廣東省廣州市荔灣區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級上冊調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

廣東省廣州市荔灣區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期調(diào)研測試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集U=/U3={xeN|0WxV10},Nn（2b8）={l,3,5,7},則3=（）

A.{1,3,5,7}B.{2,4,6,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

2.已知復(fù)數(shù)2=三3—五i（其中i為虛數(shù)單位），則目II=（）

A.且B.—C.41D.V5

52v

3.元代數(shù)學(xué)家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計算問題：“今有竹七節(jié)，下

兩節(jié)容米四升，上兩節(jié)容米二升，各節(jié)欲均容，問逐節(jié)各容幾升？”其大意為：現(xiàn)有一根七

節(jié)的竹子，最下面兩節(jié)可裝米四升，最上面兩節(jié)可裝米二升，如果竹子裝米量逐節(jié)等量減少,

問竹子各節(jié)各裝米多少升？以此計算，這根竹子的裝米量為（）

A.9升B.10.5升C.12升D.13.5升

4.已知sina+cos/?=；,cosa-sin/?=；,貝?。輘in（a—，）=（）

.6767―5959

A.—B.C.—D.-----

72727272

7T27r

5.已知函數(shù)/（%）=5畝（如+夕）（。>0,0<9<兀）4=：和》=:-是/（無）相鄰的兩個零點，則

63

（）

A.<p=-B.〃x）在區(qū)間丁石J上單調(diào)遞減

C.D.直線y=-x+{3■是曲線y=/（x）的切線

22

6.已知橢圓月:一+與=1（〃>b>0）與拋物線C:歹之=2px（p>0）,橢圓E與拋物線C交點的

ab

連線經(jīng)過橢圓E的右焦點，拋物線C的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓E的左焦點,則橢圓E的離心率為（）

A.V2-1B.皂C.史匚

D.

222

/、-x2-2ax-a.x<4（、/

7.已知函數(shù)〃x）=,4,數(shù)列{%}滿足。）（neN*）,且數(shù)列{%}是

/十in1X—31,X—4

單調(diào)遞增數(shù)列，則。的取值范圍是（）

試卷第1頁，共4頁

25_525_3

T，-2T，-2

8.已知函數(shù)/(%)=^+%應(yīng)(%)=111%+%,若/(xj=g(%2)，則占%2的最小值為()

A.-eC.-1

9.對某地區(qū)數(shù)學(xué)考試成績的數(shù)據(jù)分析，男生成績X服從正態(tài)分布N(72,8?),女生成績y服

從正態(tài)分布N(74,6?).則()

A.P{X<86)<P(Y<86)B.尸(XV80)>尸(丫480)

C.PkX<74)>P(Y<74)D.P(X<64)=P(Y>80)

10.設(shè)函數(shù)〃X)=Y(3-X),則

A.x=2是/(力的極小值點B.當(dāng)0<x<l時，0</(2x+l)<4

C.當(dāng)0<x<l時，/(x)>/(x2)D.當(dāng)-l<x<0時，/(x)</(1-x)

11.在圓錐SO中，母線”=/,底面圓的半徑為r,圓錐SO的側(cè)面積為3兀，則()

A.當(dāng)‘4時'圓錐S。內(nèi)接圓柱體的體積最大值為%

B.當(dāng)廠=：時，過頂點S和兩母線的截面三角形的最大面積為邁

C.當(dāng)/=3時，圓錐SO能在棱長為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動

D.當(dāng)/=3時，棱長為1的正四面體能在圓錐SO內(nèi)任意轉(zhuǎn)動

三、填空題

12.若1g是夾角為60。的兩個單位向量，則(2[+1).(-31+2[)=.

13.在一次活動上，四位同學(xué)將自己準(zhǔn)備好的一張賀卡放在紙箱中，隨后每人隨機從中抽取

一張，則四位同學(xué)均未取到自己的賀卡的概率為.

14.如圖，某數(shù)陣滿足：各項均為正數(shù)，每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公

比相同的等比數(shù)列，。2,1=2,%2=12,%.49,1=%4，貝！1。7,8=，

E%

試卷第2頁，共4頁

a\,\ai,2"1,3…a\,n

an,\an,2an,3

四、解答題

15.已知a,b,c分別為V4BC三個內(nèi)角B,C的對邊，且屆sinC-acosC=c_6.

(1)求/;

(2)若a=7,△4BC的面積為"如，求V/3C的周長.

4

16.如圖，四棱錐尸-/BCD中，底面4BC。是平行四邊形，△尸是正三角形，

ABAD=60°,PB=AB=2AD=4.

(1)證明：平面平面48C。；

(2)求二面角B-PC-D的余弦值.

17.在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了1000名高中學(xué)生戶外運動的時

間(單位：小時)，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

個頻率

組距

0.15--------------------

a-------------------------

S

S05

S04

03

S02

S0O1

6

18時間(小時)

⑴求。的值，估計該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運動的平均時間；(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點

值作代表)

試卷第3頁，共4頁

(2)為進(jìn)一步了解這1000名高中學(xué)生戶外運動的時間分配，在(14,16］,(16,18］兩組內(nèi)的學(xué)生

中，采用分層抽樣的方法抽取了5人，現(xiàn)從這5人中隨機抽取3人進(jìn)行訪談，記在(14,16］內(nèi)

的人數(shù)為X,求X的分布列和期望；

(3)以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機抽取8名學(xué)生，用“片㈤”表示這8名學(xué)生

中恰有左名學(xué)生戶外運動時間在(8,10］內(nèi)的概率，當(dāng)心(左)最大時，求左的值.

18.已知函數(shù)/'(x)=e*-ax-；尤②.

⑴若((x)Z0,求實數(shù)。的取值范圍；

⑵若/(力一；/+》+6,求(a+l)6的最大值.

19.已知雙曲線E:5-勺=1(°>0,6>0)的虛軸長為35,離心率為叵.

a2b255

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵為了求二元二次方程/_3必=1的正整數(shù)解匕可先找到初始解

(孫兀)，其中為為所有解當(dāng)中的最小值，因為1=(2+6)(2-G)=22-3xl2,可得々(2,1)；

因為1=(2+6)2(2-百)2=(7+44)(7-4/^)=72-3、4：,可得6(7,4)；重復(fù)上述過程，因

為(2+6)"與(2-百)”的展開式中，不含省的部分相等，含囪的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)

1=(2+我"(2-回"=(x?+后“晝Jx13靖，故得P”(匕,").若方程E的正整

數(shù)解為Q?(x?,y?),且初始解為Q(9,4).

⑴證明：%+x“=183；

(ii)角的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCBDDAABACDBCD

題號11

答案AD

1.D

【分析】根據(jù)/u5及/C(d3)={1,3,5,7}即可求出集合B.

【詳解】已知全集U=/uA={xeN|04xW10b={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

4c(務(wù)3)={1,3,5,7},3集合中沒有1,3,5,7,

若048,則Oe/,則0w/c(J8),與條件矛盾，故OeB,

同理可得2e8,4e8,6e8,8e8,9c2,10e8,

則3={0,2,4,6,8,9,10}.

故選：D.

2.C

【分析】借助復(fù)數(shù)運算法則結(jié)合模長定義計算即可得.

3-i(3-i)(l-2i)_3_2—_6i_1_7_.

【詳解】1+2?(l+2i)(l-2i)-51

故選：C.

3.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前〃項和公式計算即得.

【詳解】依題意，竹子自下而上的各節(jié)裝米量構(gòu)成等差數(shù)列{q,},〃eN*,〃V7,

貝U%+=4,4+%=2,%+%=〃2+4=3,

所以這根竹子的裝米量為S7=Ky2=io.5(升).

故選：B

4.D

答案第1頁，共17頁

59

【分析】將已知兩式平方相加，即可求出sinacos尸-cosasin/7二-五，由差角公式即可得

出結(jié)果.

【詳解】將sina+cos，=；平方得，sin2cr+2sincrcosy0+cos2P=①

將cosa-sin'=；平方得，cos2cr-2cos<zsinP+sin2/?=g,②

13

①+②得2+2(sinacos/?-cosasin/?)=—,

59

所以sinacosB-cosasm/?=------

72

59

即sm(?-^)=--

故選：D

5.D

【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)解析式判斷A,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B,利用函數(shù)解析式

計算判斷C,由導(dǎo)數(shù)求曲線的切線判斷D.

271712元

【詳解】由題意可知7=2=兀，所以。=臼=2,

T-671

《+"2兀

又了sin=0,0＜。＜兀，所以9=$,故A錯誤;

2兀

所以/(%)=sin2x+

當(dāng)*x＜腎時，容2x+gW，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知,

2兀5兀1ITT

f(x)=sin2x+

T在TPIT上單調(diào)遞增，故B錯誤;

5兀5兀c2兀2xj=-sin12x-

由/--x=sin——2x+—=sin

)I335

.八.2兀571

-/（無）=-sin2xd--------x

I3.,所以/K-/(x),故C錯誤;

設(shè)切點為（Xo/o）,因為/''（X）=2cos（2x+g,所以左=2cos]2x0+日

9IT227i47r

解得2%+號=2E+]或2/+號=2析+/,keZ,

、71

即％=E或%=左兀+§,keZ,

,切線方程為y一^^二一口一0）,即y=

當(dāng)人=0時，切點為0,

故D正確.

答案第2頁，共17頁

故選：D

6.A

【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線時橢圓的左焦點可求出C=4，由橢圓與拋物線交點的連線經(jīng)過

2

橢圓的右焦點，可知:+色1=1，化簡可得關(guān)于e方程，求解即可.

?2E

【詳解】根據(jù)題意知，拋物線C的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓￡的左焦點可得c=4，

橢圓E與拋物線C交點的連線經(jīng)過橢圓E的右焦點，所以C+?=i,

a2b2

由02=/-〃，e，

a

化簡整理可得eJ6e2+l=0,

解之可得e?=3-2應(yīng)=（￡-1），或之=3+2夜（舍）,

所以可得e=^-L

故選：A

7.A

【分析】由數(shù)列｛g｝是單調(diào)遞增數(shù)列可知當(dāng)尤43時，/（X）單調(diào)遞增，當(dāng)時，/（可單

調(diào)遞增，且/（4）＞/（3）,列出不等式，解不等式即可.

【詳解】數(shù)列｛見｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

可知當(dāng)"V3,〃wN+時，f=-n2-2an-a=-（n+a^+a2-a單調(diào)遞增，即一a23或

[2＜-^＜35

V（2）＜/（3）-解得…相

當(dāng)〃24時，〃"）=2"+In（”-3）單調(diào)遞增恒成立，

且〃4）＞〃3）,BP24+ln（4-3）＞-9-6a-a；

25

解得〃＞-亍，

所以若數(shù)列應(yīng)｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則75-亍。5

故選：A.

8.B

答案第3頁，共17頁

【分析】結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)〃(x)=ex+x,得到%=ln%,表示出占吃=書3再借助導(dǎo)數(shù)求

出"(x)=xeJ'的最小值即可.

【詳解】,."(x)=e，+x,g(x)=lnx+x,/(再)=￡(X2)，

x,ln%2

e+項=Inx2+x2=e+Inx2,

令/z(x)=e"+x,/f(x)=ex+1>0,

：.h(x)=e"+x在R上單調(diào)遞增，

X1

再=lnx2,即e=x2,

x1x2=再11,

令〃(x)=xe“，貝(]/(%)=e，(x+l),

當(dāng)x￡(—8,—l)時，〃(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)X￡(-l,+8)時,wz(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

???當(dāng)x=-1時，函數(shù)〃(x)=xe”取得最小值，

即"(X)1nm="(-1)=-：，

X]%---，

e

故選：B.

9.ACD

【分析】借助正態(tài)分布的概率的對稱性計算即可得.

【詳解】X~N(72,82),4=72,1=8；

y~N(74,6)從=74,%=6.

P(XW8O)=P(XW〃J+5),P(y<80)=P(y</z2+cr2),P(X<80)=P(Y<80)；

P(XW88)=P(X4〃|+2bJ,P(Y<86)=P(Y</j.2+2CT2),P(X<88)=P(K<86)；

對于A,P(X<86)<P(X<88)=P(Y<86),A選項正確；

對于B,P(X<80)=P(r<80),B選項錯誤；

答案第4頁，共17頁

對于C,P(x<74)>P{X<72)=1=P(Y<74),C選項正確；

對于D,P{X<64)=P(X>80)=P(Y>80),D選項正確.

故選：ACD

10.BCD

【分析】對于A,先證明〃X)=-(X+1)(X-2)2+4,再說明x=2是f(x)的極大值點即可得

到A錯誤；對于B,分別利用/卜)=3--尤3和〃耳=-卜+1)(尤-2)，4兩個表達(dá)式即可證

明結(jié)論；對于C,使用作差法比較1(無)和/(一)即可；對于D,使用作差法比較/(X)和

/(1)即可.

【詳解】對于A,由于/(力=/(3一9=3/--,故

_(x+[)(x_2)~=_(x+]乂尤2_4尤+4卜卜尤3+4彳2_4尤.{2-4X+43x2-x3-4=fJ(-)4

所以/(X)=-(X+1)(X-2)2+4,從而對xe(l,2)u(2,3)有

/(X)=-(X+1)(X-2)2+4<4=/(2),所以x=2是/(x)的極大值點，故A錯誤；

對于B,當(dāng)0cx<1時，由于/(x)=3x2-x',故

/(2x+1)=3(2尤+1)?-(2x+1y5=3(4尤2+4尤+1)-(8x，+12x?+6x+1)

=-8x3+6x+2>-8x3+6x+2x=8x-8x3=8x(1-x?)=8x(1-x)(l+x)>0,

且由2x+2>2>0,/(X)=-(X+1)(X-2)2+4,可得〃2x+l)=-(2x+2)(2x-l『+4W4.

故B正確；

對于C,當(dāng)0<x<l時，由于/(X)=3X2-3,故由―(1-力>。,

3+x(l—x)+x(l—x)(l+x)>3+0+0=3>0可知

/(x)-/^x2)=[3x2__(3JC4-x6)=(3尤2_3工4)-(丫3-x')=3x2^1-x2)-x3(^1-x3)

=3x-(1—x/l+x)—(1—x)Q+尤+x.x~4一x(+x>x(+x+x.))

=￡(1—x)(3+3x—x—x~—x)—1—@(3+2x—x~-x)=x(1—》(3+x—x2+x—@

答案第5頁，共17頁

—x?(1_x)(3+x(1-x)+x(1-))=x~Q-x)g+x(_x+x(_x)[+x)>0,

所以/(x)>/(一),故C正確；

對于D,當(dāng)-l<x<0時，有(x+l)(2尤-l)(x-2)>0,故

=(3X2-6X+3-1+3X-3X2+X3)-(3X2-X3)

=2x，-3x~-3x+2=(2x，+2x?)-(5x?+5x)+(2x+2)

=(x+l)(2x。-5x+2)=(x+l)(2x-l)(x-2)>0,

所以〃x)</(l-x),故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于使用不同的方向去研究函數(shù)的性質(zhì)，方可解決相應(yīng)的

問題.

11.AD

【分析】對于A,先根據(jù)幾何體特征算出圓錐SO內(nèi)接圓柱體的體積表達(dá)式，然后構(gòu)造函數(shù)

y(x)=[l-垣尤]xjo〈尤<與，利用導(dǎo)數(shù)即可求解；對于B,當(dāng)時，1=2,求出

圓錐的軸截面頂角，進(jìn)一步即可驗算；對于C,分別算出圓錐SO外接球半徑以及正四面體

內(nèi)切球半徑，比較大小即可判斷；對于D,分別算出正四面體外接球半徑以及圓錐SO內(nèi)切

球半徑，比較大小即可判斷.

【詳解】由已知圓錐S。的側(cè)面積為兀力=3兀，即力=3,

A選項：當(dāng)，,=：時，1=2,A=Vz2-r2=—，

22

此時圓錐的軸截面“8、圓錐SO內(nèi)接圓柱體的軸截面CDEF如圖所示，

設(shè)OF/CF=%,則由相似三角形性質(zhì)有

V7.Q

、一九2K3(9C

L11

乙〒-=-^>r,=—1---------nV=—JC1----------A,

叵3」17J4(7)

T

設(shè)/(%)=J281x,0<x<^―

I7JI2)

答案第6頁，共17頁

二廣卜)=2卜?、26)、

-x-------7----X

7,J7

令r(x)=1-I/、

、

立時，f'(x)〉O,所以/(x)在0,，V7上單調(diào)遞增,

當(dāng)0<X<

6>7

當(dāng)也<x<與時，/'(%)<0,所以小)在作中上單調(diào)遞增,

6

所以當(dāng)x=時，/(x)有最大值，且它的最大值為/=1-2?x^~x^~=,

61611761627

所以嗑、=2兀x空=且兀，故A正確;

1mx4276

此時圓錐的軸截面如圖所示,

22+22一(|x2)

SA2+SB2AB21<(所以

C0SZASB=-

2SA-SB2x2x28

令P,。是圓錐S。的底面圓周上任意的不同兩點，則0</PSQV4S3,

所以邑內(nèi)2=；5尸60與114$04卜2'2'1=2,當(dāng)且僅當(dāng)NPS0=(時，取等號，故B錯

誤；

C選項：當(dāng)/=3時，/=1,高〃=物-a=2后，

設(shè)圓錐SO的外接球球心為C,圓錐SO的外接球半徑為鳥，

答案第7頁，共17頁

所以F+(242—R2j=7?2=>4&R?=9=>7?2=~~

棱長為4的正四面體BDW可以補成正方體GB〃D-MENF,如圖所示,

則正方體的棱長BG=^8D=2后，

2

正四面體8DW的體積為%〃=（2拒『-42」.（2行「2后=”也，

1R

正四面體的表面積為從，

8DAWD-UDMAIWy=4X-2X4X4X—=16^

設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為々，

則由等體積法可知|SB_DMNr2=VB_DMNnr2=竺普,

注意到7?2=R>4=g，

所以圓錐SO不能在棱長為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故C錯誤；

D選項：棱長為1的正四面體BOAW可以補成正方體GB血）-MEVF,如圖所示,

則正方體的棱長8G=—BD=—，

22

所以正方體的外接球即正四面體的外接球，

直徑為CBG=母,半徑為用=手，

當(dāng)/=3時，r=\,高〃=2亞，

圓錐SO的內(nèi)切球球心在線段SO上，圓錐的軸截面截內(nèi)切球的大圓，即圓錐軸截面的內(nèi)切

圓，

答案第8頁，共17頁

s

設(shè)內(nèi)切圓半徑為4，由三角形面積得g〃(3+3+2)=gx2x2后，解得外=孝＞手,

所以棱長為1的正四面體能在圓錐SO內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故D正確.

故選：AD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷A選項的關(guān)鍵在于求出圓柱體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)這一有利工

具，由此即可順利得解.

7

12.

2

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的定義及運算律計算即得.

【詳解】由單位向量尾的夾角為60。，得『I=|l||l|cos6()o=g,

以(2華+<?2),(-3e]+2e?)=-6q+2e?+q?e,=-6+2+5=—-.

故答案為：二7

2

3

13.-/0.375

8

【分析】使用表格列出所有情況，然后由古典概型的概率公式可得.

【詳解】記四位同學(xué)為甲、乙、丙、丁，他們準(zhǔn)備的賀卡分別為1、2、3、4,

則四位同學(xué)抽到可賀卡情況如下表:

甲乙丙T甲乙丙T

12343124

12433142

13243214

13423241

14233412

14323421

答案第9頁，共17頁

21344123

21434132

23144213

23414231

24134312

24314321

總情況有24種，滿足條件的有9種，

93

故四位同學(xué)均未取到自己的賀卡的概率為3=，

24o

3

故答案為：7

O

14.9602"一/

【分析】設(shè)出每一列等比數(shù)列的公共公比4,結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得町4

即可得為」，即可得4,從而可得01，即可得和八即可得的,8；由生J結(jié)合等差數(shù)列求和公

式可計算出Ex,再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得寸酸』

7=1/=1（j=\J

【詳解】設(shè)每一列等比數(shù)列的公比都為q，則%4=%]/，

2

則由％,44I=%4，可得％,4q,1/2=心4,則%j=l,則4=h=2,

a\,\

..I?..

故%=2-，由%2=12,則％2=）=3,則％2=3-2''

1

故ai2-ait=3-2--2胃=2",即％,=2T+（j-1）-￡=（2/-1）?2一,

故%,8=（2x8-1）"T=15x64=960；

?「27

則1"，J=+ai,2+…+ai,n=------------------------------=?2-2'T，

J=12

n（nA〃幾2（1_2"）

則Zj=Z（川?2'T）=*.2°+/.2IH—+1?2"7=------------=〃2.2"—n.

z=l（j=\Ji=l1—2

故答案為：960；/.2〃一/.

答案第10頁，共"頁

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于設(shè)出每一列等比數(shù)列的公共公比結(jié)合等比數(shù)列性

質(zhì)利用所給數(shù)據(jù)計算出q,從而得到為-(2j-i)-2M.

,、2兀

6(Dy

⑵15

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再借助輔助角公式求得sin(/+己)，可

求角A；

(2)由(1)的結(jié)論，利用三角形面積公式、余弦定理求出6+c即可作答.

【詳解】(1)VABC,y/3asinC-acosC=c-b

由正弦定理得百sinZsinC-sin4cosc=sinC-sin5,

又sinB=sin(%+C)=sinAcosC+cosAsinC,

則有百sin/sinC+cos/sinC=sinC,由?！?0,兀)，sinCwO,

則V3sinA+cosA=2sin^+=1,得+=；,

由/e(O,7T),則/+5=?，得/=".

663

(2)A—-,貝！Jsin/=^^,由S詆=工bcsinAJ，得be=15,

3224

由余弦定理=b~+C1-2bccosA=b2+c2+be=(b+c)~-be,

得49=(6+c『-15,得b+c=8,

所以VNBC的周長為a+6+c=15.

16.(1)證明見解析

1

(2)--

【分析】(1)取4D中點。，連接。尸,。2,根據(jù)等比三角形可得尸由余弦定理求02

長，再由勾股定理得結(jié)合面面垂直判定定理證得結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算分別求平面尸8c與平面PCD的法向量,

根據(jù)向量夾角運算即可得二面角8-PC-D的余弦值.

【詳解】(1)取NO中點O,連接。尸。5,

答案第11頁，共17頁

p

因為△P4D是正三角形，。為4D中點，

所以POJ_AD,nPO=$~AD=@:,

2

又NBAD=60。,4B=24D=4,由余弦定理得

OB-=OA2+AB2-2OA-AB-cos6QP=1+16-2xlx4xL13,

2

則OB2+OP2=PB2,OBLOP,

因為OBc40=0,05,4Du平面48CZ),

所以PO_L平面48CZ),又尸Ou平面P/D,

所以平面P/D_L平面N5C。；

(2)如圖，連接3。，則BD=NAD?+AB?-2皿48cos120°=，

所以必+心=/爐，i^DAlDB,

如圖，過。作Dz//尸0,以。為原點，。4￡次所在直線為X/軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則3(0,2百,0),C(-2,273,0).￡>(0,0,0),尸(1,0,百)，

SC=(-2,0,0),定=(-3,2百,一百)，CO=(2,-2^,0),

設(shè)平面尸8C的一個法向量為為=(x,y,z),

n-BC——2x—0夕=0

n-PC=-3x+2^y-43>z=Q卜=2>取為=(0,1,2),

設(shè)平面PDC的一個法向量為m=(a,6,c),

答案第12頁，共17頁

in-PC——3a+2由b—\j3c=0]「°=-V3c

取血=（一百,-1,1）,

m-CD=2a-2^b=0y[b=-c

由圖可知二面角3-PC-O的平面角為鈍角,

，二面角3-PC-。的余弦值為：

,--?加司|-1+2|1

T麗=-不7r-

17.⑴a=0.1,平均時間為9.16小時

⑵分布列見解析，期望E（X）=?1?

（3）后=2

【分析】（1）根據(jù)頻率和為1,可得。，再根據(jù)平均數(shù)公式直接計算平均數(shù)即可；

（2）分別計算時間在（14,16］,（16,18］的頻數(shù)，結(jié)合分層抽樣可得兩組分別抽取人，根據(jù)超

幾何分布的概率公式分別計算概率，可得分布列與期望；

（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知運動時間在（8,10］內(nèi)的頻率，根據(jù)二項分布的概率公式可得

G化），根據(jù)最值可列不等式，解不等式即可.

【詳解】（1）由已知2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+0+0.05+0.04+0.01）=1,解得。=0.1,

所以平均數(shù)為1x0.04+3x0.06+5x0.1+7x0.1+9x0.3

+11x0.2+13x0.1+15x0.08+17x0.02=9.16.

（2）這1000名高中學(xué)生戶外運動的時間分配，

在（14,16］,（16,18］兩組內(nèi)的學(xué)生分別有1000x0.08=80人，和1000x0.02=20人；

所以根據(jù)分層抽樣可知5人中在（14,16］的人數(shù)為=4人，在（16,18］內(nèi)的人數(shù)為

oO+20

5-4=1人，

所以隨機變量X的可能取值有2,3,

所以尸5=2""尸（X=3）="=±

則分布列為

X23

答案第13頁，共17頁

32

P

55

3?1?

期望E(X)=2X《+3X―=M；

(3)由頻率分布直方圖可知運動時間在(8,10］內(nèi)的頻率為0.15x2=0.3=—,

-膈'小小《圖

若皿)為最大值，嚼案器詈

17>13

即,"10：+:10,解得1.7—V2.7,

JW-9^1W

又上eN,且0VAV8,貝U4=2.

18.(1)(—8,1］

(2)i

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值分離參數(shù)計算即可；

(2)含參分類討論〃(x)=e*-(a+l)x-b的單調(diào)性，得出(a+l)-(a+l)ln(a+l”6,構(gòu)造

函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值計算即可.

【詳解】(1)由題意得/(x)=e*-。一凡則/''(x"0ne工一xNa,