離散型隨機變量及其分布講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

模塊3離散型隨機變量及其分布

§第1節(jié)條件概率公式、全概率公式

一、內(nèi)容提要

本節(jié)包含條件概率公式、乘法公式、全概率公式三部分內(nèi)容，考試的重點是能夠用它們?nèi)?/p>

求概率，以及證明一些概率恒等式.下面先梳理這些公式及有關(guān)性質(zhì).

1.條件概率公式：在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率P(B|A)=需,計算條件概率

常用兩種方法.

①基于樣本空間Q,分別計算P(A)和P(AB),代上述條件概率公式求P(B|A).

②根據(jù)條件概率的直觀意義，以事件A作為新的樣本空間，來求事件B發(fā)生的概率.如圖1,

P(B|A)即為在A中考慮B發(fā)生的概率，所以P(B|A)等于陰影部分的樣本點個數(shù)除以事件A的樣

本點個數(shù).

2.條件概率的性質(zhì)：

①P(Q|A)=1;②若B,C互斥,則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A);③P(B|A)=-P(引A).

3.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A),這一公式就是條件概率公式的變形.實際上，P(AB)也可寫

成P(B)P(A|B),實際應(yīng)用時選擇A還是B作為條件，要看問題中P(B|A),P(A|B)哪個好算，通

常情況下，已知前面的試驗結(jié)果，計算后面試驗結(jié)果的概率比較好算，所以我們常選擇以前面

的試驗結(jié)果為條件.

4.全概率公式：設(shè)A1，A2,…,An兩兩互斥，AlUA2U…UAn=Q,且P(Aj)>0

(=1，2，…，n),則對任意的事件B￡Q,有P(B)=E'P(Ai)P(B|A事用全概率公式求概率,其本

質(zhì)是將樣本空間劃分成若干個部分，如圖2,在每一部分上分別求事件B的概率，再相加，所

以找到合適的劃分樣本空間的方法是解題的關(guān)鍵.若把樣本空間Q按某一事件A是否發(fā)生來劃

分，如圖3,則可以得出P(B)=P(A)P(B|A)+P(QP(B|Q,這是全概率公式的一種特殊情況.

二、考點題型

類型I:公式計算、化簡與判斷

【例1】若P(A)=0.2,P(B|A)=0.15,貝I]P(AB)；P(AB)

【例2】已知P(A)>0,P(B)>0,P(C)>0,則下列說法錯誤的是()

A.若事件A,B獨立，則P(A)=P(A|B)

B.若事件A,B互斥，則P((A+B)|C)=P(A|C)+P(B|C)

C.設(shè)事件B與B互為對立事件，則P(B|A)+P(B|A)=1

D.若事件A,B互斥,則P(C|(A+B))=P(C|A)+P(C|B)

類型II：計算條件概率

【例3】設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品，從中任取1

件，在已知取得的是合格品的條件下，它是一等品的概率為.

【變式】從1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2個數(shù)，記事件A為“第一次取到的

是奇數(shù)”，事件B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍"，則P(B|A)=.

【總結(jié)】計算條件概率，常用兩種方法：①套用條件概率公式；②用條件的直觀意義來縮小樣

本空間，以條件為新的樣本空間，分析事件的概率.

類型m：用乘法公式求P(AB)

【例4】市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙

廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從市場上隨機買一個燈泡，買到甲廠合格燈泡的概率是()

A.0.665B.0.56C.0.24D.0.285

【總結(jié)】當事件A,B不獨立時，可用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)來計算P(AB);而當A,B相

互獨立時，由于P(B|A)=P(B),所以P(AB)=P(A)P(B)=P(A)P(B|A),故這一公式其實是乘法公式

的特例.

類型IV：用全概率公式計算概率

【例5】甲、乙為完全相同的兩個不透明袋子，袋內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球.甲袋中裝有

5個白球，7個紅球，乙袋中裝有4個白球，2個紅球，從兩個袋中隨機抽取一袋，再從該袋中

隨機摸出1個球，則摸出的球是紅球的概率為（）

DI

B戰(zhàn)

【反思】用全概率公式求事件B的概率，關(guān)鍵是選擇合適的方法將樣本空間。劃分成A「A2,

An,在各部分上分別計算事件B的概率，再相加.例如，本題將樣本空間劃分成了摸出

的球來自甲袋和摸出的球來自乙袋兩種情況，這樣一劃分，分別計算摸到紅球的概率就簡單了.

【變式1】某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5mm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有25塊該規(guī)格的

芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為5塊、10塊、10塊，若甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品

率分別為0.1,0.2,0.3,則從這25塊芯片中任取一塊芯片，取到正品的概率為（）

A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48

【變式2］某人連續(xù)兩次對同一目標進行射擊，若第一次擊中目標,則第二次也擊中目標的概率

為0.7,若第一次未擊中目標，則第二次擊中目標的概率為0.5,已知第一次擊中目標的概率

是0.8,則在第二次擊中目標的條件下，第一次也擊中目標的概率為（）

.1414

A.—B.—

2533噫

【反思】本題的流程其實是求包含條件概率問題的通法，分三步：①先設(shè)出涉及的事件；②將

題目的條件用概率符號羅列出來；③對比條件概率公式與全概率公式，選擇合適的公式套用已

知的數(shù)據(jù).

【例6】有研究顯示，人體內(nèi)某部位的直徑約10mm的結(jié)節(jié)約有0.2%的可能性會在1年內(nèi)發(fā)展為

惡性腫瘤，某醫(yī)院引進一臺檢測設(shè)備，可以通過無創(chuàng)的血液檢測，估計患者體內(nèi)直徑約10mm的

結(jié)節(jié)是否會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，若檢測結(jié)果為陽性，則提示該結(jié)節(jié)會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性

腫瘤，若檢測結(jié)果為陰性，則提示該結(jié)節(jié)不會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤.這種檢測的準確率為8

5%,即一個會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢測出陽性，一個不會在1年內(nèi)

發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢測出陰性.患者甲被檢查出體內(nèi)長了一個直徑約10m

m的結(jié)節(jié)，他做了該項無創(chuàng)血液檢測.

（1）求患者甲檢測結(jié)果為陰性的概率；

⑵若患者甲的檢測結(jié)果為陰性，求他的這個結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的概率.（保留5位小

數(shù)）

【總結(jié)】從上述幾題可以看出，問題的情境可能簡單，可能復(fù)雜，用全概率公式求概率的關(guān)鍵都

是結(jié)合所給信息劃分樣本空間，可能劃分成兩部分（如例5等），也可能劃分成三部分（如變式1

等），甚至更多.

類型V：條件概率、全概率公式綜合題

【例7】在某地區(qū)進行某種疾病調(diào)查，隨機調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡，得到如下樣本

數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）

（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于［40,50）的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝?/p>

數(shù)的16%,從該地區(qū)選出1人，若此人的年齡位于［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（精確到

0.0001）

【例8】某種電子玩具按下按鈕后，會出現(xiàn)亮紅燈或綠燈.已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)紅燈與

綠燈的概率都是|,從第二次按下按鈕起，若前一次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率為*若

前一次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率為|,記第n(n€N*)次按下按鈕后出現(xiàn)紅燈的概率

為Pn-

(1)求Pz的值；(2)證明：｛Pn—3為等比數(shù)列，并求Pn.

【反思】這種概率遞推問題較新穎，但只要分析清第n次和第n-1次的事件聯(lián)系，即可建立遞推

公式.

【例9】某大學(xué)有A,B兩個餐廳為學(xué)生提供午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晚餐

都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐的情況統(tǒng)計如下：

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)

30天20天40天

20天25天40天

假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.

(1)分別估計一天中甲午餐和晚餐都選擇餐廳A就餐的概率，乙午餐和晚餐都選擇餐廳B就餐的

概率；

(2)假設(shè)E表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，F(xiàn)表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，P(E)>0,一

般來說在推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐

廳就餐的概率要大，證明：P(E|F)>P(E|F).

§第2節(jié)離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征

一、內(nèi)容提要

離散型隨機變量是概率統(tǒng)計部分的重要內(nèi)容，相關(guān)考題很常見，下面先梳理本節(jié)的基礎(chǔ)知識.

1.離散型隨機變量

①分布列：設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為Xi，X2，,Xn，我們稱取每一個值Xi的概率.P(X

=Xj)=Pi(i=1，2,…，n)為X的分布列，分布列也可用如下的表格表示:

X???

XiX2Xn

???

PPiP2Pn

②均值：我們稱E(X)=X1P1+X2P2+-+XnPn=￡[LiXiPi為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡

稱期望)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.

2222

③方差：稱D(X)=-E(X)]pi+[x2-E(X)]p2+?-?+[xn-E(X)]pn=XiLJXi-E(X)]pj

為隨機變量X的方差，方差有時也記作Var(X),并稱，函為X的標準差，記為"(X).方差和

標準差都能反映隨機變量取值的離散程度，方差越大，隨機變量取值的離散程度越大，越不穩(wěn)

定.

2.均值、方差、標準差的性質(zhì)：設(shè)X為離散型隨機變量，a,b為常數(shù)，則

①D(X)=E(X2)-[E(X)]2=XiLiX?Pj-[E(X)]2,這是方差的簡化計算公式；

@E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X),cy(aX+b)=|a|c(X)這是期望和方差的性質(zhì).

二、考點題型

類型I：含參分布列的期望和方差有關(guān)小題

【例1】已知離散型隨機變量X的分布列如下:

X-1012

1

pabc

12

若E(X)=O,D(X)=1,則P(X<1)=()

【變式1】設(shè)。〈aWb,隨機變量X的分布列為

X124

Paba+b

則X的期望E(aX+b)的取值范圍是

【變式2】已知隨機變量X的分布列如下表所示:

X012

b

Pab2

則當D(X)取得最大值時，a的值為()

【總結(jié)】①E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X);；②給出離散型隨機變量X的分布列，分析

期望E(X)或方差D(X)的最值，常由隱含條件概率和為1建立變量間的關(guān)系，用于對E(X)或D(X)

消元化單變量函數(shù)再分析最值.

類型II:選取類大題

【例2】某地開展生態(tài)環(huán)境保護主題的知識競賽，滿分為100分，現(xiàn)從參賽者的答卷中隨機抽取

100份作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計得到如下成績分布表：

競賽分數(shù)(60,70](70,80](80,90](90,100]

份數(shù)8324020

若對競賽的得分類別作如下規(guī)定：得分大于90分的為“優(yōu)秀”，得分大于80分不大于90分的

為“良好”.

(1)估計所有參賽者的得分的平均數(shù)；

(2)從獲得“良好”和“優(yōu)秀”等級的樣本試卷中，用按比例分配的分層隨機抽樣抽取6份，再

從中隨機抽取3份，這3份中獲“優(yōu)秀”者獎勵200元購書券，獲“良好”者獎勵100元購書券,

記購書券總金額為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【總結(jié)】求選取類離散型隨機變量的分布列問題，關(guān)鍵是把不同的選取方法和隨機變量的取值對

應(yīng)起來，用古典概率公式求概率分布.

類型皿：計分類大題

【例3】甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班選出3人組成甲、乙兩支代表隊，每隊初始分

均為4分，首輪比賽每人回答一道必答題，答對則為本隊得2分，答錯或不答扣1分.已知甲隊

3人每人答對的概率分別是p,乙隊3人答對的概率分別是設(shè)每人回答正確與否相互

324332

之間沒有影響，用X表示首輪結(jié)束后甲隊的總分.

(1)求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求在甲隊和乙隊總分之和為14的條件下，甲隊與乙隊得分相同的概率.

【例4】某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類

問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則

從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中

的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0

分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確

回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【總結(jié)】求計分類離散型隨機變量的分布列問題，關(guān)鍵是理清每種試驗結(jié)果下的得分，需注意的

是有時相同的得分可能對應(yīng)不同的試驗結(jié)果，此時應(yīng)分別計算再相加.這類題在求概率分布時

常綜合運用獨立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式.

類型IV：比賽類大題

【例5】甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,

則判定勝局數(shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為|,乙獲勝的概率為各局比賽結(jié)果相互

獨立.

(1)求乙只贏1局且甲贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和期望.

【例6】中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽(簡稱CBA)半決賽采用五局三勝制，具體規(guī)則為比賽最多進行五

場，當參賽的雙方有一方先贏得三場比賽，就由該方獲勝而比賽結(jié)束，每場比賽都需分出勝負.

同時比賽采用主客場制，比賽先在A隊的主場進行兩場比賽，再移師B隊主場進行兩場比賽(有

必要才進行第二場)，如果需要第五場比賽，則回到A隊的主場進行，已知A隊在主場獲勝的概

率在客場獲勝的概率假設(shè)每場比賽的結(jié)果相互獨立

(1)第一場比賽B隊在客場通過全隊的努力先贏了一場，賽后B隊的教練鼓勵自己的隊員說“勝

利的天平已經(jīng)向我們傾斜”，試從概率大小的角度判斷B隊教練的話是否客觀正確；

(2)每一場比賽，會給主辦方在門票、飲食、紀念品銷售等方面帶來綜合收益300萬元，設(shè)整

個半決賽主辦方綜合收益為"求S的分布列與期望.

【總結(jié)】比賽類離散型隨機變量問題解題的核心是將隨機變量的各種取值與各局比賽的勝負情況

對應(yīng)起來，若有主客場之分，還需注意主客場獲勝的概率不同.

類型V：其它綜合類

【例7】有3臺機床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為

5%,加工出來的零件混放在一起，已知第1,2,3臺機床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,

45%.

⑴任取一個零件，求取到的是次品的概率；

(2)任取一個零件，在取到的零件是次品的條件下，零件來自第一臺機床將損失1萬元，來自第

二臺機床將損失2萬元，來自第三臺機床將損失3萬元.設(shè)該工廠的損失為X萬元，求X的分布

列與數(shù)學(xué)期望.

【例8】某一部件由4個電子元件按如圖所示的方式連接而成，4個元件同時正常工作時，該部

件正常工作，若有元件損壞，則部件不能正常工作，每個元件損壞的概率為p(0<p<l),且各元

件能否正常工作相互獨立.

—元件1—元件2—元件3—元件4—

(1)當p=0.2時，求該部件正常工作的概率；

(2)使用該部件之前需要對其進行檢驗，有以下兩種檢測方案.

方案甲：將每個元件拆下來，逐個檢測其是否損壞，即需要檢測4次；

方案乙：先將該部件進行一次檢測，如果正常工作則檢測停止，若該部件不能正常工作則

需逐個檢測每個元件.

若每進行一次檢測需要花費a元，且選擇方案乙檢測的平均費用更低，求p的取值范圍.

§第3節(jié)二項分布與超幾何分布

一、內(nèi)容提要

二項分布與超幾何分布是兩個容易混淆的概念，本節(jié)歸納與之相關(guān)的一些常見題型，下面

先梳理二項分布、超幾何分布的概念.

1.二項分布：在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X表

示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=CM/i_p)n-k,其中k=0,1,2，…,n,稱隨

機變量X服從二項分布，記作X?B(n,p).

2.期望和方差：若X?B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(l-p).

3.超幾何分布：設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中次品M件,其余為合格品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n

件,記取到次品的件數(shù)為隨機變量X,貝I]P(X=k)=嗎產(chǎn)，其中卜=m,m+1,m+2，…,r,且m

=max{0,n-N+M),r=min{n,M}.具有上述概率分布的隨機變量X即為服從超幾何分布的

隨機變量，其均值E(X)=n?%=!!□其中p=￡表示抽取一件產(chǎn)品取到次品的概率.上面的表

述較為抽象，可結(jié)合例4的幾道題來理解.

4.二項分布與超幾何分布的關(guān)系：對于不放回的抽取，當n遠小于N時，每抽取一次后，對N

的影響很小，此時，超幾何分布可用二項分布近似.

二、考點題型

類型I:二項分布概念題

【例1】假設(shè)蘇州肯帝亞球隊在某賽季的任一場比賽中輸球的概率都等于p(0<p<l),且各場

比賽互不影響.令X表示連續(xù)9場比賽中輸球的場數(shù)，且P(X=5)=P(X=6),則球隊在這連續(xù)

9場比賽中輸球場數(shù)的期望為.

【變式1】甲與乙進行投籃游戲，在每局游戲中兩人分別投籃兩次，每局投進的次數(shù)之和不小于

3則該局游戲勝利，已知甲、乙兩名隊員投籃相互獨立且投進的概率均為|,現(xiàn)進行27局游戲，

設(shè)X為甲、乙兩名隊員勝利的局數(shù)，則X的期望為.

【反思】在分析n次獨立重復(fù)試驗時，一定要先弄清楚一次試驗中的成功概率，一次試驗不一定

是投一次籃，或拋一枚硬幣，也可能是投多次籃，或拋幾次硬幣，要看題干如何規(guī)定.

【變式2】已知隨機變量3的金迪恒F：______________________

012

22

P(1-P1)2p1(l-p1)P

其中i=l,2,若T<P1<P2<L貝|J()

A.E(無)<E(&),D(3?I+1)<D(3七+1)B.E&)<E&),D⑶i+1)>D⑶2+1)

C.E&)>E&),D⑶i+1)<D陽2+1)D.E(ti)>E(Q),D(3基+1)>D(3七+D

【反思】這類由含參分布列比較期望、方差大小的題，都可用特值法求解.例如，本題可取

P1=|,p2=*代入分布列求出心和3的期望和方差再比較?

類型II:二項分布綜合題

【例2】某學(xué)校高三年級學(xué)生參加某項體育測試，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法

從中抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［30,40),［40,50),…，［90,10

0］,整理得到如下的頻率分布直方圖：

(1)若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級學(xué)生中隨機抽取1人，估計該學(xué)生不及

格的概率；

⑵若規(guī)定分數(shù)在［80,90)為“良好”，［90,100］為“優(yōu)秀”，用頻率估計概率，從該校高三年

級(總?cè)藬?shù)較多)隨機抽取3人，記該項測試分數(shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求X的分布

列，期望和方差.

【反思】像這種從某處取幾個人，求取到某類個體的個數(shù)的分布列這種題，一定要注意是從總體

中取，還是從個體數(shù)較少的樣本中取.若是前者，由于抽取的人數(shù)往往遠小于總?cè)藬?shù)，所以常

按二項分布處理；而后者，則按超幾何分布來求分布列.

【例3】某芯片研發(fā)團隊表示已自主研發(fā)成功多維先進封裝技術(shù)XDFOI,可以實現(xiàn)4nm手機SOC

芯片的封裝，這是中國芯片技術(shù)的又一個重大突破，對中國芯片的發(fā)展具有極為重要的意義.

可以說國產(chǎn)4nm先進封裝技術(shù)的突破，激發(fā)了中國芯片的潛力，證明了知名院士倪光南所說的

先進的技術(shù)是買不來的，求不來的，自主研發(fā)才是最終的出路.研發(fā)團隊準備在國內(nèi)某著名大

學(xué)招募人才，準備了3道測試題，答對其中任意2道就可以被錄用，甲、乙兩人報名參加測試，

假設(shè)他們答對每道題的概率均為p(0<p<1),且每人是否答對每道題相互獨立，若甲3道試題

均作答，乙隨機選擇了2道題作答.

(1)分別求甲和乙被錄用的概率；

(2)設(shè)甲和乙中被錄用的人數(shù)為&請判斷是否存在唯一的p,使E?=1.5?并說明理由.

【總結(jié)】在概率統(tǒng)計綜合大題中，二項分布常作為其中的一部分出現(xiàn)，這類題的難點是融入了陌

生的實際情境中，且綜合性強，所以熟悉各種基本概念是解決這類題的前提.

類型m：超幾何分布概念題

【例4】現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有2件次品，其余為合格品，從中任取2件，記抽到次品的件數(shù)

為X,則E(X)=

【反思】若熟悉超幾何分布的期望公式E(X)=!!?3,也可速求期望，本題中，n=2,M=2,N=10.

【變式1】現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有1件次品，其余為合格品，從中任取2件，記抽到次品的件

數(shù)為X,則E(X)=.

【反思】也可由E(X)=n,￡求期望，本題n=2,M=l,N=10.

【變式2】現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有1件合格品，其余為次品，從中任取2件，記抽到次品的件

數(shù)為X,則E(X)=.

【反思】也可由E(X)=n4求期望，本題n=2,M=9,N=10.

【變式3】現(xiàn)有6件產(chǎn)品，其中有3件次品，其余為合格品，從中任取4件，記抽到次品的件數(shù)

為X,則E(X)=.

【總結(jié)】變式3也可用E(X)=n??求期望，所以從上面幾道題可以看出，無論次品件數(shù)、合格

品件數(shù)與抽取件數(shù)的大小關(guān)系如何，超幾何分布的分布列都按古典概率計算，且?guī)追N情況的期

望公式都是E(X)=n噂.

類型IV：超幾何分布與條件概率結(jié)合

【例5】在某校舉辦“青春獻禮二十大，強國有我新征程”的知識能力測評中，隨機抽查了100

名學(xué)生，其中共有4名女生和3名男生的成績在90分以上，從這7名同學(xué)中每次隨機抽取1人

在全校做經(jīng)驗分享，每人最多分享一次，記第一次抽到女生為事件A,第二次抽到男生為事件

B.

⑴求P(B|A),P(B);

(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為：從這7名學(xué)生中隨機抽取3人進行經(jīng)驗分享，記被抽取的3

人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【反思】服從超幾何分布的隨機變量，求期望也可直接套用公式E(X)=n-￡,當然，也可用此公

式驗證上述結(jié)果是否正確.

§第4節(jié)正態(tài)分布

一、內(nèi)容提要

本節(jié)歸納正態(tài)分布有關(guān)題型，先梳理會用到的一些基礎(chǔ)知識.

1.正態(tài)分布的概念：設(shè)函數(shù)f(x)=^e-k(xeR),其中neR,Q>0為參數(shù).若隨機變

量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱X服從正態(tài)分布，記作X?N(RO2),其中口和十分別

是X的均值和方差.特別地，當u=0,0=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.我們稱函數(shù)f(x)

為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線，如圖1.

2.取值概率：服從正態(tài)分布的隨機變量取任何一個值的概率均為0,我們更關(guān)注它在某區(qū)間內(nèi)

取值的概率，如上圖1,若X?N(w?2),則P(a<X<b)等于區(qū)域A的面積P(X>c)等于區(qū)

域B的面積；由于正態(tài)曲線關(guān)于x=以對稱，所以P(X>^=0.5.

3.調(diào)整參數(shù)對正態(tài)曲線的影響：

①取定0,調(diào)整山則正態(tài)曲線的形狀不變，但會沿x軸方向平移；

②取定山調(diào)整。，則正態(tài)曲線的位置不變，但形狀會發(fā)生變化.若。增大，則峰值焉減小，

結(jié)合正態(tài)曲線與x軸圍成的面積始終為1可知曲線會變得“矮胖”，X的取值變得更分散，如上

圖2中黑色曲線；反之，若o減小，則曲線會變得"瘦高”，X的取值變得更集中，如上圖2中

藍色曲線.

4.3?原則：若*~町內(nèi)02),則對給定的卜€(wěn)2產(chǎn)3-1<0<*<口+1<0)是一個只與女有關(guān)的定值.

特別地，當k取1,2,3時的情況在統(tǒng)計中有廣泛的應(yīng)用，尤其重要：

P(|i—a<X<|i+cy)?0.6827,

P(|i-2a<X<|i+2a)?0.9545,

P(|i-3a<X<|i+3a)?0.9973.

可以看到，X在仙-30,u+3o］外取值的概率只有0.0027,在實際應(yīng)用中，通常認為服從

正態(tài)分布N(“,的隨機變量只?。鬯?3CT,n+3CT］內(nèi)的值.

二、考點題型

類型I:用正態(tài)曲線求概率

【例11隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,Q2),若P(2<X<2.5)=0.36,則P(X>2.5)=.

【變式1](多選)已知某批零件的質(zhì)量指標(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(25.4，。2),且

25.45)=0.1,現(xiàn)從該批零件中隨機取3件，用X表示這3件零件中質(zhì)量指標值&落在區(qū)間(25.3

5,25.45)外的件數(shù)，則()

A.P(25.35〈&〈25.45)=0.8B.E(X)=2.4

C.D(X)=0.48D.P(XN1)=0.488

【變式2】對一個物理量做n次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最

后結(jié)果的誤差￡n~N(0，。，為使誤差跖在(-。-5，0.5)的概率不低于0.9545,至少要測量—

_次.(若X?N(n，cy2),則p(|X-n|<2?)=0.9545)

【變式3]某省2021年開始將全面實施新高考方案，在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這

兩門科目采用原始分計分；政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考

生的原始分從高到低劃分為A,B,C,D,E共5個等級，各