備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第7節(jié)-二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

第7節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布1.通過具體實例,了解伯努利試驗,掌握二項分布及其數(shù)字特征,并能解決簡單的實際問題.2.了解超幾何分布,理解超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系,并能解決簡單的實際問題.3.通過誤差模型,了解正態(tài)分布的意義,理解正態(tài)曲線的性質,會用正態(tài)分布解決實際問題.1.兩點分布對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用A表示“成功”,A表示“失敗”,定義X=1如果P(A)=p,則P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示.X01P1-pp我們稱X服從或.

一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=,D(X)=.2.二項分布(1)n重伯努利試驗①我們把只包含個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.

②我們將一個伯努利試驗進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.顯然,n重伯努利試驗具有如下共同特征:

同一個伯努利試驗重復做n次;各次試驗的結果.

(2)二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,…,n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作.

(3)二項分布的均值與方差如果X～B(n,p),那么E(X)=,D(X)=.

(1)兩點分布是二項分布的特殊情況.(2)二項分布是放回抽樣問題(獨立重復).3.超幾何分布(1)超幾何分布一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=CM其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.(2)超幾何分布的均值設隨機變量X服從超幾何分布,則X可以解釋為從包含M件次品的N件產品中,不放回地隨機抽取n件產品中的次品數(shù).令p=MN,則p是N件產品的,而Xn是抽取的n件產品的,則E(Xn)=p,即E(X)=nM超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征:(1)考察對象分兩類.(2)已知各類對象的個數(shù).(3)從中抽取若干個個體,考查某類個體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質是古典概型.4.正態(tài)分布(1)連續(xù)型隨機變量隨機變量不是離散型的,它們的取值往往充滿某個甚至,但取一點的概率為,我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.

(2)正態(tài)密度函數(shù)①f(x)=1σ對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為,簡稱正態(tài)曲線.

②若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從分布,記為X～N(μ,σ2).特別地,當,時,稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.

③若X～N(μ,σ2),則如圖所示,X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域的面積,而P(a≤X≤b)為區(qū)域的面積.

(3)正態(tài)曲線的特點①曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱;②曲線在x=μ處達到峰值1σ③當|x|無限增大時,曲線無限接近x軸;④當σ取固定值時,正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖所示.當μ取定值時,因為曲線的峰值1σ2π與σ成反比,而且對任意的σ>0,曲線與x軸圍成的面積總為1.因此,當σ較小時,峰值高,曲線“”,表示隨機變量X的分布比較;當σ較大時,峰值低,曲線“”,表示隨機變量X的分布比較(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ,σ2),則E(X)=,D(X)=.

(5)正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內的概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈,

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈,

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈.

在實際應用中,通常認為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計學中稱為3σ原則.對于X～N(μ,σ2),由x=μ是正態(tài)曲線的對稱軸知(1)對任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).1.(選擇性必修第三冊P59例1改編)設一隨機試驗的結果只有A和A,且P(A)=m,令隨機變量ξ=1,A.m B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)2.若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),ξ在區(qū)間(4,+∞)上取值的概率是0.2,則ξ在區(qū)間(0,2)上取值的概率為()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.83.箱中有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球,從箱中一次摸出2個球,記下號碼并放回,如果兩球號碼之積是4的倍數(shù),則獲獎.若有4人參與摸獎,恰好有3人獲獎的概率是.

4.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是.

n重伯努利試驗與二項分布(2021·安徽合肥模擬)某地歷史文化積淀深厚,民俗和人文景觀豐富,科教資源眾多,自然風光秀美,成為中小學生“研學游”的理想之地.為了將來更好地推進“研學游”項目,某旅游學校一位實習生在某旅行社實習期間,把“研學游”項目分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類型,并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生“研學游”的學校中,隨機抽取了100所學校,統(tǒng)計如下:研學游類型科技體驗游民俗人文游自然風光游學校數(shù)404020該實習生在明年省內有意向組織高一“研學游”的學校中,隨機抽取了3所學校,并以統(tǒng)計的頻率代替學校選擇“研學游”類型的概率(假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類,且不受其他學校選擇結果的影響).(1)若這3所學校選擇的“研學游”類型是“科技體驗游”和“自然風光游”,求這兩種類型都有學校選擇的概率;(2)設這3所學校中選擇“科技體驗游”的學校數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學期望.與二項分布有關的期望、方差的求法(1)求隨機變量ξ的期望與方差時,可首先分析ξ是否服從二項分布,如果ξ～B(n,p),則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大減少計算量.(2)有些隨機變量雖不服從二項分布,但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布,這時,可以綜合應用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np,求出E(aξ+b),同樣還可求出D(aξ+b).[針對訓練](2021·四川遂寧高三三模)某校數(shù)學教研組,為更好地提高該校高三學生《圓錐曲線》的選擇填空題的得分率,對學生《圓錐曲線》的選擇填空題的訓練運用最新的教育技術做了更好的創(chuàng)新,其學校教務處為了檢測其質量指標,從中抽取了100名學生的訓練成績(總分50分),經統(tǒng)計質量指標得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求所抽取的樣本平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)將頻率視為概率,從該校高三學生中任意抽取4名學生,記這4名學生《圓錐曲線》的選擇填空題的訓練的質量指標值位于(10,30]內的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.超幾何分布在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列.[典例遷移1](變結論)在本例第(2)問,若用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù),求X的分布列.[典例遷移2](變結論)在本例第(2)問,若用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差,求X的分布列.求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.正態(tài)分布角度一正態(tài)分布的計算(2021·安徽合肥高三二檢)為了解A市高三學生的數(shù)學復習備考情況,該市教研機構組織了一次檢測考試,并隨機抽取了部分高三學生的數(shù)學成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據頻率分布直方圖,試估計該市參加此次檢測考試的學生的數(shù)學平均成績μ0(精確到個位);(2)研究發(fā)現(xiàn),本次檢測考試的數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ=μ0,σ=19.3.①按以往的統(tǒng)計數(shù)據,數(shù)學成績能達到升一本分數(shù)要求的學生約占46%,據此估計在本次檢測考試中達到升一本的數(shù)學成績是多少分(精確到個位)?②已知A市高三學生約有10000名,某學生在此次檢測考試中數(shù)學成績?yōu)?07分,則該學生在全市的排名大約是多少?[說明:P(x≥x1)=1-Φ(x1-μσ)表示x≥x1的概率,Φ(x1-μσ)用來將非標準正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布,即X～N(0,1),從而利用標準正態(tài)分布表Φ(x0),求x≥x1時的概率P(x≥x1),這里x0=(x1-μ參考數(shù)據:Φ(0.7054)=0.54,Φ(0.6772)=0.46,Φ(0.21)=0.5832](1)利用3σ原則求概率問題時,要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進行對比聯(lián)系,確定它們屬于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一個.(2)利用正態(tài)密度曲線的對稱性研究相關概率問題,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x=μ對稱,及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面結論的活用:①正態(tài)曲線關于直線x=μ對稱,從而在關于x=μ對稱的區(qū)間上概率相同.②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).解此類問題的關鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性,把待求區(qū)間內的概率向已知區(qū)間內的概率轉化.解題時要充分結合圖形進行分析、求解,要注意數(shù)形結合思想及化歸思想的運用.角度二正態(tài)分布的應用(2021·山西模擬)某紡織廠為了生產一種高端布料,準備從A農場購進一批優(yōu)質棉花.廠方技術人員從A農場存儲的優(yōu)質棉花中隨機抽取了100份棉花,分別測量了其纖維長度(單位:mm)的均值,得到100個樣本數(shù)據,并制成頻數(shù)分布表如表:長度/mm[23,25)[25,27)[27,29)[29,31)[31,33)[33,35)[35,37)[37,39]頻數(shù)4916241814105(1)求這100個樣本數(shù)據的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組數(shù)據取該組區(qū)間的中點值為代表);(2)由得到的數(shù)據可以認為這批棉花的纖維長度X服從正態(tài)分布,即X～N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布,求P(X≥μ-2σ);②紡織廠將A農場送來的這批優(yōu)質棉花進行二次檢驗,從中隨機抽取20份測量其纖維長度的均值Yi(i=1,2,…,20),得到的數(shù)據如表:Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y1024.131.832.728.228.434.329.134.837.230.8Y11Y12Y13Y14Y15Y16Y17Y18Y19Y2030.625.232.927.135.928.933.929.535.029.9若這20個樣本中纖維長度的均值Y≥μ-2σ的頻率不低于①中的P(X≥μ-2σ),則可判斷該批優(yōu)質棉花合格,否則認為A農場送來的棉花摻雜了次品,判斷該批棉花不合格,按照此依據判斷A農場送來的這批棉花是否為合格的優(yōu)質棉花,并說明理由.附:若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545;12.事件在[μ-3σ,μ+3σ]之外的為小概率事件,一旦發(fā)生,則說明生產存在問題,則要調整生產.[針對訓練](2021·山東濰坊模擬)為了嚴格監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,某企業(yè)每天從該生產線上隨機抽取10000個零件,并測量其內徑(單位:cm).根據長期生產經驗,認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的內徑X服從正態(tài)分布N(μ,σ2).如果加工的零件內徑小于μ-3σ或大于μ+