滬教版八年級數(shù)學下冊 第二十二章 四邊形（10類題型）（60道壓軸題專練）（原卷版）

第二十二章四邊形(10大題型)(60道壓軸題專練)

壓軸題型一多邊形

1.(23-24七年級下?黑龍江哈爾濱?開學考試)(1)如圖1,這是一個五角星ABCDE,求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE

的度數(shù).

(2)如圖2,如果點8向右移動到AC上，直接寫出NA+NDBE+NC+ND+NE的度數(shù).

(3)如圖3,當點8向右移動到AC的另一側時，直接寫出4+/。3￡+/。+/。+/目的度數(shù).

(4)如圖4,求ZA+ZB+NC+/O+/E+N尸的度數(shù).

2.(2023八年級下?浙江?專題練習)

(1)如圖1,設NA=x,則Nl+N2=；

(2)把三角形紙片A3c頂角A沿DE折疊，點A落到點A處，記NAZ>3為Nl,ZAEC為N2.

①如圖2,N1,N2與—A的數(shù)量關系是；

②如圖3,請你寫出Nl,N2與2的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)如圖4,把一個三角形紙片ABC的三個頂角分別向內折疊之后，3個頂點不重合，那么圖中

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=.

3.(21-22八年級上?江西贛州?期中)如圖，四邊形ABC。，BE、￡)尸分別平分四邊形的外角/MBC和/A?C,

若NBAD=a,NBCD=p.

(1)如圖1,若。+尸=120。，求/MBC+/NDC的度數(shù)；

(2)如圖1,若BE與。尸相交于點G,NBGD=30。,請求出心￡所滿足的等量關系式;

(3)如圖2,若3E〃。尸，請求出。、尸所滿足的等量關系式.

4.(23-24八年級上.山東威海.期末)在四邊形ABC。中，ZA=100°,/B=120。，點、E、/分別是邊AABC

(1)如圖①，若點尸在線段。上運動，試探究N1+N2與/a之間的關系，并說明理由；

再探：

(2)如圖②，若點尸在線段0c的延長線上運動，試探究4,N2,Na之間的關系，并說明理由；

⑶若點P運動到四邊形的內部，在備用圖中畫出此時的圖形，并直接寫出此時4N2,Na之間的關系

5.(22-23八年級上?浙江臺州?期末)如圖，在四邊形ABCD中,ZA=150°,ZD=80°.

圖1圖2圖3圖4

(1)如圖1,若ZB=NC,則NC=度；

(2)如圖2,若/ABC的平分線BE交。C于點E,且試求出NC的度數(shù)；

⑶①如圖3,若和NDCB的平分線交于點P,試求出/3PC的度數(shù)；

②如圖4,尸為五邊形至8匹內一點；DP,CP分別平分NEDG4BCD,試探究一尸與NA+/B+NE1的

數(shù)量關系，并說明理由.

6.（23-24八年級上.河南駐馬店.期末）（1）己知：如圖1,AABC.求證：ZA+ZB+ZC=180°

圖1圖2圖3

分析：方法①延長3C到過點C作射線CE〃%（圖2）,這樣就相當于把NA移到了N1的位置，把-3

移到了N2位置.

方法②過點A作直線PQ〃8C（圖3）,把三個角“湊”到A處.

從上面選一種你喜歡的方法寫出證明過程.

解決問題:

（2）如圖4,AABC外一點D,連接A。、CD.求證：ABAD+ZB+ZBCD+ZD=360°.

E

圖5圖6

（3）如圖5,AABC外兩點。、E,連接AE、ED、CD.沿著MN折疊得到圖6,點￡落在點孔則

AMAB+AB+Z.BCD+Z.D+ADNM+ZNMA=_（答案直接寫在橫線上）.

壓軸題型二平行四邊形的判定與性質

7.（22-23八年級下?上海浦東新?期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線產(chǎn)質+b經(jīng)過點A（-4,0）,B（0,3）.

(1)求直線A2的函數(shù)表達式；

(2)點C在直線A3上，點。與點C關于y軸對稱，如果以O,A,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求

點C的坐標.

8.(22-23八年級下?上海寶山?期末)平行四邊形ABCD中，E是邊8C上的動點，過點E作EGLAB,垂足

為點G,尸是邊AO的中點，連接￡F、FG.

(1)如圖甲，當￡是邊BC的中點時，如果四邊形A3CD的面積為10,求AEFG的面積;

(2)如圖乙，點E移動至點C處，試判斷AEFG形狀，并說明理由；

(3)如圖丙，如果A?=AO=2,ZB=60°,設3E=x,SAEFG=y,求y與x的函數(shù)關系式，并寫出定義域.

3

9.(22-23八年級下?上海靜安?期末)如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線＞=\尤-6與x軸和y軸分別相

交于點A和點2,NO3A的平分線取交Q4于點C,點C坐標(辦0),點P與點8關于點C對稱.

(1)求m的值;

⑵求圖像經(jīng)過點P的反比例函數(shù)解析式；

(3)已知點。是坐標平面內一點，如果四邊形ADBP是平行四邊形，那么點。的坐標是.(請將點。

的坐標直接填寫在空格內)

10.(22-23七年級上?上海青浦?期末)小明在學習了中心對稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對稱

圖形.于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四

邊形紙片的對角線，用大頭針釘住對角線的交點.將平行四邊形紙片繞著對角線的交點旋轉180。后，平行

四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合.通過上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對稱圖

形，對角線的交點就是對稱中心.

請你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題:

圖①圖②圖③

(1)如圖①，四邊形A3CD是平行四邊形，過對角線交點。的直線/與邊AB、CD分別相交于點"、N,則四

邊形ABCD與四邊形AMND的面積之比的比值為；

(2)如圖②，這個圖形是由平行四邊形A3CD與平行四邊形ECGF組成的，點E在邊C￡＞上，且6、C、G在

同一直線上.

①請畫出一條直線把這個圖形分成面積相等的兩個部分(不要求寫出畫法，但請標注字母并寫出結論)；

②延長GP與邊AD的延長線交于點K,延長FE與邊A3交于點7/.聯(lián)結E&EK、BK,如圖③所示，當

四邊形AHED的面積為18,四邊形CEFG的面積為4時，求三角形的面積.

11.（21-22七年級上?上海金山?期末）如圖，已知正方形ABC。，點M是線段CB延長線上一點，連接

（1）將線段AM沿著射線AZ）方向平移，使得點A與點。重合.用代數(shù)式表示線段A"掃過的平面部分的

面積.

（2）將三角形繞著點A旋轉，使得A3與AD重合，點M落在點N,連接.用代數(shù)式表示三角形4VW

的面積.

（3）將三角形順時針旋轉，使旋轉后的三角形有一邊與正方形的一邊完全重合（第（2）小題的情況除

外）.請在下圖中畫出符合條件的3種情況，并寫出相應的旋轉中心和旋轉角.

12.（2022八年級下?上海?專題練習）如圖，在直角坐標系尤Oy中，點4（2,0）和點8（-2,0）,直線8C與＞軸

正半軸交于點C（0/）,過點A作垂足為。，聯(lián)結0”

⑴求0。的長；

⑵當NOD4=30。時，求點C的坐標;

(3)在(2)的條件下，已知點E在直角坐標平面內，如果以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請

直接寫出點E的坐標.

壓軸題型三矩形的判定與性質

13.(22-23八年級下?上海徐匯?階段練習)已知矩形ABCD中，AB=8,點”在邊8c上，且3M=6,點尸

在邊AD或。C上，連接AM、AP,MP,設A￡>=x.

圖2備用圖

(1)如圖1，當：S四邊形ADCM=3：7時，求X的值;

(2)如圖2,當x=8時，如果AAMP為等腰三角形，求AAMP的面積;

(3)直接寫出使得AAMP為等腰三角形的點P最多有幾個？并指出使得點尸個數(shù)最多時x的取值范圍.

14.(22-23八年級下?上海浦東新?期末)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點尸在邊AD上，連接

3尸，點A關于直線3尸為對稱點為4,

(備用圖)(備用圖)

⑴點A落在8C邊上，求AP的長

(2)點A落在線段PC上，求心的長;

(3)點A,到直線CD的距離等于A,B的長，求轉的長.

15.(22-23八年級下?上海普陀?期中)如圖，現(xiàn)有矩形A3CZ)和一個含30°內角的直角三角形BEF按圖1所

示位置放置(A3和8E重合)，其中AB=25,">=48.將^斫繞點8順時針旋轉&。(0<?<90),在旋轉過程

中，直線EV與邊交于點G,如圖2所示.

(2)連接CE、DE,當DE=CE時，求出此時a的度數(shù)；

(3)如圖3,以A3為邊的矩形內部作正方形直角邊防所在直線交線段于點P,交3C于點。.設

AG=x,PN=y,寫出>關于x的函數(shù)解析式.

16.(21-22八年級下?江蘇鹽城?階段練習)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC^ZADC^9Q°,對

角線AC、8。交于點O,OE平分/ADC交8C于點E,連接?！?/p>

(1)求證：四邊形A8CD是矩形；

(2)若/8。￡=15。，求/EOC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若AB=2,求矩形ABCD的面積.

17.(21-22九年級下?上海?期中)如圖，已知正方形A8CD,點E是BC邊上一點，將AABE沿直線AE折

疊，點B落在P處，連接2尸并延長，與/D4F的平分線相交于點反，與AE,8分別相交于點G,M,連

接“C.

⑴求證：AG=GH；

(2)若AB=3,BE=1,求點。到直線8H的距離.

18.(21-22八年級下?上海奉賢?期末)己知：如圖，矩形ABC。中，AB=6,8C=10,尸是邊上一點,

把尸沿8尸所在的直線翻折后得到AEBP,直線PE與邊8C相交于點尸，點E在線段PP上.

(1)如果點尸和點C重合，求AP;

⑵設AP=x,BF=y,求y關于x的函數(shù)關系式，并直接寫出定義域;

(3)連接。品如果△2￡>/是以尸尸為腰的等腰三角形，求AP的長.

壓軸題型四菱形的判定與性質

19.(22-23八年級下?重慶北暗?期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為對角線AC上一點，過點B作

BF//AC,BF=AE,連接￡>E,CF,EF,線段E尸交8c于點X.

AD

⑴若/班C+ZACD=180。，求證：四邊形EFCD為菱形；

⑵在（1）問的基礎上，若NBFC=120。，BF=CF=4,求四邊形EHCD的面積.

20.（20-21八年級下?上海楊浦?期中）如圖，在平面直角坐標系中，點。是坐標原點，正比例函數(shù)y=近的

圖象與雙曲線＞交于點A,且點A的橫坐標為-0.

⑴求左的值.

（2）將直線y=近向上平移4個單位得到直線8C,直線8C分別交x軸、y軸于點8、C.如果點O在直線BC

上，在平面直角坐標系中存在點尸，使得以。、8、。、尸為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點尸的坐標.

21.（22-23八年級下?上海普陀?期末）己知：如圖，在四邊形A3C。中，AD〃BC,對角線AC、8。相交

于點。，8。平分NABC,過點。作A尸〃A5分別交AC、BC于點、E、F.

（1）求證：四邊形ABFD是菱形；

⑵如果NBAD=2NADC,求證：AC=DF.

22.（2023八年級下?上海?專題練習）如圖所示，平面直角坐標系中，。是坐標原點，正比例函數(shù)、=卮（尤

7

為自變量）的圖像與雙曲線丫=-*交于點4且點A的橫坐標為-拒.

x

（1）求人的值;

（2）將直線>=依（尤為自變量）向上平移4個單位得到直線BC,直線BC分別交無軸、y軸于8、C,如點。

在直線BC上，在平面直角坐標系中求一點尸，使以。、B、D、尸為頂點的四邊形是菱形.

23.（2022?廣東佛山?三模）如圖，在菱形A3CD中，對角線AC,2D相交于點。，點E,歹分別在AB,AD

上，連接CE,CF,BE=AF,AB=AC.

AD

E0

BC

（1）求證：CE=CF；

⑵若S菱琢sen=20，求菱形ABCD的周長.

24.（2022八年級下?上海?專題練習）已知：如圖1.四邊形ABC。是菱形，AB=6,/MAN=60。.繞

頂點A逆時針旋轉/MAN,邊AM與射線BC相交于點E（點E與點B不重合），邊河與射線C。相交于點

備用圖

⑵設尤，AA。尸的面積為y.當點￡在線段BC上時，求y與尤之間的函數(shù)關系式，寫出函數(shù)的定義域;

（3）連接8。，如果以A、B、F、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求線段BE的長.

壓軸題型五正方形的判定與性質

25.（2022八年級下.上海.專題練習）如圖1,已知。為正方形ABC。對角線的交點，點E在邊的延長

線上，連結EO,。尸，OE交8A延長線于點R連結ER

備用圖

(1)求證：EO=FO；

(2)若正方形的邊長為2,OE=2OA,求BE的長；

(3)當0E=20A時，將繞點。逆時針旋轉到ABOE/,使得/8。目=30。時，試猜想并證明AAOE/

是什么三角形.

26.(20-21八年級下.上海閔行?期末)如圖，已知正方形ABC。的邊長為4,點A為邊CD上的一個動點(不

與點C、。重合)，將正方形紙片翻折，使得點A落在點4處，點8落在點片處，A與交邊BC于點H,折

痕為MN,聯(lián)結A4交邊于點O.

(2)當4在邊8的運動時，設AO=x,梯形的面積為求＞與》之間的函數(shù)解析式，并寫出定

義域.

27.(20-21七年級上?上海寶山?期末)如圖，點E為邊長為3的正方形ABCD的邊CB延長線上一點，BE=1,

連接AE,將AABE繞著正方形的頂點A旋轉得到AADF.

(1)寫出上述旋轉的旋轉方向和旋轉角度數(shù)：

(2)連接所，求的面積：

(3)如圖中，△A￡?G可以看作由A&IE先繞著正方形的頂點B順時針旋轉90。，再沿著電方向平移3個單

位的二次基本運動所成，那么△ADG是否還可以看作由A54E只通過一次旋轉運動而成呢？如果可以，請

寫出(同時在圖中畫出)旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度數(shù)，如果不能，則說明理由.

28.(22-23八年級下?上海虹口?期末)如圖,正方形O4BC和正方形OD所有公共頂點O,AO=3,OD=亞,

(1)如圖1,線段AD與線段CP有交點求證：AD1CF；

⑵如圖2,點E在CO的延長線上，求CF的長;

⑶邊E尸與AO交于點G,當C,F,E三點共線時，請直接寫出4COG-S△共G的值.

29.(22-23八年級下?上海寶山?期末)如圖，點A的坐標為(6,8),點、B、C在x軸上，且Mix軸，AB=BC,

直線AC與y軸交于點。，E是直線AC上的一個動點.

(1)求直線AC的表達式；

(2)當點E在線段AD上，聯(lián)結0E,如果AODE的面積是AOCD面積的一半，求點E的坐標；

(3)設點/是平面內一點，如果以A、E、B、產(chǎn)為頂點的四邊形為正方形，試求出點尸的坐標.

30.(22-23八年級下?上海浦東新?階段練習)在菱形ABCD中，4=45。，AB=8,左右作平行移動的正方

形EFG8的兩個頂點/、G始終在邊BC上.當點G到邊3C中點時，點E恰好在邊A3上.

(1)如圖1,求正方形EFGH的邊長；

(2)假設點8與點歹的距離為x,在正方形EFG/f作平行移動的過程中，正方形EFG8與菱形A3CD重疊部

分的面積為V,求，與x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)連接FH、HC,當AC/C是等腰三角形時，請直接寫出M的長.

壓軸題型六(特殊)平行四邊形的動點問題

31.(21-22八年級下?廣東中山?階段練習)如圖，在四邊形ABC。中，AD〃BC,

ZB=90°,AD=24cm,AB=8cm,3C=32cm,動點P從A開始沿AD邊向。以Icm/s的速度運動；。從

點C開始沿CB邊向8以3cm/s的速度運動P、。分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另

(1)當運動時間為r秒時，用含f的代數(shù)式表示以下線段的長：AP=_,BQ=_.

(2)當運動時間為多少秒時，四邊形PQCD為平行四邊形？

(3)四邊形A8QP有可能是正方形嗎？若可能，求出此時點尸的運動時長；若不可能，請說明理由.

32.(23-24八年級上?山東濰坊.期末)如圖，在四邊形中，AB//CD,ZADC=90°,AB=18cm,

BC=13cm,CD=23cm,動點、P從點、A出發(fā)，以Icm/s的速度向終點B運動，同時動點。從點8出發(fā)，以2cm/s

的速度沿折線3-向終點。運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時

間為，秒.

(1)用含/的式子表示PB；

(2)當，為何值時，直線尸。把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形？

(3)只改變點。的運動速度，使運動過程中某一時刻四邊形P8CQ為菱形，則點。的運動速度應為多少？

33.（23-24八年級上?吉林長春?期中）如圖，在YABCD中，ABulOICudO/C邊上的圖為8.點尸從點A

出發(fā)，沿AD以每秒5個單位長度的速度運動.點。從點8出發(fā)沿B-C-3以每秒8個單位長度的速度運

動.尸、。兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，P、Q兩點同時停止運動.設點運動的時間為八秒）（年0）,

連結PQ.

⑴直接寫出點。與點C重合時「的值.

（2）當點。沿3-C運動時，求QC的長（用含f的代數(shù)式表示）.

（3）當尸QLBC時,求/的值.

（4）當「。=10時，直接寫出，的值.

34.（23-24九年級上?廣東河源?期中）如圖，矩形A3CD中，AB=16cm,BC=6cm,點尸從點A出發(fā)沿AB

向點8移動（不與點A、8重合），一直到達點8為止；同時，點。從點C出發(fā)沿8向點。移動（不與點

C、。重合）.運動時間設為r秒.

（1）若點P、。均以3cm/s的速度移動，貝AP=_cm.QC=_cm.（用含/的代數(shù)式表示）

（2）若點尸為3cm/s的速度移動，點。以2cm/s的速度移動，經(jīng)過多長時間尸。=尸。，使VDP。為等腰三角

形？

（3）若點尸、。均以3cm/s的速度移動，經(jīng)過多長時間，四邊形為菱形.

35.(22-23八年級上?湖北荊門?期中)如圖，四邊形A3CD中，AD=BC=W,AB=CD,BD=12,點、E

從。點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DA向A點勻速運動，點F從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C-B-C

勻速移動，點G從點8出發(fā)沿向點。勻速移動，三個點同時出發(fā)，當有一個點到達點時，其余兩點也

隨之停止運動，假設移動時間為r秒

AED

(1)試證明：AD\\BC；

(2)在移動過程中，小明發(fā)現(xiàn)有△D￡G與△加G全等的情況出現(xiàn)，請你探究這樣的情況會出現(xiàn)幾次？并分別

求出此時的移動時間和G點的移動距離；

(3)愛動腦筋的小明把BD=12改為班＞=8,其他都不變，發(fā)現(xiàn)仍有△DEG與△所G全等的情況出現(xiàn)，這樣

的情況金出現(xiàn)4次，此時的移動時間分別為.

36.(22-23八年級下?廣西南寧?期中)如圖，在RtA4BC中？390?,AC=60cm,ZA=60°,點。從點C

出發(fā)沿C4方向以4cm/s的速度向點A勻透運動，同時點E從點A出發(fā)沿方向以2cm/s的速度向點8勻

速運動.當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點E運動的時間是f秒(0＜區(qū)15).過

點。作，8C于點尸，連接DE,EF.

⑴直接寫出AE=,DF=.(用含t的式子表示出來)

(2)四邊形AEED能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的"直，如果不能，說明理由;

(3)當『為何值時，/期為直角三角形？請說明理由.

壓軸題型七四邊形中線段最值問題

37.（21-22八年級下.湖北武漢?期中）如圖，正方形ABCD中，點E為邊3C的上一動點，作AF1DE交DE、

DC分別于P、F點、,連尸C.

（1）若點E為BC的中點，求證：下點為。。的中點；

（2）若點E為BC的中點，PE=6,PC=46,求尸尸的長;

（3）若正方形邊長為4,直接寫出PC的最小值________.

38.（22-23八年級上?四川成都?階段練習）（1）問題再現(xiàn)：學習二次根式時，老師給同學們提出了一個求代

數(shù)式最小值的問題，如，“求代數(shù)式，？77+?。?2-尤）2+9的最小值小強同學發(fā)現(xiàn)巧7可看作兩直角

邊分別為x和2的直角三角形斜邊長，J（12-XT+9可看作兩直角邊分別是12-x和3的直角三角形的斜邊

長.于是構造出下圖，將問題轉化為求線段A3的長，進而求得&2+4+,（12-x）?+9的最小值是

（2）類比遷移：已知°,6均為正數(shù)，且。-6=4,求，不一所T的最大值.

（3）方法應用：已知a,b均為正數(shù)，且,的/+伺,力2+劭2是三角形的三邊長,求這個三角形

的面積（用含a,6的代數(shù)式表示）.

39.(21-22八年級下.江蘇鎮(zhèn)江.階段練習)如圖，在。A5CD中，E、尸分別為邊A3、8的中點，BD是對

角線，過A點作AG〃DB交CB的延長線于點G.

備用圖

(1)求證：DE//BF；

(2)當△狽)滿足什么條件時,四邊形。破尸是菱形(不需要證明)

(3)請利用備用圖分析,在⑵的條件下，若BE=2,NDEB=120。，點Af為的中點，當點尸在2。邊

上運動時，求尸尸+尸河的最小值.

40.(20-21八年級下.廣西河池?期中)如圖，矩形ABCD的對角線AC,3D相交于點。，將ACOD沿。所

在直線折疊，得到ACED.

(1)求證：四邊形OCED是菱形；

(2)若皮)=3,ZACD=3O。，P是CD邊上的動點，Q是CE邊上的動點，那么尸E+PQ的最小值是多少？

41.(20-21八年級下.河北滄州?期末)如圖，在平行四邊形中，BC=AC,E、尸分別是A3、8的中

點，連接C￡、AF.

(1)求證：四邊形AECB是矩形；

(2)當平行四邊形ABC。的邊或角滿足什么關系時，四邊形AECF是正方形？請說明理由.

(3)在(2)的條件下，若AE=4,點M為EC中點，當點P在線段AC上運動時，求PE+PM的最小值.

42.(22-23八年級下?山東荷澤?期末)如圖1,已知"RC為等腰直角三角形，/BAC=90。，點。是BC的

中點，作正方形。班G,使點A,C分別在邊。G和DE上，連接AE,BG.

(1)探索線段BG與AK的數(shù)量關系，直接寫出你的結論；

(2)將正方形。瓦G繞點。按逆時針方向旋轉一定角度(旋轉角大于0。，小于或等于360。)時(如圖2),(1)

的結論是否仍然成立？說明理由；

(3)已知3c=2,DE=3,在(2)的旋轉過程中，當AE1為最大值時，求AF的值.

壓軸題型八四邊形綜合問題

43.（22-23八年級上?四川成都?階段練習）（1）如圖1,等腰RSPB尸的直角頂點尸在正方形ABCD的邊AD

上，斜邊防交8于點。，連接PQ,貝|PQ,AP,CQ的數(shù)量關系是；

（2）如圖2,若等腰RtAPBF的直角頂點尸在正方形ABCD的邊ZM的延長線上，斜邊8尸的延長線交8的

延長線于點Q,連接PQ,猜想線段PQ,AP,CQ滿足怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；

（3）（思維拓展）如圖3,44BC中，ADJ.BC,ABAC=45°,若4）=5,BD=3,求CO的長度.

Q

44.（22-23八年級下?廣東深圳?期中）（1）【觀察猜想】我們知道，正方形的四條邊都相等，四個角都為直

角.如圖1,在正方形ABCD中，點E,尸分別在邊BC,CD上,連接AE,AF,EF,并延長CB到點G,使BG=DF,

連接AG.若ZE4F=45。，則BE,砂，。尸之間的數(shù)量關系為；

（2）【類比探究】如圖2,當點E在線段BC的延長線上，且ZE4F=45。時，試探究旦瓦切,D尸之間的數(shù)量

關系，并說明理由；

（3）【拓展應用】如圖3,在Rt^ABC中，AB=AC,D,E在8C上，ZDAE=45°,若AABC的面積為

16,BDCE=4,請直接寫出VADE的面積.

45.（2024湖北黃岡.模擬預測）如圖，在平行四邊形A3CZ）中，NBA。的平分線交于點E,交0c的延

長線于點尸，以EC,

圖1

⑴若/ABC=90。如圖⑴，求證：平行四邊形m/G是正方形;

⑵若ZA8C=120。，如圖（2）,連接3G,DG,求證：BG=DG；

（3）若—ABC=90。，如圖⑶，若AB=6,AD=8,M是￡F的中點，求DM的長.

46.（22-23八年級下?廣西南寧?期末）【綜合與實踐】

課本64頁安排這樣的數(shù)學活動：折紙作60。,30。,15。角：如果我們身旁沒有量角器或者三角尺，又需要做

60。,30。,15。等大小的角，可以采用下面的方法：

動手操作：如圖1,（1）對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕斯，把紙片展開；（2）再一次

折疊紙片，使點A落在所上，并使折痕經(jīng)過點8,得到折疊瀏1,同時得到線段BN.

觀察猜想：圖中等于60。的角是：_（寫出一個角即可）；等于30。的角是：一（寫出一個角即可）.

推理驗證：任選以上一個猜想結論給予證明.

拓展延伸：將矩形紙片換成正方形紙片，按以上步驟折疊，并延長"N交8于點。，連接得到圖2,

若正方形邊長為6,為2=1,直接寫出蜀/的長.

圖1圖2

47.（23-24九年級上?浙江杭州?階段練習）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形A8C。的對角線AC的垂直平

分線與邊AO,BC分別交于點E、F.求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）【類比應用】如圖②，直線石尸分別交矩形ABCD的邊AD、BC于點E、F,將矩形A3CD沿跖翻折，

使點C的對稱點與點A重合，點。的對稱點為DC,若AB=6,BC=8,求四邊形的周長；

（3）【拓展延伸】如圖③，直線E尸分別交平行四邊形ABCD的邊AD、BC于點E、F,將平行四邊形A8CD

沿所翻折，使點C的對稱點與點A重合，點。的對稱點為若AB=6插,BC=12,ZC=45°,求EF

的長.

48.（23-24八年級上.福建泉州?期末）已知：如圖1,在四邊形45CD中，AD//BC,ZABC=ZADC=a.P

是BC邊上一動點，聯(lián)結上4,將繞點尸順時針方向旋轉a,得至UPQ,聯(lián)結AQ.

圖2

（1）求證：四邊形A3CD是平行四邊形;

（2）/是BC延長線上一點，聯(lián)結且AB=3C.

①若MC=BP,求證：MC=MQ-

②如圖2,若MP=BP,a=90°,聯(lián)結DM、DQ,求證：DM=42DQ.

壓軸題型九梯形壓軸題

49.(2023?浙江杭州?二模)已知四邊形ABCD是矩形，連接3D.

圖1圖2

⑴如圖1,2DB的平分線交AB于E,交CB的延長線于點R.ND3戶的平分線交￡)產(chǎn)于點交ZM的

延長線于點G,連接尸G.

①求證：BD=BF；

②求證：四邊形GFB。為菱形;

Afi

⑵在⑴的條件下，如圖2,連接AC交叱于點尸’交加于點。，若DP=HP,求而的值.

50.（22-23八年級下?上海浦東新?期末）在梯形ABCD中，AD//BC,AD<BC,AB=5,BC=5,AC=6.

(1)若梯形ABC。是直角梯形，求CO的長；

⑵設AD=x,CD=y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；

(3)當梯形ABCE)是等腰梯形時，在直線CO上取一點尸，使得是以8C為腰的等腰三角形，直按寫出

此時ABCP的底邊長.

51.（22-23八年級下?上海奉賢?期末）如圖，矩形A3CD中的邊A3=6,AD=8,點E是邊AB上一點，線

段DE的垂直平分線交邊AD、3C于點V、N,連接ME并延長交。的延長線于點

（1）證明：MF=NF；

（2）當NAEA/=NADE1時，求△MFN的面積;

⑶當AE=23E1時，求MN的長.

52.（22-23八年級下?上海長寧?階段練習）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC,ZABC=60°,

AC平分ZD4B,E、尸是對角線AC、3D