高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：弦長(zhǎng)問(wèn)題及長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題（七大題型）原卷版

弦長(zhǎng)問(wèn)題及長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)..............................................................2

02題型歸納與總結(jié)..............................................................2

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題...............................................................2

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題.............................................................3

題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題..............................................................5

題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題..............................................................6

題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題..............................................................7

題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題....................................................8

題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題.........................................................10

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................13

方法技巧與總經(jīng)

1、弦長(zhǎng)公式的兩種形式

①若3是直線>=丘+機(jī)與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去了后得到一元二次方程

2則r2

px+qx+r=0,171.i|占-x2|=71+A:-

②若4,8是直線》="沙+"與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去x后得到一元二次方程

222

py+qy+r=O,貝!!|/同=y/l+m\yA-yB\=\ll+m-幺.

3

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題

【典例1-1】已知點(diǎn)片、耳分別橢圓1+了2=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)西作傾斜角為9的直線交橢圓于A、B

24

兩點(diǎn)，則弦N8的長(zhǎng)為.

221

【典例1-2】已知橢圓C：二+J=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B，巳，離心率為；，橢圓C上點(diǎn)

ab2

M滿足1M|+|咋J=4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。(0,0)的直線/交橢圓。于尸，0兩點(diǎn)，求線段尸0長(zhǎng)為舊時(shí)直線/的方程.

【變式1-1](2024?海南?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線U彳-3=6>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2夜，點(diǎn)尸(2,遙)

ab

在雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸且斜率為2#的直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,求|尸。|.

【變式1-2]已知拋物線E-.x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為尸(0,2).

(1)求P;

(2)斜率為2的直線過(guò)點(diǎn)尸，且與拋物線E交于43兩點(diǎn)，求線段N8的長(zhǎng).

【變式1-3】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(4,0),且在V軸上截得的弦長(zhǎng)為8,動(dòng)圓圓心的軌跡方程為C,已知點(diǎn)

尸(2,0),直線/過(guò)點(diǎn)尸且與軌跡C交于尸、。兩點(diǎn)，且歸。|=16,求直線/的方程.

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題

【典例2-1】已知F為拋物線E:/=4y的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線I與拋物線5交于42兩

點(diǎn)，拋物線E在4B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)L.

(1)設(shè)尸(%,%)是拋物線E上一點(diǎn)，證明：拋物線￡在點(diǎn)P處的切線方程為了=瞥-%,并利

用切線方程求點(diǎn)L的縱坐標(biāo)的值；

⑵點(diǎn)C為拋物線E上異于A,B的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線E的切線，分別與線段AL,BL交

于M,N.

(i)若LM=ALA,LN=]uLB,求彳+〃的值；

(ii)證明：+\FB\+\FC\>\FL\+\FM\+|FN|

【典例2-2】(2024?高三?河北承德?開學(xué)考試)已知△/2C的內(nèi)角43,C的對(duì)邊分別為a,6,c,面積為

9A/3,C=6,且siiL4sin5=sin2c.

(1)證明：△NBC為等邊三角形；

(2)設(shè)物的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。滿足力。=2,又平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)尸滿足/PA4=2/尸求

|。尸|+口尸|的最小值.

22

【變式2-1］（2024?寧夏銀川?銀川一中?？家荒＃┤鐖D所示，由半橢圓G：?+方=1（了（0）和兩個(gè)半圓

2

C2：（X+I）+/=I（^>0）,。3：卜一1）2+/=1520）組成曲線。：尸（羽力=0,其中點(diǎn)4,4依次為G的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為G的下頂點(diǎn)，點(diǎn)及居依次為G的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)耳工分別為曲線C2C3的圓心.

⑴求G的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)K,F2作兩條平行線z1?z2分別與G，C2和GG交與跖N和尸,0,求\MN\+|尸@的最小值.

【變式2-2］（2024?河南安陽(yáng)?安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：一般地，當(dāng)2>0且％4時(shí)，我們把方程

22222

=+右=4°>6>0）表示的橢圓Cz稱為橢圓事+2=1（。>6>0）的相似橢圓.已知橢圓C:土+/=1,

abab4

橢圓C/（2>0且無(wú)燈）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)尸為橢圓G上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)2=2時(shí)，若與橢圓c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線小4恰好相交于點(diǎn)尸，直線4,4的斜率分別為尢，自，

求左他的值；

⑵當(dāng)力=e?（e為橢圓C的離心率）時(shí)，設(shè)直線尸”與橢圓C交于點(diǎn)48,直線尸N與橢圓C交于點(diǎn)。,E,

求|48|+口閡的值.

題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題

22

【典例3-1】（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓。:[+看=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳工，且

ab

閨耳|=2,過(guò)點(diǎn)名作兩條直線/J，直線4與c交于48兩點(diǎn)，△斗48的周長(zhǎng)為4世.

（1）求C的方程；

4

（2）若AF/3的面積為求4的方程；

⑶若4與C交于M,N兩點(diǎn)，且4的斜率是4的斜率的2倍，求用的最大值.

【典例3-2】已知拋物線C:j?=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)僅,-26），直線/"=履+加（而n0）與C交于A,8兩點(diǎn)（異

于坐標(biāo)原點(diǎn)。）.

⑴若德.歷=0，證明：直線乙過(guò)定點(diǎn).

（2）已知％=2,直線4在直線4的右側(cè)，〃〃2，4與4之間的距離4=遙，4交C于河，N兩點(diǎn)，試問(wèn)是

否存在加，使得|小|-|/0=10?若存在，求加的值；若不存在，說(shuō)明理由.

22

【變式3-1】已知拋物線G：/=4x的焦點(diǎn)為橢圓C2：.+J=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)尸，點(diǎn)尸為拋物線

ab

G與橢圓。2在第一象限的交點(diǎn)，且戶司=，

⑴求橢圓C2的方程；

⑵若直線/過(guò)點(diǎn)尸，交拋物線￡于/,c兩點(diǎn)，交橢圓于3,。兩點(diǎn)（aB,c,。依次排序），且

|/c卜忸必=1丁求直線/的方程.

題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題

【典例4-1】(2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模)已知點(diǎn)尸為圓C:(x-2)2+儼=4上任意一點(diǎn)，/(一2,0),線段以

的垂直平分線交直線尸。于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線〃

⑴求曲線，的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)M的直線/與曲線〃的兩條漸近線交于S,7兩點(diǎn)，且M為線段ST的中點(diǎn).

⑴證明：直線/與曲線，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

21—

(ii)求萬(wàn)可月的取值范圍.

【典例4-2】(2024?高三?山東德州?開學(xué)考試)己知雙曲線￡焦點(diǎn)在x軸上，離心率為屈，且過(guò)點(diǎn)(0,4),

直線4與雙曲線￡交于兩點(diǎn)，4的斜率存在且不為0,直線與雙曲線￡交于尸，。兩點(diǎn).

(1)若的中點(diǎn)為“，直線。H,MV的斜率分別為配卻。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求發(fā)無(wú)；

1\TP\TN

(2)若直線4與直線4的交點(diǎn)7在直線x=］上，且直線4與直線4的斜率和為o,證明：j^=—

【變式4-1】拋物線C的焦點(diǎn)廠到準(zhǔn)線/的距離為2.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)廠的直線(斜率存在且不為0)交拋物線C于48兩點(diǎn)，線段的中垂線交拋物線的對(duì)稱軸于

【變式4-2](2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè))在生活中，我們經(jīng)常看到橢圓，比如放在太陽(yáng)底下的籃球，在地

面上的影子就可能是一個(gè)橢圓.已知影子橢圓C：W+4=l(a>6>0),C的上頂點(diǎn)為兩個(gè)焦點(diǎn)為片，

ab

F2,離心率為《.過(guò)大且垂直于的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，口閔=6,則+W的最小值

2，〃尸1AU

是.

【變式4-3](2024?高三?河北?開學(xué)考試)已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為立，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，

3

且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2行,g]

⑴求橢圓￡的方程；

,、\CP\

⑵若過(guò)尸(0/)的直線交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，求加的取值范圍.

題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題

22

【典例5-1】(2024?高三?北京海淀?開學(xué)考試)已知橢圓。:會(huì)+方=1(。>6>0)的右頂點(diǎn)為4(2,0),上頂點(diǎn)

為2(0,6).

⑴求橢圓C的方程；

(2)橢圓C的左焦點(diǎn)為足點(diǎn)尸為橢圓C上不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線NP/P與了軸的交點(diǎn)分別為若

\OM\]ON\=^,求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

【典例5-2】已知拋物線C:/=2分5>0),尸為C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與C交于/兩點(diǎn)，且在

H,/兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)7,當(dāng)/與V軸垂直時(shí)，Im1=4.

(1)求C的方程；

(2)證明：尸

22

【變式5-1](2024?高三?江西?開學(xué)考試)已知雙曲線C:鼻-3=l(a>0/>0)其左、右焦點(diǎn)分別為耳居,

若閨月|=12,點(diǎn)片到其漸近線的距離為40.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)g的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于4,2兩點(diǎn),且|/同=忸用，若|/月|,|/鞏忸四成

等比數(shù)列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說(shuō)明理由.

【變式5-2](2024?高三?陜西安康?開學(xué)考試)已知?jiǎng)訄A的圓心在x軸上，且該動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(一4,0),(x,0),(0,#.

(1)求點(diǎn)(xj)的軌跡C的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)￡(-1,0)的直線/交軌跡C于48兩點(diǎn)，若/(%,4),G為軌跡C上位于點(diǎn)48之間的一點(diǎn)，點(diǎn)G關(guān)

于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)B作交/。于點(diǎn)求的最大值.

22

【變式5-3】已知橢圓q:^+}=l（a>6>0）的離心率為1,且直線4：?+"=1被橢圓G截得的弦長(zhǎng)為

V7.

⑴求橢圓G的方程；

⑵以橢圓G的長(zhǎng)軸為直徑作圓。2,過(guò)直線/”N=4上的動(dòng)點(diǎn)M作圓C2的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為48,若直

線與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)c,D,求|8|.|月牙的取值范圍.

題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題

22

【典例6-1］（2024?安徽?一模）已知雙曲線C：鼻-4=1（°>。）>0）的離心率為2.且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）.

ab

⑴求C的方程；

（2）若直線/與C交于/,B兩點(diǎn),且方.赤=0（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.

【典例6-2】（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）我們把各邊與橢圓￡：—+，=1（。>6>0）的對(duì)稱軸垂直或平行

的E的內(nèi)接四邊形叫做E的內(nèi)接矩形.如圖，已知四邊形PQ?是石的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方形，PS,

0?分別與x軸交于片，耳，且片，乙為E的兩個(gè)焦點(diǎn).

>

X

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)…,100）是四邊形尸。RS內(nèi)部的100個(gè)不同的點(diǎn)，線段尸0,&S與〉軸分別交于用,當(dāng)，記

100

4=￡瓦蜀，其中左=1,2,證明：4，刈中至少有一個(gè)小于25（1+逐）.

22

【變式6-1］（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓E:^+斗=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)的

直線與E截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是［3,4］.

（1）求E的方程；

⑵已知曲線C:/+U=l（x,%〃2>0）的切線/被坐標(biāo)軸所截的線段長(zhǎng)為定值.

（i）求/與C截得的線段長(zhǎng)；

（ii）求/與E截得的線段長(zhǎng)的取值范圍.

【變式6-2］（2024?高三?北京咱主招生）雙曲線：工一以=1有一點(diǎn)尸在雙曲線上，分別過(guò)P點(diǎn)作漸近線

169

平行線交x軸于48,且A在靠近原點(diǎn)的一側(cè),過(guò)A點(diǎn)作x軸垂線交以05為直徑的圓于點(diǎn)C求10cl的

取值范圍.

22

【變式6-3］（2024?新疆?二模）已知橢圓c：「+匕=1伍〉6〉0）的左焦點(diǎn)為尸，C上任意一點(diǎn)到廠的

a2b2'

距離的最大值和最小值之積為1,離心率為走.

3

⑴求C的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線/與C交于/，N兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)p滿足PM=4MR,PN=-ANR,動(dòng)點(diǎn)。

在橢圓C上，求歸。|的最小值.

題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題

【典例7-1】(2024?山東濟(jì)南?三模)如圖所示，拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)(-2,3),

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若角￡為銳角，以角4為傾斜角的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)尸，且與拋物線交于/、2兩點(diǎn)，作線段

的垂直平分線/交x軸于點(diǎn)尸，證明尸尸bP|cos2a為定值，并求此定值.

22

【典例7-2】已知橢圓0：=+3=i(a〉b〉0)的短軸長(zhǎng)為2,上頂點(diǎn)為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,3為橢

圓C上不同的兩點(diǎn)，且當(dāng)40,3三點(diǎn)共線時(shí)，直線的斜率之積為-工

4

⑴求橢圓C的方程；

(2)若△CM3的面積為1,求砰的值.

22

【變式7-1](2024?高三?廣東?開學(xué)考試)設(shè)耳工為橢圓G會(huì)+方=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

彳魚，在橢圓C上，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為3,四邊形/甲風(fēng)的面積為VL

⑴求橢圓C的方程；

11

⑵若過(guò)工的直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，求證：忸歷+西為定值.

22

【變式7-2】已知橢圓o:\+4=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)4-2,0),且。=2人

ab

⑴求橢圓。的方程；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。(1,0)的直線/與橢圓。交于P,。兩點(diǎn)，且直線/與x軸不重合，直線/尸，N0分

別與〉軸交于M,N兩點(diǎn).求證|<WHON]為定值.

【變式7-3](2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，雙曲線

22

5-'=1(。>0,6>0)的上下焦點(diǎn)分別為月(0,。)，8(0,-c).已知點(diǎn)(e,6)和(0,@都在雙曲線上，其

中e為雙曲線的離心率.

(1)求雙曲線的方程；

(2)設(shè)43是雙曲線上位于V軸右方的兩點(diǎn)，且直線/月與直線5名平行，/月與交于點(diǎn)尸.

(i)若|/片|一忸局=2,求直線/月的斜率；

(ii)求證：|尸胤+|尸閶是定值.

【變式7-4](2024?高三?湖北武漢?開學(xué)考試)已知橢圓C：，+，=l(a>6>0)的離心率e=4,連接四

個(gè)頂點(diǎn)所得菱形的面積為4.斜率為k的直線交橢圓于48兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

(2)若左=1,求|48|的最大值;

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若4民。三點(diǎn)不共線，且。4。8的斜率滿足七T%=公，求證：I。*2+|QB『為定

值.

過(guò)關(guān)測(cè)試

22

1.已知斜率為2的直線/經(jīng)過(guò)橢圓上+匕=1的右焦點(diǎn)片，與橢圓相交于48兩點(diǎn)，求弦NB的長(zhǎng).

54

22

2.(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線￡:三-4=l(a>0,6>0)的左頂點(diǎn)是/(-1,0),一條漸近線的方

ab

程為y=x.

(1)求雙曲線E的離心率；

(2)設(shè)直線y=與雙曲線￡交于點(diǎn)尸，Q,求線段尸。的長(zhǎng).

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知尸為雙曲線C：/-￡.=1上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段。尸的垂直平分線

a

與雙曲線C相切.

⑴若點(diǎn)P是直線》=島與圓/+y=2的交點(diǎn)，求小

(2)求的取值范圍.

221

4.已知橢圓C：1r+==1(°>6>0)的離心率為點(diǎn)A,3在橢圓上運(yùn)動(dòng).當(dāng)直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)

3一

并垂直于x軸時(shí)，△048的面積為萬(wàn)(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

(2)延長(zhǎng)。/到使得且MB與橢圓C交于點(diǎn)。，若直線04,。3的斜率之積為-“求

—的值,

BQ

5.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到(1，。)的距離等于到直線久=—1的距離.

(1)求M的軌跡方程；

(2)P為不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作(1)中M的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為/,B；直線N8與尸。垂直(。

為坐標(biāo)原點(diǎn))，與x軸的交點(diǎn)為R,與PO的交點(diǎn)為。；

(i)求證：R是一個(gè)定點(diǎn)；

的最小值.

6.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線￡：/=2川(p>0)的焦點(diǎn)為凡過(guò)點(diǎn)尸且互相垂直的兩條動(dòng)直線分

別與E交于點(diǎn)43和點(diǎn)C,D,當(dāng)以理=「必時(shí)，n邳=8.

⑴求K的方程；

ITWI1

(2)設(shè)線段N8,CD的中點(diǎn)分別為M,N,若直線N5的斜率為正，且閡=反，求直線N2和8的方程.

7.(2024?高三?廣東?開學(xué)考試)已知雙曲線「與-匚=1("0,6>0)的離心率為巫，焦距為2g.

ab'2

(1)求:r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)(0,-9作直線/分別交r的左、右兩支于48兩點(diǎn)，交「的漸近線于C,。兩點(diǎn)，求旨的取值范

圍.

8.(2024?河南安陽(yáng)?一模)如圖，已知直線/］：了=氐,/2：了=-氐，〃是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MAHl2^MA

與4相交于點(diǎn)/“位于第一象限)，MB"%,且MB與4相交于點(diǎn)3(2位于第四象限)，若四邊形04MB

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(2,0)的直線/與C相交于P,。兩點(diǎn)，是否存在定直線/f=/,使以尸0為直徑的圓與直線/湘

交于E,尸兩點(diǎn)，且\就EF為\定值，若存在，求出/'的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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9.若點(diǎn)尸(2,6)為雙曲線c：,-3=1(°,b>0)上一點(diǎn)，仍=1,點(diǎn)/為雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線

/交雙曲線