和％=2處有極值，則函數(shù)

/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.B.（2,+oo）C.（1,2）D.

5.（2023?重慶?一模）已知函數(shù)/（無(wú)）+尤2+無(wú)+4,貝廣是"/（x）在R上單調(diào)遞

增"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（尤）=彳（＞0）,a為實(shí)數(shù),/（x）的導(dǎo)函數(shù)為:（x）,

在同一直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)。）與尸（x）的大致圖象不可能是（）

7.（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和g（x）分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

f(.x)+g(x)=2x,則()

A.f(x)-g(x)=2-x

B.f(x)在定義域(f,+8)上單調(diào)遞增

C.Ax)的導(dǎo)函數(shù)廣(尤”1

D.g(-x)>1

8.(22-23高三上?江蘇南京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(幻=3,-2，，xeR,則下列結(jié)論正確

的是()

A.函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增

B.存在aeR,使得函數(shù)y=/半為奇函數(shù)

a

C.任意xeR,/(x)>-l

D.函數(shù)g(x)=/(x)+x有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

9.(2022?全國(guó)?高考真題)若曲線y=(x+a)e，有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍

是.

10.(2023?廣西一模)若曲線y="與y=lnx有一條斜率為2的公切線，貝|

a—,

11.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))曲線/(x)=(x+l)e*+lnx在(l,a)處的切線與直線法->+2=0

平行，貝.

四、解答題

12.(22-23高二下?四川資陽(yáng)?期末)已知函數(shù)/(x)=e'-加+1.

⑴求曲線》=在(0，/(。))處的切線方程；

(2)若xe(0,+co)時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

13.(23-24高三上■湖北■期中)已知函數(shù)/"(X)+彳/+(a—l)x+l.

(1)若曲線>=在點(diǎn)(2,"2))處的切線與直線6》+〉+1=。平行，求出這條切線的方程；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃x),g(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'⑺,g'(x)的定義域

均為R,/(2x+l)為奇函數(shù)，g(x-1)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則()

A./(g(-l))=-y(g⑴)B.g(〃-l))=—g(〃3))

C.=/(/(1))D.g(r(-l))=g(03))

2.（2。23?北京西城?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=若存在七＞°,使得

/（—5）=-/（5）成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.B.（-co,l]C.[1,+＜?）D.[-1,1]

3.（2023?廣東佛山二模）若斜率為1的直線/與曲線y=ln（x+a）和圓/+丁=3都相切，

則實(shí)數(shù)”的值為（）

A.-1B.0C.2D.0或2

4.（2023?陜西寶雞?二模）若過(guò)點(diǎn)（0,2）可作曲線＞=丁+3￡+如+。-2的三條切線，則。

的取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

5.（2023?全國(guó)?二模）若曲線有三條過(guò)點(diǎn)（0,。）的切線，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

（）

A.10,口B.（0,nC.卜,「D.[of

6.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）=/'（x）-2e'+x也是定

義在R上的奇函數(shù)，則關(guān)于x的不等式g（l-f）+g（2x+2）＞0的解集為（）

A.（-oo,-l）u（3,-t＜o(jì)）B.（^?,-3）I（1,-W）

C.（-1,3）D.（-3,1）

7.（2024?北京海淀?一模）函數(shù)/（尤）是定義在（T,4）上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，

/⑶=。.設(shè)/（無(wú)）是/'（尤）的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于尤的不等式“X+D?尸（x）20的解集是（）

A.[0,2]B.[-3,0]!I[3,4)C.(-5,0]II[2,4)D.(-4,0]1[2,3)

二、多選題

8.（2025?四川巴中?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/Xx）=asinx+cosx的圖象關(guān)于x=W對(duì)稱，下列結(jié)

論中正確的是（）

A.小蘭）是奇函數(shù)

B.7升,I近

C.若，（x）在［-狐明上單調(diào)遞增，則0〈機(jī)

7T

D./（尤）的圖象與直線y=2x+§有三個(gè)交點(diǎn)

9.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin］3x+gj,下列說(shuō)法正確的是（）

A.“X）的最小正周期為T(mén)

B.點(diǎn)1,oj為“X）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.若"x）=a（aeR）在x上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

L189」2

D.若/（尤）的導(dǎo)函數(shù)為了'⑺，則函數(shù)y=〃x）+/'a）的最大值為M

三、填空題

10.（22-23高二下?浙江杭州?期中）若直線y=1（x+l）-l與曲線y=e，相切，直線

y=心（x+1）T與曲線y=Inx相切，則左他的值為.

11.（2023?廣東佛山?一模）已知曲線〃x）=?與曲線g（x）=alnx（aeR）相交，且在

交點(diǎn)處有相同的切線，則。=.

四、解答題

12.（2020?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=ax-@-lnx（oeR）.

X

（1）若/（X）是定義域上的增函數(shù)，求。的取值范圍；

2

（2）若。＞寸若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)“（為＜馬），求/aA/G）的取值范圍.

13.（2024?江蘇徐州?一模）已知函數(shù)/（無(wú)卜丁+依一m尤，?eR.

⑴若函數(shù)y=/（x）-2/在（0,2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：

⑵若直線丁="與/⑺的圖象相切，求a的值.

14.（22-23高二下?天津紅橋?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=lnx-ox（aeR）.

⑴若x=l是/（x）的極值點(diǎn)，求。的值；

（2）求函數(shù)/（元）的單調(diào)區(qū)間；

⑶若函數(shù)/（元）在［Ie?］上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練6

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)

[考情分析]1.此部分內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.在選擇題、填空題中多考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、

幾何意義，難度較小.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難

度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題.

【練前疑難講解】

一、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義

1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(i)(/(x)士g(x)r=f(x)+g'(X).

(2)1/(尤)-g(x)]'=f(x)g(x)+j[x)g'(x).

⑶陷，八)g(W(x)

Lg(x)」[g(x)r

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1產(chǎn)(xo)的幾何意義：曲線y=/(x)在點(diǎn)(xo,兀陶)處的切線的斜率，該切線的方程為y—曲)

—f'(尤0)?(尤一xo).

(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y=/(x)上；②在切線上.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求導(dǎo)函數(shù)/(x)；

(3)由-(x)>0的解集確定函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，由/'(x)<0的解集確定函數(shù)的單調(diào)

遞減區(qū)間.

三、由單調(diào)性求參數(shù)范圍

由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

(1)若可導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則/(尤)》0。^跖恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間

M上單調(diào)遞減，則尸(尤)W0(尤恒成立；

(2)若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，則(x)>0(或(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；

(3)若已知/(x)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出段)的單調(diào)區(qū)間，則/是

其單調(diào)區(qū)間的子集.

一、單選題

1.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)〃x)=ln(e2"+l)-依是偶函數(shù)，則曲線y=/(x)在尤=0

處的切線斜率為()

12

A.B.0C2D.

22

2.(24-25高三上?安徽?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)Ax)=Y-ah》的圖象在點(diǎn)(1"⑴)處的切線方

程為＞貝丑=()

1

A.-2B.-1C.-D.1

2

3.(2023?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(x)=ln尤+M-依在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.1)B.卜8,2A/^]C.(-oo,2]D.[1,+oo)

4.(2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)〃x)=ax2+cosx-1在(0,+e)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為()

A.3'+°0]B.C.[1,+℃)D.(1,+K))

二、解答題

5.(2024?浙江金華,一模)已知函數(shù)/(x)=gx2-q1nx+(l-a)x,(a＞0).

(1)若a=l,求的單調(diào)區(qū)間；

2

⑵若〃司2-e5,求。的取值范圍.

6.(2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃無(wú))=-alnx+(2a+l)x-無(wú)上

(1)若。=^,求A》)在(1J(D)處的切線方程.

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

⑶求證：若。＞0,/'(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

參考答案:

題號(hào)1234

答案BDBA

1.B

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求得。=1,進(jìn)而求得、=/(%)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃%)是偶函數(shù)，所以〃r)=〃x),又易得函數(shù)八％)的定義域是R,

即ln(e"x+1)+辦=ln(e2'+1)_辦，

,2x]、

所以2ax=In(e"+1)—In(e-+1)=In—=lne2v=2x,

【e+1/

所以2(。-1)尤=0,又xeR,所以解得。=1,所以〃尤)=ln(e2'+l)-x,

所以廣⑺=七次?，一1,所以廣⑼=2e"。-1=0,

所以曲線y=/(x)在x=0處的切線斜率為0.

故選：B.

2.D

【分析】求出函數(shù)/(無(wú))的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即得.

【詳解】函數(shù)/(x)=%2—aln%,求導(dǎo)得/'(%)=,

依題意，/⑴=2-"1,所以4=1.

故選：D

3.B

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尸0)20在(0,+8)上恒成立，利用基本不等式可得.

【詳解】的定義域?yàn)?0,+8),f\x)=-+2x-a,

X

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx+%2—依在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以工+2x—〃20在(0,+8)上恒成立，即4+2x2〃在(0,+8)上恒成立，

XX

因?yàn)楣?2X22、口.2天=2小,當(dāng)且僅當(dāng)苫=也時(shí)，等號(hào)成立，

X\x2

所以=20,所以°<2正.

U人in

故選：B

4.A

【分析】尸(x)20對(duì)(0,+8)恒成立，其中((0)=。，令g(x)=r(x),則g〈0)20,

從而得到a驗(yàn)證后得到答案.

2

【詳解】f'(x)=2ax-sinx,由題意尸(x)>0對(duì)xe(0,+8)恒成立，

其中/'(。)=。，令g(x)=/'(功，

則需g'(0)2。，其中g(shù)'(x)=2a-cosx,故2a-lN0=>aNj,

當(dāng)aN；時(shí)，g,(x)=2a-cosx>l-cosx>0,故尸(x)在(0,+8)上遞增，

團(tuán)廣（力>廣（0）=。成立.

當(dāng)時(shí)，取易知g'（x）=2a—cosx在10,曰上單調(diào)遞增，

若aWO,則g<x）=2a-cosx<0,所以廣（%）在（。，［上遞減，

故/'（"</'（0）=0,與題意不符，舍去；

若0<a<g時(shí)，g'（0）=2a—l<0,g'^=2a>0,所以存在毛e,使得

g'（x（））=0，

當(dāng)元￡（0,/）時(shí)，g"（x）=2a-cosx<0,所以/'（%）在（0,%。）上遞減,

故廣（力</（。）=。，與題意不符，舍去；

綜上得

故選：A.

5.（1）單調(diào)增區(qū)間為（1,+8）,減區(qū)間為（0,1）

(2)(0,e]

【分析】（1）代入?yún)?shù)值，求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式，得出增減區(qū)間;

（2）求導(dǎo)函數(shù)，得到增減區(qū)間，求得最小值；由題意建立不等式，構(gòu)建對(duì)應(yīng)函數(shù)，由導(dǎo)函

數(shù)求得單調(diào)區(qū)間得最小值再建立不等關(guān)系，得到范圍.

【詳解】（1）當(dāng)a=l時(shí)，/（力尤」=上、（1）（%+1）

xxX

，xw(0,l)時(shí)，f(%)<0,%E(l,+8)時(shí)，/0)>0；

???/（%）的單調(diào)增區(qū)間為（L+8）,單調(diào)減區(qū)間為（0,1）

(2)(")=包—Q)(X+1)

X

.,.尤￡(0,〃)時(shí)，f(%)<0,%￡(〃,+8)時(shí)，f'{x)>0

Lin…

%

?-/(Ln=/(?)=-2

a2、e2

又二--------alna+a>-----

22

令h(a)=----alna+a

則〃(a)=-a—Ina,顯然"(a)單調(diào)遞減，且％[g]>0,/z,(l)<0

???必然存在唯一&e使得M/)=0

當(dāng)〃￡((),4),〃(a)>0,"(a)單調(diào)遞增，

當(dāng)?！?%+8),//(a)<0,0(。)單調(diào)遞減

由于〃￡(0,1]時(shí)，/?(〃)=〃|一?1—ln〃+1]〉0〉一5,成立

當(dāng)ae(l,+s)時(shí)，/<a)單調(diào)遞減，且/z(e)=-[,因此ae(l,e]成立

綜上，。成立的范圍為(。,可

6.(l)x+2y—3=0；

(2)答案見(jiàn)解析；

⑶證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)把。=；代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)根據(jù)給定條件，按aWO,0<a<1,a=3,分類，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.

(3)利用(2)的結(jié)論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理證明即可.

【詳解】(1)當(dāng)4=—時(shí)，/(%)=—lnx+2x—%2,求導(dǎo)得/'(%)=----2x+2,貝lj

222x

/”)=-；,而/⑴=1,

所以函數(shù)/(%)的圖象在(11⑴)處的切線方程為V-1=-；(%-D,即1+2y-3=0.

(2)函數(shù)/(%)=-〃Inx+(2〃+l)x-/的定義域?yàn)?0,+oo),

上口/口、a-八入C2x—V)(x—a)

求導(dǎo)傳f(x)----F(2q+1)—2x--------------,

XX

①當(dāng)aW0時(shí)，由/''(x)>。，得xe(0,；),由/'(x)<0,得xe(〈,+8),

則函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(；,+8)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)0<a<1?時(shí)，由/'(x)>o,得xe(a,；),由/'(x)<0,得尤e(0,a)1(：,+oo),

則函數(shù)/(x)在(a,；)上單調(diào)遞增，在?a),(g,+◎上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí)，/?<0,函數(shù)f(x)在(0,+功上單調(diào)遞減；

④當(dāng)時(shí)，由(龍)>0,得xe(g,a),由f'(龍)<0,得xw(0,g)i(°,小)，

則函數(shù)在(La)上單調(diào)遞增，在(0,3，3笆)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)aW0時(shí)，函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間為(0,g),遞減區(qū)間為§,+◎；

當(dāng)0<。<(時(shí)，函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間為(。,；)，遞減區(qū)間為(。,。)，(；,+8)；

當(dāng)a時(shí)，函數(shù)/(%)的遞減區(qū)間為(0,+8)；

當(dāng)a時(shí)，函數(shù)/(彳)的遞增區(qū)間為(￡。)，遞減區(qū)間為(。,《)，(?,+(?).

(3)①當(dāng)。=g時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，而/(1)=1>0,

1,

/(e)=--+2e-e2<0,

因此存在唯一與e(l,e)使/(%)=。，則/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)0<。<|■時(shí)，函數(shù)/(%)在x=a處取得極小值f(a)=a(-lna+o+l),

令8。)=一山+彳+1,求導(dǎo)得g'(x)=-，+l,當(dāng)xe(0,l)時(shí)，/(尤)<0,當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，

X

g'(x)>0,

函數(shù)g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，g。)在(L+8)上單調(diào)遞增，g?>g(l)=2>0,即

f(~)>/(〃)>0，當(dāng)%一+8時(shí)，一alar—>-oo,(2a+l)x-x2—>-oo,則f(x)f-8,

因此存在唯一再e(；,+8)使/(%)=。，則/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng).時(shí)，函數(shù)/Q)在尤=；處取得極小值/g)=a(ln2+l)+；>0,

/(?)>/(1)>0,

同理存在唯一超€(。，+8)使/(%)=。，則/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

所以f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))設(shè)“X)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且lim/⑴-/0+2AX)=_2,

則曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線斜率為()

1

A.2B.-1C.1D.——

2

2.(2023?河南鄭州?二模)已知曲線y=在點(diǎn)x=l處的切線方程為2x-y+-0,

貝4人=()

A.-1B.-2C.-3D.0

3.(2023?山東?二模)已知直線y=x-l與曲線y=ei相切，則實(shí)數(shù)0的值為()

A.-2B.-1C.0D.2

4.(2023?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))若〃x)=alnx+82+x在％=1和*=2處有極值，則函數(shù)

“X)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-=o,l)B.(2,+oo)C.(1,2)D.Q,1

5.(2023?重慶?一模)已知函數(shù)/(x)=ga?+x2+尤+4,貝是"/(%)在R上單調(diào)遞

增，的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=/(x>0),a為實(shí)數(shù),7(x)的導(dǎo)函數(shù)為1(x),

在同一直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)。)與尸(x)的大致圖象不可能是()

7.(2023?湖南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)和g(X)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/(x)+g(x)=2\則()

A./(x)-g(x)=2~x

B./(x)在定義域(-8,+8)上單調(diào)遞增

C./(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(尤)21

D.g(x)>1

8.(22-23高三上?江蘇南京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=3,-21xeR,則下列結(jié)論正確

的是()

A.函數(shù)在(0,+功上單調(diào)遞增

B.存在aeR,使得函數(shù)>=/學(xué)為奇函數(shù)

a

C.任意xeR,/(x)>T

D.函數(shù)g(x)=〃x)+x有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

9.(2022?全國(guó)?高考真題)若曲線y=(x+a)e*有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍

是.

10.(2023?廣西?一模)若曲線>=以2與y=lnx有一條斜率為2的公切線，則

a=.

11.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))曲線/'OOEx+DeX+lnx在(1,4)處的切線與直線6元一y+2=0

平彳亍，貝1)6-。=.

四、解答題

12.(22-23高二下?四川資陽(yáng)?期末)已知函數(shù)/(尤)=e-a?+l.

⑴求曲線y=在?A。))處的切線方程；

(2)若無(wú)e(0,+s)時(shí)，單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

13.(23-24高三上?湖北■期中)己知函數(shù)/"(X)+方廠+(a-l)x+l.

⑴若曲線y=在點(diǎn)(2,/(2))處的切線與直線6x+y+l=。平行，求出這條切線的方程；

(2)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性.

參考答案:

題號(hào)12；345678

答案CCACCCBDABC

1.c

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算得到答案.

【詳解】尸⑴皿心”L1.

'7Ar->0-2Ax2-Ax

故曲線y=〃x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線斜率為1.

故選：C

2.C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線斜率為1-4=2,可得a=-e,計(jì)算出切點(diǎn)代入切

e

線方程即可得6=-3.

【詳解】由題意可得y'=lnx+l-aer,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在點(diǎn)x=l處的切線斜率為1-4=2,解得a=-e；

e

所以切點(diǎn)為代入切線方程可得2+1+6=0,解得b=-3.

故選：C

3.A

【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(5,%)，易知y'=eT則：=:匕一1=泌，解之得卜二:，

故選：A

4.C

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意/'。)=0且廣(2)=0,即可得到方程組，從而求出

。、匕的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】因?yàn)?(x)=alnx+樂(lè)?+%,所以廣(%)=9+2桁+1,

2

a+2b+1=0

由已知得\a,,,八，解得，3

-+4Z?+l=0

12

6

所以/(%)=——所以尸a)=__”=_(%U(D,

363x33x

由r(無(wú))>0,解得1<X<2,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,2).

故選：c.

5.C

【分析】求得/(%)在R上單調(diào)遞增的充要條件即可判斷.

【詳解】由題/(力=加+2%+1

若/⑴在R上單調(diào)遞增，則r(x"O恒成立，0即“21，

故"a>0"是"/(x)在R上單調(diào)遞增”的必要不充分條件

故選:C.

6.C

【分析】先通過(guò)特值代入易得A項(xiàng)符合，對(duì)于B,C,D項(xiàng)，通過(guò)圖象觀察分析可得

結(jié)合兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的位置舍去C項(xiàng).

【詳解】由/(x)=x、可得/'(%)=。;尸

對(duì)于A,當(dāng)。=-1時(shí)，在第一象限上=/遞減，對(duì)應(yīng)(卜)=--=-3圖象在第四

象限且遞增，故A項(xiàng)符合；

對(duì)于B,C,D,在第一象限上f(x)與((尤)的圖象在(0,+8)上都單調(diào)遞增，故a>0且

6z-l>0,貝!Ja〉l.

又由/⑺=r(X)可得X=a>1，即/(X)=/與廣(x)=的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)大于1,

顯然C項(xiàng)不符合，B,D項(xiàng)均符合.

故選：C.

7.BD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得〃耳=￡三二，8(同=言:，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解，

【詳解】由/?+g(x)=2工得/(-X)+gO=23由于函數(shù)/(X)和g(x)分別為奇函數(shù)和偶

函數(shù)，所以-〃x)+g(x)=2r,因此〃x)=三二,g(x尸三二，

對(duì)于A,/(x)-g(x)=-2-，,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由于函數(shù)y=2,在(-8,+8)單調(diào)遞增，》=2一,在(-8,+8)單調(diào)遞減，所以

T-Tx

〃x)在(-co,+CO)單調(diào)遞增，故B正確,

對(duì)于C,尸("=2/2了1!12=(2』+；)ln222也xjln2=地,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等

號(hào)，

而ln2<l,所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,g(力當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)取等號(hào)，所以D正確，

故選：BD

8.ABC

【分析】A選項(xiàng)：通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；B選項(xiàng)：取特殊值驗(yàn)證結(jié)論的存在；C選項(xiàng):

通過(guò)放縮，得到函數(shù)值的范圍；D選項(xiàng)：通過(guò)函數(shù)值的符號(hào)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】對(duì)于A：尸(x)=31n3-21n2=2,In3-ln2,

因?yàn)闊o(wú)w(0,+co),所以2工>1，>1,因止匕In3>ln3>ln2,

故廠(無(wú))>0,所以/(%)在(0,+s)上單調(diào)遞增，故A正確;

對(duì)于B：令a=&,貝1Jy'用|,令h(x)=|,定義域?yàn)镽,關(guān)于

2J

原點(diǎn)對(duì)稱,

且h(-x)-h(x),故/i(x)為奇函數(shù)，B正確;

g)-1>0；x=0時(shí)，/(x)=0；

對(duì)于C：x>0時(shí)，/(x)=2A

x<0時(shí),/(%)>-21>-1；C正確;

對(duì)于D：x=0時(shí)，g(x)=0,x>0時(shí);g(x)>3*-2*=2*-1>°，

x<0時(shí)，g(x)<3<2*=2*-1<0,所以g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤;

故選：ABC

9.(-co,-4)U(0,+co)

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)飛,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到

關(guān)于X。的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】13y=(x+a)e*,0/=(x+1+,

設(shè)切點(diǎn)為(%,%),則%=伉+4爐1,切線斜率左=(占+1+。卜而，

切線方程為：y-(%o+a)e&=(%+l+a)e&(x—5),

團(tuán)切線過(guò)原點(diǎn),回一國(guó)+a)e&=(%+l+a)e%(-)),

整理得：x；+ax(j-a=0,

團(tuán)切線有兩條，回A=q2+4a>0,解得。<T或。>0,

回。的取值范圍是(-00,T)(O,-H?),

故答案為：(Y>,T)一(0,+oo)

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求解方法求解.

【詳解】設(shè)公切線在曲線y=o?與y=lnx上的切點(diǎn)分別為點(diǎn)和%)，夙無(wú)2,3),

,111

由y=lnx可得丁=一，所以一=2,解得/=彳，

X冗22

所以%=In%=—In2,則5(—,—In2),

所以切線方程為y+In2=2(%-；),

又由》=以2,可得y=2ox,所以2〃玉=2,即g=l,

所以必=。片=玉,

又因?yàn)榍悬c(diǎn)A(%,%),也即4匹,再)在切線y+ln2=2(x-g)上,

所以玉+ln2=2（x—；）,解得％=ln2+l,

11_1

所以〃二一

王In2+1In2e"

1

故答案為:

In2e

11.e+1

【分析】求得r(x)=(x+2)e，+g,得到/")=3e+lJ(l)=2e',根據(jù)題意得到

/7=/，(l),O=f(l),即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)〃x)=(x+l)e，+lnx,可得r(x)=(x+2)e，L

X

可得八l)=3e+l,/(l)=2e,

因?yàn)榍€y=〃x)在(l,a)處的切線與直線法->+2=0平行，

可得b=r(l)=3e+l,a=/(l)=2e,所以匕一a=e+l.

故答案為：e+1

12.(i)y=x+2

(2))得

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點(diǎn)斜式方程求解.

(2)f(x)在xe(0,+°o)單調(diào)遞增時(shí)，則/'(無(wú))20對(duì)xe(0,+oo)恒成立，再利用分離參數(shù)

法、導(dǎo)數(shù)計(jì)算求解.

【詳解】(1)由/00=/-加+1,得/'(X)=e*'-2ax,

則/'(0)=1,又/(0)=2,

所以曲線》=/(處在(0，/(。))處的切線方程為、-2=》-。，

即y=x+2.

(2)因?yàn)閤e(0,E)時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，

所以xe(0,+co)時(shí)，尸(幻=d-2如20恒成立，

即2aW2在xe(0,+co)時(shí)恒成立，

設(shè)g(x)=f,則g'(x)=a])e，,

XX

貝|JO<XV1時(shí)，g\x)<0,X>1時(shí)，g'O)>0,

可知％=1時(shí)，g。)取極小值g6=e,該極小值也即為(0,+8)上的最小值，

所以2〃We,即

所以xc(0,+CO),/(尤)單調(diào)遞增時(shí)，。的取值范圍是.

13.（1）18x+3y—5=0

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義和平行關(guān)系得到方程，求出3,從而得到

/（2）=-y,求出切線方程；

（2）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解，分1-。=一1和1一。>一1三種情

況，討論得到函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】（1）/,（x）=x2+or+?-l,/'⑵=3a+3

由已知/（2）=-6,

團(tuán)3a+3=—6得。=—3

又〃2）=一段

回曲線〃x）在點(diǎn)（2,/'⑵）處的切線方程為y+g=-6（x-2）

化簡(jiǎn)得：18.r+3y-5=O

（2）?。?#+■!—+（“一l）x+l定義域?yàn)镽,

/,（x）=（x+a-l）（x+l）,令/'（尤）=0得工=]_?；颍?_1

①當(dāng)1—。<一1即a>2時(shí)，

令廣⑺>0得%>-1或x<l—a,令尸（x）<。得1一。<%<1,

故在（1-a，T）單調(diào)遞減，在（―』-。），（T+8）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)1—a=—1即。=2時(shí)，/（司=（江+1）2\0恒成立，

故/'（X）在R上單調(diào)遞增；

（3）當(dāng)1-a>-1即a<2時(shí)，

令尸（x）>0得或x<-l,令尸（x）<0得-,

/⑴在（-1,1-a）上單調(diào)遞減,在（-8,-1）,（1-口）上單調(diào)遞增;

綜上，當(dāng)a>2時(shí)，/（上在（1-4-1）單調(diào)遞減,在（Yo,l-a）,（-L+S）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=2時(shí)，“X）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<2時(shí)，在（—1,1—上單調(diào)遞減，在（-co,-1）,（1-a,+00）上單調(diào)遞增；

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)〃x）,g（x）及其導(dǎo)函數(shù)/'⑺，g'（x）的定義域

均為R，〃2x+l）為奇函數(shù)，g（x-1）關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則（）

A.〃g（T））=-〃g（l））B.g（/（-l））=-g（/（3））

c./（/（-功力/⑴）D.g（r（-i））=g（r（3））

/、[ax+l,x<0

2.（2023?北京西城?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)八，若存在天〉0,使得

lnx,x>0

/（-%）=-/（%）成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.（-oo,-l]B.（-co,l]C.[1,+?）D.[-1,1]

3.（2023?廣東佛山?二模）若斜率為1的直線/與曲線y=ln（x+a）和圓/+丁=；都相切，

則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-1B.0C.2D.0或2

4.（2023?陜西寶雞?二模）若過(guò)點(diǎn)（0,2）可作曲線>=爐+3/+以+。-2的三條切線，則。

的取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

5.（2023?全國(guó)?二模）若曲線“力=/有三條過(guò)點(diǎn)（0,〃）的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

（）

A.[㈢B.（°，ncjo,jD.[of

6.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知“X）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）=/'（x）-2e'+x也是定

義在R上的奇函數(shù)，則關(guān)于x的不等式g（l-f）+g（2x+2）>0的解集為（）

A.(-oo,T)U(3,+00)B.(^o,-3)I,(1,-Ko)

C.（T3）D.(-3,1)

7.（2024?北京海淀?一模）函數(shù)/Q）是定義在（T，4）上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示,

"3）=0.設(shè):（尤）是/（x）的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于》的不等式/。+1＞/口后0的解集是（）

[3,4)C.(-5,0][2,4)D.(-4,0][2,3)

8.（2025?四川巴中?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/3=4sinx+cosx的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，下列結(jié)

論中正確的是（）

A.小-己］是奇函數(shù)

『（J”1

IT

C.若/（X）在［-加,加上單調(diào)遞增，貝1］0＜機(jī)4§

冗

D./（x）的圖象與直線y=2x+§有三個(gè)交點(diǎn)

9.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+2］,下列說(shuō)法正確的是（）

A./（x）的最小正周期為g

B.點(diǎn)1,o［為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.若〃尤）=。（。€1＜）在彳6［-9，《］上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則且。＜1

L189」2

D.若“X）的導(dǎo)函數(shù)為屈（力,則函數(shù)y=/（x）+/'（x）的最大值為加

三、填空題

10.（22-23高二下?浙江杭州?期中）若直線y=K（x+l）-l與曲線y=e*相切,直線

y=&（x+1）-1與曲線y=Inx相切，則k芯的值為.

11.（2023?廣東佛山?一模）已知曲線/（力=?與曲線g（x）=alnx（aeR）相交，且在

交點(diǎn)處有相同的切線，則。=.

四、解答題

12.(2020?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無(wú))=如-@-111尤(aeR).

X

(1)若〃為是定義域上的增函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)若。>丁若函數(shù)/O)有兩個(gè)極值點(diǎn)A,x2(Xj<x2),求的取值范圍.

13.(2024■江蘇徐州■一模)已知函數(shù)/("=%2+依一1nx,aeR.

⑴若函數(shù)y=/(x)-2f在(0,2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：

⑵若直線丁="與/⑴的圖象相切，求a的值.

14.(22-23高二下?天津紅橋?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-以(aeR).

⑴若x=l是/(x)的極值點(diǎn)，求。的值；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若函數(shù)/(x)在［Ie?］上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

參考答案:

題號(hào)123