2024-2025學年高中數學課下能力提升十一分層抽樣新人教A版必修3

PAGE1-課下實力提升(十一)一、題組對點訓練對點練一分層抽樣的概念1．某學校有男、女學生各500名，為了解男、女學生在學習愛好與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采納的抽樣方法是()A．抽簽法 B．隨機數法C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法解析：選D由于是調查男、女學生在學習愛好與業(yè)余愛好方面是否存在差異，因此用分層抽樣方法．2．下列問題中，最適合用分層抽樣方法抽樣的是()A．某電影院有32排座位，每排有40個座位，座位號是1～40.有一次報告會坐滿了聽眾，報告會結束以后為聽取看法，要留下32名聽眾進行座談B．從10臺冰箱中抽出3臺進行質量檢查C．某鄉(xiāng)農田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，凹地4000畝，現(xiàn)抽取農田480畝估計全鄉(xiāng)農田平均產量D．從50個零件中抽取5個做質量檢驗解析：選CA的總體容量較大，宜采納系統(tǒng)抽樣方法；B的總體容量較小，用簡潔隨機抽樣法比較便利；C總體容量較大，且各類田地的產量差別很大，宜采納分層抽樣方法；D與B類似．3．(2024·全國卷Ⅲ)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司打算進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．解析：因為客戶數量大，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異，所以最合適的抽樣方法是分層抽樣．答案：分層抽樣4．某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明顯不同，現(xiàn)欲調查平均身高，打算抽取eq\f(1,30)，采納分層抽樣方法，抽取男生1名，女生1名，你認為這種做法是否妥當？假如讓你來調查，你打算怎樣做？解：這種做法不妥當．緣由：取樣比例數eq\f(1,30)過小，很難精確反映總體狀況，況且男、女身高差異較大，抽取人數相同，也不合理．考慮到本題的狀況，可以采納分層抽樣，可抽取eq\f(1,5).男生抽取40×eq\f(1,5)＝8(名)，女生抽取20×eq\f(1,5)＝4(名)，各自用抽簽法或隨機數法抽取組成樣本．對點練二分層抽樣設計5．某企業(yè)共有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，初級職稱90人．現(xiàn)采納分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取的各職稱的人數分別為()A．5,10,15 B．3,9,18C．3,10,17 D．5,9,16解析：選B高級、中級、初級職稱的人數所占的比例分別為eq\f(15,150)＝10%，eq\f(45,150)＝30%，eq\f(90,150)＝60%，則所抽取的高級、中級、初級職稱的人數分別為10%×30＝3,30%×30＝9,60%×30＝18.6．某單位有27位老年人，54位中年人，81位青年人，為了調查他們的身體狀況的某項指標，需從他們中間抽取一個容量為42的樣本，則從老年人、中年人、青年人中分別應抽取的人數是()A．7,11,18 B．6,12,18C．6,13,17 D．7,14,21解析：選D法一：因為該單位的總人數為27＋54＋81＝162，樣本容量為42，所以抽樣比為eq\f(42,162)＝eq\f(7,27).所以從老年人中抽取的人數為27×eq\f(7,27)＝7；從中年人中抽取的人數為54×eq\f(7,27)＝14；從青年人中抽取的人數為81×eq\f(7,27)＝21.法二：因為該單位中老年人、中年人、青年人的人數比為27∶54∶81＝1∶2∶3，樣本容量為42，所以老年人應抽取的人數為42×eq\f(1,6)＝7；中年人應抽取的人數為42×eq\f(1,3)＝14；青年人應抽取的人數為42×eq\f(1,2)＝21.7．某市化工廠三個車間共有工人1000名，各車間男、女工人數如下表：第一車間其次車間第三車間女工173100y男工177xz已知在全廠工人中隨機抽取1名，抽到其次車間男工的可能性是0.15.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人，問應在第三車間抽取多少名？解：(1)由eq\f(x,1000)＝0.15，得x＝150.(2)∵第一車間的工人數是173＋177＝350，其次車間的工人數是100＋150＝250，∴第三車間的工人數是1000－350－250＝400.設應從第三車間抽取m名工人，則由eq\f(m,400)＝eq\f(50,1000)，得m＝20.∴應在第三車間抽取20名工人．8．某單位有技師18人，技術員12人，工程師6人，須要從這些人中抽取一個容量為n的樣本，假如采納系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，都不用剔除個體；假如樣本容量增加1，則在采納系統(tǒng)抽樣時，須要在總體中剔除1個個體，求樣本容量n.解：因為采納系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時不用剔除個體，所以n是36的約數，且eq\f(36,n)是6的約數，即n又是6的倍數，n＝6,12,18或36，又n＋1是35的約數，故n只能是4,6,34，綜合得n＝6，即樣本容量為6.對點練三抽樣方法的綜合應用9．為了考察某校的教學水平，抽查了該學校高三年級部分學生的本年度考試成果．為了全面地反映實際狀況，實行以下三種考察方式(已知該校高三年級共有14個教學班，并且每個班內的學生都已經按隨機方式編好了學號，假定該校每班人數都相同)．①從全年級14個班中隨意抽取一個班，再從該班中隨意抽取14人，考察他們的學習成果；②每個班都抽取1人，共計14人，考察這14個學生的成果；③把該校高三年級的學生按成果分成優(yōu)秀，良好，一般三個級別，從中抽取100名學生進行考查(已知若按成果分，該校高三學生中優(yōu)秀學生有105名，良好學生有420名，一般學生有175名)．依據上面的敘述，試回答下列問題：(1)上面三種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？(2)上面三種抽取方式各自采納何種抽取樣本的方法？(3)試分別寫出上面三種抽取方法各自抽取樣本的步驟．解：(1)這三種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學生本年度的考試成果，個體都是指高三年級每個學生本年度的考試成果．其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學生本年度的考試成果，樣本容量為14；其次種抽取方式中樣本為所抽取的14名學生本年度的考試成果，樣本容量為14；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學生本年度的考試成果，樣本容量為100.(2)上面三種抽取方式中，第一種方式采納的方法是簡潔隨機抽樣法；其次種方式采納的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡潔隨機抽樣法；第三種方式采納的方法是分層抽樣法和簡潔隨機抽樣法．(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這14個班中用抽簽法隨意抽取一個班；其次步：從這個班中按學號用隨機數表法或抽簽法抽取14名學生，考察其考試成果．其次種方式抽樣的步驟如下：第一步：在第一個班中，用簡潔隨機抽樣法隨意抽取某一學生，記其學號為x；其次步：在其余的13個班中，選取學號為x＋50k(1≤k≤12，k∈Z)的學生，共計14人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層，因為若按成果分，其中優(yōu)秀生共105人，良好生共420人，一般生共175人，所以在抽取樣本中，應當把全體學生分成三個層次；其次步：確定各個層次抽取的人數，因為樣本容量與總體數的比為100∶700＝1∶7，所以在每個層抽取的個體數依次為eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15,60,25；第三步：按層分別抽取，在優(yōu)秀生中用簡潔隨機抽樣法抽取15人，在良好生中用簡潔隨機抽樣法抽取60人，在一般生中用簡潔隨機抽樣法抽取25人．第四步：將所抽取的個體組合在一起構成樣本．二、綜合過關訓練1．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1、p2、p3，則()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3解析：選D依據抽樣方法的概念可知，簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣方法，每個個體被抽到的概率都是eq\f(n,N)，故p1＝p2＝p3，故選D.2．我國古代數學名著《九章算術》中有如下問題“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八，西鄉(xiāng)算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百七十八人，欲以算數多少出之，問各幾何？”意思是：北鄉(xiāng)有8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數多少從三鄉(xiāng)共征集378人，問從各鄉(xiāng)征集多少人？在上述問題中，需從西鄉(xiāng)征集的人數是()A．102 B．112C．130 D．136解析：選B因為北鄉(xiāng)有8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數多少從三鄉(xiāng)共征集378人，故需從西鄉(xiāng)征集的人數是378×eq\f(7236,8758＋7236＋8356)≈112.3．某中學有中學生3500人，初中生1500人．為了了解學生的學習狀況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從中學生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．250解析：選A樣本抽取比例為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，該?？側藬禐?500＋3500＝5000，則eq\f(n,5000)＝eq\f(1,50)，故n＝100，選A.4．《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢，欲以錢數多少衰出之，問各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢，乙?guī)Я?50錢，丙帶了180錢，三人一起出關，共須要交關稅100錢，依照錢的多少按比例出錢”，則丙應出________錢(結果保留整數)．解析：因為依照錢的多少按比例出錢，所以丙應當出的錢為eq\f(180,560＋350＋180)×100＝eq\f(180,1090)×100≈17.答案：175．山東某中學針對學生發(fā)展要求，開設了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已知報名參與這兩個社團的學生共有800人，依據要求每人只能參與一個社團，各年級參與社團的人數狀況如下表：高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的eq\f(3,5)，為了了解學生對兩個社團活動的滿足程度，從中抽取一個50人的樣本進行調查，則從高二年級“剪紙”社團的學生中應抽取________人．解析：因為“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團的人數占總人數的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團中的人數為50×eq\f(2,5)＝20.又“剪紙”社團中高二年級人數比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數為20×eq\f(3,10)＝6.答案：66．為了對某課題進行探討探討，用分層抽樣的方法從三所高校A，B，C的相關人員中，抽取若干人組成探討小組，有關數據見下表(單位：人)高校相關人數抽取人數Ax1B36yC543(1)求x，y；(2)若從高校B相關的人中選2人進行專題發(fā)言，應采納什么抽樣方法，請寫出合理的抽樣過程．