解三角形中的最值及范圍問題-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第09講解三角形中的最值及范圍問題

（15類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為13-15分

【備考策略】1會利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題

2會利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同

時也結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

II考點(diǎn)梳理）

知識點(diǎn)1基本不等式

考點(diǎn)7角平分線最值及范圍問題

核心考點(diǎn)考點(diǎn)8高線最值及范圍問題

考點(diǎn)9其他線段類最值及范圍問題

考點(diǎn)10外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題

考點(diǎn)11角度類最值及范圍問題

考點(diǎn)12正余弦類最值及范圍問題

考點(diǎn)13正切類最值及范圍問題

考點(diǎn)14向量類最值及范圍問題

考點(diǎn)15叁數(shù)類最值及范圍問題

知識講解

1

解三角形最值及范圍問題中常用到的關(guān)聯(lián)知識點(diǎn)

1.基本不等式

a〉0,b〉On而2當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號，其中小叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù),

22

叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù)，通常表達(dá)為：a+b>24^b(積定和最小)，應(yīng)用條件：“一正，二定,

三相等”

基本不等式的推論重要不等式

Va,ba*2*4-\-b2>lab

a>0,b>0nab工+(和定積最大)

4當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號

當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號

2.輔助角公式及三角函數(shù)值域

形如y=asinx+bcosx,(?>0)=^tz2+b2sin(x+^)>其中tan。=一，

對于y=Zsin(ox+°)+/z,y=Zcos(@x+9)+/z類函數(shù)，A叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)閇一4力]，

有時也會結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍

3.三角形中的邊角關(guān)系

(1)構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

(2)在三角形中，大邊對大角，小邊對小角

(3)在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價關(guān)系：

即。>604>3osinZ〉sin8ncosA<cosB

注意：在銳角AA8C中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如sinZ〉cos5。

事實(shí)上，由Z+B〉工nN〉工—8nsinZ〉sin[°—B]=COS8,即得。由此對任意銳角A48C,

22(2J

總有sin/+sin5+sinC>cosA+cosB+cosCo

考點(diǎn)一、面積類最值及范圍問題

典例引領(lǐng)

1.(2024?上海?三模)已知“8c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且6a=2csirU.

⑴求sinC的值;

(2)若c=3,求A48C面積S的最大值.

【答案】(1)必

2

(2)也

4

2

【分析】（1）由正弦定理即可得sinC="；

2

（2）由余弦定理結(jié)合重要不等式可得仍取值范圍，再由三角形的面積公式其力0=；。/苗（？可求出面積的

最大值.

【詳解】（1）由題意可知，6a=2csinA,

由正弦定理得GsinZ=2sinCsin力，

因?yàn)?CG（0,7i）,所以sin/wO,

即sinC=-

2

（2）由（1）可知sinC=且，

2

所以。=1或。=今.

33

在中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACXBCCOSC,

當(dāng)。=巴時，c=3,

3

9=b2+a2-lab?—=b2+a2-ab>lab-ab=at,

2

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=3時取等號，即仍49,

故^ABC的面積S“Be=；〃bsinC=~~ab49f.

兀

當(dāng)C=午2時，c=3,

9=+/+2ab?—=b2+a2+ab>2ab+ab=3ab,

2

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=百時取等號，即/（3,

故^ABC的面積SAABC=-^absinC=^-ab

綜上所述，的面積最大值為也.

4

2.（2024?河北?模擬預(yù)測）在銳角“3C中，a,b,c分別是角48,C的對邊，ctan5=（2a-c）tanC.

（1）求3；

⑵若6=6,求的面積S取值范圍.

【答案】（嗚；

3

西3y5

（2）3,丁

【分析】（1）利用ctanB=（2a-c）tanC進(jìn)行化簡，可求cosB,進(jìn)而可求8；

（2）由正弦定理及三角恒等變換化簡可得S=X）sin2/-巴+叱，結(jié)合銳角三角形得到?</<弓，根據(jù)

2I6J462

正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)閏tan8=（2a-c）tanC,所以包0

cosBcosC

根據(jù)正弦定理可得sinCsin8cosc=（2sinA-sinC）cosBsinC.

因?yàn)镃c（O,兀），所以sinC〉0,

所以sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2siny4cosB-sinCcosB,

所以sinBcosC+sinCcosB=2sin/cosB,即sin（B+C）=2sin4cosB.

因?yàn)锽+C=7T—Z,所以sin（?！猌）=2sin4cosB,即sin/=2sin/cosB.

因?yàn)?￡（0,兀），所以sin/>0,所以cosB=；.

因?yàn)锽W（O,TI）,所以5=半

a_c_b_V3

（2）由正弦定理得sin4sinCsin5百，

所以a=2sinZ,c=2sinC.

所以S=—acsin5=^-ac=-2sinC=A^sin^sinC

244

=V3sin4sin|A+—

樞1-cos2A

=——sin2A-\——sinAcosA=-sin24

2224

=—sin24------cos24H------=——sin2.A.-—cos2A

4442224

因?yàn)椤?c是銳角三角形,

Q<A<-Q<A<-

所以之，即2解得？</</

八「兀八2兀62

4

LLt、1兀c,兀5兀LLl、r-I2兀'fl-.

所以；＜24—所以sm24一：￡不1,

666I6八2」

山Z拒.（c，兀）V3（石36]

2（6）4[24J

（RT.

所以。8c的面積S取值范圍為一,*.

I24J

3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）如圖，在平面內(nèi)，四邊形/BCD滿足5,。點(diǎn)在/C的兩側(cè)，AB=1,BC=2,AACD

為正三角形，設(shè)N/3C=a.

7T

（1）當(dāng)a=§時，求/C；

（2）當(dāng)。變化時，求四邊形48co面積的最大值.

【答案】（1）6

（2）2+—

4

【分析】（1）在A/L8C中，由余弦定理可得/C的值；

（2）由余弦定理可得AC?的表達(dá)式，進(jìn)而求出正三角形/CD的面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出四邊形/8CD的

面積的表達(dá)式，由輔助角公式及&的范圍，可得四邊形面積的范圍.

【詳解】（1）因?yàn)镹5=l,BC=2,B=,

由余弦定理可得：AC=ylAB2+BC2-2AB-BCcosB=^+4-2xlx2x^=43.

（2）由余弦定理可得NC2=NB2+3c2-2/5-3Ccosa=l+4-2xlx2cose=5-4cosa,

因?yàn)锳NCD為正三角形，所以Z/CD=手工。2=竽-Gcosa,

S^ABC=—AB?BCsina=—x1x2sina=sina,

所以S四邊形ZBCD^SAABC+S?ACD=sina-班cosa+—=2sin

71

因?yàn)閍e（O,7t）,所以a-^e

5

所以sin[a-；

G-FT

[V3,5行

所以$四邊形4BO）e—,2+——,

44

多時，四邊形/8CD面積的最大值為2+%回.

故當(dāng)

64

4.（23-24高三上?江西撫州?階段練習(xí)）已知在平面四邊形48co中，AB=BC=CD=1,AD=2.

(1)求2cos/-cosC的值;

⑵記AABD與MBD的面積分別為E和尾，求皮+S-的最大值.

【答案】（嗚3

31

⑵z——

32

【分析】（1）在和△BCD中利用余弦定理表示出助2,即可得到方程，解得即可;

（2）利用三角形的面積公式表示出皮+國，然后結(jié)合上一問條件求解.

在中，由余弦定理可得AD?=48?+/》一24g.4Dcos/=5-4cos/,

在Z\BCD中，由余弦定理可得BD-=BC2+CD2-2SCCZ)cosC=2-2cosC.

一3

所以5-4cos/=2-2cosC,即2cosA-cosC=—.

2

(2)依題意=!/32./。25苗24=5詒?，=-BC2-CZ)2sin2C=-sin2C,

444

所以S；+S；=sin2/+；sin2c=1-cos?/+cos2C

,2,1,3丫

=1-cosA-\--------2cosA----

44(2)

、2,3111/13丫31

——2cosAH—cosAH——21cosA—H,

216I8J32

又-1<COS/<1,所以當(dāng)cosN.時S；+S；取最大值II(此時BD=浮，該四邊形符合題意),

6

即S；+S；的最大值為記.

?即時檢測

[_______________________

1.(2024?廣東茂名?一模)在AZSC中，內(nèi)角43,C的對邊分別是a,b,c,且加in(2+C)=asin---.

(1)求3的大??；

(2)若。是/C邊的中點(diǎn)，且3。=2,求面積的最大值.

【答案】(I"：]

(2)至

3

【分析】(1)借助三角形內(nèi)角與正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合二倍角公式計(jì)算即可得；

(2)借助向量線性運(yùn)算與基本不等式，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可得.

【詳解】(1)'：A+B+C-it,■■siib4=sin(5+C),6sin4=asin兀；=acos，，

D

由正弦定理可得sinBsirU=sirUcos—,

2

.nc.BB..BB....B

'：smB=2sin—cos—,「.2sin—cos-sirU=sirUcos—,

22222

,/A,Be(0,7i),siiU0,cos—7^0,sin—=—,即0=4，即8=巴；

222263

(2)依題意，S=—acsinB=——ac,

△AJnJcL24

用+網(wǎng)=2網(wǎng)，腕+網(wǎng)=4,(茄+硝:16,

即a2+c2+2acxcos—=16,

3

即+Q2+〃c=1623ac，當(dāng)且僅當(dāng)4=C=勺8時，等號成立，

3

即acV/，.4/8。面積的最大值為述.

32323

ACAD

2.(2024?江蘇?模擬預(yù)測)在“3C中，點(diǎn)。在邊上，且滿足今=叱.

BCBD

(1)求證：ZACD=ZBCD；

(2)若tan/+tan8+J5tan/tan3-C=0，CD=2,求AA8C的面積的最小值.

【答案】⑴證明見解析

(2)46

7

AD

r八ACBC4十a(chǎn)…EF/13sinN/DCsinZBDC

【分析】（1）因?yàn)楣S="，所以-=訴，由正弦定理可得..℃=.“cn，則可得

BCBDADBDsmZACDsm/BCD

sinZACD^sinZBCD,則得4CD=Z8C。；

（2）由tan/+tan8+6tan/tan8-6=0，化簡可得tan（N+8）=VJ,則得c=與，ZACD=ZBCD=,

因?yàn)镾MBC=SKO+SM8，則可得/Cx8c=2（ZC+BC）,再由基本不等式可得“CxBC24，4Cx2C,

即ZCx8C216,則得到AABC的面積的最小值.

【詳解】（1）

/CADznACsinZADC

在A/CD中，由正弦定理-------------，得——二---------

sin/ADCsinZACDADsinZACD

在△BCD中，由正弦定理一^—BDBCsinZBDC

-------------，得zn一二---------

sinZ.BDCsinZBCDBDsinZBCD

ACADACBCsinZADCsinZBDC

因?yàn)?--=---,所以——=——，所以---------=---------

BCBDADBD77sinZACDsinZBCD

因?yàn)?/。。+/5。。=兀，所以兀一/BOC,

所以sinZADC=sin（兀一ZBDC）=sinZBDC,

所以sinZACD=sin/BCD,

又因?yàn)?/CO,/BCD式0,互）,且乙4CD+NBCD<TI,

所以NACD=/BCD.

（2）因?yàn)閠anZ+tan3+V^tan/tanB-C=0,

所以tanZ+tanB=J3（l-tanAtan月）,

tanA+tanB

所以tan（/+B）=

1-tanAtanB

因?yàn)?<4+3<兀，所以4+8=三，所以。=71—（N+B）=T,

TT

由（1）知ZACD=/BCD,則N4C7）=NBCQ=—,

3

因?yàn)榱薄?/^ACD+SA5CZ），

|27r1IT1TT

所以一x/Cx5Cxsin——=—xACxCDxsin—+—xBCxCDxsin—,

232323

又CD=2,

所以/CxBC=2/C+23c=2（4C+8C）

8

^AC+BC^2s/AC^BC，

所以“Cx8C=2/C+28c=20C+8C)>4^4CxSC,

所以/CX8C216,當(dāng)且僅當(dāng)/C=BC=4時等號成立,

所以的面積的最小值為116x1=46.

22

3.（2024?山東濟(jì)南?二模）如圖，已知平面四邊形/BCD中，AB=BC=2y/2,CD=2,AD=4.

D

（1）若42,C,。四點(diǎn)共圓，求/C；

⑵求四邊形4BCD面積的最大值.

【答案】⑴ZC=3夜

⑵3s.

【分析】（1）在"BC、"CD中分別利用余弦定理表示出AC2,再由四點(diǎn)共圓得到8544。。=-3乙4班7,

即可求出2C；；

1V

（2）由（1）可得cosNNOC-cosN/8C=—,再由面積公式得到sinNNOC+sinN/BC=—，將兩式平方再

44

相力口得至l]2-2cos(//OC+N/8C)=結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

16

【詳解】（1）在“8C中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC1-2AB.BCcosZABC

=8+8-2x8-cos^ABC=16-16cos^ABC,

在A/CD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=16+4-2x8-cosZADC=20-16cos/4DC,

因?yàn)?2,C,。四點(diǎn)共圓，所以Z43C+乙〃)。=兀，因此COS乙4DC=-COSN/BC,

上述兩式相加得：2/02=36,所以/C=3收(負(fù)值己舍去).

(2)由(1)得：16-16cos乙48c=20-16cos44DC,

化簡得cosZADC-cosZABC=-,

4

則cos?Z.ADC-2cosZ.ADCcosZ.ABC+cos2Z.ABC=—①,

16

四邊形ABCD的面積S=-AB-BCsinZABC+-AD-CDsinZADC

22

=—x2V2x2csin/ABC+—x2x4sinNADC

22

9

=4{smZADC+sinZABC),

w

整理得sinNADC+sin/ABC=-,

4

c2

貝ijsin2ZADC+2sinZADCsinZABC+sin2/ABC=—@

16

1ic?2

①②相加得：2-2(cos/4DCcos//L8C-sin/4DCsin43。=^-

1_i_v2

BP2-2cos(ZADC+AABC)==-

由于0<//。。<兀,0<//5。<兀，

所以當(dāng)且僅當(dāng)ZADC+ZABC=兀時，cos(ZADC+ZABC)取得最小值-1,

此時四邊形/BCD的面積最大，由葉^=4,解得S=3b,

16

故四邊形/BCD面積的最大值為3近.

4.(23-24高一下?吉林長春?期中)已知銳角三角形43C的內(nèi)角N,B,C的對邊分別為a,b,c,且

y/3ccosA+csin/=血b-

⑴求角C的大?。?/p>

(2)若c=2,角A與角B的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)。，求面積的最大值.

【答案】⑴C=]

(2)T

【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式化簡得到sinC=6cosC,即可得

解；

(2)依題意設(shè)4M2=e,由三角形為銳角三角形求出&,在中利用正弦定

理表示NO,即可表示出再由三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】(1)因?yàn)閂JccosZ+csirU=指^＞，

由正弦定理得百sinCcos/+sinCsinZ二道sin3二道sin(/+C),

所以V3sinCcosA+sinCsinA=6sin4cosc+ApsinCcosA，

所以sinCsin/=6sinAcosC，

10

又0<4<兀，得sin4>0,所以sinC=gcosC,即。nC=‘二'=百

cosC

7T

由0<C<兀，解得。=]；

27r1TT

(2)由題意/(218+/。3/=三，ZDAB+ZDBA=~(ZCAB+ZCBA)=-,

27rTT

所以=—，設(shè)/Q/B=a,；./ABD=――a,

33

-0<2a<~,XvZABC=Ti---2a=--2a,則0<0—2a<四，

23332U24j

ARAD

在△板）中,由正弦定理可得：

sinZABD

：-S,ABD=^AB-AD-^ma=-x2sinf--cz]sintz

2V3UJ

sina

2.21-cos2a=sin2a+￡OS2?-莖

=2sinacosa--^sin2a=sin2a-

233

所以△48。面積的最大值為—.

3

5.（23-24高三上?江西?期末）如圖，在△/8C中，AB=BC=2,。為△/BC外一點(diǎn)，AD=2CD=4,記NB4D=a,

ZBCD=/3.

⑴求2cosa-cos6的值;

⑵若△48。的面積為E，△BCD的面積為邑，求S；+S；的最大值.

【答案】（嗚3

11

【分析】（1）利用余弦定理，進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可;

(2)根據(jù)題意，由⑴知2cosa-cos尸=33,求出取得最大值，最大值為3學(xué)1

【詳解】(1)在A/AD中，由余弦定理，^BD2=AB-+AD1-?.AB-ADco9,a=2,.Q-i6co9,a，

在△BCD中，由余弦定理，得BD?=BC?+CD?-2BC?CDcos0=8-8cos0,

所以20-16cosa=8-8cosP,

所以8(2cosa-cos夕)=12,

2coscr-cosyff=—.

(2)由題意知E=；/0/。5吊/切。=4$吊夕，S2-1SC-C￡>sinZ5C￡>=2sin/?,

S；+S；=16sin2a+4sin2^=16(^l-cos2a)+4(1-cos22)

所以,,

=20-16cosa-4cos/3

由（1）知1,2cosa—cos6=一,所以cos/3=2cosa——,cosaG

2

所以S；+S；=20-16cos2a_412coscrI=-32cos2a+24cosa+11

——321cosex—H---->

I8J2

所以當(dāng)cosa=0e（；l]時，S；+S；取得最大值，最大值為衛(wèi).

O<472

考點(diǎn)二、周長類最值及范圍問題

典例引領(lǐng)

A

1.（2024?安徽淮北?二模）記。3C的內(nèi)角4SC的對邊分別為a,Ac,已知c-Z^csii?]

（1）試判斷春BC的形狀；

（2）若c=l,求28C周長的最大值.

【答案】⑴是直角三角形

⑵/+1

【分析】（1）根據(jù)題意，求得COSN=2,利用余弦定理列出方程，得到/+62=02,即可求解；

C

（2）由（1）和c=l,得到。=sin/,6=cos/,則"BC周長為1+sinZ+cosN,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即

12

可求解.

?、4h-n▼/、h-nic?24-rzrn?24C—b-.,1-COSA.C—b

【詳解】(1)解：由。-6=2csm2u，可得$11127二:一，r所r以——-——二二一

222c22c

1b匚G、J.b

~~~，所以cosA=—,

嗎-等22cc

又由余弦定理得回+/-）=2可得/+〃=02,所以C=E，

2bcc2

所以AASC是直角三角形

（2）解：由（1）知，-8C是直角三角形，且。=1,可得。=sinZ,6=cosZ,

所以“Be周長為1+sin/+cos/=1+后sin（4+；）,

._.、r.，八兀、_/r.7T（713兀］

因?yàn)閆E］。；!可付力+r［“了J，

所以，當(dāng)/=￡時，即“8C為等腰直角三角形，周長有最大值為及+1.

2.(2024?四川南充?模擬預(yù)測)在“3C中，.=C=sm"n'

sin4+sin3sm5+sinC

⑴求A；

（2）若BC=3,求AABC周長的最大值.

【答案】⑴2?兀

(2)3+273

【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；

（2）利用余弦定理及基本不等式求出6+c的最大值，即可得解.

,、4e、，、e、rsinCsinA-sinB,。a-b

【詳解】(1)因?yàn)橐籢—―=————,由正弦定理可得--=--，

sinZ+sin8sin8+sinCa+bb+c

即bec2=a2-b2f

由余弦定理cos="-be_1

2bc~2bc~~2

*/Ae(0,7i),A=-.

(2)因?yàn)椤?/+-2bccosA=b2+c2+bc=9f

即+_加=9,

-bc<\^^,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，

9=(b+c『-Z)C>(Z)+C)2-=-1(/?+C)2,即b+cW2百，

又b+c>a=3,所以3<b+c?26，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=G時取等號,

13

:.^ABC^^L=a+b+c<3+2y/3,

即“3。周長的最大值為3+26.

3.（2024?湖南常德?一模）已知“3C的內(nèi)角4SC的對邊分別是“ec,且，—=2氏

cosC

（1）判斷ABC的形狀；

（2）若“BC的外接圓半徑為夜,求“3C周長的最大值.

【答案】（1）等腰三角形

（2）376

【分析】（1）使用正弦定理對條件進(jìn)行邊化角，再用三角恒等變換證明3=C；

（2）先用基本不等式證明sin/+sin5+sinCV為5,然后利用正弦定理與外接圓半徑的關(guān)系可得到

2

a+6+c43?,最后說明等號可以取到，即得結(jié)果.

【詳解】（1）由正弦定理并結(jié)合已知有

??萬.萬?./asinB2/?cosCsin5「

sinBcosC+sinCcos8=sin（8+CJ=sinZ=——-——=-----------------=2sin8cosC.

故sin3cosC=sinCcos3,從而sin（5-C）=sin5cosC-sinCcos5=0.

由于民。￡（0,兀），從而8-C?-再兀），故由sin（5—C）=0可知8=C,所以々L8C一定是等腰三角形.

（2）設(shè)△45C的外接圓半徑為K.

一方面，我彳門有sin4+sinB+sinC=sin（B+C）+sin5+sinC

=sinBcosC+sinCcos5+sin5+sinC

_2sin§?6cosC2sinC6cos8

2G+2忑sin屏sinC

sin25+3cos2Csin2C+3cos2B

<+sin8+sinC

2百2也

22

sin28+3-3sin2csinC+3-3sin5.n

-----------------------j=1產(chǎn)---------bsm§+sinC

2V3------------2V3

-^-sin2jS+sin^-^-sin2C+sinC+出

33

i^La+b+c=2R(sinZ+sinB+sinC)W27??~~~=2后?~~~=36

另一方面，當(dāng)△力5C是邊長為卡的等邊三角形時，有a=b=c=娓,A=B=C=^.

14

此時盛￥=26=26,八/7=$=拒，且”+6+c=3行

52-T

所以AABC周長的最大值是376.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：值得一提的是，第2小問證明a+6+cW3"時并不需要使用第1小問得到的B=C.若

使用該條件，則sin/+sinB+sinC可化為2(sinBcosB+sinB),然后再利用

sin8?fcos8+疝丘sin至+等七+而g=_3_+3旦亦可得到結(jié)果.但這樣并未從本質(zhì)

V326312J4

上減少工作量，反而使解析失去了一般性和啟發(fā)性，因此本解析不采用此法.

c

4.(2024?山西?三模)已知。8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2cosNcosB=2sir?—.

2

(1)試判斷“3C的形狀；

⑵若"3C的外接圓半徑為2,求AABC周長的最大值.

【答案】(1)“3c為等腰三角形

(2)673

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得cos(4-B)=l,結(jié)合析Be(O㈤分析求解;

(2)利用正弦定理可得AZSC周長￡=8sin/+4sin2N,構(gòu)建函數(shù)/(x)=8sinx+4sin2x,xe[o<1],利用

導(dǎo)數(shù)求最值，即可得結(jié)果.

r

【詳解】(1)由題意可知：2cosAcosB=2sin2—=1-cosC=1+cos(A+B)

=1+cosAcosB-sinAsinB,

整理得cos/cos5+sin/sin5=cos(Z-5)=1,

且45￡(0,兀)，則/—5￡(—71,兀)，可知4—3=0,即/=8,

所以為等腰三角形.

nhc

(2)由正弦定理^——=-——=-——=4,可得。=4sin4b=4sin5,c=4sinC,

sinAsinBsinC

則A_/4BC周長￡=Q+b+c=4sinZ+4sinB+4sinC=4sinZ+4sin8+4sin(Z+5),

由(1)可知：A=BE：,

可得￡=4sin/+4sin/+4sin2/=8sin4+4sin2/,

構(gòu)建函數(shù)/(x)=8sinx+4sin2x,xG]O,,

貝|J/r(x)=8cosx+8cos2x=8(cosx+l)(2cosx-l),

因?yàn)閯tCOSX￡(0,1),

15

當(dāng)時，cosxeQ,lj,則〉0；

當(dāng)時，cosxe］。,；］,則/'(x)<0；

可知/(x)在(0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

則〃x)W/(B=6百，

所以當(dāng)且僅當(dāng)“8C為等邊三角形時，28C周長取到最大值6G.

即時檢測

(__________________

1.(2024高三下?全國?專題練習(xí))在AASC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

sin2B+(cosA+cosC)(cosA-cosC)=sin(/+5)sin(/+C).

⑴求/;

(2)設(shè)q=47§，求AA8C周長的最大值.

【答案】(1)4=；

⑵12vL

【分析】(1)將原等式轉(zhuǎn)化為角的正弦的齊次式，再利用正、余弦定理求出角/的余弦值即得.

(2)利用(1)的信息，結(jié)合基本不等式求解即得.

【詳解】(1)在Ay45c中，由511128+仁054+?05。)仁05/-?05。)=5皿/+5)5皿4+。)，

得sin2B+cos2A-cos2C=sin(兀一C)sin(兀-B),即sin2B+sin2C-sin24=sinCsinB,

由正弦定理得〃+C2”2=6C,由余弦定理得cos/="'又/40,兀)，

所以

(2)由(1)矢口，［=1,b2+c2-a2=bc,X(7=4>/3,

31

則43=b2+c2-be=(He)?-36C>(b+c)2——(b+c)2=—(b+c)2,

44

于是b+c<8百，當(dāng)且僅當(dāng)6=c=時取等號，

所以AABC周長的最大值為46+86=12百.

2.(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)在"3C中，內(nèi)角4民C所對的邊分別為a,6,c,已知向量五滿足

加=出,-#)，萬=(瓜帖6),且有

(1)求角A；

⑵若“3C是銳角三角形，且a=3,求“BC周長的取值范圍.

16

【答案】或%

⑵（3+3封9]

【分析】（1）由而，K得到2a?&sinS=痘，再利用正弦定理求解；

（2）根據(jù)a=3和4=],利用正弦定理得到外接圓的半徑，然后由6+c=6sin153求解.

【詳解】1）解：:加，

**?2a?gsinB-y/6b=0,即2。?6sinB=46b.

由正弦定理得2sinZsin3=V5sinB.

/?

VsinS^O,Ain^=—,

S2

*.*4w(0,兀),，4=§或§兀.

（2）???〃=3,且三角形45。為銳角三角形,

.??/=

ab_c

由正弦定理得sin/sinBsinCV3

T

b=2Gsin5,c=26sinC.

6+c=26(sin5+sinC)=273sinB+si

=2A/3sinSd-----cos5+—sin5

22

=2V3x——(Gsiri5+cosB)=3x2——sinB+—cosB=6sinIB..

~I22

7T

又???”BC為銳角三角形，.?.0<B<彳，

2

3262363

2^<sin(8+2)41,3A/3<6sin^5+—^<6,

3A/3<b+c<6,又,；a=3,

??3+3\/3<a+6+cW9.

AA8C的周長的取值范圍為(3+36,9].

3.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知在“3C中，。為3c邊的中點(diǎn)，且40=。.

17

⑴若端3C的面積為2,cosZADC=，求5；

5

(2)若452=18,求一臺。的周長的最大值.

【答案】(1)2

4

⑵10

【分析】(1)根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，求得80=1,由余弦定理，求得4B=2及,再由正弦定

理求得sinB=4Z,進(jìn)而求得3的值；

2

(2)設(shè)CD=BD=x,分別在△/8D和中，利用余弦定理，列出方程求得x=2,結(jié)合

(AB+AC)2<2(AB2+AC2),即可求解.

【詳解】(1)解：因?yàn)榈拿娣e為2,且。為3c的中點(diǎn)，

可得反的=g|AD||AD卜in/4D8=l,

又因?yàn)閟in/405=sin//。。=---，可得50=1,所以BC=2

5

在/\ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB

=(V5)2+l2-2xV5xlx^=8，所以48=2收，

ABAD/目V2

由正弦定理.n，可得sinB=——

sinZADBsinB2

因?yàn)閆ADC+ZADB=兀且cosAADC=—

5

可得cosZADB=cos（7T-ZADC）=-cosZADC=-,<0,

TT

即//D8為鈍角，所以3為銳角，所以8=?.

4

(2)解：設(shè)CD=BD=x,分別在△48。和A/CD中，

由余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosAADB，

SPAB2=x2+5-2x-45cosZADB,同理可得/C?=工？+5+公?君cosZADB，

所以482+/c2=2(/+5)=18,可得x=2,

又因?yàn)?N3+/C)242(/4+/。2)=36,當(dāng)且僅當(dāng)=時，等號成立，

所以4B+